Страница 72, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.205 Решите уравнение и выполните проверку:

а) (x + 27) - 12 = 42;

б) 115 - (35 + y) = 39;

в) (z - 35) - 64 = 16;

г) (28 - t) + 35 = 53;

д) 73 - (x + 26) = 19;

е) 55 - (z - 45) = 62.

а)

Дано уравнение: $(x + 27) - 12 = 42$.
В этом уравнении выражение в скобках $(x + 27)$ является уменьшаемым, 12 — вычитаемым, а 42 — разностью.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:
$x + 27 = 42 + 12$
$x + 27 = 54$
Теперь у нас получилось простое уравнение, где $x$ — неизвестное слагаемое, 27 — известное слагаемое, а 54 — сумма.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$x = 54 - 27$
$x = 27$
Проверка:
Подставим найденное значение $x = 27$ в исходное уравнение:
$(27 + 27) - 12 = 42$
$54 - 12 = 42$
$42 = 42$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 27.

б)

Дано уравнение: $115 - (35 + y) = 39$.
В этом уравнении 115 — уменьшаемое, выражение в скобках $(35 + y)$ — вычитаемое, а 39 — разность.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$35 + y = 115 - 39$
$35 + y = 76$
Теперь $y$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы 76 вычесть известное слагаемое 35:
$y = 76 - 35$
$y = 41$
Проверка:
Подставим $y = 41$ в исходное уравнение:
$115 - (35 + 41) = 39$
$115 - 76 = 39$
$39 = 39$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 41.

в)

Дано уравнение: $(z - 35) - 64 = 16$.
В этом уравнении выражение в скобках $(z - 35)$ является уменьшаемым, 64 — вычитаемым, а 16 — разностью.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:
$z - 35 = 16 + 64$
$z - 35 = 80$
Теперь $z$ — неизвестное уменьшаемое, 35 — вычитаемое, а 80 — разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:
$z = 80 + 35$
$z = 115$
Проверка:
Подставим $z = 115$ в исходное уравнение:
$(115 - 35) - 64 = 16$
$80 - 64 = 16$
$16 = 16$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 115.

г)

Дано уравнение: $(28 - t) + 35 = 53$.
В этом уравнении выражение в скобках $(28 - t)$ является неизвестным слагаемым, 35 — известным слагаемым, а 53 — суммой.
Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$28 - t = 53 - 35$
$28 - t = 18$
Теперь 28 — уменьшаемое, $t$ — вычитаемое, а 18 — разность. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$t = 28 - 18$
$t = 10$
Проверка:
Подставим $t = 10$ в исходное уравнение:
$(28 - 10) + 35 = 53$
$18 + 35 = 53$
$53 = 53$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 10.

д)

Дано уравнение: $73 - (x + 26) = 19$.
В этом уравнении 73 — уменьшаемое, выражение в скобках $(x + 26)$ — вычитаемое, а 19 — разность.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$x + 26 = 73 - 19$
$x + 26 = 54$
Теперь $x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы 54 вычесть известное слагаемое 26:
$x = 54 - 26$
$x = 28$
Проверка:
Подставим $x = 28$ в исходное уравнение:
$73 - (28 + 26) = 19$
$73 - 54 = 19$
$19 = 19$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 28.

е)

Дано уравнение: $55 - (z - 45) = 62$.
В этом уравнении 55 — уменьшаемое, выражение в скобках $(z - 45)$ — вычитаемое, а 62 — разность.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$z - 45 = 55 - 62$
$z - 45 = -7$
Теперь $z$ — неизвестное уменьшаемое, 45 — вычитаемое, а -7 — разность. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:
$z = -7 + 45$
$z = 38$
Проверка:
Подставим $z = 38$ в исходное уравнение:
$55 - (38 - 45) = 62$
$55 - (-7) = 62$
$55 + 7 = 62$
$62 = 62$
Равенство верное, значит, уравнение решено правильно.
Ответ: 38.

2.206 Решите с помощью уравнения задачу:

а) Если к некоторому числу прибавить 33 и к полученной сумме прибавить 28, то получим 152. Найдите это число.

б) Если из некоторого числа вычесть 13 и от полученной разности отнять 17, то получим 75, Найдите это число.

в) Сколько литров воды было в бочке первоначально, если в неё сначала долили 96 л воды, затем на полив огорода использовали 108 л и в ней осталось 50 л воды?

г) В магазине было 600 кг овощей и фруктов. Из них 160 кг продали во второй день, после чего осталось 200 кг овощей и фруктов. Сколько продали в первый день?

а) Пусть х – некоторое число.

(х + 33) + 28 = 152
х + 33 = 152 - 28

х + 33 = 124
х = 124 - 33

х = 91

Ответ: 91.

б) Пусть х - некоторое число.

(х - 13) - 17 = 75
х - 13 = 75 + 17
х - 13 = 92
х = 92 + 13

х = 105

Ответ: 105.

в) Пусть х л воды было в бочке первоначально.

Было – х л,

Долили – 96 л,

Использовали – 108 л,

Осталось – 50 л.

(х + 96) - 108 = 50
х + 96 = 50 + 108
х + 96 = 158
х = 158 - 96

х = 62

Ответ: 63 л.

г) Пусть х кг овощей и фруктов продали в первый день.

Было – 600 кг.

Продали:
I – х кг;
II – 160 кг.

Осталось – 200 кг.

(600 - х) - 16- = 200
600 - х = 200 + 160
600 - х = 360
х = 600 - 360

х = 240

Ответ: 240 кг.

а)

Обозначим искомое число переменной $x$. Согласно условию задачи, к этому числу сначала прибавили 33, а затем к полученной сумме прибавили 28. В результате всех действий получилось число 152.

Составим уравнение на основе этих данных: $(x + 33) + 28 = 152$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$: $x + 33 + 28 = 152$ $x + 61 = 152$ Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое: $x = 152 - 61$ $x = 91$

Ответ: 91.

б)

Пусть неизвестное число будет $x$. По условию, из этого числа вычли 13, а затем из полученной разности вычли еще 17. В итоге получилось число 75.

Составим уравнение: $(x - 13) - 17 = 75$

Решим полученное уравнение: $x - 13 - 17 = 75$ $x - 30 = 75$ Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое: $x = 75 + 30$ $x = 105$

Ответ: 105.

в)

Обозначим первоначальное количество воды в бочке через $x$ литров. Сначала в бочку добавили 96 л воды, и количество воды стало $(x + 96)$ л. Затем из бочки взяли 108 л на полив, и количество воды стало $(x + 96) - 108$ л. После этого в бочке осталось 50 л.

Составим уравнение: $(x + 96) - 108 = 50$

Решим уравнение: $x + 96 - 108 = 50$ $x - 12 = 50$ Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое: $x = 50 + 12$ $x = 62$

Ответ: 62 л.

г)

Пусть в первый день продали $x$ кг овощей и фруктов. Изначально в магазине было 600 кг. После продажи в первый день в магазине осталось $(600 - x)$ кг. Во второй день продали еще 160 кг, и после этого осталось $(600 - x) - 160$ кг. По условию, это количество равно 200 кг.

Составим уравнение: $(600 - x) - 160 = 200$

Решим это уравнение: $600 - x - 160 = 200$ $440 - x = 200$ Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность: $x = 440 - 200$ $x = 240$

Ответ: 240 кг.

2.207 Запишите математическую модель ситуации:

а) У девочек всего 42 наклейки. Из них у Тапи п наклеек, у Оли на 7 меньше, чем у Тани, а у Светы на 4 наклейки больше, чем у Тани.

б) В спортивном магазине было продано х футболок, спортивных брюк — на 5 меньше, а курток — на 7 больше, чем футболок. Всего было продано 38 указанных товаров.

n - 7 — наклейки Оли

n + 4 — наклейки Светы

n + (n - 7) + (n + 4) = 42

х - 5 — спортивные брюки

х + 7 — куртки

х + (х - 5) + (х + 7) = 38

а)

Для составления математической модели ситуации определим количество наклеек у каждой девочки через переменную $n$.

Количество наклеек у Тани: $n$.

Количество наклеек у Оли (на 7 меньше, чем у Тани): $n - 7$.

Количество наклеек у Светы (на 4 больше, чем у Тани): $n + 4$.

Общее количество наклеек у всех девочек равно 42. Математическая модель представляет собой уравнение, где сумма наклеек каждой девочки равна общему количеству:

$n + (n - 7) + (n + 4) = 42$.

Ответ: $n + (n - 7) + (n + 4) = 42$

б)

Для составления математической модели ситуации определим количество каждого проданного товара через переменную $x$.

Количество проданных футболок: $x$.

Количество проданных спортивных брюк (на 5 меньше, чем футболок): $x - 5$.

Количество проданных курток (на 7 больше, чем футболок): $x + 7$.

Общее количество проданных товаров равно 38. Математическая модель представляет собой уравнение, где сумма всех проданных товаров равна их общему количеству:

$x + (x - 5) + (x + 7) = 38$.

Ответ: $x + (x - 5) + (x + 7) = 38$

2.208 Составьте уравнение по условию:

а) Олег, Настя и Саша коллекционируют минералы. У Олега в коллекции y минералов, у Насти - на 10 минералов больше, чем у Олега, а у Саши - на 12 минералов меньше, чем у Олега. При этом у Насти столько же минералов, сколько у двух мальчиков вместе.

б) В первом наборе m карандашей, во втором - на 12 карандашей больше, чем в первом, а в третьем - на 10 карандашей меньше, чем во втором. Во втором наборе оказалось столько же карандашей, сколько в первом и третьем наборах вместе.

у + 10 – минералов у Насти

у - 12 – минералов у Саши

Известно, что у Насти столько же минералов, сколько у Олега и саши вместе.

у + (у - 12) = у + 10

Известно, что во II наборе столько же карандашей, сколько в I и в III наборах вместе.

m + 12 – карандашей во II наборе.

(m + 12) - 10 – Iкарандашей в III наборе.

(m + ((m + 12) - 10) = m + 12

а) Олег, Настя и Саша коллекционируют минералы. У Олега в коллекции $y$ минералов, у Насти — на 10 минералов больше, чем у Олега, а у Саши — на 12 минералов меньше, чем у Олега. При этом у Насти столько же минералов, сколько у двух мальчиков вместе.

Для составления уравнения сначала выразим количество минералов у каждого коллекционера через переменную $y$:

• Количество минералов у Олега: $y$.
• У Насти на 10 минералов больше, чем у Олега, значит, у нее: $y + 10$ минералов.
• У Саши на 12 минералов меньше, чем у Олега, значит, у него: $y - 12$ минералов.

По условию, у Насти столько же минералов, сколько у двух мальчиков (Олега и Саши) вместе. Это означает, что количество минералов у Насти равно сумме минералов у Олега и Саши.

Запишем это в виде равенства:

Количество минералов у Насти = Количество минералов у Олега + Количество минералов у Саши

$y + 10 = y + (y - 12)$

Упростим правую часть уравнения:

$y + 10 = 2y - 12$

Ответ: $y + 10 = y + (y - 12)$ или $y + 10 = 2y - 12$.

б) В первом наборе $m$ карандашей, во втором — на 12 карандашей больше, чем в первом, а в третьем — на 10 карандашей меньше, чем во втором. Во втором наборе оказалось столько же карандашей, сколько в первом и третьем наборах вместе.

Для составления уравнения выразим количество карандашей в каждом наборе через переменную $m$:

• Количество карандашей в первом наборе: $m$.
• Во втором наборе на 12 карандашей больше, чем в первом, значит, в нем: $m + 12$ карандашей.
• В третьем наборе на 10 карандашей меньше, чем во втором, значит, в нем: $(m + 12) - 10$ карандашей.

По условию, во втором наборе столько же карандашей, сколько в первом и третьем наборах вместе. Это означает, что количество карандашей во втором наборе равно сумме карандашей в первом и третьем наборах.

Запишем это в виде равенства:

Количество карандашей во втором наборе = Количество карандашей в первом наборе + Количество карандашей в третьем наборе

$m + 12 = m + ((m + 12) - 10)$

Упростим правую часть уравнения:

$m + 12 = m + (m + 2)$

$m + 12 = 2m + 2$

Ответ: $m + 12 = m + ((m + 12) - 10)$ или $m + 12 = 2m + 2$.

2.209 Сумма 5088 + 4618 равна 9706. Пользуясь этим, найдите без вычислений значение выражения или корень уравнения:

а) 9706 - 5088;

б) 9706 - 4618;

в) x + 4618 = 9706;

г) 5088 + y = 9706;

д) 9706 - x = 5088;

е) 9706 - v = 4618.

5088 + 4618 = 9706

а) 9706 - 5088 = 4618

б) 9706 - 4618 = 5088

В основе всех заданий лежит равенство $5088 + 4618 = 9706$. Это соотношение между двумя слагаемыми ($5088$ и $4618$) и их суммой ($9706$). Из этого равенства следует, что если из суммы вычесть одно из слагаемых, то результатом будет другое слагаемое.

а) Требуется найти значение выражения $9706 - 5088$. Здесь из суммы ($9706$) вычитается первое слагаемое ($5088$). Результатом должно быть второе слагаемое.
$9706 - 5088 = 4618$.
Ответ: 4618.

б) Требуется найти значение выражения $9706 - 4618$. Здесь из суммы ($9706$) вычитается второе слагаемое ($4618$). Результатом должно быть первое слагаемое.
$9706 - 4618 = 5088$.
Ответ: 5088.

в) В уравнении $x + 4618 = 9706$, $x$ — это неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы ($9706$) вычесть известное слагаемое ($4618$).
Сравнивая с исходным равенством $5088 + 4618 = 9706$, видим, что $x$ занимает место числа $5088$.
$x = 9706 - 4618 = 5088$.
Ответ: 5088.

г) В уравнении $5088 + y = 9706$, $y$ — это неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы ($9706$) вычесть известное слагаемое ($5088$).
Сравнивая с исходным равенством $5088 + 4618 = 9706$, видим, что $y$ занимает место числа $4618$.
$y = 9706 - 5088 = 4618$.
Ответ: 4618.

д) В уравнении $9706 - x = 5088$, $x$ — это неизвестное вычитаемое. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого ($9706$) вычесть разность ($5088$).
Из исходного равенства следует, что $9706 - 4618 = 5088$. Сравнивая это с данным уравнением $9706 - x = 5088$, мы видим, что $x=4618$.
Ответ: 4618.

е) В уравнении $9706 - v = 4618$, $v$ — это неизвестное вычитаемое. Чтобы найти его, нужно из уменьшаемого ($9706$) вычесть разность ($4618$).
Из исходного равенства следует, что $9706 - 5088 = 4618$. Сравнивая это с данным уравнением $9706 - v = 4618$, мы видим, что $v=5088$.
Ответ: 5088.

2.210 Разность 6791 - 2897 равна 3894. Пользуясь этим, найдите без вычислений значение выражения или решите уравнение:

а) 2897 + 3894;

б) 6791 - 3894;

в) x - 3894 = 2897;

г) 6791 - x = 2897.

6791 - 2897 = 3894

а) 2897 + 3894 = 6791

б) 6791 - 3894 = 2897

В задаче дано равенство $6791 - 2897 = 3894$. Это соотношение между уменьшаемым (6791), вычитаемым (2897) и разностью (3894). На основе этого равенства и свойств вычитания можно, не выполняя вычислений, установить два факта:

1. Сумма вычитаемого и разности равна уменьшаемому: $2897 + 3894 = 6791$.

2. Разность между уменьшаемым и разностью равна вычитаемому: $6791 - 3894 = 2897$.

Воспользуемся этими фактами для решения.

а) 2897 + 3894;

Требуется найти значение суммы $2897 + 3894$. Согласно первому факту, который мы вывели из условия, сумма вычитаемого (2897) и разности (3894) равна уменьшаемому (6791).

Следовательно, $2897 + 3894 = 6791$.

Ответ: 6791.

б) 6791 - 3894;

Требуется найти значение разности $6791 - 3894$. Согласно второму факту, разность между уменьшаемым (6791) и разностью (3894) равна вычитаемому (2897).

Следовательно, $6791 - 3894 = 2897$.

Ответ: 2897.

в) x - 3894 = 2897;

В этом уравнении неизвестное $x$ является уменьшаемым. Чтобы найти уменьшаемое, необходимо сложить вычитаемое (3894) и разность (2897). Получаем: $x = 3894 + 2897$.

Это выражение из первого факта, значит, $x = 6791$.

Ответ: 6791.

г) 6791 - x = 2897.

В этом уравнении неизвестное $x$ является вычитаемым. Чтобы найти вычитаемое, необходимо из уменьшаемого (6791) вычесть разность (2897). Получаем: $x = 6791 - 2897$.

Это выражение дано в самом условии задачи, и его значение равно 3894. Значит, $x = 3894$.

Ответ: 3894.

5.448 Одна труба может наполнить бассейн за 9 ч, а другая — за 12 ч. Какая часть бассейна будет заполнена после того, как первая труба отработает 4 ч, а вторая — 5 ч?

5.448

Для решения этой задачи необходимо определить, какую долю бассейна каждая труба заполняет за один час (это называется производительностью), а затем вычислить объем работы, выполненный каждой трубой за указанное время.

1. Найдем производительность каждой трубы.

Производительность первой трубы составляет $\frac{1}{9}$ бассейна в час, так как она может заполнить весь бассейн (примем его объем за 1) за 9 часов.

Производительность второй трубы составляет $\frac{1}{12}$ бассейна в час, поскольку ей для заполнения всего бассейна требуется 12 часов.

2. Теперь найдем, какую часть бассейна заполнила первая труба, работая 4 часа. Для этого умножим ее производительность на время работы:

$4 \times \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$

3. Далее вычислим, какую часть бассейна заполнила вторая труба, работая 5 часов:

$5 \times \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$

4. Чтобы найти общую заполненную часть бассейна, необходимо сложить части, которые заполнила каждая труба. Для этого приведем дроби $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{12}$ к общему знаменателю. Наименьшим общим кратным чисел 9 и 12 является 36.

$\frac{4}{9} + \frac{5}{12} = \frac{4 \times 4}{9 \times 4} + \frac{5 \times 3}{12 \times 3} = \frac{16}{36} + \frac{15}{36}$

Сложив дроби с одинаковым знаменателем, получаем итоговый результат:

$\frac{16 + 15}{36} = \frac{31}{36}$

Таким образом, после работы двух труб будет заполнена $\frac{31}{36}$ часть бассейна.

Ответ: $\frac{31}{36}$

5.449 Два велосипедиста двигаются навстречу друг другу. Первый велосипедист за 1 ч проезжает 15 расстояния между ними, а второй — 14 этого расстояния. На какую часть расстояния они сближаются каждый час?

Чтобы найти, на какую часть расстояния сближаются велосипедисты каждый час, необходимо сложить части расстояния, которые проезжает каждый из них за этот час. Это называется скоростью сближения.

Согласно условию, первый велосипедист за 1 час проезжает $\frac{1}{5}$ всего расстояния.

Второй велосипедист за то же время проезжает $\frac{1}{4}$ всего расстояния.

Так как они движутся навстречу друг другу, расстояние между ними сокращается на сумму расстояний, пройденных каждым. Чтобы найти общую часть расстояния, которую они преодолевают вместе за час, сложим эти две дроби:

$\frac{1}{5} + \frac{1}{4}$

Для сложения дробей с разными знаменателями приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 5 и 4 является 20.

Приведем первую дробь к знаменателю 20, умножив числитель и знаменатель на 4:

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{4}{20}$

Приведем вторую дробь к знаменателю 20, умножив числитель и знаменатель на 5:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20}$

Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{4}{20} + \frac{5}{20} = \frac{4+5}{20} = \frac{9}{20}$

Следовательно, каждый час велосипедисты сближаются на $\frac{9}{20}$ первоначального расстояния между ними.

Ответ: на $\frac{9}{20}$ расстояния.

5.450 а) Длина первого звена ломаной равна 3720 м, длина второго — на 35 м больше, а длина третьего — на 34 м меньше длины первого звена. Найдите длину ломаной. Ответ выразите в метрах и сантиметрах.

б) Ломаная состоит из трёх звеньев, и её длина равна 22710 дм. Найдите сред-нее звено, если первое звено 845 дм и оно меньше последнего на 234 дм.