Страница 70, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Что называют равенством; уравнением?
Равенством называют математическое выражение, в котором два числа или выражения соединены знаком равно (`=`). Равенства бывают числовыми (верными и неверными) и буквенными. Например, `$5 + 7 = 12$` — это верное числовое равенство, а `$5 + 7 = 13$` — неверное.

Уравнением называют равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти. Эту неизвестную величину обычно обозначают латинской буквой (например, $x$, $y$, $z$). Пример уравнения: `$x + 8 = 15$`. В этом уравнении `$x$` — неизвестное число.
Ответ: Равенство — это запись, состоящая из двух выражений, соединенных знаком равно. Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестную величину (переменную).

Что такое корень уравнения?
Корень уравнения — это такое число, при подстановке которого вместо неизвестной переменной в исходное уравнение, оно превращается в верное числовое равенство. Корень уравнения также называют его решением.

Например, для уравнения `$x + 8 = 15$` корнем является число $7$, потому что если подставить $7$ вместо `$x$`, получится верное равенство: `$7 + 8 = 15$`.
Ответ: Корень уравнения — это значение переменной, которое обращает уравнение в верное числовое равенство.

Что значит решить уравнение?
Решить уравнение — это значит найти все его корни (или решения) или доказать, что корней нет.

Например, решить уравнение `$2 \cdot x = 10$` — значит найти, что `$x = 5$`. У некоторых уравнений может быть несколько корней, например, у уравнения `$x^2 = 9$` два корня: `$x_1 = 3$` и `$x_2 = -3$`. А у уравнения `$0 \cdot x = 5$` корней нет, так как не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы 5.
Ответ: Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Как проверить, верно ли найден корень уравнения?
Чтобы проверить, является ли найденное число корнем уравнения, нужно подставить это число в исходное уравнение вместо неизвестной переменной. После этого нужно выполнить вычисления в обеих частях уравнения. Если в результате левая часть уравнения окажется равна правой, то есть получится верное числовое равенство, значит корень найден верно.

Пример: Решим уравнение `$19 - x = 11$`. Предположим, мы нашли корень `$x = 8$`.
Проверка: Подставляем $8$ в уравнение: `$19 - 8 = 11$`.
Выполняем вычисление в левой части: `$11 = 11$`.
Получилось верное равенство, значит корень `$x = 8$` найден правильно.
Ответ: Нужно подставить найденный корень в исходное уравнение. Если получится верное числовое равенство, корень найден верно.

Как найти неизвестное слагаемое; вычитаемое; уменьшаемое?
Существуют простые правила для нахождения неизвестных компонентов арифметических действий:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Формула: `слагаемое 1 + слагаемое 2 = сумма`.
Пример: `$x + 12 = 30$`.
Решение: `$x = 30 - 12$`, `$x = 18$`.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Формула: `уменьшаемое - вычитаемое = разность`.
Пример: `$50 - x = 22$`.
Решение: `$x = 50 - 22$`, `$x = 28$`.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
Формула: `уменьшаемое - вычитаемое = разность`.
Пример: `$x - 15 = 40$`.
Решение: `$x = 40 + 15$`, `$x = 55$`.
Ответ: Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

5.428 Велосипедист увидел впереди себя пешехода, идущего в том же направлении со скоростью 225 км/мин. С какой скоростью двигался велосипедист, если каждую минуту он приближался к пешеходу на 320 км?

?

B П

$\frac{2}{25}$ км/мин

Так как велосипедист приближался к пешеходу каждую минуту на $\frac{3}{20}$ км, то скорость сближения велосипедиста и пешехода $\frac{3}{20}$ км/мин.

Пусть $x$ км/мин - скорость велосипедиста, тогда $\left(x - \frac{2}{25}\right)$ км/мин - скорость сближения. Составим уравнение.

$x - \frac{2}{25} = \frac{3}{20}$

$x = \frac{3}{20} + \frac{2}{25} = \frac{3 · 5}{20 · 5} + \frac{2 · 4}{25 · 4} = \frac{15}{100} + \frac{8}{100} = \frac{23}{100}$

Значит, $\frac{23}{100}$ км/мин - скорость велосипедиста.

Ответ: $\frac{23}{100}$ км/мин.

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти скорость велосипедиста, нужно к скорости пешехода прибавить скорость их сближения.

1. Определим данные:

• Скорость пешехода: $v_п = \frac{2}{25}$ км/мин.
• Скорость сближения (на сколько расстояние сокращается каждую минуту): $v_{сбл} = \frac{3}{20}$ км/мин.
• Скорость велосипедиста: $v_в$ — неизвестна.

2. Составим формулу:

Когда один объект догоняет другой, движущийся в том же направлении, скорость сближения равна разности их скоростей. Поскольку велосипедист догоняет пешехода, его скорость больше.

$v_{сбл} = v_в - v_п$

Чтобы найти скорость велосипедиста, выразим ее из этой формулы:

$v_в = v_п + v_{сбл}$

3. Выполним вычисления:

Подставим известные значения в формулу:

$v_в = \frac{2}{25} + \frac{3}{20}$

Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 25 и 20 равно 100.

Приведем дроби к знаменателю 100:

$\frac{2}{25} = \frac{2 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{8}{100}$

$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100}$

Теперь сложим полученные дроби:

$v_в = \frac{8}{100} + \frac{15}{100} = \frac{8 + 15}{100} = \frac{23}{100}$

Таким образом, скорость велосипедиста равна $\frac{23}{100}$ км/мин.

Ответ: $\frac{23}{100}$ км/мин.

5.429 Один рабочий может выполнить всю работу за 6 дней, а другой — за 8 дней. Какую часть работы выполнят оба рабочих за 1 день, работая вместе?

Производительность – это часть работы, выполненная за единицу времени, в данной задаче – за 1 день.

1) $1 : 6 = \frac{1}{6}$ – производительность I рабочего

2) $1 : 8 = \frac{1}{8}$ – производительность II рабочего

3) $\frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{1 · 4}{6 · 4} + \frac{1 · 3}{8 · 3} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{4 + 3}{24} = \frac{7}{24}$ – общая производительность или часть работа, выполненная рабочими за 1 день.

Ответ: $\frac{7}{24}$

Для решения этой задачи нужно определить, какую часть работы каждый рабочий выполняет за один день (это называется производительностью), а затем сложить их производительности, чтобы найти, какую часть работы они выполнят за один день, работая вместе. Примем весь объем работы за 1 (единицу).

1. Производительность первого рабочего.
Первый рабочий выполняет всю работу за 6 дней. Следовательно, за 1 день он выполнит $ \frac{1}{6} $ часть всей работы.

2. Производительность второго рабочего.
Второй рабочий выполняет всю работу за 8 дней. Следовательно, за 1 день он выполнит $ \frac{1}{8} $ часть всей работы.

3. Совместная производительность.
Чтобы найти, какую часть работы они выполнят вместе за 1 день, нужно сложить их дневные производительности. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 6 и 8 равно 24.

$ \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{4+3}{24} = \frac{7}{24} $

Таким образом, работая вместе, за 1 день оба рабочих выполнят $ \frac{7}{24} $ часть всей работы.

Ответ: $ \frac{7}{24} $.

5.430 Один тракторист может вспахать поле за 12 ч, а другой — за 15 ч. Какую часть поля вспашут оба тракториста, если первый будет работать 5 ч, а второй — 8 ч?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

1. Определим производительность каждого тракториста.

Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени. Примем все поле за 1.
Первый тракторист может вспахать все поле за 12 часов, следовательно, его производительность составляет $\frac{1}{12}$ поля в час.
Второй тракторист может вспахать все поле за 15 часов, значит, его производительность — $\frac{1}{15}$ поля в час.

2. Вычислим, какую часть поля вспахал каждый тракторист.

Чтобы найти часть выполненной работы, нужно производительность умножить на время работы.
Первый тракторист работал 5 часов и вспахал:$5 \text{ ч} \times \frac{1}{12} \frac{\text{поля}}{\text{ч}} = \frac{5}{12}$ поля.
Второй тракторист работал 8 часов и вспахал:$8 \text{ ч} \times \frac{1}{15} \frac{\text{поля}}{\text{ч}} = \frac{8}{15}$ поля.

3. Найдем общую часть поля, вспаханную обоими трактористами.

Для этого сложим части поля, вспаханные первым и вторым трактористами:$\frac{5}{12} + \frac{8}{15}$
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 12 и 15 равно 60.
Дополнительный множитель для первой дроби: $60 \div 12 = 5$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $60 \div 15 = 4$.
$\frac{5}{12} + \frac{8}{15} = \frac{5 \times 5}{12 \times 5} + \frac{8 \times 4}{15 \times 4} = \frac{25}{60} + \frac{32}{60} = \frac{25+32}{60} = \frac{57}{60}$.

4. Сократим полученную дробь.

Числитель 57 и знаменатель 60 имеют общий делитель 3.$\frac{57 \div 3}{60 \div 3} = \frac{19}{20}$.
Таким образом, вместе трактористы вспашут $\frac{19}{20}$ поля.

Ответ: $\frac{19}{20}$.

5.431 Развивай внимание. Запишите дробь, у которой числитель и знаменатель — однозначные числа. Сложите устно знаменатель с числителем и запишите сумму в числителе новой дроби, а числитель предыдущей дроби в знаменателе. Если сумма числителя и знаменателя получится больше 10, то надо вычесть из неё 9 и т. д.

Например, 14, 51, 65, 26, 82, 18, 91, 19, ... .

Через 3 мин сверьте ответы с товарищем. Выигрывает тот, у кого составлено больше правильных дробей.

$\frac{1}{3},\frac{4}{1},\frac{5}{4},\frac{9}{5},\frac{14 - 9}{9} = \frac{5}{9},\frac{14 - 9}{5} = \frac{5}{5},$

$10 - 95 = \frac{1}{5}.\frac{6}{1},\frac{7}{6}$ итд.

Развивай внимание.

В задании описан алгоритм для последовательного создания дробей. Разберем его по шагам.

1. Начало: Выбираем любую дробь, у которой и числитель, и знаменатель являются однозначными числами (от 1 до 9). Обозначим эту дробь как $\frac{a}{b}$.

2. Создание новой дроби: Чтобы получить следующую дробь в последовательности, нужно выполнить следующие действия:

• Новый числитель равен сумме числителя ($a$) и знаменателя ($b$) предыдущей дроби.
• Новый знаменатель равен числителю ($a$) предыдущей дроби.

3. Особое правило: Если сумма числителя и знаменателя ($a+b$) получается равной 10 или больше, то из этой суммы необходимо вычесть 9. Это гарантирует, что новый числитель также будет однозначным числом.

Проверим этот алгоритм на примере из задания: $\frac{1}{4}, \frac{5}{1}, \frac{6}{5}, \frac{2}{6}, \dots$

• Начинаем с $\frac{1}{4}$. Здесь $a=1, b=4$.
• Следующая дробь: числитель $1+4=5$, знаменатель $1$. Получаем $\frac{5}{1}$.
• Для дроби $\frac{5}{1}$: $a=5, b=1$. Числитель $5+1=6$, знаменатель $5$. Получаем $\frac{6}{5}$.
• Для дроби $\frac{6}{5}$: $a=6, b=5$. Сумма $6+5=11$. Так как $11 > 10$, применяем особое правило: новый числитель равен $11-9=2$. Знаменатель равен $6$. Получаем $\frac{2}{6}$.
• Для дроби $\frac{2}{6}$: $a=2, b=6$. Числитель $2+6=8$, знаменатель $2$. Получаем $\frac{8}{2}$.
• Для дроби $\frac{8}{2}$: $a=8, b=2$. Сумма $8+2=10$. Так как $10 \ge 10$, применяем правило: новый числитель равен $10-9=1$. Знаменатель равен $8$. Получаем $\frac{1}{8}$.

Алгоритм работает в точности так, как описано.

Ответ: Чтобы получить следующую дробь из дроби $\frac{a}{b}$, нужно числитель предыдущей дроби ($a$) поставить в знаменатель, а в числитель поставить сумму $a+b$. Если сумма $a+b \ge 10$, то в числитель ставится результат выражения $(a+b)-9$.

Выигрывает тот, у кого составлено больше правильных дробей.

Цель игры — составить как можно больше правильных дробей (тех, у которых числитель меньше знаменателя). Для примера сгенерируем последовательность, начав с дроби $\frac{2}{3}$, и выделим из нее все правильные дроби.

Начальная дробь: $\frac{2}{3}$

Полученная последовательность:

$\frac{2}{3} \rightarrow \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} \rightarrow \frac{5+2}{5} = \frac{7}{5}$

$\frac{7}{5} \rightarrow \frac{(7+5)-9}{7} = \frac{12-9}{7} = \frac{3}{7}$

$\frac{3}{7} \rightarrow \frac{(3+7)-9}{3} = \frac{10-9}{3} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} \rightarrow \frac{1+3}{1} = \frac{4}{1}$

$\frac{4}{1} \rightarrow \frac{4+1}{4} = \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} \rightarrow \frac{5+4}{5} = \frac{9}{5}$

$\frac{9}{5} \rightarrow \frac{(9+5)-9}{9} = \frac{14-9}{9} = \frac{5}{9}$

$\frac{5}{9} \rightarrow \frac{(5+9)-9}{5} = \frac{14-9}{5} = \frac{5}{5}$

$\frac{5}{5} \rightarrow \frac{(5+5)-9}{5} = \frac{10-9}{5} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} \rightarrow \frac{1+5}{1} = \frac{6}{1}$

$\frac{6}{1} \rightarrow \frac{6+1}{6} = \frac{7}{6}$

$\frac{7}{6} \rightarrow \frac{(7+6)-9}{7} = \frac{13-9}{7} = \frac{4}{7}$

$\frac{4}{7} \rightarrow \frac{(4+7)-9}{4} = \frac{11-9}{4} = \frac{2}{4}$

$\frac{2}{4} \rightarrow \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2}$

Вся последовательность выглядит так: $\frac{2}{3}, \frac{5}{2}, \frac{7}{5}, \frac{3}{7}, \frac{1}{3}, \frac{4}{1}, \frac{5}{4}, \frac{9}{5}, \frac{5}{9}, \frac{5}{5}, \frac{1}{5}, \frac{6}{1}, \frac{7}{6}, \frac{4}{7}, \frac{2}{4}, \frac{6}{2}, \dots$

Теперь выберем из нее все правильные дроби (числитель < знаменателя):

$\frac{2}{3}, \frac{3}{7}, \frac{1}{3}, \frac{5}{9}, \frac{1}{5}, \frac{4}{7}, \frac{2}{4}$

Ответ: Пример правильных дробей, полученных по заданному алгоритму, начиная с $\frac{2}{3}$: $\frac{2}{3}, \frac{3}{7}, \frac{1}{3}, \frac{5}{9}, \frac{1}{5}, \frac{4}{7}, \frac{2}{4}$.

5.432 Вычислите.

Решим пример по действиям:

1. Сначала вычислим значение выражения в первой строке: $7^2 - 5^2$.

$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

$49 - 25 = 24$

2. Умножим полученный результат на 3:

$24 \cdot 3 = 72$

3. Разделим результат на 4:

$72 : 4 = 18$

4. Прибавим 12:

$18 + 12 = 30$

5. Разделим результат на 2:

$30 : 2 = 15$

Ответ: 15

Решим пример по действиям:

1. Сначала вычислим значение выражения в первой строке: $10^2 - 4^2$.

$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$

$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$

$100 - 16 = 84$

2. Разделим полученный результат на 4:

$84 : 4 = 21$

3. Прибавим 27:

$21 + 27 = 48$

4. Разделим результат на 3:

$48 : 3 = 16$

5. Умножим результат на 5:

$16 \cdot 5 = 80$

Ответ: 80

Решим пример по действиям:

1. Сначала вычислим значение выражения в первой строке: $9^2 + 3^2$.

$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

$81 + 9 = 90$

2. Разделим полученный результат на 6:

$90 : 6 = 15$

3. Прибавим 30:

$15 + 30 = 45$

4. Умножим результат на 2:

$45 \cdot 2 = 90$

5. Разделим результат на 15:

$90 : 15 = 6$

Ответ: 6

Решим пример по действиям:

1. Сначала вычислим значение выражения в первой строке: $4^3 - 14$.

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

$64 - 14 = 50$

2. Разделим полученный результат на 25:

$50 : 25 = 2$

3. Умножим результат на 17:

$2 \cdot 17 = 34$

4. Прибавим 41:

$34 + 41 = 75$

5. Разделим результат на 15:

$75 : 15 = 5$

Ответ: 5

5.433 Найдите числа, которых не хватает на схеме вычислений.

a) $42·5 = \left(40 + 2\right)·5 = 40·5 + 2·5 =$

$= 200 + 10 = 210$ - число в квадратике

$210 : 7 = 30$

$210 : 15 = 14$

$\begin{array}{rl} - 210& 15\\ \phantom{ - }15& \text{――}\\ \text{―――}& 14\\ \phantom{ - }60& \\ - 60& \\ \text{―――}& \\ \phantom{ - }0& \end{array}$

$210 : 3 = 70$

б) $20 : 5 = 4$$20 : 10 = 2$

$4 : 4 = 1$$20 : 1 = 20$

$1 + 31 = 32$

$32 - 22 = 10$

а)

Для решения этой задачи необходимо сначала найти число в центральном квадрате, а затем, используя его, вычислить значения в пустых кругах.

1. Обозначим число в центральном квадрате как $x$. Согласно схеме, стрелка, идущая от квадрата к зелёному кругу с числом 42, имеет пометку «:5». Это означает, что $x : 5 = 42$. Чтобы найти $x$, нужно выполнить обратную операцию — умножение:

$x = 42 \times 5 = 210$

Таким образом, в центральном квадрате находится число 210.

2. Теперь, зная центральное число, можно найти числа в пустых жёлтых кругах, выполнив соответствующие операции деления:

Для верхнего круга: $210 : 7 = 30$.

Для левого круга: $210 : 15 = 14$.

Для нижнего круга: $210 : 3 = 70$.

Ответ: в центральном квадрате — 210; в верхнем круге — 30; в левом круге — 14; в нижнем круге — 70.

б)

Для нахождения всех неизвестных чисел и операций в этой схеме будем двигаться последовательно по стрелкам, выполняя вычисления шаг за шагом.

1. Найдём число в первом пустом круге (нижний левый). Для этого выполним действие, указанное на стрелке от числа 20: $20 : 5 = 4$.

2. Найдём число во втором пустом круге (верхний средний). Стрелка к нему идёт от первого круга (с числом 4) с операцией деления на 4: $4 : 4 = 1$.

3. Найдём число в первом пустом квадратике над стрелкой, идущей от 20 ко второму кругу. Так как во втором круге получилось число 1, то $20 : \square = 1$. Отсюда, число в квадратике равно $20 : 1 = 20$.

4. Найдём число в третьем пустом круге (нижний правый). К числу из второго круга (1) нужно прибавить 31: $1 + 31 = 32$.

5. Найдём число в конечном зелёном квадрате. От числа из третьего круга (32) нужно отнять 22: $32 - 22 = 10$.

6. Найдём число во втором пустом квадратике над длинной стрелкой, идущей от 20 к конечному квадрату. Мы знаем, что в конечном квадрате получилось 10. Значит, $20 : \square = 10$. Отсюда, число в квадратике равно $20 : 10 = 2$.

Ответ: числа в кругах по порядку выполнения действий — 4, 1, 32; число в конечном квадрате — 10; числа в операциях деления (в пустых квадратиках) — 20 и 2.

5.434 Вычислите.

а) 7² - 6²;

б) 3³ - 17;

в) 5² • 8;

г) 64 : 2³.

а) $7^2 - 6^2$

Для решения этого примера необходимо сначала вычислить значения квадратов чисел, а затем выполнить вычитание. Порядок действий определяется правилами математики: сначала возведение в степень, затем вычитание.

1. Возводим 7 в квадрат: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.

2. Возводим 6 в квадрат: $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$.

3. Вычитаем из первого результата второй: $49 - 36 = 13$.

Также можно применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$7^2 - 6^2 = (7-6) \cdot (7+6) = 1 \cdot 13 = 13$.

Ответ: 13

б) $3^3 - 17$

Сначала вычисляем значение куба числа, а затем выполняем вычитание.

1. Возводим 3 в куб: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

2. Вычитаем 17 из полученного результата: $27 - 17 = 10$.

Ответ: 10

в) $5^2 \cdot 8$

Сначала вычисляем значение квадрата числа, а затем выполняем умножение.

1. Возводим 5 в квадрат: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

2. Умножаем результат на 8: $25 \cdot 8 = 200$.

Ответ: 200

г) $64 : 2^2$

Сначала выполняем возведение в степень, а затем деление.

1. Возводим 2 в квадрат: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$.

2. Делим 64 на полученный результат: $64 : 4 = 16$.

Другой способ решения — представить число 64 в виде степени с основанием 2. Так как $64 = 2^6$, то выражение можно переписать:

$64 : 2^2 = 2^6 : 2^2$.

Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$), получаем:

$2^{6-2} = 2^4 = 16$.

Ответ: 16