Страница 70, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Что называют равенством; уравнением?

Выражения, соединённые знаком «=», образуют равенство. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называют уравнением.

Что такое корень уравнения?

Корнем уравнения называют значение буквы, при котором уравнение становится верным числовым равенством.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение – значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет корня).

Как проверить, верно ли найден корень уравнения?

Что бы проверить, верно ли найден корень уравнения, надо этот корень подставить вместо буквы. Если получили верное числовое равенство, то корень найден верно.

Как найти неизвестное слагаемое; вычитаемое; уменьшаемое?

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

Что называют равенством; уравнением?
Равенством называют математическое выражение, в котором два числа или выражения соединены знаком равно (`=`). Равенства бывают числовыми (верными и неверными) и буквенными. Например, `$5 + 7 = 12$` — это верное числовое равенство, а `$5 + 7 = 13$` — неверное.

Уравнением называют равенство, содержащее неизвестную величину, значение которой нужно найти. Эту неизвестную величину обычно обозначают латинской буквой (например, $x$, $y$, $z$). Пример уравнения: `$x + 8 = 15$`. В этом уравнении `$x$` — неизвестное число.
Ответ: Равенство — это запись, состоящая из двух выражений, соединенных знаком равно. Уравнение — это равенство, которое содержит неизвестную величину (переменную).

Что такое корень уравнения?
Корень уравнения — это такое число, при подстановке которого вместо неизвестной переменной в исходное уравнение, оно превращается в верное числовое равенство. Корень уравнения также называют его решением.

Например, для уравнения `$x + 8 = 15$` корнем является число $7$, потому что если подставить $7$ вместо `$x$`, получится верное равенство: `$7 + 8 = 15$`.
Ответ: Корень уравнения — это значение переменной, которое обращает уравнение в верное числовое равенство.

Что значит решить уравнение?
Решить уравнение — это значит найти все его корни (или решения) или доказать, что корней нет.

Например, решить уравнение `$2 \cdot x = 10$` — значит найти, что `$x = 5$`. У некоторых уравнений может быть несколько корней, например, у уравнения `$x^2 = 9$` два корня: `$x_1 = 3$` и `$x_2 = -3$`. А у уравнения `$0 \cdot x = 5$` корней нет, так как не существует числа, которое при умножении на ноль дало бы 5.
Ответ: Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.

Как проверить, верно ли найден корень уравнения?
Чтобы проверить, является ли найденное число корнем уравнения, нужно подставить это число в исходное уравнение вместо неизвестной переменной. После этого нужно выполнить вычисления в обеих частях уравнения. Если в результате левая часть уравнения окажется равна правой, то есть получится верное числовое равенство, значит корень найден верно.

Пример: Решим уравнение `$19 - x = 11$`. Предположим, мы нашли корень `$x = 8$`.
Проверка: Подставляем $8$ в уравнение: `$19 - 8 = 11$`.
Выполняем вычисление в левой части: `$11 = 11$`.
Получилось верное равенство, значит корень `$x = 8$` найден правильно.
Ответ: Нужно подставить найденный корень в исходное уравнение. Если получится верное числовое равенство, корень найден верно.

Как найти неизвестное слагаемое; вычитаемое; уменьшаемое?
Существуют простые правила для нахождения неизвестных компонентов арифметических действий:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Формула: `слагаемое 1 + слагаемое 2 = сумма`.
Пример: `$x + 12 = 30$`.
Решение: `$x = 30 - 12$`, `$x = 18$`.

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Формула: `уменьшаемое - вычитаемое = разность`.
Пример: `$50 - x = 22$`.
Решение: `$x = 50 - 22$`, `$x = 28$`.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
Формула: `уменьшаемое - вычитаемое = разность`.
Пример: `$x - 15 = 40$`.
Решение: `$x = 40 + 15$`, `$x = 55$`.
Ответ: Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность. Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

5.428 Велосипедист увидел впереди себя пешехода, идущего в том же направлении со скоростью 225 км/мин. С какой скоростью двигался велосипедист, если каждую минуту он приближался к пешеходу на 320 км?

Это задача на движение вдогонку. Чтобы найти скорость велосипедиста, нужно к скорости пешехода прибавить скорость их сближения.

1. Определим данные:

• Скорость пешехода: $v_п = \frac{2}{25}$ км/мин.
• Скорость сближения (на сколько расстояние сокращается каждую минуту): $v_{сбл} = \frac{3}{20}$ км/мин.
• Скорость велосипедиста: $v_в$ — неизвестна.

2. Составим формулу:

Когда один объект догоняет другой, движущийся в том же направлении, скорость сближения равна разности их скоростей. Поскольку велосипедист догоняет пешехода, его скорость больше.

$v_{сбл} = v_в - v_п$

Чтобы найти скорость велосипедиста, выразим ее из этой формулы:

$v_в = v_п + v_{сбл}$

3. Выполним вычисления:

Подставим известные значения в формулу:

$v_в = \frac{2}{25} + \frac{3}{20}$

Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 25 и 20 равно 100.

Приведем дроби к знаменателю 100:

$\frac{2}{25} = \frac{2 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{8}{100}$

$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15}{100}$

Теперь сложим полученные дроби:

$v_в = \frac{8}{100} + \frac{15}{100} = \frac{8 + 15}{100} = \frac{23}{100}$

Таким образом, скорость велосипедиста равна $\frac{23}{100}$ км/мин.

Ответ: $\frac{23}{100}$ км/мин.

5.429 Один рабочий может выполнить всю работу за 6 дней, а другой — за 8 дней. Какую часть работы выполнят оба рабочих за 1 день, работая вместе?

Для решения этой задачи нужно определить, какую часть работы каждый рабочий выполняет за один день (это называется производительностью), а затем сложить их производительности, чтобы найти, какую часть работы они выполнят за один день, работая вместе. Примем весь объем работы за 1 (единицу).

1. Производительность первого рабочего.
Первый рабочий выполняет всю работу за 6 дней. Следовательно, за 1 день он выполнит $ \frac{1}{6} $ часть всей работы.

2. Производительность второго рабочего.
Второй рабочий выполняет всю работу за 8 дней. Следовательно, за 1 день он выполнит $ \frac{1}{8} $ часть всей работы.

3. Совместная производительность.
Чтобы найти, какую часть работы они выполнят вместе за 1 день, нужно сложить их дневные производительности. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 6 и 8 равно 24.

$ \frac{1}{6} + \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{4}{24} + \frac{3}{24} = \frac{4+3}{24} = \frac{7}{24} $

Таким образом, работая вместе, за 1 день оба рабочих выполнят $ \frac{7}{24} $ часть всей работы.

Ответ: $ \frac{7}{24} $.

5.430 Один тракторист может вспахать поле за 12 ч, а другой — за 15 ч. Какую часть поля вспашут оба тракториста, если первый будет работать 5 ч, а второй — 8 ч?

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

1. Определим производительность каждого тракториста.

Производительность — это объем работы, выполняемый за единицу времени. Примем все поле за 1.
Первый тракторист может вспахать все поле за 12 часов, следовательно, его производительность составляет $\frac{1}{12}$ поля в час.
Второй тракторист может вспахать все поле за 15 часов, значит, его производительность — $\frac{1}{15}$ поля в час.

2. Вычислим, какую часть поля вспахал каждый тракторист.

Чтобы найти часть выполненной работы, нужно производительность умножить на время работы.
Первый тракторист работал 5 часов и вспахал:$5 \text{ ч} \times \frac{1}{12} \frac{\text{поля}}{\text{ч}} = \frac{5}{12}$ поля.
Второй тракторист работал 8 часов и вспахал:$8 \text{ ч} \times \frac{1}{15} \frac{\text{поля}}{\text{ч}} = \frac{8}{15}$ поля.

3. Найдем общую часть поля, вспаханную обоими трактористами.

Для этого сложим части поля, вспаханные первым и вторым трактористами:$\frac{5}{12} + \frac{8}{15}$
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, приведем их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 12 и 15 равно 60.
Дополнительный множитель для первой дроби: $60 \div 12 = 5$.
Дополнительный множитель для второй дроби: $60 \div 15 = 4$.
$\frac{5}{12} + \frac{8}{15} = \frac{5 \times 5}{12 \times 5} + \frac{8 \times 4}{15 \times 4} = \frac{25}{60} + \frac{32}{60} = \frac{25+32}{60} = \frac{57}{60}$.

4. Сократим полученную дробь.

Числитель 57 и знаменатель 60 имеют общий делитель 3.$\frac{57 \div 3}{60 \div 3} = \frac{19}{20}$.
Таким образом, вместе трактористы вспашут $\frac{19}{20}$ поля.

Ответ: $\frac{19}{20}$.

5.431 Развивай внимание. Запишите дробь, у которой числитель и знаменатель — однозначные числа. Сложите устно знаменатель с числителем и запишите сумму в числителе новой дроби, а числитель предыдущей дроби в знаменателе. Если сумма числителя и знаменателя получится больше 10, то надо вычесть из неё 9 и т. д.

Например, 14, 51, 65, 26, 82, 18, 91, 19, ... .

Через 3 мин сверьте ответы с товарищем. Выигрывает тот, у кого составлено больше правильных дробей.

Развивай внимание.

В задании описан алгоритм для последовательного создания дробей. Разберем его по шагам.

1. Начало: Выбираем любую дробь, у которой и числитель, и знаменатель являются однозначными числами (от 1 до 9). Обозначим эту дробь как $\frac{a}{b}$.

2. Создание новой дроби: Чтобы получить следующую дробь в последовательности, нужно выполнить следующие действия:

• Новый числитель равен сумме числителя ($a$) и знаменателя ($b$) предыдущей дроби.
• Новый знаменатель равен числителю ($a$) предыдущей дроби.

3. Особое правило: Если сумма числителя и знаменателя ($a+b$) получается равной 10 или больше, то из этой суммы необходимо вычесть 9. Это гарантирует, что новый числитель также будет однозначным числом.

Проверим этот алгоритм на примере из задания: $\frac{1}{4}, \frac{5}{1}, \frac{6}{5}, \frac{2}{6}, \dots$

• Начинаем с $\frac{1}{4}$. Здесь $a=1, b=4$.
• Следующая дробь: числитель $1+4=5$, знаменатель $1$. Получаем $\frac{5}{1}$.
• Для дроби $\frac{5}{1}$: $a=5, b=1$. Числитель $5+1=6$, знаменатель $5$. Получаем $\frac{6}{5}$.
• Для дроби $\frac{6}{5}$: $a=6, b=5$. Сумма $6+5=11$. Так как $11 > 10$, применяем особое правило: новый числитель равен $11-9=2$. Знаменатель равен $6$. Получаем $\frac{2}{6}$.
• Для дроби $\frac{2}{6}$: $a=2, b=6$. Числитель $2+6=8$, знаменатель $2$. Получаем $\frac{8}{2}$.
• Для дроби $\frac{8}{2}$: $a=8, b=2$. Сумма $8+2=10$. Так как $10 \ge 10$, применяем правило: новый числитель равен $10-9=1$. Знаменатель равен $8$. Получаем $\frac{1}{8}$.

Алгоритм работает в точности так, как описано.

Ответ: Чтобы получить следующую дробь из дроби $\frac{a}{b}$, нужно числитель предыдущей дроби ($a$) поставить в знаменатель, а в числитель поставить сумму $a+b$. Если сумма $a+b \ge 10$, то в числитель ставится результат выражения $(a+b)-9$.

Выигрывает тот, у кого составлено больше правильных дробей.

Цель игры — составить как можно больше правильных дробей (тех, у которых числитель меньше знаменателя). Для примера сгенерируем последовательность, начав с дроби $\frac{2}{3}$, и выделим из нее все правильные дроби.

Начальная дробь: $\frac{2}{3}$

Полученная последовательность:

$\frac{2}{3} \rightarrow \frac{2+3}{2} = \frac{5}{2}$

$\frac{5}{2} \rightarrow \frac{5+2}{5} = \frac{7}{5}$

$\frac{7}{5} \rightarrow \frac{(7+5)-9}{7} = \frac{12-9}{7} = \frac{3}{7}$

$\frac{3}{7} \rightarrow \frac{(3+7)-9}{3} = \frac{10-9}{3} = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{3} \rightarrow \frac{1+3}{1} = \frac{4}{1}$

$\frac{4}{1} \rightarrow \frac{4+1}{4} = \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} \rightarrow \frac{5+4}{5} = \frac{9}{5}$

$\frac{9}{5} \rightarrow \frac{(9+5)-9}{9} = \frac{14-9}{9} = \frac{5}{9}$

$\frac{5}{9} \rightarrow \frac{(5+9)-9}{5} = \frac{14-9}{5} = \frac{5}{5}$

$\frac{5}{5} \rightarrow \frac{(5+5)-9}{5} = \frac{10-9}{5} = \frac{1}{5}$

$\frac{1}{5} \rightarrow \frac{1+5}{1} = \frac{6}{1}$

$\frac{6}{1} \rightarrow \frac{6+1}{6} = \frac{7}{6}$

$\frac{7}{6} \rightarrow \frac{(7+6)-9}{7} = \frac{13-9}{7} = \frac{4}{7}$

$\frac{4}{7} \rightarrow \frac{(4+7)-9}{4} = \frac{11-9}{4} = \frac{2}{4}$

$\frac{2}{4} \rightarrow \frac{2+4}{2} = \frac{6}{2}$

Вся последовательность выглядит так: $\frac{2}{3}, \frac{5}{2}, \frac{7}{5}, \frac{3}{7}, \frac{1}{3}, \frac{4}{1}, \frac{5}{4}, \frac{9}{5}, \frac{5}{9}, \frac{5}{5}, \frac{1}{5}, \frac{6}{1}, \frac{7}{6}, \frac{4}{7}, \frac{2}{4}, \frac{6}{2}, \dots$

Теперь выберем из нее все правильные дроби (числитель < знаменателя):

$\frac{2}{3}, \frac{3}{7}, \frac{1}{3}, \frac{5}{9}, \frac{1}{5}, \frac{4}{7}, \frac{2}{4}$

Ответ: Пример правильных дробей, полученных по заданному алгоритму, начиная с $\frac{2}{3}$: $\frac{2}{3}, \frac{3}{7}, \frac{1}{3}, \frac{5}{9}, \frac{1}{5}, \frac{4}{7}, \frac{2}{4}$.

5.432 Вычислите.

Решим пример по действиям:

1. Сначала вычислим значение выражения в первой строке: $7^2 - 5^2$.

$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$

$5^2 = 5 \cdot 5 = 25$

$49 - 25 = 24$

2. Умножим полученный результат на 3:

$24 \cdot 3 = 72$

3. Разделим результат на 4:

$72 : 4 = 18$

4. Прибавим 12:

$18 + 12 = 30$

5. Разделим результат на 2:

$30 : 2 = 15$

Ответ: 15

Решим пример по действиям:

1. Сначала вычислим значение выражения в первой строке: $10^2 - 4^2$.

$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$

$4^2 = 4 \cdot 4 = 16$

$100 - 16 = 84$

2. Разделим полученный результат на 4:

$84 : 4 = 21$

3. Прибавим 27:

$21 + 27 = 48$

4. Разделим результат на 3:

$48 : 3 = 16$

5. Умножим результат на 5:

$16 \cdot 5 = 80$

Ответ: 80

Решим пример по действиям:

1. Сначала вычислим значение выражения в первой строке: $9^2 + 3^2$.

$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$

$3^2 = 3 \cdot 3 = 9$

$81 + 9 = 90$

2. Разделим полученный результат на 6:

$90 : 6 = 15$

3. Прибавим 30:

$15 + 30 = 45$

4. Умножим результат на 2:

$45 \cdot 2 = 90$

5. Разделим результат на 15:

$90 : 15 = 6$

Ответ: 6

Решим пример по действиям:

1. Сначала вычислим значение выражения в первой строке: $4^3 - 14$.

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

$64 - 14 = 50$

2. Разделим полученный результат на 25:

$50 : 25 = 2$

3. Умножим результат на 17:

$2 \cdot 17 = 34$

4. Прибавим 41:

$34 + 41 = 75$

5. Разделим результат на 15:

$75 : 15 = 5$

Ответ: 5

5.433 Найдите числа, которых не хватает на схеме вычислений.

а)

Для решения этой задачи необходимо сначала найти число в центральном квадрате, а затем, используя его, вычислить значения в пустых кругах.

1. Обозначим число в центральном квадрате как $x$. Согласно схеме, стрелка, идущая от квадрата к зелёному кругу с числом 42, имеет пометку «:5». Это означает, что $x : 5 = 42$. Чтобы найти $x$, нужно выполнить обратную операцию — умножение:

$x = 42 \times 5 = 210$

Таким образом, в центральном квадрате находится число 210.

2. Теперь, зная центральное число, можно найти числа в пустых жёлтых кругах, выполнив соответствующие операции деления:

Для верхнего круга: $210 : 7 = 30$.

Для левого круга: $210 : 15 = 14$.

Для нижнего круга: $210 : 3 = 70$.

Ответ: в центральном квадрате — 210; в верхнем круге — 30; в левом круге — 14; в нижнем круге — 70.

б)

Для нахождения всех неизвестных чисел и операций в этой схеме будем двигаться последовательно по стрелкам, выполняя вычисления шаг за шагом.

1. Найдём число в первом пустом круге (нижний левый). Для этого выполним действие, указанное на стрелке от числа 20: $20 : 5 = 4$.

2. Найдём число во втором пустом круге (верхний средний). Стрелка к нему идёт от первого круга (с числом 4) с операцией деления на 4: $4 : 4 = 1$.

3. Найдём число в первом пустом квадратике над стрелкой, идущей от 20 ко второму кругу. Так как во втором круге получилось число 1, то $20 : \square = 1$. Отсюда, число в квадратике равно $20 : 1 = 20$.

4. Найдём число в третьем пустом круге (нижний правый). К числу из второго круга (1) нужно прибавить 31: $1 + 31 = 32$.

5. Найдём число в конечном зелёном квадрате. От числа из третьего круга (32) нужно отнять 22: $32 - 22 = 10$.

6. Найдём число во втором пустом квадратике над длинной стрелкой, идущей от 20 к конечному квадрату. Мы знаем, что в конечном квадрате получилось 10. Значит, $20 : \square = 10$. Отсюда, число в квадратике равно $20 : 10 = 2$.

Ответ: числа в кругах по порядку выполнения действий — 4, 1, 32; число в конечном квадрате — 10; числа в операциях деления (в пустых квадратиках) — 20 и 2.

5.434 Вычислите.

а) 7² - 6²;

б) 3³ - 17;

в) 5² • 8;

г) 64 : 2³.

а) $7^2 - 6^2$

Для решения этого примера необходимо сначала вычислить значения квадратов чисел, а затем выполнить вычитание. Порядок действий определяется правилами математики: сначала возведение в степень, затем вычитание.

1. Возводим 7 в квадрат: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.

2. Возводим 6 в квадрат: $6^2 = 6 \cdot 6 = 36$.

3. Вычитаем из первого результата второй: $49 - 36 = 13$.

Также можно применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$7^2 - 6^2 = (7-6) \cdot (7+6) = 1 \cdot 13 = 13$.

Ответ: 13

б) $3^3 - 17$

Сначала вычисляем значение куба числа, а затем выполняем вычитание.

1. Возводим 3 в куб: $3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$.

2. Вычитаем 17 из полученного результата: $27 - 17 = 10$.

Ответ: 10

в) $5^2 \cdot 8$

Сначала вычисляем значение квадрата числа, а затем выполняем умножение.

1. Возводим 5 в квадрат: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

2. Умножаем результат на 8: $25 \cdot 8 = 200$.

Ответ: 200

г) $64 : 2^2$

Сначала выполняем возведение в степень, а затем деление.

1. Возводим 2 в квадрат: $2^2 = 2 \cdot 2 = 4$.

2. Делим 64 на полученный результат: $64 : 4 = 16$.

Другой способ решения — представить число 64 в виде степени с основанием 2. Так как $64 = 2^6$, то выражение можно переписать:

$64 : 2^2 = 2^6 : 2^2$.

Используя свойство деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^n = a^{m-n}$), получаем:

$2^{6-2} = 2^4 = 16$.

Ответ: 16