Страница 66, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.170 Установите соответствие между числами 1874, 29 769, 1875 и 30 759 и значением разности:

а) 30 546 - 777;

б) 2651 - 777;

в) 31 536 - 777;

г) 2652 - 777.

а)

б)

в)

г)

Установили соответствие между числами и значениями разности можно и не вычитая. Заметим, что вычитают одно и то же число 777. Если мы будем вычитать из большего числа, то и получать мы будем больше число. Таким образам, получаем следующее соответствие:

Для установления соответствия необходимо вычислить значение каждой разности и сопоставить результат с предложенными числами: 1874, 29769, 1875 и 30759.

а) Вычислим разность $30546 - 777$.

Выполним вычитание в столбик:
1. Единицы: из 6 вычесть 7 нельзя, занимаем 1 у десятков. $16 - 7 = 9$.
2. Десятки: было 4, осталось 3. Из 3 вычесть 7 нельзя, занимаем 1 у сотен. $13 - 7 = 6$.
3. Сотни: было 5, осталось 4. Из 4 вычесть 7 нельзя, занимаем 1 у тысяч. Так как в разряде тысяч стоит 0, занимаем у десятков тысяч. В разряде сотен получаем 14. $14 - 7 = 7$.
4. Тысячи: после заёма осталось 9. $9 - 0 = 9$.
5. Десятки тысяч: было 3, осталась 2. $2 - 0 = 2$.
В результате получаем $29769$. Это число есть в списке для сопоставления.

Ответ: $30546 - 777 = 29769$.

б) Вычислим разность $2651 - 777$.

При вычитании $2651 - 777$ получаем $1874$.
Данное значение соответствует числу $1874$ из предложенного списка.

Ответ: $2651 - 777 = 1874$.

в) Вычислим разность $31536 - 777$.

При вычитании $31536 - 777$ получаем $30759$.
Данное значение соответствует числу $30759$ из предложенного списка.

Ответ: $31536 - 777 = 30759$.

г) Вычислим разность $2652 - 777$.

При вычитании $2652 - 777$ получаем $1875$.
Данное значение соответствует числу $1875$ из предложенного списка.

Ответ: $2652 - 777 = 1875$.

Итоговое соответствие:

• а) $30546 - 777$ $\rightarrow$ $29769$
• б) $2651 - 777$ $\rightarrow$ $1874$
• в) $31536 - 777$ $\rightarrow$ $30759$
• г) $2652 - 777$ $\rightarrow$ $1875$

2.171 Как изменится сумма, если:

а) одно из слагаемых уменьшить на 6;

б) одно слагаемое уменьшить на 6, а второе — на 10;

в) одно слагаемое уменьшить на 11, а второе увеличить на 11?

Пусть а + в — сумма

а) (а - 6) + в = (а + в) - 6

Ответ: сумма уменьшится на 6.

б) (а - 6) + (в - 10) = (а + в) - (6 + 10) = (а + в) - 16

Ответ: сумма уменьшится на 16.

в) (а - 11) - (в + 11) = (а + в) + (11 - 11) = а + в

Ответ: сумма не изменится.

а) одно из слагаемых уменьшить на 6;
Пусть исходная сумма состоит из слагаемых $a$ и $b$, и равна $S = a + b$. Если одно из слагаемых, например $a$, уменьшить на 6, то оно станет равным $a - 6$. Тогда новая сумма $S_{нов}$ будет вычисляться как:
$S_{нов} = (a - 6) + b$
Используя переместительный закон сложения, выражение можно переписать:
$S_{нов} = (a + b) - 6$
Так как $a + b$ является исходной суммой $S$, то:
$S_{нов} = S - 6$
Таким образом, если одно из слагаемых уменьшить на 6, то и вся сумма уменьшится на 6.

Ответ: сумма уменьшится на 6.

б) одно слагаемое уменьшить на 6, а второе — на 10;
Пусть исходная сумма равна $S = a + b$. Уменьшим первое слагаемое $a$ на 6, а второе слагаемое $b$ на 10. Новые слагаемые будут $(a - 6)$ и $(b - 10)$. Новая сумма $S_{нов}$ будет равна:
$S_{нов} = (a - 6) + (b - 10)$
Раскроем скобки и сгруппируем члены:
$S_{нов} = a + b - 6 - 10$
$S_{нов} = (a + b) - (6 + 10)$
$S_{нов} = S - 16$
Сумма уменьшится на общее изменение слагаемых, то есть на $6 + 10 = 16$.

Ответ: сумма уменьшится на 16.

в) одно слагаемое уменьшить на 11, а второе увеличить на 11?
Пусть исходная сумма равна $S = a + b$. Уменьшим слагаемое $a$ на 11, а слагаемое $b$ увеличим на 11. Новые слагаемые будут $(a - 11)$ и $(b + 11)$. Новая сумма $S_{нов}$ будет равна:
$S_{нов} = (a - 11) + (b + 11)$
Сгруппируем члены выражения:
$S_{нов} = a + b - 11 + 11$
$S_{нов} = (a + b) + 0$
$S_{нов} = S$
Уменьшение одного слагаемого на 11 полностью компенсируется увеличением другого слагаемого на то же число. Общее изменение суммы равно $ -11 + 11 = 0$.

Ответ: сумма не изменится.

2.172 В чём сходство и в чём различия:

а) отрезка и прямой;

б) отрезка и луча;

в) луча и прямой?

Сходство: прямая и отрезок не могут быть изогнутыми, оба прямые; отрезок – это часть прямой.

Различия: отрезок имеет начало и конец, прямая не имеет ни начала, ни конца.

Сходство: у отрезка и луча есть начало, оба – части прямой.

Различия: у отрезка есть конец, а у луча нет.

Сходство: у луча и прямой нет конца, луч – часть прямой.

Различия: у луча есть начало, а у прямой нет.

а) отрезка и прямой

Сходство: И отрезок, и прямая состоят из множества точек, расположенных на одной прямой линии. Они оба являются одномерными геометрическими фигурами. Любой отрезок является частью (подмножеством) какой-либо прямой.

Различия: Основное различие заключается в их протяженности и наличии границ. Прямая бесконечна, она не имеет ни начала, ни конца и продолжается в обе стороны до бесконечности. У прямой нет конечных точек. Отрезок конечен. Он представляет собой часть прямой, ограниченную двумя точками, которые называются его концами. У отрезка есть определенная, конечная длина.

Ответ: Сходство в том, что оба объекта состоят из точек, лежащих на одной прямой. Различие в том, что прямая бесконечна и не имеет концов, а отрезок конечен, имеет два конца и определенную длину.

б) отрезка и луча

Сходство: И отрезок, и луч являются частями прямой. Оба имеют по крайней мере одну граничную точку.

Различия: Различие заключается в количестве граничных точек и протяженности. Отрезок ограничен с двух сторон двумя точками (концами). Он имеет конечную длину. Луч ограничен только с одной стороны одной точкой (началом), а в другую сторону он продолжается бесконечно. Длина луча бесконечна.

Ответ: Сходство в том, что оба являются частями прямой и имеют хотя бы одну граничную точку. Различие в том, что отрезок ограничен с двух сторон (имеет два конца) и конечен, а луч ограничен только с одной стороны (имеет одно начало) и бесконечен.

в) луча и прямой

Сходство: И луч, и прямая являются бесконечными по своей длине. Оба состоят из точек, лежащих на одной прямой линии. Луч является подмножеством прямой.

Различия: Различие заключается в наличии и количестве граничных точек. Прямая бесконечна в обе стороны. У нее нет ни одной граничной точки (конца). Луч бесконечен только в одну сторону. У него есть одна граничная точка, называемая началом луча.

Ответ: Сходство в том, что оба объекта бесконечны по длине. Различие в том, что прямая бесконечна в обе стороны и не имеет граничных точек, а луч бесконечен только в одну сторону и имеет одну граничную точку (начало).

2.173 Установите закономерность и назовите пропущенные числа.

а) Каждое следующее число в ряду на 1 больше предыдущего.

600 - 1 = 599
123 + 1 = 124

б) Каждое следующее число в ряду на 5 раза больше предыдущего.

190 + 5 = 195
76 - 5 = 71

в) Каждое следующее число в ряду в 2 раза больше предыдущего.

32 : 2 = 16
13 · 2 = 26

а)

В первой строке представлены числа 600 и 601. Закономерность заключается в том, что каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Следовательно, число, предшествующее 600, равно 599.
$600 - 1 = 599$
Во второй строке даны числа 123 и 125. Здесь также пропущено среднее число в последовательности, где каждое следующее число на 1 больше предыдущего. Чтобы найти пропущенное число, нужно к 123 прибавить 1.
$123 + 1 = 124$
Таким образом, пропущенные числа — это 599 и 124.
Ответ: 599, 124.

б)

В первой строке даны числа 185 и 190. Найдем разницу между ними: $190 - 185 = 5$. Значит, каждое следующее число в ряду на 5 больше предыдущего. Чтобы найти пропущенное число, прибавим 5 к 190.
$190 + 5 = 195$
Во второй строке даны числа 76 и 81. Разница между ними также составляет $81 - 76 = 5$. Чтобы найти первое число в этом ряду, нужно из 76 вычесть 5.
$76 - 5 = 71$
Таким образом, пропущенные числа — это 195 и 71.
Ответ: 195, 71.

в)

В первой строке даны числа 32 и 64. Можно заметить, что 64 в два раза больше, чем 32 ($64 / 32 = 2$). Закономерность заключается в умножении предыдущего числа на 2. Чтобы найти первое число, нужно 32 разделить на 2.
$32 \div 2 = 16$
Во второй строке даны числа 13 и 52. Проверим, работает ли та же закономерность (умножение на 2). Если мы умножим 13 на 2, получим 26. Если мы умножим 26 на 2, получим 52, что совпадает с последним числом в ряду. Значит, закономерность верна.
$13 \times 2 = 26$
$26 \times 2 = 52$
Таким образом, пропущенные числа — это 16 и 26.
Ответ: 16, 26.

2.174 Сколько можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, которые не повторяются:

а) двузначных чисел;

б) трёхзначных чисел?

Ответ: 12 чисел.

б) В записи трёхзначного первой цифрой (сотни) может быть любая цифра, второй (десятки) - любая из трёх оставшихся, третьей (единицы) - любая из двух оставшихся.

Построим дерево вариантов:

4 · 3 · 2 = 24

Ответ: 24 числа.

а) двузначных чисел;

Чтобы составить двузначное число, нужно выбрать 2 цифры из 4 и расположить их в определённом порядке (порядок важен, так как 24 и 42 — разные числа). Следовательно, мы ищем число размещений из 4 элементов по 2.

Для выбора первой цифры (разряд десятков) у нас есть 4 варианта (любая из цифр 2, 4, 6, 8).

Так как цифры в числе не могут повторяться, для выбора второй цифры (разряд единиц) остаётся $4-1=3$ варианта.

Общее количество возможных двузначных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$4 \times 3 = 12$.

Ответ: 12

б) трёхзначных чисел?

Для составления трёхзначного числа нужно выбрать 3 цифры из 4 имеющихся без повторения.

Для выбора первой цифры (разряд сотен) есть 4 варианта.

Для выбора второй цифры (разряд десятков) остаётся 3 варианта.

Для выбора третьей цифры (разряд единиц) остаётся 2 варианта.

Общее количество возможных трёхзначных чисел равно произведению числа вариантов:

$4 \times 3 \times 2 = 24$.

Ответ: 24

2.175 На одной парковке — 18 автомобилей, на другой парковке — x автомобилей, а на третьей — y автомобилей. Сколько всего автомобилей припарковалось на трёх парковках? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение, если x = 12, y = 15.

I — 18 автомобилей;
II — х автомобилей;
III — у автомобилей.

18 + х + у — всего автомобилей при х = 12, у = 15.

18 + 12 + 15 = $(18 \stackrel{30}{+} 12) +15$ = 45(авт.)

Ответ: 45 автомобилей.

Составьте выражение для решения задачи

Для того чтобы найти общее количество автомобилей на трёх парковках, необходимо сложить количество автомобилей на каждой из них. Согласно условию, на первой парковке было 18 автомобилей, на второй — $x$ автомобилей, а на третьей — $y$ автомобилей. Таким образом, выражение для общего количества автомобилей будет суммой этих трёх значений.

Выражение: $18 + x + y$.

Ответ: $18 + x + y$.

Найдите его значение, если x = 12, y = 15

Теперь подставим числовые значения переменных $x$ и $y$ в составленное выражение.

Если $x = 12$ и $y = 15$, то выражение примет вид:

$18 + 12 + 15$

Выполним вычисления по порядку:

$18 + 12 = 30$

$30 + 15 = 45$

Следовательно, всего на трёх парковках припарковалось 45 автомобилей.

Ответ: 45.

2.176 а) На дачном участке площадь сада составляет 400 квадратных метров, площадь огорода — 500 квадратных метров, площадь, отведённая под строительство дома, — a квадратных метров, а остальную площадь занимают дорожки и газон. Какую площадь занимают дорожки и газон, если общая площадь участка 1200 квадратных метров? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение, если a = 100; a = 64.

б) На ярмарку выходного дня фермер привёз 108 кг клубники. В первый день он продал 48 кг клубники, а во второй день — на y кг больше. Сколько килограммов клубники остались непроданными?

Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение, если y = 8; y = 12; y = 20. При каком значении y задача не имеет решения?

1200 - (400 + 500 + а) = 1200 - (900 + а) = (1200 - 900) - а = (300 - а) кв.м – дорожки и газом

при а = 100; 300 - 100 = 200 кв.м

при а = 64; 300 - 64 = (200 + 100) - 64 = 200 + (100 - 64) = 200 + 36 = 236 кв.м

Ответ: (300 - а) кв.м; 200 кв.м; 236 кв.м.

(48 + у) кг – продал II день

(48 + (48 + у)) кг – продал за два дня

108 - (48 + (48 + н)) = 108 - ((48 + 48) + у) = 108 - (96 + у) = (108 - 96) - у = ((108 + 8) - 96) - у = ((100 - 96) + 8) - у = (4 + 8) - у = (12 - у) кг – осталось

при у = 8; 12 - 8 = 4 (кг)

при у = 12; 12 - 12 = 0 (кг)

при у = 20; 12 - 20 – не имеет решения

Ответ: (12 - у) кг; 4 кг; 0 кг; нет решения/

а) Чтобы найти площадь, которую занимают дорожки и газон, нужно из общей площади участка вычесть сумму площадей, занятых садом, огородом и домом. Общая площадь участка составляет 1200 кв. м., площадь сада — 400 кв. м., площадь огорода — 500 кв. м., а площадь под домом — $a$ кв. м.

Составим выражение для площади дорожек и газона:

$1200 - (400 + 500 + a)$

Упростим это выражение, сначала выполнив сложение в скобках:

$1200 - (900 + a) = 1200 - 900 - a = 300 - a$

Итак, выражение для решения задачи: $300 - a$.

Теперь найдём значение этого выражения для данных значений $a$.

Если $a = 100$, то площадь дорожек и газона равна:

$300 - 100 = 200$ (кв. м.)

Если $a = 64$, то площадь дорожек и газона равна:

$300 - 64 = 236$ (кв. м.)

Ответ: выражение для решения задачи $300 - a$; при $a = 100$ площадь равна 200 кв. м., при $a = 64$ площадь равна 236 кв. м.

б) Фермер привёз 108 кг клубники. В первый день он продал 48 кг. Во второй день он продал на $y$ кг больше, чем в первый, то есть $48 + y$ кг. Чтобы найти, сколько килограммов клубники осталось, нужно из общего количества привезённой клубники вычесть общее количество проданной за два дня.

Составим выражение для количества оставшейся клубники:

$108 - (48 + (48 + y))$

Упростим это выражение:

$108 - (96 + y) = 108 - 96 - y = 12 - y$

Итак, выражение для решения задачи: $12 - y$.

Теперь найдём значение этого выражения для данных значений $y$.

Если $y = 8$, то осталось:

$12 - 8 = 4$ (кг)

Если $y = 12$, то осталось:

$12 - 12 = 0$ (кг)

Если $y = 20$, то значение выражения будет:

$12 - 20 = нет решения

Ответ: выражение для решения задачи $12 - y$; при $y = 8$ осталось 4 кг; при $y = 12$ осталось 0 кг; при $y = 20$ задача не имеет решения.

2.177 Назовите уменьшаемое и вычитаемое в выражении:

а) (107 + 24) - 186 : 31;

б) (a + 211) - 203.

Для того чтобы определить уменьшаемое и вычитаемое в выражении, нужно посмотреть на основное действие. В данных выражениях основное действие — это вычитание. Уменьшаемое — это то, из чего вычитают (стоит слева от знака «–»). Вычитаемое — это то, что вычитают (стоит справа от знака «–»).

а) В выражении $(107 + 24) - 186 : 31$

Уменьшаемым является вся сумма в скобках, так как она стоит слева от знака вычитания.

Уменьшаемое: $(107 + 24)$.

Вычитаемым является частное, так как оно стоит справа от знака вычитания.

Вычитаемое: $186 : 31$.

Ответ: уменьшаемое — $(107 + 24)$, вычитаемое — $186 : 31$.

б) В выражении $(a + 211) - 203$

Уменьшаемым является сумма в скобках, стоящая слева от знака вычитания.

Уменьшаемое: $(a + 211)$.

Вычитаемым является число, стоящее справа от знака вычитания.

Вычитаемое: $203$.

Ответ: уменьшаемое — $(a + 211)$, вычитаемое — $203$.

2.178 Запишите разность:

а) 27 • 3 и 38 - 19;

б) 168 : 6 и 22 • 8.

а) 27 · 3 - (38 - 19);

б) 168 : 6 - 22 · 8.

2.179 По дороге навстречу друг другу движутся два велосипедиста. Скорость одного из них 8 км/ч, а другого — 11 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 ч; через 2 ч; через 4 ч, если сейчас расстояние между ними 76 км? Через сколько часов они встретятся?

1) 8 + 11 = 19 (км/ч) – скорость сближения;

2) 76 - 19 · 1 = 76 - 19 = 57 (км) – расстояние через 1 ч.

3) 76 - 19 · 2 = 76 - 38 = 38 (км) – расстояние через 2 ч.

4) 76 - 19 · 4 = 76 - 76 = 0 (км) – расстояние через 4 ч. Значит, через 4 ч велосипедисты встретятся.

Ответ: 57 км, 38 км, 0 км, через 4 ч.

Для решения задачи сначала найдем скорость сближения велосипедистов. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

Пусть $v_1 = 8$ км/ч — скорость первого велосипедиста, а $v_2 = 11$ км/ч — скорость второго велосипедиста.

Скорость сближения $v_{сбл}$ равна сумме их скоростей:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 8 \text{ км/ч} + 11 \text{ км/ч} = 19$ км/ч.

Начальное расстояние между ними $S_0 = 76$ км.

Теперь найдем расстояние между ними через указанные промежутки времени.

через 1 ч

За 1 час велосипедисты проедут навстречу друг другу расстояние, равное их скорости сближения:

$S_{пройд} = v_{сбл} \times t = 19 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 19$ км.

Чтобы найти новое расстояние между ними, вычтем пройденное расстояние из начального:

$S_{ост} = S_0 - S_{пройд} = 76 \text{ км} - 19 \text{ км} = 57$ км.

Ответ: через 1 час расстояние между велосипедистами будет 57 км.

через 2 ч

За 2 часа велосипедисты сблизятся на:

$S_{пройд} = v_{сбл} \times t = 19 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 38$ км.

Новое расстояние между ними составит:

$S_{ост} = S_0 - S_{пройд} = 76 \text{ км} - 38 \text{ км} = 38$ км.

Ответ: через 2 часа расстояние между велосипедистами будет 38 км.

через 4 ч

За 4 часа велосипедисты сблизятся на:

$S_{пройд} = v_{сбл} \times t = 19 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 76$ км.

Новое расстояние между ними составит:

$S_{ост} = S_0 - S_{пройд} = 76 \text{ км} - 76 \text{ км} = 0$ км.

Нулевое расстояние означает, что велосипедисты встретились.

Ответ: через 4 часа расстояние между ними будет 0 км.

Через сколько часов они встретятся?

Ответ: велосипедисты встретятся через 4 часа.

2.180 Вычислите:

1) 1058 : (5244 : 19 : 12);

2) 20 748 : 57 : (182 : 13).

$1) 1058 \stackrel{3}{:} (5244 \stackrel{1}{:} 19 \stackrel{2}{:} 12) = 46$

1)

2)

3)

$2) 20748 \stackrel{2}{:} 57 \stackrel{3}{:} (182 \stackrel{1}{:} 13) = 26$

1)

2)

3)

2.181 Выполните действия:

а) 39 452 - 16 452 : (300 - 264);

б) 2 558 304 : 63 + 1 662 372 : 61;

в) 93 601 - 601 • (231 - 88);

г) 329 503 + 12 146 • 28 + 715 449.

$\mathrm{а}) 39452 \stackrel{3}{-} 16452 \stackrel{2}{:} (300 \stackrel{1}{-} 264) = 38995$

1)

2)

3)

$\mathrm{б}) 2558304 \stackrel{1}{:} 63 \stackrel{3}{+} 1662372 \stackrel{2}{:} 61 = 67860$

1)

2)

3)

$\mathrm{в}) 93601 \stackrel{3 }{-} 601 \stackrel{2}{·} (231 \stackrel{1}{-} 88) = 7658$

1)

2)

3)

$\mathrm{г}) 329503 \stackrel{3}{+} 12146 \stackrel{1}{·} 28 \stackrel{2}{+} 715449 = 1385040$

1)

2)

3)

?

Как сравнить две дроби с разными знаменателями?

Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. После этого сравнивают числители полученных дробей. Та дробь будет больше, у которой числитель больше.

Алгоритм сравнения дробей $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $:

1. Найти наименьший общий знаменатель. Он равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей $ b $ и $ d $, то есть $ \text{НОЗ} = \text{НОК}(b, d) $.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель. Для первой дроби это $ \text{НОЗ} \div b $, для второй — $ \text{НОЗ} \div d $.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель. В результате получатся дроби с одинаковыми знаменателями.
4. Сравнить числители полученных дробей. Если числитель первой дроби больше числителя второй, то и первая дробь больше второй.

Пример: Сравним дроби $ \frac{5}{8} $ и $ \frac{7}{12} $.

1. Находим наименьшее общее кратное знаменателей 8 и 12: $ \text{НОК}(8, 12) = 24 $. Это и есть наименьший общий знаменатель.
2. Находим дополнительные множители:
   для дроби $ \frac{5}{8} $ множитель равен $ 24 \div 8 = 3 $;
   для дроби $ \frac{7}{12} $ множитель равен $ 24 \div 12 = 2 $.
3. Приводим дроби к общему знаменателю:
   $ \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24} $
   $ \frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24} $
4. Сравниваем полученные дроби: так как $ 15 > 14 $, то $ \frac{15}{24} > \frac{14}{24} $.

Следовательно, $ \frac{5}{8} > \frac{7}{12} $.

Ответ: Чтобы сравнить две дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю, а затем сравнить получившиеся числители. Большей будет та дробь, числитель которой больше.

Сформулируйте правило сложения (вычитания) дробей с разными знаменателями.

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, необходимо сначала привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем выполнить требуемое действие (сложение или вычитание) с числителями, оставив знаменатель без изменений.

Порядок действий:

1. Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ), который равен НОК знаменателей исходных дробей.
2. Найти для каждой дроби дополнительный множитель, разделив НОЗ на ее знаменатель.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.
4. Сложить или вычесть числители полученных дробей, а знаменатель оставить прежним.
5. Если это возможно, сократить итоговую дробь.

Пример на сложение: $ \frac{2}{9} + \frac{5}{12} $

Находим $ \text{НОК}(9, 12) = 36 $.
Дополнительные множители: для $ \frac{2}{9} $ — это $ 36 \div 9 = 4 $; для $ \frac{5}{12} $ — это $ 36 \div 12 = 3 $.
Вычисляем сумму: $ \frac{2 \cdot 4}{36} + \frac{5 \cdot 3}{36} = \frac{8}{36} + \frac{15}{36} = \frac{8 + 15}{36} = \frac{23}{36} $.

Пример на вычитание: $ \frac{7}{8} - \frac{1}{6} $

Находим $ \text{НОК}(8, 6) = 24 $.
Дополнительные множители: для $ \frac{7}{8} $ — это $ 24 \div 8 = 3 $; для $ \frac{1}{6} $ — это $ 24 \div 6 = 4 $.
Вычисляем разность: $ \frac{7 \cdot 3}{24} - \frac{1 \cdot 4}{24} = \frac{21}{24} - \frac{4}{24} = \frac{21 - 4}{24} = \frac{17}{24} $.

Ответ: Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, нужно: 1) привести их к наименьшему общему знаменателю; 2) сложить (вычесть) числители полученных дробей, а знаменатель оставить без изменений.

5.393 Сравните дроби:

а) Наименьший общий знаменатель - 28

Так как $\frac{12}{28}>\frac{7}{28}$, то $\frac{3}{7}>\frac{7}{28}$

б) Наименьший общий знаменатель - 25

Так как $\frac{6}{25}<\frac{15}{25}$, то $\frac{6}{25}<\frac{3}{5}$

в) Наименьший общий знаменатель - 70

Так как $\frac{9}{70}<\frac{49}{70}$, то $\frac{9}{70}<\frac{7}{10}$

г) Наименьший общий знаменатель - 60

Так как $\frac{13}{60}<\frac{25}{60}$, то $\frac{13}{60}<\frac{5}{12}$

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{3}{7} $ и $ \frac{7}{28} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 28 - это 28, так как $ 28 $ делится на 7 без остатка ($ 28 \div 7 = 4 $). Приведем дробь $ \frac{3}{7} $ к знаменателю 28. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 4: $ \frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{12}{28} $. Теперь сравним полученную дробь $ \frac{12}{28} $ с дробью $ \frac{7}{28} $. Так как знаменатели у дробей одинаковы, сравниваем их числители: $ 12 > 7 $. Следовательно, $ \frac{12}{28} > \frac{7}{28} $, а значит, $ \frac{3}{7} > \frac{7}{28} $.
Ответ: $ \frac{3}{7} > \frac{7}{28} $.

б) Чтобы сравнить дроби $ \frac{6}{25} $ и $ \frac{3}{5} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 25 и 5 - это 25, так как $ 25 $ делится на 5 без остатка ($ 25 \div 5 = 5 $). Приведем дробь $ \frac{3}{5} $ к знаменателю 25. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 5: $ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{15}{25} $. Теперь сравним дроби $ \frac{6}{25} $ и $ \frac{15}{25} $. Так как знаменатели у дробей одинаковы, сравниваем их числители: $ 6 < 15 $. Следовательно, $ \frac{6}{25} < \frac{15}{25} $, а значит, $ \frac{6}{25} < \frac{3}{5} $.
Ответ: $ \frac{6}{25} < \frac{3}{5} $.

в) Чтобы сравнить дроби $ \frac{9}{70} $ и $ \frac{7}{10} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 70 и 10 - это 70, так как $ 70 $ делится на 10 без остатка ($ 70 \div 10 = 7 $). Приведем дробь $ \frac{7}{10} $ к знаменателю 70. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 7: $ \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 7}{10 \cdot 7} = \frac{49}{70} $. Теперь сравним дроби $ \frac{9}{70} $ и $ \frac{49}{70} $. Так как знаменатели у дробей одинаковы, сравниваем их числители: $ 9 < 49 $. Следовательно, $ \frac{9}{70} < \frac{49}{70} $, а значит, $ \frac{9}{70} < \frac{7}{10} $.
Ответ: $ \frac{9}{70} < \frac{7}{10} $.

г) Чтобы сравнить дроби $ \frac{13}{60} $ и $ \frac{5}{12} $, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 60 и 12 - это 60, так как $ 60 $ делится на 12 без остатка ($ 60 \div 12 = 5 $). Приведем дробь $ \frac{5}{12} $ к знаменателю 60. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 5: $ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60} $. Теперь сравним дроби $ \frac{13}{60} $ и $ \frac{25}{60} $. Так как знаменатели у дробей одинаковы, сравниваем их числители: $ 13 < 25 $. Следовательно, $ \frac{13}{60} < \frac{25}{60} $, а значит, $ \frac{13}{60} < \frac{5}{12} $.
Ответ: $ \frac{13}{60} < \frac{5}{12} $.

5.394 Определите, какая дробь меньше:

а) 715 или 160;

б) 615 или 1525.

а) Чтобы сравнить дроби $ \frac{7}{15} $ и $ \frac{1}{60} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 15 и 60 является 60.
Дробь $ \frac{1}{60} $ уже имеет этот знаменатель.
Приведем дробь $ \frac{7}{15} $ к знаменателю 60. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 4, так как $ 60 \div 15 = 4 $.
$ \frac{7}{15} = \frac{7 \times 4}{15 \times 4} = \frac{28}{60} $
Теперь сравним дроби $ \frac{28}{60} $ и $ \frac{1}{60} $. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой меньше числитель.
Так как $ 1 < 28 $, то $ \frac{1}{60} < \frac{28}{60} $.
Следовательно, $ \frac{1}{60} < \frac{7}{15} $.
Ответ: $ \frac{1}{60} $.

б) Чтобы сравнить дроби $ \frac{6}{15} $ и $ \frac{15}{25} $, можно сначала сократить их, а затем привести к общему знаменателю.
Сократим дробь $ \frac{6}{15} $. Наибольший общий делитель для 6 и 15 это 3.
$ \frac{6}{15} = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5} $
Сократим дробь $ \frac{15}{25} $. Наибольший общий делитель для 15 и 25 это 5.
$ \frac{15}{25} = \frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5} $
Теперь сравним полученные дроби $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{3}{5} $. Они имеют одинаковый знаменатель.
Так как числитель $ 2 < 3 $, то $ \frac{2}{5} < \frac{3}{5} $.
Следовательно, $ \frac{6}{15} < \frac{15}{25} $.
Ответ: $ \frac{6}{15} $.

5.395 Определите, какая дробь больше:

а) 714 или 2542;

б) 1012 или 1114.

a) Чтобы определить, какая из дробей $ \frac{7}{14} $ или $ \frac{25}{42} $ больше, необходимо привести их к общему знаменателю.

Сначала можно упростить дробь $ \frac{7}{14} $, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 7:

$ \frac{7}{14} = \frac{7 \div 7}{14 \div 7} = \frac{1}{2} $

Теперь сравним дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{25}{42} $. Наименьший общий знаменатель для 2 и 42 — это 42, так как $ 2 \times 21 = 42 $.

Приведем дробь $ \frac{1}{2} $ к знаменателю 42. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 21:

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \times 21}{2 \times 21} = \frac{21}{42} $

Теперь сравним полученную дробь $ \frac{21}{42} $ с дробью $ \frac{25}{42} $. Поскольку у них одинаковые знаменатели, мы сравниваем их числители.

$ 21 < 25 $

Следовательно, $ \frac{21}{42} < \frac{25}{42} $. Это означает, что $ \frac{7}{14} < \frac{25}{42} $.

Ответ: Дробь $ \frac{25}{42} $ больше.

б) Чтобы определить, какая из дробей $ \frac{10}{12} $ или $ \frac{11}{14} $ больше, также приведем их к общему знаменателю.

Сначала упростим дробь $ \frac{10}{12} $, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$ \frac{10}{12} = \frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6} $

Теперь нужно сравнить дроби $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{11}{14} $. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 6 и 14.

Разложим знаменатели на простые множители:
$ 6 = 2 \times 3 $
$ 14 = 2 \times 7 $
НОК(6, 14) = $ 2 \times 3 \times 7 = 42 $.

Приведем обе дроби к знаменателю 42:

Для дроби $ \frac{5}{6} $ дополнительный множитель равен $ 42 \div 6 = 7 $:

$ \frac{5}{6} = \frac{5 \times 7}{6 \times 7} = \frac{35}{42} $

Для дроби $ \frac{11}{14} $ дополнительный множитель равен $ 42 \div 14 = 3 $:

$ \frac{11}{14} = \frac{11 \times 3}{14 \times 3} = \frac{33}{42} $

Теперь сравним полученные дроби $ \frac{35}{42} $ и $ \frac{33}{42} $. Сравниваем их числители:

$ 35 > 33 $

Следовательно, $ \frac{35}{42} > \frac{33}{42} $. Это означает, что $ \frac{10}{12} > \frac{11}{14} $.

Ответ: Дробь $ \frac{10}{12} $ больше.

5.396 Сравните дроби:

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{7}{12}$, необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 4 и 12 является 12.
Первую дробь $\frac{3}{4}$ приведем к знаменателю 12, умножив ее числитель и знаменатель на дополнительный множитель 3:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$.
Вторая дробь $\frac{7}{12}$ уже имеет знаменатель 12.
Теперь сравним полученные дроби $\frac{9}{12}$ и $\frac{7}{12}$. Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та, у которой числитель больше.
Так как $9 > 7$, то $\frac{9}{12} > \frac{7}{12}$.
Следовательно, $\frac{3}{4} > \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{3}{4} > \frac{7}{12}$.

б) Чтобы сравнить дроби $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{11}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 9 и 11 является их произведение, так как они взаимно простые: $9 \cdot 11 = 99$.
Приведем дробь $\frac{4}{9}$ к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 11:
$\frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 11}{9 \cdot 11} = \frac{44}{99}$.
Приведем дробь $\frac{5}{11}$ к знаменателю 99, умножив числитель и знаменатель на 9:
$\frac{5}{11} = \frac{5 \cdot 9}{11 \cdot 9} = \frac{45}{99}$.
Теперь сравним дроби $\frac{44}{99}$ и $\frac{45}{99}$. Сравниваем их числители.
Так как $44 < 45$, то $\frac{44}{99} < \frac{45}{99}$.
Следовательно, $\frac{4}{9} < \frac{5}{11}$.
Ответ: $\frac{4}{9} < \frac{5}{11}$.

в) Чтобы сравнить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{2}{3}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 3 это их произведение: $5 \cdot 3 = 15$.
Приведем дробь $\frac{3}{5}$ к знаменателю 15, умножив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$.
Приведем дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 15, умножив числитель и знаменатель на 5:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$.
Теперь сравним дроби $\frac{9}{15}$ и $\frac{10}{15}$. Сравниваем их числители.
Так как $9 < 10$, то $\frac{9}{15} < \frac{10}{15}$.
Следовательно, $\frac{3}{5} < \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{3}{5} < \frac{2}{3}$.

г) Чтобы сравнить дроби $\frac{13}{24}$ и $\frac{7}{12}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 24 и 12 является 24.
Первая дробь $\frac{13}{24}$ уже имеет нужный знаменатель.
Приведем дробь $\frac{7}{12}$ к знаменателю 24, умножив ее числитель и знаменатель на 2:
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$.
Теперь сравним дроби $\frac{13}{24}$ и $\frac{14}{24}$. Сравниваем их числители.
Так как $13 < 14$, то $\frac{13}{24} < \frac{14}{24}$.
Следовательно, $\frac{13}{24} < \frac{7}{12}$.
Ответ: $\frac{13}{24} < \frac{7}{12}$.