Страница 75, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.229 Решите с помощью уравнения задачу:

а) Продолжительность ночи с 27 октября до 1 декабря увеличилась на 2 ч и стала равной 15 ч. Какой была продолжительность ночи 27 октября?

б) В упаковке содержится 900 г крупы. После того как из части крупы сварили кашу, в упаковке осталось 240 г. Сколько граммов крупы израсходовали для приготовления каши?

в) Автомобиль ехал по городу с некоторой скоростью. Выехав на трассу, водитель увеличил скорость на 40 км/ч, а затем из-за ремонтных работ снизил скорость на 59 км/ч, при этом спидометр показал 39 км/ч. С какой скоростью ехал автомобиль по городу?

а) Пусть х ч. была продолжительность ночи 27 октября.

Была – х ч.
Увеличилась – на 2 ч.
Стала – 15 ч.

х + 2 = 15
х = 15 - 2
х = 13

Ответ: 13 ч.

б) Пусть х г. крупы израсходовали для приготовления каши.

Было – 900 г.
Израсходовали – х г.
Осталось – 240 г.

900 - х = 240
х = 900 - 240
х = 660

Ответ: 660 г.

в) Пусть автомобиль ехал по городу со скоростью х км/ч.

Было – х км/ч.
Увеличил – на 40 км/ч.
Снизил – на 59 км/ч.
Стало – 39 км/ч.

(х + 40) - 59 = 39
х + 40 = 39 + 59

х + 40 = 98
х = 98 - 40
х = 58

Ответ: 58 км/ч.

а) Пусть $x$ — искомая продолжительность ночи 27 октября в часах. По условию задачи, эта продолжительность увеличилась на 2 часа и стала равной 15 часам. Мы можем составить следующее уравнение:
$x + 2 = 15$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:
$x = 15 - 2$
$x = 13$
Таким образом, продолжительность ночи 27 октября составляла 13 часов.
Ответ: 13 ч.

б) Пусть $y$ — количество граммов крупы, которое израсходовали для приготовления каши. Изначально в упаковке было 900 г крупы. После того как часть крупы израсходовали, осталось 240 г. Составим уравнение:
$900 - y = 240$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $y$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:
$y = 900 - 240$
$y = 660$
Следовательно, для приготовления каши израсходовали 660 граммов крупы.
Ответ: 660 г.

в) Пусть $v$ — первоначальная скорость автомобиля в городе в км/ч. Выехав на трассу, водитель увеличил скорость на 40 км/ч, и она стала равной $(v + 40)$ км/ч. Затем, из-за ремонтных работ, скорость была снижена на 59 км/ч, и спидометр показал 39 км/ч. Составим уравнение на основе этих данных:
$(v + 40) - 59 = 39$
Сначала упростим выражение в левой части уравнения:
$v - 19 = 39$
Теперь, чтобы найти неизвестное уменьшаемое $v$, нужно к разности прибавить вычитаемое:
$v = 39 + 19$
$v = 58$
Значит, автомобиль ехал по городу со скоростью 58 км/ч.
Ответ: 58 км/ч.

2.230 Расстояние между двумя районными городами равно 188 км. Депутат выехал на машине из одного города в другой и через m км сделал остановку в одном из сельских поселений для встречи с избирателями. На каком расстоянии от пункта назначения находится это поселение? Составьте выражение и найдите его значение, если m = 75; 100; 120.

АВ = 188 км
АС = m км
ВС – ?
ВС = АВ - АС;

(188 - m) км – расстояние от поселения до пункта назначения;

если m = 75

188 - 75 = 113 (км);

если m = 100

188 - 100 = 88 (км);

если m = 120

188 - 120 = 68 (км);

Ответ: (88 - m) км; 113 км, 88 км, 68 км.

Для того чтобы найти расстояние от сельского поселения до пункта назначения, необходимо из общего расстояния между двумя городами вычесть расстояние, которое депутат уже проехал. Общее расстояние равно 188 км, а пройденное расстояние обозначено переменной $m$.

Таким образом, выражение для нахождения расстояния до пункта назначения выглядит так:

$188 - m$

Теперь вычислим значение этого выражения для каждого заданного значения $m$.

если m = 75
Подставляем значение $m = 75$ в составленное выражение:
$188 - 75 = 113$ (км)
Ответ: 113 км

если m = 100
Подставляем значение $m = 100$ в составленное выражение:
$188 - 100 = 88$ (км)
Ответ: 88 км

если m = 120
Подставляем значение $m = 120$ в составленное выражение:
$188 - 120 = 68$ (км)
Ответ: 68 км

2.231 В 70-е гг. XX в. молоко продавалось в стеклянных бутылках с широким горлышком. Пустые бутылки можно было сдать или обменять с доплатой на бутылки с молоком. С помощью дополнительных источников выясните, сколько стоила бутылка молока и сколько - пустая бутылка, и решите задачу: Купили дюжину (дюжина - 12) бутылок молока, а в обмен сдали 8 пустых бутылок. Сколько денег доплатили?

1) 28 · 12 = 336 (к.) – стоимость 12 бутылок с молоком;

2) 15 · 8 = (10 + 5) · 8 = 10 · 8 + 5 · 8 = 80 + 40 = 120 (к.) – стоимость 8 пустых бутылок;

3) 360 - 120 = 216 (к.) – доплатили;

216 к. = 2 р. 16 к.

Ответ: 2 р. 16 к.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти информацию о стоимости молока и залоговой стоимости пустой бутылки в 70-е годы XX века в СССР. Согласно историческим данным и многочисленным источникам:

• Стоимость бутылки молока (стандартного объема 0,5 литра) составляла 30 копеек.
• Залоговая стоимость пустой стеклянной молочной бутылки, которую можно было сдать, составляла 15 копеек.

Используя эти данные, решим поставленную задачу.

Решение

1. Сначала рассчитаем общую стоимость покупки дюжины, то есть 12 бутылок молока. Каждая бутылка стоит 30 копеек.

Общая стоимость: $12 \times 30 \text{ коп.} = 360 \text{ коп.}$

2. Затем рассчитаем сумму, которую можно получить в зачет при сдаче 8 пустых бутылок. Залоговая стоимость каждой пустой бутылки — 15 копеек.

Сумма за сданные бутылки: $8 \times 15 \text{ коп.} = 120 \text{ коп.}$

3. Чтобы найти, сколько денег нужно доплатить, необходимо из общей стоимости покупки вычесть сумму, полученную за сданную тару.

Сумма доплаты: $360 \text{ коп.} - 120 \text{ коп.} = 240 \text{ коп.}$

4. Переведем полученную сумму в рубли и копейки, зная, что в одном рубле 100 копеек.

$240 \text{ коп.} = 2 \text{ руб. } 40 \text{ коп.}$

Ответ: Нужно было доплатить 2 рубля 40 копеек.

2.232 На молочной ферме надоили 720 л молока. Из них 420 л переработали на творог, а остальное молоко разлили в двухлитровые бутылки для продажи. Сколько бутылок для этого потребовалось?

Было – 720 л.

Переработали на творог – 420 л.

Разлили в 2-литровые бутылки – ?

Количество бутылок – ?

1) 720 - 420 = 300 (л) – разлили;

2) 300 : 2 = 150 (б).

Ответ: 150 бутылок

Для того чтобы найти количество потребовавшихся бутылок, необходимо сначала вычислить, сколько литров молока осталось для розлива. Общее количество молока — 720 л, а на творог переработали 420 л. Найдем разницу:

$720 - 420 = 300$ (л)

Итак, 300 литров молока осталось для продажи.

Далее, это оставшееся молоко разлили в двухлитровые бутылки. Чтобы узнать, сколько бутылок понадобилось, разделим объем оставшегося молока на вместимость одной бутылки:

$300 / 2 = 150$ (бутылок)

Ответ: 150 бутылок.

2.233 В записи трёхзначных чисел использовали только цифры 6, 3 и 0. Сколько чисел получилось? Запишите все эти числа.

В условии задачи не сказано, что цифры нужно использовать без повторений. Потому рассмотрим два варианта: без повторений и с повторениями.

Без повторений: 630; 603; 360; 306. Получилось 4 числа.

С повторениями: 666; 660; 663; 633; 636; 606; 600; 333; 330; 336; 366; 363; 303; 300. Получилось 14 чисел.

4 + 14 = 18 чисел всего

Ответ: 4 без повторений или 18 всего.

Сколько чисел получилось?

Чтобы определить количество возможных трёхзначных чисел, которые можно составить из цифр 6, 3 и 0, нужно рассмотреть каждую позицию в числе (сотни, десятки, единицы) по отдельности.

1. Позиция сотен (первая цифра): Трёхзначное число не может начинаться с нуля. Поэтому для первой цифры мы можем выбрать только 6 или 3. Таким образом, у нас есть 2 варианта.

2. Позиция десятков (вторая цифра): На эту позицию можно поставить любую из трёх данных цифр: 6, 3 или 0. Таким образом, у нас есть 3 варианта.

3. Позиция единиц (третья цифра): Аналогично позиции десятков, на эту позицию можно поставить любую из трёх цифр: 6, 3 или 0. Это также даёт 3 варианта.

Для нахождения общего количества чисел необходимо перемножить количество вариантов для каждой позиции (согласно правилу произведения в комбинаторике):

$N = 2 \times 3 \times 3 = 18$

Следовательно, можно составить 18 различных трёхзначных чисел.

Ответ: 18.

Запишите все эти числа.

Чтобы записать все числа, мы можем систематически перечислить все комбинации. Сначала запишем числа, начинающиеся с 6, а затем — с 3.

Числа, начинающиеся с 6:
600, 603, 606,
630, 633, 636,
660, 663, 666.
Всего 9 чисел.

Числа, начинающиеся с 3:
300, 303, 306,
330, 333, 336,
360, 363, 366.
Всего 9 чисел.

Вместе получаем $9 + 9 = 18$ чисел.

Ответ: 300, 303, 306, 330, 333, 336, 360, 363, 366, 600, 603, 606, 630, 633, 636, 660, 663, 666.

2.234 Найдите значение выражения:

а) (37 259 : 37 - 17 815 : 35) : 6;

б) (506 • 380 - 163 657) : 47 + 2611.

$\mathrm{а}) (37259 \stackrel{1}{:} 37 \stackrel{3}{-} 17 815 \stackrel{2}{:} 35) \stackrel{4}{:} 6 = 83$

1)

2)

3)

4)

$\mathrm{б}) (506 \stackrel{1}{·} 380 \stackrel{2}{-} 163657) \stackrel{3}{:} 47 \stackrel{4}{+} 2611 = 3220$

1)

2)

3)

4)

а) $(37 259 : 37 - 17 815 : 35) : 6$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала выполняются действия в скобках (деление, затем вычитание), а после — деление за скобками.

1. Первое действие — деление в скобках: $37 259 : 37$.

$37 259 : 37 = 1007$

2. Второе действие — второе деление в скобках: $17 815 : 35$.

$17 815 : 35 = 509$

3. Третье действие — вычитание результатов деления в скобках: $1007 - 509$.

$1007 - 509 = 498$

4. Четвертое действие — деление результата из скобок на 6: $498 : 6$.

$498 : 6 = 83$

Ответ: 83

б) $(506 \cdot 380 - 163 657) : 47 + 2611$

Порядок действий в этом выражении следующий: сначала умножение в скобках, затем вычитание в скобках, потом деление и, наконец, сложение.

1. Первое действие — умножение в скобках: $506 \cdot 380$.

$506 \cdot 380 = 192 280$

2. Второе действие — вычитание в скобках: $192 280 - 163 657$.

$192 280 - 163 657 = 28 623$

3. Третье действие — деление результата из скобок на 47: $28 623 : 47$.

$28 623 : 47 = 609$

4. Четвертое действие — сложение: $609 + 2611$.

$609 + 2611 = 3220$

Ответ: 3220

2.235 Прочитайте историческую справку на с. 76 и подготовьте сообщение о китайской нумерации, используя Интернет.

Сообение в интернете

Китайская система счисления — одна из древнейших в мире. Она является десятичной, то есть в её основе лежит число 10, как и в привычной нам арабской системе. За тысячи лет развития в Китае появилось несколько систем записи чисел, которые использовались для разных целей. Ниже представлен обзор основных видов китайской нумерации.

Иероглифическая система записи

Это основная и наиболее известная система, используемая и сегодня. Она не является позиционной в том же смысле, что арабская, а относится к мультипликативно-аддитивному типу. Это означает, что для записи числа используются иероглифы для цифр (от 1 до 9) и иероглифы для разрядов (10, 100, 1000 и т.д.).

Основные иероглифы для цифр:

• 0 — ? (или ?)
• 1 — ?
• 2 — ?
• 3 — ?
• 4 — ?
• 5 — ?
• 6 — ?
• 7 — ?
• 8 — ?
• 9 — ?

Иероглифы для разрядов:

• 10 — ? (shi)
• 100 — ? (bai)
• 1000 — ? (qian)
• 10 000 — ? (wan)
• 100 000 000 — ? (yi)

Запись числа происходит путем комбинирования цифры и разряда. Например, число 4792 записывается как «четыре тысячи семь сотен девять десятков два».

Иероглифическая запись: ???????.

Математически это можно представить так: $4 \times 1000 + 7 \times 100 + 9 \times 10 + 2$.

Если в каком-то разряде стоит ноль (например, в числе 205), то он обозначается специальным иероглифом ?. Число 205 будет записано как ???? («две сотни ноль пять»). Если нулей в середине числа несколько подряд, иероглиф ? ставится только один раз. Например, 8001 будет ???? («восемь тысяч ноль один»).

Счётные палочки (??)

Это древняя позиционная система счисления, которая использовалась для вычислений на счётной доске. Цифры от 1 до 9 изображались с помощью бамбуковых или костяных палочек. Для избежания путаницы палочки для разных разрядов (единицы, сотни, десятки тысяч и т.д.) выкладывались вертикально, а для других (десятки, тысячи и т.д.) — горизонтально. Это была первая в мире десятичная позиционная система. Пустое место на доске означало ноль, а позднее (примерно с VIII века н.э.) для его обозначения стали использовать кружок (?), который перешёл и в иероглифическую письменность.

Финансовая (официальная) запись (??)

Для предотвращения мошенничества и подделки финансовых документов в Китае была создана специальная система записи чисел с помощью усложнённых иероглифов. Обычные иероглифы, такие как ? (1), ? (2), ? (10), легко изменить, приписав дополнительные черты. Финансовые иероглифы имеют гораздо более сложное начертание, что делает их подделку практически невозможной.

Примеры:

• Обычная единица: ?, финансовая: ?
• Обычная двойка: ?, финансовая: ?
• Обычная десятка: ?, финансовая: ?

Эта система до сих пор является обязательной при заполнении чеков, контрактов, банковских и других важных финансовых документов в Китае и других странах китайской культурной сферы.

Современное использование

В современном Китае, как и во всём мире, для большинства целей (в науке, технике, для указания дат, номеров телефонов и т.д.) используются арабские цифры. Однако традиционная иероглифическая запись не вышла из употребления. Она широко применяется в гуманитарных текстах, на денежных знаках, в каллиграфии и в официальных документах, часто дублируясь с арабскими цифрами для ясности. Таким образом, китайская нумерация представляет собой уникальный пример сохранения и параллельного использования древней традиции наряду с современными глобальными стандартами.

Ответ: Выше представлено сообщение о китайской нумерации, подготовленное на основе информации из открытых источников в Интернете.

1 Какое число нужно прибавить к 256, чтобы получилось 500?

Пусть х – число, которое нужно прибавить к 256, чтобы получилось 500.

256 + х = 500
х = 500 - 256

х = 244

Ответ: 244.

1 Чтобы найти число, которое нужно прибавить к 256, чтобы получить 500, необходимо решить простое уравнение. Пусть искомое число — это $x$. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения: $256 + x = 500$. Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, нужно из суммы (500) вычесть известное слагаемое (256). Вычислим разность: $x = 500 - 256 = 244$. Для проверки выполним сложение: $256 + 244 = 500$. Равенство верно. Ответ: 244

2 Какое число нужно вычесть из 207, чтобы получилось 119?

Пусть х – число, которое нужно вычесть из 207, чтобы получилось 119.

207 - х = 119
х = 207 - 119

х = 88

Ответ: 8.

2

Чтобы найти число, которое нужно вычесть из 207 для получения 119, необходимо составить уравнение. Обозначим искомое неизвестное число переменной $x$.

Условие задачи можно записать в виде следующего математического выражения: $207 - x = 119$

В этом уравнении:
• $207$ — это уменьшаемое (число, из которого вычитают).
• $x$ — это вычитаемое (число, которое нужно найти).
• $119$ — это разность (результат вычитания).

Согласно правилу, чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 207 - 119$

Теперь выполним вычисление: $207 - 119 = 88$

Следовательно, искомое число равно 88.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденное значение в исходное уравнение:

$207 - 88 = 119$
$119 = 119$

Равенство верное, значит, задача решена правильно.

Ответ: 88

3 Из какого числа вычли 156 и получили 147?

Пусть х – число, из которого вычли 156 и получили 147.

х - 156 = 147
х = 147 + 156

х = 303

Ответ: 303.

3

Для того чтобы найти исходное число (уменьшаемое), из которого вычли другое число (вычитаемое) и получили результат (разность), необходимо к разности прибавить вычитаемое.

Пусть искомое число — это $x$. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

$x - 156 = 147$

Чтобы найти $x$, нужно сложить разность (147) и вычитаемое (156):

$x = 147 + 156$

Выполним сложение:

$147 + 156 = 303$

Таким образом, искомое число — это 303.

Проверим результат, подставив найденное значение в исходное условие:

$303 - 156 = 147$

Равенство верно, значит, задача решена правильно.

Ответ: 303

4 Найдите вычитаемое, если разность равна 17, а уменьшаемое равно 27.

Пусть х – вычитаемое, тогда

27 - х = 17
х = 27 - 17
х = 10

Ответ: 10.

Для решения этой задачи необходимо использовать взаимосвязь между компонентами действия вычитания: уменьшаемым, вычитаемым и разностью. Эта связь выражается формулой:
Уменьшаемое ? Вычитаемое = Разность

По условию нам даны:
Уменьшаемое = 27
Разность = 17

Мы ищем вычитаемое. Давайте обозначим его переменной $x$. Подставим известные значения в формулу:
$27 - x = 17$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

$x = 27 - 17$

$x = 10$

Таким образом, вычитаемое равно 10. Проведем проверку: $27 - 10 = 17$. Результат верный.

Ответ: 10

5 Составьте уравнения, используя данные в таблице, и решите их.

х - 18 = 36
х = 36 + 18
х = 54

Ответ: 54.

114 - х = 97
х = 114 - 97

х = 17

Ответ: 17.

(х + 23) - 16 = 41
х + 23 =41 + 16
х + 23 = 57
х = 57 - 23
х = 34

Ответ: 34.

98 - (х - 44) = 75
х - 44 = 98 - 75
х - 44 = 23
х = 23 + 44
х = 67

Ответ: 67.

Для решения задачи составим и решим четыре уравнения, по одному для каждого столбца таблицы, используя правило: Уменьшаемое - Вычитаемое = Разность.

1.

Составим уравнение по данным первого столбца: Уменьшаемое = $x$, Вычитаемое = 18, Разность = 36.

Уравнение: $x - 18 = 36$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое:

$x = 36 + 18$

$x = 54$

Ответ: 54

2.

Составим уравнение по данным второго столбца: Уменьшаемое = 114, Вычитаемое = $x$, Разность = 97.

Уравнение: $114 - x = 97$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, необходимо из уменьшаемого вычесть разность:

$x = 114 - 97$

$x = 17$

Ответ: 17

3.

Составим уравнение по данным третьего столбца: Уменьшаемое = $x + 23$, Вычитаемое = 16, Разность = 41.

Уравнение: $(x + 23) - 16 = 41$

Сначала упростим левую часть уравнения, выполнив вычитание:

$x + (23 - 16) = 41$

$x + 7 = 41$

Теперь, чтобы найти неизвестное слагаемое ($x$), нужно из суммы (41) вычесть известное слагаемое (7):

$x = 41 - 7$

$x = 34$

Ответ: 34

4.

Составим уравнение по данным четвертого столбца: Уменьшаемое = 98, Вычитаемое = $x - 44$, Разность = 75.

Уравнение: $98 - (x - 44) = 75$

Раскроем скобки. Так как перед скобками стоит знак «минус», знаки слагаемых внутри скобок меняются на противоположные:

$98 - x + 44 = 75$

Сложим числа в левой части уравнения:

$(98 + 44) - x = 75$

$142 - x = 75$

Теперь, чтобы найти неизвестное вычитаемое ($x$), нужно из уменьшаемого (142) вычесть разность (75):

$x = 142 - 75$

$x = 67$

Ответ: 67

?

Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, необходимо ее числитель умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения.

В виде формулы это правило записывается так: $ \frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b} $, где $ \frac{a}{b} $ — дробь, а $n$ — натуральное число.

Ответ:

Сформулируйте алгоритм умножения двух дробей.

Алгоритм умножения двух дробей состоит из следующих шагов:

1. Перемножить числители исходных дробей — результат станет числителем новой дроби.

2. Перемножить знаменатели исходных дробей — результат станет знаменателем новой дроби.

3. Если полученная дробь является сократимой, выполнить ее сокращение.

Формула умножения двух дробей: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $.

Ответ:

Назовите свойства умножения дробей.

Умножение дробей подчиняется тем же законам, что и умножение натуральных чисел. Для любых дробей $ \frac{a}{b} $, $ \frac{c}{d} $ и $ \frac{p}{q} $ справедливы следующие свойства:

1. Переместительное свойство: от перестановки множителей произведение не меняется. $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b} $.

2. Сочетательное свойство: чтобы произведение двух дробей умножить на третью дробь, можно первую дробь умножить на произведение второй и третьей дробей. $ (\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot \frac{p}{q} = \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} \cdot \frac{p}{q}) $.

3. Распределительное свойство умножения относительно сложения: чтобы умножить сумму дробей на какую-либо дробь, можно умножить на эту дробь каждое слагаемое и полученные произведения сложить. $ (\frac{a}{b} + \frac{c}{d}) \cdot \frac{p}{q} = \frac{a}{b} \cdot \frac{p}{q} + \frac{c}{d} \cdot \frac{p}{q} $.

Ответ:

Назовите свойства нуля и единицы при умножении.

При умножении дробей на ноль и единицу действуют следующие особые свойства:

1. Свойство умножения на единицу: при умножении любой дроби на единицу получается та же самая дробь. $ \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} $.

2. Свойство умножения на ноль: при умножении любой дроби на ноль в результате получается ноль. $ \frac{a}{b} \cdot 0 = 0 $.

Ответ:

5.459 Найдите произведение:

а) Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. После этого, если возможно, следует сократить полученную дробь.

$\frac{4}{7} \cdot 14 = \frac{4 \cdot 14}{7}$

Сократим числитель и знаменатель на 7:

$\frac{4 \cdot 14}{7} = \frac{4 \cdot 2}{1} = 8$

Ответ: 8

б) Чтобы умножить натуральное число на обыкновенную дробь, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить прежним.

$2 \cdot \frac{5}{8} = \frac{2 \cdot 5}{8} = \frac{10}{8}$

Сократим полученную дробь на 2 и, так как дробь неправильная (числитель больше знаменателя), выделим целую часть:

$\frac{10}{8} = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$

Ответ: $1\frac{1}{4}$

в) Умножим натуральное число на числитель дроби:

$10 \cdot \frac{3}{8} = \frac{10 \cdot 3}{8} = \frac{30}{8}$

Сократим дробь на 2 и выделим целую часть:

$\frac{30}{8} = \frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$

Ответ: $3\frac{3}{4}$

г) Умножим числитель дроби на натуральное число:

$\frac{3}{7} \cdot 21 = \frac{3 \cdot 21}{7}$

Сократим числитель и знаменатель на 7:

$\frac{3 \cdot 21}{7} = \frac{3 \cdot 3}{1} = 9$

Ответ: 9

д) Произведение любого числа на ноль всегда равно нулю.

$\frac{9}{17} \cdot 0 = 0$

Ответ: 0

е) Произведение любого числа на единицу равно самому этому числу.

$\frac{11}{100} \cdot 1 = \frac{11}{100}$

Ответ: $\frac{11}{100}$

ж) Умножим числитель дроби на натуральное число. Это действие эквивалентно нахождению части от числа.

$\frac{1}{3} \cdot 24 = \frac{1 \cdot 24}{3} = \frac{24}{3}$

Разделим числитель на знаменатель:

$\frac{24}{3} = 8$

Ответ: 8

з) Умножим числитель дроби на натуральное число:

$\frac{1}{31} \cdot 31 = \frac{1 \cdot 31}{31} = \frac{31}{31}$

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, равна единице.

$\frac{31}{31} = 1$

Ответ: 1

5.460 Найдите периметр квадрата со стороной 320 дм.

5.460

Периметр квадрата ($P$) — это сумма длин всех его четырех равных сторон. Если длина одной стороны квадрата равна $a$, то его периметр вычисляется по формуле:

$P = 4 \cdot a$

По условию задачи, длина стороны квадрата $a = \frac{3}{20}$ дм.

Подставим это значение в формулу для нахождения периметра:

$P = 4 \cdot \frac{3}{20}$ дм

Чтобы умножить целое число на дробь, нужно умножить это число на числитель дроби, а знаменатель оставить прежним:

$P = \frac{4 \cdot 3}{20} = \frac{12}{20}$ дм

Теперь необходимо сократить полученную дробь. Наибольший общий делитель для числителя 12 и знаменателя 20 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:

$P = \frac{12 \div 4}{20 \div 4} = \frac{3}{5}$ дм

Полученный результат можно также представить в виде десятичной дроби:

$\frac{3}{5} = 0,6$

Следовательно, периметр квадрата составляет 0,6 дм.

Ответ: $\frac{3}{5}$ дм.

5.461 Маша собрала корзину яблок за 215 ч. За сколько часов она соберёт 3, 5, 15 таких же корзин?

По условию, Маша собирает одну корзину яблок за $ \frac{2}{15} $ часа. Чтобы найти, сколько времени ей потребуется на сбор нескольких таких же корзин, нужно время сбора одной корзины умножить на их количество. Рассчитаем время для каждого случая.

3 корзины
Чтобы рассчитать время для сбора трёх корзин, умножим время сбора одной корзины на 3: $ \frac{2}{15} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{15} = \frac{6}{15} $ часа.
Сократим полученную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 3: $ \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5} $ часа.
Ответ: $ \frac{2}{5} $ часа.

5 корзин
Чтобы рассчитать время для сбора пяти корзин, умножим время сбора одной корзины на 5: $ \frac{2}{15} \cdot 5 = \frac{2 \cdot 5}{15} = \frac{10}{15} $ часа.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5: $ \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3} $ часа.
Ответ: $ \frac{2}{3} $ часа.

15 корзин
Чтобы рассчитать время для сбора пятнадцати корзин, умножим время сбора одной корзины на 15: $ \frac{2}{15} \cdot 15 = \frac{2 \cdot 15}{15} $ часа.
В этом выражении число 15 есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому их можно сократить: $ \frac{2 \cdot \cancel{15}}{\cancel{15}} = 2 $ часа.
Ответ: 2 часа.

5.462 Вычислите:

а) Чтобы найти произведение дроби и натурального числа, необходимо числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменения. Выполним вычисление:

$\frac{2}{3} \text{ ч} \cdot 6 = \frac{2 \cdot 6}{3} \text{ ч}$

Можно сократить 6 в числителе и 3 в знаменателе на 3:

$\frac{2 \cdot 6}{3} \text{ ч} = \frac{2 \cdot (2 \cdot 3)}{3} \text{ ч} = 2 \cdot 2 \text{ ч} = 4 \text{ ч}$

Ответ: 4 ч.

б) Умножим дробь на натуральное число:

$\frac{7}{12} \text{ ч} \cdot 8 = \frac{7 \cdot 8}{12} \text{ ч} = \frac{56}{12} \text{ ч}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 56 и 12 равен 4:

$\frac{56}{12} \text{ ч} = \frac{14 \cdot 4}{3 \cdot 4} \text{ ч} = \frac{14}{3} \text{ ч}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{14}{3} \text{ ч} = 4 \frac{2}{3} \text{ ч}$

Также можно выразить результат в часах и минутах: $4$ часа и $\frac{2}{3}$ часа. Так как в одном часе 60 минут, то $\frac{2}{3}$ часа это $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$ минут. Таким образом, результат равен 4 часам 40 минутам.

Ответ: $4 \frac{2}{3}$ ч.

в) Умножим дробь на натуральное число:

$\frac{5}{24} \text{ ч} \cdot 24 = \frac{5 \cdot 24}{24} \text{ ч}$

Сократим 24 в числителе и знаменателе:

$\frac{5 \cdot 24}{24} \text{ ч} = 5 \text{ ч}$

Ответ: 5 ч.

г) Умножим дробь на натуральное число:

$\frac{7}{15} \text{ ч} \cdot 10 = \frac{7 \cdot 10}{15} \text{ ч} = \frac{70}{15} \text{ ч}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 70 и 15 равен 5:

$\frac{70}{15} \text{ ч} = \frac{14 \cdot 5}{3 \cdot 5} \text{ ч} = \frac{14}{3} \text{ ч}$

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{14}{3} \text{ ч} = 4 \frac{2}{3} \text{ ч}$

Результат также можно выразить в часах и минутах: 4 часа 40 минут.

Ответ: $4 \frac{2}{3}$ ч.

д) Умножим дробь на натуральное число:

$\frac{5}{6} \text{ ч} \cdot 12 = \frac{5 \cdot 12}{6} \text{ ч}$

Сократим 12 в числителе и 6 в знаменателе на 6:

$\frac{5 \cdot 12}{6} \text{ ч} = 5 \cdot 2 \text{ ч} = 10 \text{ ч}$

Ответ: 10 ч.