Страница 68, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.195 Из села Антоновка на велосипеде выехал рыболов со скоростью 9 км/ч. Постройте шкалу расстояний (одно деление шкалы — 3 км). Покажите, где будет рыболов после начала движения через 1 ч; через 2 ч; через 3 ч и т. д. Через какое время рыболов приедет к озеру, если расстояние от села до озера равно 36 км?

9 · 1 = 9 (км)
9 · 2 = 18 (км)
9 · 3 = 27 (км)
9 · 4 = 36 (км)

Ответ: через 4 ч.

Построение шкалы расстояний и определение положения рыболова

Для решения этой части задачи сначала вычислим, какое расстояние проедет рыболов за каждый указанный промежуток времени, а затем отобразим это на шкале. Скорость рыболова $v = 9$ км/ч. Расстояние $S$ вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

1. Расчет расстояний:

- Через 1 час: $S_1 = 9 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 9$ км.

- Через 2 часа: $S_2 = 9 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 18$ км.

- Через 3 часа: $S_3 = 9 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 27$ км.

2. Построение шкалы:

Согласно условию, одно деление шкалы — это 3 км. Начальная точка (0 км) — село Антоновка.

- Положение через 1 час (9 км) соответствует $9 \text{ км} \div 3 \text{ км/деление} = 3$-му делению.

- Положение через 2 часа (18 км) соответствует $18 \text{ км} \div 3 \text{ км/деление} = 6$-му делению.

- Положение через 3 часа (27 км) соответствует $27 \text{ км} \div 3 \text{ км/деление} = 9$-му делению.

- Озеро находится на расстоянии 36 км, что соответствует $36 \text{ км} \div 3 \text{ км/деление} = 12$-му делению.

Визуальное представление шкалы расстояний с отмеченными положениями рыболова:

Антоновка 1 ч 2 ч 3 ч Озеро
v v v v v
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 (км)

Ответ: Через 1 час рыболов будет на отметке 9 км, через 2 часа — на 18 км, через 3 часа — на 27 км. Это показано на построенной шкале.

Через какое время рыболов приедет к озеру?

Для нахождения времени в пути используем формулу $t = S / v$, где $S$ — это общее расстояние, а $v$ — скорость.

- Расстояние до озера: $S = 36$ км.

- Скорость рыболова: $v = 9$ км/ч.

Выполняем расчет:

$t = \frac{36 \text{ км}}{9 \text{ км/ч}} = 4$ часа.

Ответ: Рыболов приедет к озеру через 4 часа.

2.196 Найдите верное неравенство:

а) 84 008 < 48 • (359 - 68);

б) 7508 + 17 543 < 26 308.

а) 84008 < 48 · (359 - 68) — неверно

84008 < 23968 — неверно

б) 7508 + 17543 < 26305 — верно

25051 < 26308 — верно

Чтобы найти верное неравенство, необходимо проверить истинность каждого из них.

а) $84 008 < 48 \cdot (359 - 68)$

1. Сначала выполним действие в скобках:

$359 - 68 = 291$

2. Далее выполним умножение:

$48 \cdot 291 = 13 968$

3. Подставим полученное значение в исходное неравенство и проверим его:

$84 008 < 13 968$

Это утверждение ложно, так как число $84 008$ больше числа $13 968$.

Ответ: неравенство неверно.

б) $7508 + 17 543 < 26 308$

1. Выполним сложение в левой части неравенства:

$7508 + 17 543 = 25 051$

2. Подставим полученное значение в исходное неравенство и проверим его:

$25 051 < 26 308$

Это утверждение истинно, так как число $25 051$ действительно меньше числа $26 308$.

Ответ: неравенство верно.

2.197 Вычислите:

а) 806 : 31 + 23 • 17;

б) (2597 + 4102) : 231 + 699;

в) 43 • 11 + 51 • 15;

г) (318 - 263) • 31 - 65.

$\mathrm{а}) 806 \stackrel{1}{:} 31 \stackrel{3}{+} 23 \stackrel{2}{·} 17 = 417$

1)

2)

3)

$\mathrm{б}) (2591 \stackrel{1}{+} 4102) \stackrel{2}{:} 231 \stackrel{3}{+} 699 = 728$

1)

2)

3)

$\mathrm{в}) 43 \stackrel{1}{·} 11 \stackrel{3}{+} 51 \stackrel{2}{·} 15 = 1238$

1)

2)

3)

$\mathrm{г}) (318 \stackrel{1}{-} 263) \stackrel{2}{·} 31 \stackrel{3}{-} 65 = 1640$

1)

2)

3)

а)

Для вычисления значения выражения $806 : 31 + 23 \cdot 17$ необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются умножение и деление (слева направо), а затем сложение.

1. Выполним деление: $806 : 31 = 26$.
2. Выполним умножение: $23 \cdot 17 = 391$.
3. Выполним сложение результатов: $26 + 391 = 417$.

Ответ: 417

б)

Для вычисления значения выражения $(2597 + 4102) : 231 + 699$ сначала выполняем действие в скобках, затем деление и в конце сложение.

1. Выполним сложение в скобках: $2597 + 4102 = 6699$.
2. Выполним деление: $6699 : 231 = 29$.
3. Выполним сложение: $29 + 699 = 728$.

Ответ: 728

в)

Для вычисления значения выражения $43 \cdot 11 + 51 \cdot 15$ сначала выполняются операции умножения, а затем их результаты складываются.

1. Выполним первое умножение: $43 \cdot 11 = 473$.
2. Выполним второе умножение: $51 \cdot 15 = 765$.
3. Выполним сложение результатов: $473 + 765 = 1238$.

Ответ: 1238

г)

Для вычисления значения выражения $(318 - 263) \cdot 31 - 65$ сначала выполняем действие в скобках, затем умножение и в конце вычитание.

1. Выполним вычитание в скобках: $318 - 263 = 55$.
2. Выполним умножение: $55 \cdot 31 = 1705$.
3. Выполним вычитание: $1705 - 65 = 1640$.

Ответ: 1640

1 Составьте выражение для вычисления периметра Р треугольника АВС. Найдите недостающие значения в таблице:

Р = АВ + ВС + АС

1) Р = 2 + 3 + 4 = 9 (см).

Выражение для вычисления периметра P треугольника ABC

Периметр $P$ треугольника — это сумма длин всех его сторон. Для треугольника $ABC$ его сторонами являются $AB$, $BC$ и $AC$. Таким образом, выражение для вычисления его периметра будет:

$P = AB + BC + AC$

Примечание: В предоставленной таблице третья сторона обозначена как $CD$, что является нетипичным для треугольника $ABC$. Для выполнения расчетов по таблице мы будем считать, что $CD$ — это длина третьей стороны треугольника.

Ответ: Выражение для вычисления периметра треугольника $ABC$: $P = AB + BC + AC$.

Нахождение недостающих значений в таблице

Расчет для первой строки

Даны стороны: $AB = 2$ см, $BC = 3$ см, $CD = 4$ см. Необходимо найти периметр $P$.

Решение: Так как все величины даны в одних единицах измерения, просто складываем их длины.

$P = 2 \text{ см} + 3 \text{ см} + 4 \text{ см} = 9 \text{ см}$

Ответ: 9 см.

Расчет для второй строки

Даны: $AB = 4$ дм, $BC = 50$ см, периметр $P = 12$ дм. Необходимо найти длину стороны $CD$.

Решение: Сначала приведем все значения к одной единице измерения, например, к дециметрам (дм). Учитывая, что $1$ дм $= 10$ см, получаем $BC = 50 \text{ см} = 5 \text{ дм}$.

Теперь найдем $CD$ из формулы периметра: $CD = P - AB - BC$.

$CD = 12 \text{ дм} - 4 \text{ дм} - 5 \text{ дм} = 3 \text{ дм}$

Ответ: 3 дм.

Расчет для третьей строки

Даны стороны: $AB = 15$ см, $BC = 10$ см, $CD = 2$ дм $1$ см. Необходимо найти периметр $P$.

Решение: Приведем все значения к сантиметрам (см). Учитывая, что $1$ дм $= 10$ см, получаем $CD = 2 \text{ дм } 1 \text{ см} = (2 \cdot 10 + 1) \text{ см} = 21 \text{ см}$.

Теперь найдем периметр $P$, сложив длины всех сторон.

$P = 15 \text{ см} + 10 \text{ см} + 21 \text{ см} = 46 \text{ см}$

Ответ: 46 см.

Расчет для четвертой строки

Даны: $AB = 4$ м, $CD = 45$ дм, периметр $P = 14$ м $5$ дм. Необходимо найти длину стороны $BC$.

Решение: Приведем все значения к дециметрам (дм). Учитывая, что $1$ м $= 10$ дм, получаем:

$AB = 4 \text{ м} = 40 \text{ дм}$

$P = 14 \text{ м } 5 \text{ дм} = (14 \cdot 10 + 5) \text{ дм} = 145 \text{ дм}$

Теперь найдем $BC$ из формулы периметра: $BC = P - AB - CD$.

$BC = 145 \text{ дм} - 40 \text{ дм} - 45 \text{ дм} = 145 \text{ дм} - 85 \text{ дм} = 60 \text{ дм}$

Это значение также можно записать как $6$ м.

Ответ: 60 дм.

2* На рисунке 2.17 изображён план пруда. Составьте числовое выражение для вычисления периметра пруда. Найдите значение этого выражения.

МО = МЕ - ОЕ = МЕ - DC = 40 - 11 = 29 (м);

АХ = RS = KP = NH = AB - MO = 34 - 29 = 5 (м);

Р = 34 + 23 + 11 + 27 + 40 + 18 + 9 + 14 + 9 + 5 + 5 + 5 = $(23 \stackrel{50}{+} 27) +$ $(34 \stackrel{45}{+} 11) + 40 +$$\stackrel{36}{(18 + 9 + 9)} +$14 + 15 = 50 + 45 + 40 + 36 +14 +15 = (50 + 40) + (45 + 15) + (36 + 14) = 90 + 60 + 50 = 200 (м);

Ответ: 200 м.

1 Запишите сумму:

а) 100 - 45 и 200 + 30;

б) a + 10 и 100;

в) x + 15 и y - 8;

г) p - 25 и s + 30.

а) (100 - 45) + (200 + 30);

б) (а + 10) + 100;

в) (х + 15) + (у - 8);

г) (р - 25) + (s + 30).

2 Запишите выражение: сумма t и 326 уменьшена на 309.

а) Какой задаче соответствует составленное выражение?

1. Купили две книги. Цена одной книги меньше цены другой книги на 326 р. Сколько заплатили за покупку, если была скидка 309 р.?
2. Две книги вместе стоили (t - 326) р. Сколько стоит первая книга, если вторая книга стоит 309 р.?

б) Упростите составленное выражение и найдите его значение при t = 390; 1798.

Пусть первая стоит t р., тогда стоимость второй книги на 326 р. больше, то есть (t + 326) р.;

(t + (t + 326)) р. — стоимость покупки без скидки;

(t + (t + 326)) - 309) р. — стоимость покупки со скидкой;

(t + (t + 326)) - 309) = (t + t) + 326) - 309 = (2t + 326) - 309 = 2t + (326 - 309) = (2t + 17) р.

(t - 326) - 309 = t - 326 - 309 = t - (326 + 309) - (t - 635) p.

Ответ: Составленное выражение не соответствует ни одной задаче.

б) (t + 326) - 309 = t + (326 - 309) = (t + 17) p.

при t = 390;

390 + 17 = 390 + (10 + 7) = (390 + 10) + 7 = 400 + 7 = 407;

при t = 1798;

1798 + 17 = 1815

Ответ: (t + 17) р., 407; 1815.

5.409 Найдите сумму или разность:

а) Чтобы найти сумму дробей $\frac{1}{5} + \frac{1}{7}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 5 и 7 равно их произведению, так как это простые числа.
Общий знаменатель: $НОК(5, 7) = 5 \times 7 = 35$.
Приведем каждую дробь к знаменателю 35, умножив числитель и знаменатель на дополнительный множитель:
$\frac{1}{5} = \frac{1 \times 7}{5 \times 7} = \frac{7}{35}$
$\frac{1}{7} = \frac{1 \times 5}{7 \times 5} = \frac{5}{35}$
Теперь сложим полученные дроби:
$\frac{7}{35} + \frac{5}{35} = \frac{7+5}{35} = \frac{12}{35}$
Ответ: $\frac{12}{35}$

б) Для сложения дробей $\frac{1}{4} + \frac{1}{9}$ найдем общий знаменатель. Числа 4 и 9 являются взаимно простыми, поэтому их НОК равно их произведению.
Общий знаменатель: $НОК(4, 9) = 4 \times 9 = 36$.
Приводим дроби к знаменателю 36:
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 9}{4 \times 9} = \frac{9}{36}$
$\frac{1}{9} = \frac{1 \times 4}{9 \times 4} = \frac{4}{36}$
Складываем дроби:
$\frac{9}{36} + \frac{4}{36} = \frac{9+4}{36} = \frac{13}{36}$
Ответ: $\frac{13}{36}$

в) Чтобы найти сумму $\frac{4}{7} + \frac{4}{9}$, приведем дроби к общему знаменателю. НОК для 7 и 9 равно их произведению.
Общий знаменатель: $НОК(7, 9) = 7 \times 9 = 63$.
Приводим дроби к знаменателю 63:
$\frac{4}{7} = \frac{4 \times 9}{7 \times 9} = \frac{36}{63}$
$\frac{4}{9} = \frac{4 \times 7}{9 \times 7} = \frac{28}{63}$
Складываем дроби:
$\frac{36}{63} + \frac{28}{63} = \frac{36+28}{63} = \frac{64}{63}$
Это неправильная дробь, которую можно записать как смешанное число: $1\frac{1}{63}$.
Ответ: $\frac{64}{63}$

г) Для сложения $\frac{1}{2} + \frac{5}{7}$ найдем общий знаменатель. НОК для 2 и 7 равно их произведению.
Общий знаменатель: $НОК(2, 7) = 2 \times 7 = 14$.
Приводим дроби к знаменателю 14:
$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 7}{2 \times 7} = \frac{7}{14}$
$\frac{5}{7} = \frac{5 \times 2}{7 \times 2} = \frac{10}{14}$
Складываем дроби:
$\frac{7}{14} + \frac{10}{14} = \frac{7+10}{14} = \frac{17}{14}$
В виде смешанного числа: $1\frac{3}{14}$.
Ответ: $\frac{17}{14}$

д) Прибавление нуля к любому числу не изменяет это число.
$\frac{9}{11} + 0 = \frac{9}{11}$
Ответ: $\frac{9}{11}$

е) Чтобы найти разность $\frac{3}{4} - \frac{3}{5}$, приведем дроби к общему знаменателю. НОК для 4 и 5 равно их произведению.
Общий знаменатель: $НОК(4, 5) = 4 \times 5 = 20$.
Приводим дроби к знаменателю 20:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 4}{5 \times 4} = \frac{12}{20}$
Вычитаем дроби:
$\frac{15}{20} - \frac{12}{20} = \frac{15-12}{20} = \frac{3}{20}$
Ответ: $\frac{3}{20}$

ж) Для вычитания $\frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ найдем общий знаменатель. НОК для 3 и 4 равно их произведению.
Общий знаменатель: $НОК(3, 4) = 3 \times 4 = 12$.
Приводим дроби к знаменателю 12:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
Вычитаем дроби:
$\frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4-3}{12} = \frac{1}{12}$
Ответ: $\frac{1}{12}$

з) Чтобы найти разность $\frac{3}{7} - \frac{2}{9}$, приведем дроби к общему знаменателю. НОК для 7 и 9 равно их произведению.
Общий знаменатель: $НОК(7, 9) = 7 \times 9 = 63$.
Приводим дроби к знаменателю 63:
$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 9}{7 \times 9} = \frac{27}{63}$
$\frac{2}{9} = \frac{2 \times 7}{9 \times 7} = \frac{14}{63}$
Вычитаем дроби:
$\frac{27}{63} - \frac{14}{63} = \frac{27-14}{63} = \frac{13}{63}$
Ответ: $\frac{13}{63}$

и) Чтобы найти разность $\frac{4}{9} - \frac{2}{5}$, приведем дроби к общему знаменателю. НОК для 9 и 5 равно их произведению.
Общий знаменатель: $НОК(9, 5) = 9 \times 5 = 45$.
Приводим дроби к знаменателю 45:
$\frac{4}{9} = \frac{4 \times 5}{9 \times 5} = \frac{20}{45}$
$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 9}{5 \times 9} = \frac{18}{45}$
Вычитаем дроби:
$\frac{20}{45} - \frac{18}{45} = \frac{20-18}{45} = \frac{2}{45}$
Ответ: $\frac{2}{45}$

к) Вычитание нуля из любого числа не изменяет это число.
$\frac{11}{13} - 0 = \frac{11}{13}$
Ответ: $\frac{11}{13}$

л) Для сложения $\frac{2}{3} + \frac{3}{5}$ найдем общий знаменатель. НОК для 3 и 5 равно их произведению.
Общий знаменатель: $НОК(3, 5) = 3 \times 5 = 15$.
Приводим дроби к знаменателю 15:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$
$\frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15}$
Складываем дроби:
$\frac{10}{15} + \frac{9}{15} = \frac{10+9}{15} = \frac{19}{15}$
В виде смешанного числа: $1\frac{4}{15}$.
Ответ: $\frac{19}{15}$

м) Чтобы найти сумму $\frac{2}{3} + \frac{3}{12}$, приведем дроби к общему знаменателю. НОК для 3 и 12 равно 12, так как 12 делится на 3.
Приведем первую дробь к знаменателю 12. Вторая дробь уже имеет нужный знаменатель.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$
Складываем дроби:
$\frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{8+3}{12} = \frac{11}{12}$
Ответ: $\frac{11}{12}$

5.410 Отметьте на координатной прямой (рис. 5.58) точки $M\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)$ и $N\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a}\right).$

Для того чтобы отметить точки $M(\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$ и $N(\frac{1}{c} - \frac{1}{a})$ на координатной прямой, необходимо выполнить геометрические построения, основанные на сложении и вычитании отрезков. Из рисунка видно, что $0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{c}$.

Точка M

Координата точки M представляет собой сумму двух положительных величин: $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{c}$. Чтобы найти положение точки M, нужно к координате $\frac{1}{c}$ прибавить величину $\frac{1}{a}$. Геометрически это эквивалентно откладыванию от точки с координатой $\frac{1}{c}$ вправо (в сторону увеличения) отрезка, длина которого равна расстоянию от 0 до $\frac{1}{a}$. Так как $\frac{1}{a} > 0$, точка M будет расположена правее точки $\frac{1}{c}$.

Ответ: Точка M расположена на координатной прямой правее точки с координатой $\frac{1}{c}$ на расстоянии, равном $\frac{1}{a}$ (то есть длине отрезка от 0 до $\frac{1}{a}$).

Точка N

Координата точки N представляет собой разность двух величин: $\frac{1}{c} - \frac{1}{a}$. Чтобы найти положение точки N, нужно из координаты $\frac{1}{c}$ вычесть величину $\frac{1}{a}$. Геометрически это означает, что от точки с координатой $\frac{1}{c}$ нужно отложить влево (в сторону уменьшения) отрезок, длина которого равна расстоянию от 0 до $\frac{1}{a}$.

Также можно заметить, что значение $\frac{1}{c} - \frac{1}{a}$ равно длине отрезка, заключенного между точками $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{c}$. Следовательно, чтобы отметить точку N, можно измерить расстояние между точками $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{c}$ и отложить его от начала координат (точки 0) вправо. Поскольку $\frac{1}{c} > \frac{1}{a}$, разность положительна, и точка N находится правее 0.

Ответ: Точка N расположена на координатной прямой правее точки 0 на расстоянии, равном длине отрезка между точками $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{c}$.

Итоговое расположение точек на координатной прямой показано на рисунке ниже:

5.411 Вычислите:

а)

Чтобы сложить дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{5}{6}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3 и 6 — это 6. Дополнительный множитель для первой дроби равен $6 \div 3 = 2$. Вторая дробь уже имеет знаменатель 6, поэтому ее оставляем без изменений.

$\frac{1}{3} + \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5}{6} = \frac{2}{6} + \frac{5}{6} = \frac{2+5}{6} = \frac{7}{6}$.

Полученную неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{7}{6}$.

б)

Чтобы вычесть дробь $\frac{1}{2}$ из дроби $\frac{5}{6}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 2 — это 6. Дополнительный множитель для второй дроби равен $6 \div 2 = 3$.

$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$\frac{2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

в)

Для вычитания дробей $\frac{9}{10}$ и $\frac{4}{5}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 10 и 5 — это 10. Дополнительный множитель для второй дроби равен $10 \div 5 = 2$.

$\frac{9}{10} - \frac{4}{5} = \frac{9}{10} - \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{9}{10} - \frac{8}{10} = \frac{9-8}{10} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.

г)

Для вычитания дробей $\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{12}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 6 и 12 — это 12. Дополнительный множитель для первой дроби равен $12 \div 6 = 2$.

$\frac{5}{6} - \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{5}{12} = \frac{10}{12} - \frac{5}{12} = \frac{10-5}{12} = \frac{5}{12}$.

Ответ: $\frac{5}{12}$.

д)

Для сложения дробей $\frac{11}{18}$ и $\frac{1}{6}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 18 и 6 — это 18. Дополнительный множитель для второй дроби равен $18 \div 6 = 3$.

$\frac{11}{18} + \frac{1}{6} = \frac{11}{18} + \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{11}{18} + \frac{3}{18} = \frac{11+3}{18} = \frac{14}{18}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{14 \div 2}{18 \div 2} = \frac{7}{9}$.

Ответ: $\frac{7}{9}$.

е)

Для сложения дробей $\frac{5}{12}$ и $\frac{3}{4}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 12 и 4 — это 12. Дополнительный множитель для второй дроби равен $12 \div 4 = 3$.

$\frac{5}{12} + \frac{3}{4} = \frac{5}{12} + \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{5}{12} + \frac{9}{12} = \frac{5+9}{12} = \frac{14}{12}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{14 \div 2}{12 \div 2} = \frac{7}{6}$.

Эту неправильную дробь можно представить в виде смешанного числа: $\frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{7}{6}$.

ж)

Для вычитания дробей $\frac{4}{5}$ и $\frac{7}{15}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 5 и 15 — это 15. Дополнительный множитель для первой дроби равен $15 \div 5 = 3$.

$\frac{4}{5} - \frac{7}{15} = \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{7}{15} = \frac{12}{15} - \frac{7}{15} = \frac{12-7}{15} = \frac{5}{15}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{5 \div 5}{15 \div 5} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$.

з)

Для сложения дробей $\frac{11}{21}$ и $\frac{3}{7}$ найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 21 и 7 — это 21. Дополнительный множитель для второй дроби равен $21 \div 7 = 3$.

$\frac{11}{21} + \frac{3}{7} = \frac{11}{21} + \frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{11}{21} + \frac{9}{21} = \frac{11+9}{21} = \frac{20}{21}$.

Дробь является несократимой, так как числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{20}{21}$.

5.412 Выполните действия:

а) Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 9 и 12. Разложим их на простые множители: $9 = 3 \cdot 3$, $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$. НОК(9, 12) = $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 36$.
Приведем дроби к знаменателю 36. Дополнительный множитель для первой дроби: $36 \div 9 = 4$. Дополнительный множитель для второй дроби: $36 \div 12 = 3$.
$\frac{7}{9} - \frac{5}{12} = \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} - \frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{28}{36} - \frac{15}{36} = \frac{28 - 15}{36} = \frac{13}{36}$.
Ответ: $\frac{13}{36}$.

б) Найдем НОК для знаменателей 12 и 20. Разложим на множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3$, $20 = 2 \cdot 2 \cdot 5$. НОК(12, 20) = $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Приведем дроби к знаменателю 60. Дополнительный множитель для первой дроби: $60 \div 12 = 5$. Для второй: $60 \div 20 = 3$.
$\frac{11}{12} - \frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 5}{12 \cdot 5} - \frac{11 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{55}{60} - \frac{33}{60} = \frac{55 - 33}{60} = \frac{22}{60}$.
Сократим полученную дробь на 2: $\frac{22 \div 2}{60 \div 2} = \frac{11}{30}$.
Ответ: $\frac{11}{30}$.

в) Найдем НОК для знаменателей 6 и 8. НОК(6, 8) = 24.
Приведем дроби к знаменателю 24. Дополнительный множитель для первой дроби: $24 \div 6 = 4$. Для второй: $24 \div 8 = 3$.
$\frac{5}{6} + \frac{7}{8} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{20}{24} + \frac{21}{24} = \frac{20 + 21}{24} = \frac{41}{24}$.
Так как числитель больше знаменателя, выделим целую часть: $\frac{41}{24} = 1\frac{17}{24}$.
Ответ: $1\frac{17}{24}$.

г) Найдем НОК для знаменателей 21 и 15. Разложим на множители: $21 = 3 \cdot 7$, $15 = 3 \cdot 5$. НОК(21, 15) = $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$.
Приведем дроби к знаменателю 105. Дополнительный множитель для первой дроби: $105 \div 21 = 5$. Для второй: $105 \div 15 = 7$.
$\frac{17}{21} - \frac{8}{15} = \frac{17 \cdot 5}{21 \cdot 5} - \frac{8 \cdot 7}{15 \cdot 7} = \frac{85}{105} - \frac{56}{105} = \frac{85 - 56}{105} = \frac{29}{105}$.
Ответ: $\frac{29}{105}$.

д) Для вычитания смешанных чисел $13\frac{21}{22} - 11\frac{3}{55}$ вычтем отдельно целые и дробные части.
Вычитаем целые части: $13 - 11 = 2$.
Вычитаем дробные части: $\frac{21}{22} - \frac{3}{55}$. Найдем НОК для 22 и 55. $22 = 2 \cdot 11$, $55 = 5 \cdot 11$. НОК(22, 55) = $2 \cdot 5 \cdot 11 = 110$.
Приведем дроби к знаменателю 110: $\frac{21 \cdot 5}{22 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 2}{55 \cdot 2} = \frac{105}{110} - \frac{6}{110} = \frac{99}{110}$.
Сократим дробь: $\frac{99 \div 11}{110 \div 11} = \frac{9}{10}$.
Сложим результат: $2 + \frac{9}{10} = 2\frac{9}{10}$.
Ответ: $2\frac{9}{10}$.

е) Для сложения смешанных чисел $8\frac{5}{40} + 7\frac{10}{60}$ сначала упростим (сократим) их дробные части.
$\frac{5}{40} = \frac{5 \div 5}{40 \div 5} = \frac{1}{8}$.
$\frac{10}{60} = \frac{10 \div 10}{60 \div 10} = \frac{1}{6}$.
Теперь сложим $8\frac{1}{8} + 7\frac{1}{6}$.
Складываем целые части: $8 + 7 = 15$.
Складываем дробные части: $\frac{1}{8} + \frac{1}{6}$. НОК(8, 6) = 24.
$\frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{3}{24} + \frac{4}{24} = \frac{7}{24}$.
Сложим результат: $15 + \frac{7}{24} = 15\frac{7}{24}$.
Ответ: $15\frac{7}{24}$.

5.413 Какая часть фигуры не закрашена на рисунке 5.59?

Чтобы определить, какая часть фигуры не закрашена, необходимо посчитать общее количество равных частей, на которые она разделена, и количество незакрашенных частей. Затем нужно найти отношение количества незакрашенных частей к их общему числу.

Фигура на рисунке разделена на множество одинаковых по размеру треугольников.

1. Сначала посчитаем общее количество таких треугольников. На рисунке 8 закрашенных (розовых) треугольников и 8 незакрашенных (белых). Таким образом, общее количество равных частей составляет $8 + 8 = 16$.

2. Теперь посчитаем количество незакрашенных (белых) треугольников. Их на рисунке 8.

3. Доля незакрашенных треугольников от общего числа выражается дробью, где в числителе — количество незакрашенных частей, а в знаменателе — общее количество частей. Получаем дробь $\frac{8}{16}$.

4. Сократим полученную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8: $ \frac{8}{16} = \frac{8 \div 8}{16 \div 8} = \frac{1}{2} $

Следовательно, не закрашена половина фигуры.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

5.414 Найдите значение выражения:

а) $\frac{23}{30} - (\frac{1}{6} + \frac{2}{5})$

Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 5 равен 30.

$\frac{1}{6} + \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{2 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{5}{30} + \frac{12}{30} = \frac{5 + 12}{30} = \frac{17}{30}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{23}{30} - \frac{17}{30} = \frac{23 - 17}{30} = \frac{6}{30}$

Сократим полученную дробь на 6:

$\frac{6}{30} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

б) $\frac{11}{42} + (\frac{3}{7} - \frac{1}{6})$

Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 6 равен 42.

$\frac{3}{7} - \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 6}{7 \cdot 6} - \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{18}{42} - \frac{7}{42} = \frac{18 - 7}{42} = \frac{11}{42}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{11}{42} + \frac{11}{42} = \frac{11 + 11}{42} = \frac{22}{42}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{22}{42} = \frac{11}{21}$

Ответ: $\frac{11}{21}$

в) $\frac{11}{15} - (\frac{2}{3} - \frac{3}{5})$

Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 равен 15.

$\frac{2}{3} - \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} - \frac{9}{15} = \frac{10 - 9}{15} = \frac{1}{15}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{11}{15} - \frac{1}{15} = \frac{11 - 1}{15} = \frac{10}{15}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

г) $\frac{5}{18} + (\frac{2}{9} + \frac{1}{2})$

Сначала выполним действие в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 2 равен 18.

$\frac{2}{9} + \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2}{9 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{4}{18} + \frac{9}{18} = \frac{4 + 9}{18} = \frac{13}{18}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{5}{18} + \frac{13}{18} = \frac{5 + 13}{18} = \frac{18}{18} = 1$

Ответ: $1$

5.415 Вычислите:

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для выражения $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{5}{8}$ найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ). Знаменатели дробей: 2, 4, 8. Наименьшее общее кратное для этих чисел — 8.
Приведем каждую дробь к знаменателю 8, домножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель:
Для $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель равен $8 \div 2 = 4$, получаем $\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8}$.
Для $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель равен $8 \div 4 = 2$, получаем $\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$.
Дробь $\frac{5}{8}$ уже имеет знаменатель 8.
Теперь выполним сложение:
$\frac{4}{8} + \frac{6}{8} + \frac{5}{8} = \frac{4+6+5}{8} = \frac{15}{8}$.
Полученная дробь — неправильная. Выделим из нее целую часть:
$\frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$.
Ответ: $1\frac{7}{8}$

б) Для выражения $\frac{23}{24} - \frac{5}{12} - \frac{1}{6}$ нужно привести дроби к общему знаменателю. НОЗ для 24, 12 и 6 равен 24.
Приведем дроби к знаменателю 24:
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$.
$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$.
Теперь выполним вычитание:
$\frac{23}{24} - \frac{10}{24} - \frac{4}{24} = \frac{23 - 10 - 4}{24} = \frac{9}{24}$.
Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 9 и 24 равен 3:
$\frac{9 \div 3}{24 \div 3} = \frac{3}{8}$.
Ответ: $\frac{3}{8}$

в) Для выражения $\frac{5}{8} + \frac{1}{3} + \frac{7}{12}$ найдем общий знаменатель. НОЗ для 8, 3 и 12 равен 24.
Приведем дроби к знаменателю 24:
$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{8}{24}$.
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$.
Сложим полученные дроби:
$\frac{15}{24} + \frac{8}{24} + \frac{14}{24} = \frac{15+8+14}{24} = \frac{37}{24}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$\frac{37}{24} = 1\frac{13}{24}$.
Ответ: $1\frac{13}{24}$

г) В выражении $\frac{5}{6} - \frac{1}{8} + \frac{5}{12}$ найдем общий знаменатель для 6, 8 и 12. НОЗ равен 24.
Приведем дроби к знаменателю 24:
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{20}{24}$.
$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24}$.
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$.
Выполним действия:
$\frac{20}{24} - \frac{3}{24} + \frac{10}{24} = \frac{20 - 3 + 10}{24} = \frac{27}{24}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{27 \div 3}{24 \div 3} = \frac{9}{8}$.
Выделим целую часть: $\frac{9}{8} = 1\frac{1}{8}$.
Ответ: $1\frac{1}{8}$

д) В выражении $3\frac{5}{7} + 4\frac{9}{14} - 2\frac{5}{21}$ можно выполнять действия с целыми и дробными частями отдельно.
Действия с целыми частями: $3 + 4 - 2 = 5$.
Действия с дробными частями: $\frac{5}{7} + \frac{9}{14} - \frac{5}{21}$.
Общий знаменатель для 7, 14, 21 — это 42.
Приведем дроби к знаменателю 42:
$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{30}{42}$.
$\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{27}{42}$.
$\frac{5}{21} = \frac{5 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{10}{42}$.
Теперь выполним действия с дробями:
$\frac{30}{42} + \frac{27}{42} - \frac{10}{42} = \frac{30+27-10}{42} = \frac{47}{42}$.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{47}{42} = 1\frac{5}{42}$.
Сложим результат целой части и результат дробной части: $5 + 1\frac{5}{42} = 6\frac{5}{42}$.
Ответ: $6\frac{5}{42}$

е) В выражении $2\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - 1\frac{1}{8}$ сгруппируем целые и дробные части: $(2 - 1) + (\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8})$.
Вычислим разность целых частей: $2 - 1 = 1$.
Теперь выполним действия с дробными частями: $\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{8}$.
Общий знаменатель для 3, 5, 8 — это их произведение, так как они попарно взаимно просты: $3 \cdot 5 \cdot 8 = 120$.
Приведем дроби к знаменателю 120:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 40}{3 \cdot 40} = \frac{40}{120}$.
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 24}{5 \cdot 24} = \frac{24}{120}$.
$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 15}{8 \cdot 15} = \frac{15}{120}$.
Выполним действия с дробями:
$\frac{40}{120} + \frac{24}{120} - \frac{15}{120} = \frac{40+24-15}{120} = \frac{49}{120}$.
Сложим результат целой и дробной частей: $1 + \frac{49}{120} = 1\frac{49}{120}$.
Ответ: $1\frac{49}{120}$