Страница 81, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.3 Замените суммой произведение чисел:

а) 4 • 5;

б) 5 • 4;

в) 712 • 3;

г) 100 • 10.

а) 4 · 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4;

б) 5 · 4 = 5 + 5 + 5 + 5;

в) 712 · 3 = 712 + 712 + 712;

г) 100 · 10 = 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100.

а) Чтобы заменить произведение $4 \cdot 5$ суммой, необходимо первый множитель, число 4, сложить столько раз, сколько указывает второй множитель, то есть 5 раз.
$4 \cdot 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4$
Проверим: $4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 8 + 4 + 4 + 4 = 12 + 4 + 4 = 16 + 4 = 20$.
Произведение $4 \cdot 5$ также равно 20.
Ответ: $4 + 4 + 4 + 4 + 4$.

б) Произведение $5 \cdot 4$ означает, что число 5 нужно взять в качестве слагаемого 4 раза.
$5 \cdot 4 = 5 + 5 + 5 + 5$
Проверим: $5 + 5 + 5 + 5 = 10 + 5 + 5 = 15 + 5 = 20$.
Произведение $5 \cdot 4$ также равно 20.
Ответ: $5 + 5 + 5 + 5$.

в) Произведение $712 \cdot 3$ означает, что число 712 необходимо сложить 3 раза.
$712 \cdot 3 = 712 + 712 + 712$
Проверим: $712 + 712 = 1424$; $1424 + 712 = 2136$.
Произведение $712 \cdot 3$ также равно 2136.
Ответ: $712 + 712 + 712$.

г) Произведение $100 \cdot 10$ означает, что число 100 необходимо сложить 10 раз.
$100 \cdot 10 = 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100$
Проверим: сумма десяти слагаемых, равных 100, равна 1000.
Произведение $100 \cdot 10$ также равно 1000.
Ответ: $100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100$.

3.4 Замените произведение суммой:

а) a • 9;

б) 7 • k

в) (a + b) • 6;

г) (x + z + 6) • 3.

а) а · 9 = а + а + а + а + а + а + а + а + а;

$\mathrm{б}) 7 · \mathrm{k} = \underset{\mathrm{k} \mathrm{слагаемых}}{\underbrace{7 + 7 +...+ 7}};$

в) (а + в) · 6 = (а + в) + (а + в) + (а + в) + (а + в) + (а + в) + (а + в);

г) (х + z + 6) · 3 = (х + z + 6) + (х + z + 6) + (х + z + 6).

а) По определению умножения, произведение $a \cdot 9$ представляет собой сумму, где слагаемое $a$ повторяется 9 раз.

Ответ: $a + a + a + a + a + a + a + a + a$

б) Произведение $7 \cdot k$ представляет собой сумму, где слагаемое 7 повторяется $k$ раз. Поскольку $k$ является переменной, точное количество слагаемых неизвестно, и для записи такой суммы используется многоточие, чтобы показать, что сложение продолжается $k$ раз.

Ответ: $\underbrace{7 + 7 + \dots + 7}_{k \text{ слагаемых}}$

в) Произведение $(a + b) \cdot 6$ представляет собой сумму, где слагаемое, равное выражению $(a + b)$, повторяется 6 раз.

Ответ: $(a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b) + (a + b)$

г) Произведение $(x + z + 6) \cdot 3$ представляет собой сумму, где слагаемое, равное выражению $(x + z + 6)$, повторяется 3 раза.

Ответ: $(x + z + 6) + (x + z + 6) + (x + z + 6)$

3.5 Разложите на два множителя число 24 всеми способами.

24 = 1 · 24;

24 = 2 · 12;

24 = 3 · 8;

24 = 4 · 6;

24 = 6 · 4;

24 = 8 · 3;

24 = 12 · 2;

24 = 24 · 1;

Для того чтобы разложить число 24 на два множителя, необходимо найти все пары чисел, произведение которых даёт 24. Задание можно трактовать двояко: искать множители только среди натуральных (положительных целых) чисел или среди всех целых чисел (включая отрицательные). Чтобы ответ был полным, рассмотрим оба варианта.

Разложение в натуральных числах

Найдём все пары натуральных чисел $a$ и $b$, для которых выполняется равенство $a \cdot b = 24$. Для этого будем последовательно перебирать делители числа 24, начиная с 1.
$24 = 1 \cdot 24$
$24 = 2 \cdot 12$
$24 = 3 \cdot 8$
$24 = 4 \cdot 6$
Следующий делитель, 6, уже был использован в паре $4 \cdot 6$. Так как порядок множителей не имеет значения ($4 \cdot 6 = 6 \cdot 4$), мы нашли все уникальные пары.

Ответ: $24 = 1 \cdot 24$; $24 = 2 \cdot 12$; $24 = 3 \cdot 8$; $24 = 4 \cdot 6$.

Разложение в целых числах

Если множители могут быть целыми числами, то следует учесть и отрицательные числа. Произведение двух отрицательных чисел является положительным. Таким образом, для каждой пары положительных множителей $(a, b)$ существует соответствующая пара отрицательных множителей $(-a, -b)$.
$24 = (-1) \cdot (-24)$
$24 = (-2) \cdot (-12)$
$24 = (-3) \cdot (-8)$
$24 = (-4) \cdot (-6)$
Объединяя оба случая, получаем все возможные способы разложения числа 24 на два целых множителя.

Ответ: $24 = 1 \cdot 24$; $24 = 2 \cdot 12$; $24 = 3 \cdot 8$; $24 = 4 \cdot 6$; $24 = (-1) \cdot (-24)$; $24 = (-2) \cdot (-12)$; $24 = (-3) \cdot (-8)$; $24 = (-4) \cdot (-6)$.

3.6 На изготовление поздравительной открытки Кате требуется 6 мин 30 с. За какое время она сделает 8 открыток?

6 мин 30 с = (6 · 60 + 30) с = (360 + 30) с = 390 с;

380 · 8 = 3120 с;

3120 с = 52 мин

или

6 мин 30 с · 8 = 6 мин · 8 + 30 с · 8 = 48 мин + 240 с = 48 мин + 4 мин = 52 мин, где 240 с = (240 : 60) мин = 4 мин.

Ответ: за 52 мин.

Чтобы найти общее время, необходимое для изготовления 8 открыток, нужно умножить время, затрачиваемое на одну открытку, на количество открыток.

Время на изготовление одной открытки: 6 мин 30 с.
Количество открыток: 8.

Удобнее всего умножить минуты и секунды по отдельности.

1. Умножаем минуты:
$6 \text{ мин} \times 8 = 48 \text{ мин}$

2. Умножаем секунды:
$30 \text{ с} \times 8 = 240 \text{ с}$

3. Преобразуем полученные секунды в минуты.
Поскольку в одной минуте 60 секунд, разделим общее количество секунд на 60:
$240 \text{ с} \div 60 \text{ с/мин} = 4 \text{ мин}$

4. Складываем общее время в минутах.
Теперь сложим минуты из первого действия и минуты, которые мы получили из секунд:
$48 \text{ мин} + 4 \text{ мин} = 52 \text{ мин}$

Ответ: на изготовление 8 открыток Кате потребуется 52 минуты.

3.7 На отрезке MN лежит точка К. Отрезок KN в 4 раза меньше отрезка МК, а МК = 12 см. Найдите длину отрезка MN.

1) 12 : 4 = 3 (см) – длина KN

2) 12 + 3 = 15 (см) – длина MN.

Ответ: 15 см.

Поскольку точка K лежит на отрезке MN, то длина всего отрезка MN равна сумме длин его частей, то есть отрезков MK и KN. Это можно записать в виде формулы:

$MN = MK + KN$

Из условия задачи нам известна длина отрезка MK:

$MK = 12$ см

Также в условии сказано, что отрезок KN в 4 раза меньше отрезка MK. Чтобы найти длину отрезка KN, необходимо длину отрезка MK разделить на 4:

$KN = \frac{MK}{4} = \frac{12}{4} = 3$ см

Теперь, зная длины обеих частей, мы можем найти общую длину отрезка MN, сложив их:

$MN = MK + KN = 12 \text{ см} + 3 \text{ см} = 15 \text{ см}$

Ответ: 15 см.

3.8 Найдите длину отрезка CD, если он разбит на 16 отрезков, по 8 см каждый.

8 · 16 = 128 (см)

Ответ: 128 см.

3.8 Для того чтобы найти общую длину отрезка CD, необходимо умножить количество равных отрезков, из которых он состоит, на длину одного такого отрезка.

По условию задачи нам дано:

• Количество отрезков: 16
• Длина каждого отрезка: 8 см

Выполним умножение:

$16 \times 8 = 128$ см.

Таким образом, длина всего отрезка CD составляет 128 сантиметров.

Ответ: 128 см.

3.9 С грунтовой грядки было собрано 18 кг огурцов, что в 4 раза меньше, чем было собрано с такой же грядки в теплице. Сколько всего килограммов огурцов было собрано?

1) 18 : 4 = (10 + 8) · 4 = 10 · 4 + 8 · 4 = 40 + 32 = 72 (кг) – собрано в теплице;

2) 18 + 72 = 90 (кг) – всего.

Ответ: 90 кг.

Для решения этой задачи необходимо выполнить два последовательных действия: сначала найти количество огурцов, собранное в теплице, а затем вычислить общую массу всего урожая.

1. Вычислим, сколько килограммов огурцов было собрано в теплице.

В условии сказано, что с грунтовой грядки собрали 18 кг огурцов, и это количество в 4 раза меньше, чем урожай из теплицы. Это означает, что в теплице было собрано в 4 раза больше огурцов. Чтобы найти это количество, умножим массу огурцов с грунтовой грядки на 4:

$18 \times 4 = 72$ (кг)

Таким образом, с грядки в теплице собрали 72 кг огурцов.

2. Вычислим, сколько всего килограммов огурцов было собрано.

Чтобы найти общее количество, необходимо сложить массу огурцов, собранных с грунтовой грядки, и массу огурцов, собранных в теплице:

$18 + 72 = 90$ (кг)

Ответ: всего было собрано 90 кг огурцов.

3.10 Володя моложе своей сестры на 6 лет и моложе мамы в 5 раз. Сколько лет Володе и сколько лет его маме, если Володиной сестре 13 лет?

1) 13 - 6 = 7 (л.) – Володе;

2) 7 · 5 = 35 (л.) – маме.

Ответ: 7 лет и 35 лет.

Для решения задачи выполним два действия.

Сколько лет Володе

В условии сказано, что сестре Володи 13 лет, а сам Володя моложе её на 6 лет. Чтобы узнать возраст Володи, необходимо из возраста сестры вычесть 6.

$13 - 6 = 7$ (лет)

Ответ: Володе 7 лет.

Сколько лет его маме

Мы выяснили, что Володе 7 лет. Также известно, что он в 5 раз моложе своей мамы. Это означает, что мама, в свою очередь, в 5 раз старше Володи. Чтобы найти возраст мамы, нужно возраст Володи умножить на 5.

$7 \times 5 = 35$ (лет)

Ответ: маме 35 лет.

3.11 Выполните умножение:

а) 155 • 9;

б) 57 • 34;

в) 296 • 8;

г) 68 • 93.

а) Чтобы найти произведение чисел $155$ и $9$, выполним умножение в столбик.

$\begin{array}{r} \times \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 155 \\ 9 \\ \hline 1395 \end{array}$

Пояснение:
1. Умножаем единицы: $5 \cdot 9 = 45$. $5$ пишем под единицами, а $4$ десятка запоминаем.
2. Умножаем десятки: $5 \cdot 9 = 45$. Прибавляем $4$ десятка, которые запомнили: $45 + 4 = 49$. $9$ пишем под десятками, а $4$ сотни запоминаем.
3. Умножаем сотни: $1 \cdot 9 = 9$. Прибавляем $4$ сотни, которые запомнили: $9 + 4 = 13$. $13$ пишем в результат.
Таким образом, получаем $1395$.
Ответ: $1395$.

б) Чтобы найти произведение чисел $57$ и $34$, выполним умножение в столбик.

$\begin{array}{r} \times \\ \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 57 \\ 34 \\ \hline 228 \\ 171\phantom{0} \\ \hline 1938 \end{array}$

Пояснение:
1. Умножаем $57$ на количество единиц второго множителя, то есть на $4$: $57 \cdot 4 = 228$. Это первое неполное произведение.
2. Умножаем $57$ на количество десятков второго множителя, то есть на $3$: $57 \cdot 3 = 171$. Это второе неполное произведение. Начинаем записывать его под десятками.
3. Складываем неполные произведения: $228 + 1710 = 1938$.
Таким образом, получаем $1938$.
Ответ: $1938$.

в) Чтобы найти произведение чисел $296$ и $8$, выполним умножение в столбик.

$\begin{array}{r} \times \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 296 \\ 8 \\ \hline 2368 \end{array}$

Пояснение:
1. Умножаем единицы: $6 \cdot 8 = 48$. $8$ пишем под единицами, а $4$ десятка запоминаем.
2. Умножаем десятки: $9 \cdot 8 = 72$. Прибавляем $4$ десятка, которые запомнили: $72 + 4 = 76$. $6$ пишем под десятками, а $7$ сотен запоминаем.
3. Умножаем сотни: $2 \cdot 8 = 16$. Прибавляем $7$ сотен, которые запомнили: $16 + 7 = 23$. $23$ пишем в результат.
Таким образом, получаем $2368$.
Ответ: $2368$.

г) Чтобы найти произведение чисел $68$ и $93$, выполним умножение в столбик.

$\begin{array}{r} \times \\ \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 68 \\ 93 \\ \hline 204 \\ 612\phantom{0} \\ \hline 6324 \end{array}$

Пояснение:
1. Умножаем $68$ на количество единиц второго множителя, то есть на $3$: $68 \cdot 3 = 204$. Это первое неполное произведение.
2. Умножаем $68$ на количество десятков второго множителя, то есть на $9$: $68 \cdot 9 = 612$. Это второе неполное произведение. Начинаем записывать его под десятками.
3. Складываем неполные произведения: $204 + 6120 = 6324$.
Таким образом, получаем $6324$.
Ответ: $6324$.

3.12 Выполните умножение:

а) 667 • 14;

б) 705 • 29;

в) 718 • 208;

г) 303 • 406.

а) Чтобы найти произведение чисел $667$ и $14$, выполним умножение столбиком. Сначала умножим $667$ на $4$ (разряд единиц второго множителя). Получим первое неполное произведение: $667 \cdot 4 = 2668$. Затем умножим $667$ на $1$ (разряд десятков) и запишем результат со сдвигом влево на один разряд: $667 \cdot 1 = 667$. Теперь сложим полученные неполные произведения.
$\begin{array}{r} \\ \times \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 667 \\ 14 \\ \hline 2668 \\ + 667\phantom{0} \\ \hline 9338 \end{array}$
Ответ: 9338.

б) Чтобы найти произведение чисел $705$ и $29$, выполним умножение столбиком. Сначала умножим $705$ на $9$: $705 \cdot 9 = 6345$. Затем умножим $705$ на $2$ и запишем результат со сдвигом влево на один разряд: $705 \cdot 2 = 1410$. Сложим полученные неполные произведения.
$\begin{array}{r} \\ \times \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 705 \\ 29 \\ \hline 6345 \\ + 1410\phantom{0} \\ \hline 20445 \end{array}$
Ответ: 20445.

в) Чтобы найти произведение чисел $718$ и $208$, выполним умножение столбиком. Сначала умножим $718$ на $8$: $718 \cdot 8 = 5744$. При умножении на $0$ в разряде десятков получится $0$, поэтому эту строку можно пропустить при записи. Затем умножим $718$ на $2$ (сотни) и запишем результат со сдвигом влево на два разряда: $718 \cdot 2 = 1436$. Сложим полученные неполные произведения.
$\begin{array}{r} \\ \times \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 718 \\ 208 \\ \hline 5744 \\ + 1436\phantom{0}\phantom{0} \\ \hline 149344 \end{array}$
Ответ: 149344.

г) Чтобы найти произведение чисел $303$ и $406$, выполним умножение столбиком. Сначала умножим $303$ на $6$: $303 \cdot 6 = 1818$. При умножении на $0$ в разряде десятков получится $0$, поэтому эту строку можно пропустить. Затем умножим $303$ на $4$ (сотни) и запишем результат со сдвигом влево на два разряда: $303 \cdot 4 = 1212$. Сложим полученные неполные произведения.
$\begin{array}{r} \\ \times \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 303 \\ 406 \\ \hline 1818 \\ + 1212\phantom{0}\phantom{0} \\ \hline 123018 \end{array}$
Ответ: 123018.

3.13 Найдите значение произведения:

а) 3574 • 742;

б) 6405 • 907;

в) 2218 • 2244;

г) 3004 • 5005.

а) Чтобы найти значение произведения $3574 \cdot 742$, выполним умножение в столбик. Для этого последовательно умножим первый множитель (3574) на каждую цифру второго множителя (2, 4, 7), начиная с разряда единиц. Полученные неполные произведения запишем друг под другом со сдвигом и сложим.
1. Умножим $3574$ на $2$: $3574 \cdot 2 = 7148$. Это первое неполное произведение.
2. Умножим $3574$ на $4$: $3574 \cdot 4 = 14296$. Запишем это второе неполное произведение под первым, сдвинув на один разряд влево.
3. Умножим $3574$ на $7$: $3574 \cdot 7 = 25018$. Запишем это третье неполное произведение под вторым, сдвинув еще на один разряд влево.
4. Сложим полученные неполные произведения для получения окончательного ответа.

$ \begin{array}{r} \times\begin{array}{r}3574\\742\end{array}\\ \hline \begin{array}{r} \phantom{0}7148\\ 14296\phantom{0}\\ 25018\phantom{00}\\ \end{array}\\ \hline 2651908 \end{array} $

Ответ: 2651908.

б) Чтобы найти значение произведения $6405 \cdot 907$, выполним умножение в столбик.
1. Умножим $6405$ на $7$: $6405 \cdot 7 = 44835$. Это первое неполное произведение.
2. Второй множитель содержит $0$ в разряде десятков. Умножение на $0$ дает $0$, поэтому эту строку в вычислениях можно пропустить.
3. Умножим $6405$ на $9$: $6405 \cdot 9 = 57645$. Запишем это неполное произведение со сдвигом на два разряда влево (так как мы пропустили умножение на десятки).
4. Сложим полученные неполные произведения.

$ \begin{array}{r} \times\begin{array}{r}6405\\907\end{array}\\ \hline \begin{array}{r} \phantom{0}44835\\ 57645\phantom{00}\\ \end{array}\\ \hline 5809335 \end{array} $

Ответ: 5809335.

в) Чтобы найти значение произведения $2218 \cdot 2244$, выполним умножение в столбик.
1. Умножим $2218$ на $4$: $2218 \cdot 4 = 8872$. Это первое неполное произведение.
2. Умножим $2218$ на $4$: $2218 \cdot 4 = 8872$. Запишем результат под первым, сдвинув на один разряд влево.
3. Умножим $2218$ на $2$: $2218 \cdot 2 = 4436$. Запишем результат под вторым, сдвинув еще на один разряд влево.
4. Умножим $2218$ на $2$: $2218 \cdot 2 = 4436$. Запишем результат под третьим, сдвинув еще на один разряд влево.
5. Сложим все четыре неполных произведения.

$ \begin{array}{r} \times\begin{array}{r}2218\\2244\end{array}\\ \hline \begin{array}{r} \phantom{00}8872\\ \phantom{0}8872\phantom{0}\\ 4436\phantom{00}\\ 4436\phantom{000}\\ \end{array}\\ \hline 4977192 \end{array} $

Ответ: 4977192.

г) Чтобы найти значение произведения $3004 \cdot 5005$, выполним умножение в столбик.
1. Умножим $3004$ на $5$: $3004 \cdot 5 = 15020$. Это первое неполное произведение.
2. Второй множитель содержит нули в разрядах десятков и сотен. Умножение на $0$ дает $0$, поэтому эти шаги можно пропустить.
3. Умножим $3004$ на $5$: $3004 \cdot 5 = 15020$. Запишем это неполное произведение со сдвигом на три разряда влево (так как мы пропустили умножение на десятки и сотни).
4. Сложим полученные неполные произведения.

$ \begin{array}{r} \times\begin{array}{r}3004\\5005\end{array}\\ \hline \begin{array}{r} \phantom{00}15020\\ 15020\phantom{000}\\ \end{array}\\ \hline 15035020 \end{array} $

Ответ: 15035020.

3.14 Найдите значение произведения:

а) 48 • 100;

б) 405 • 30 000;

в) 6700 • 89 000;

г) 1020 • 3 400 000.

а)

Чтобы умножить число на 100, достаточно приписать к этому числу справа два нуля.
$48 \cdot 100 = 4800$.
Ответ: 4800.

б)

Для вычисления произведения $405 \cdot 30\,000$ воспользуемся свойством умножения. Сначала умножим $405$ на $3$, а затем к полученному результату припишем четыре нуля из числа $30\,000$.
1. Вычислим произведение $405$ и $3$:
$405 \cdot 3 = 1215$.
2. Припишем к результату четыре нуля справа:
$12150000$.
Таким образом, $405 \cdot 30\,000 = 12\,150\,000$.
Ответ: 12 150 000.

в)

Чтобы найти произведение $6700 \cdot 89\,000$, сначала перемножим числа без учета нулей на конце ($67$ и $89$), а затем к результату припишем общее количество нулей обоих множителей. В числе $6700$ два нуля, в числе $89\,000$ три нуля, итого $2+3=5$ нулей.
1. Умножим $67$ на $89$:
$67 \cdot 89 = 5963$.
2. Припишем к результату пять нулей справа:
$596300000$.
Таким образом, $6700 \cdot 89\,000 = 596\,300\,000$.
Ответ: 596 300 000.

г)

Для вычисления произведения $1020 \cdot 3\,400\,000$ поступим так же, как в предыдущем примере. Умножим $102$ на $34$ и к результату припишем общее количество нулей. В числе $1020$ один нуль, в числе $3\,400\,000$ пять нулей, итого $1+5=6$ нулей.
1. Умножим $102$ на $34$:
$102 \cdot 34 = 3468$.
2. Припишем к результату шесть нулей справа:
$3468000000$.
Таким образом, $1020 \cdot 3\,400\,000 = 3\,468\,000\,000$.
Ответ: 3 468 000 000.

3.15 Найдите сумму удобным способом:

а) 503 + 503 + 503 + 503 + 118 = 503 · 4 + 118 = 2130;

б) 515 + 515 + 215 + 215 + 215 = 515 · 2 + 215 · 3 = 1675;

в) 2018 + 602 + 602 + 602 + 602 + 602 = 2018 + 602 · 5 = 5028;

г) 85 + 85 + 85 + 85 + 85 1250 + 1250 = 85 · 5 + 1250 · 2 = 2925.

а) В выражении $503 + 503 + 503 + 503 + 118$ слагаемое 503 повторяется 4 раза. Удобнее заменить сумму одинаковых слагаемых произведением. Это свойство умножения.

$503 + 503 + 503 + 503 = 503 \cdot 4$

Теперь исходное выражение можно записать и вычислить следующим образом:

$503 \cdot 4 + 118 = 2012 + 118 = 2130$

Ответ: 2130

б) В выражении $515 + 515 + 215 + 215 + 215$ слагаемое 515 повторяется 2 раза, а слагаемое 215 — 3 раза. Сгруппируем одинаковые слагаемые и заменим их сложение умножением:

$(515 + 515) + (215 + 215 + 215) = (515 \cdot 2) + (215 \cdot 3)$

Теперь выполним вычисления:

$515 \cdot 2 + 215 \cdot 3 = 1030 + 645 = 1675$

Ответ: 1675

в) В выражении $2018 + 602 + 602 + 602 + 602 + 602$ слагаемое 602 повторяется 5 раз. Заменим сумму этих слагаемых на произведение:

$602 + 602 + 602 + 602 + 602 = 602 \cdot 5$

Теперь вычислим значение исходного выражения:

$2018 + 602 \cdot 5 = 2018 + 3010 = 5028$

Ответ: 5028

г) В выражении $85 + 85 + 85 + 85 + 85 + 1250 + 1250$ есть две группы одинаковых слагаемых: 85 повторяется 5 раз, а 1250 повторяется 2 раза. Заменим сложение в каждой группе на умножение:

$(85 + 85 + 85 + 85 + 85) + (1250 + 1250) = (85 \cdot 5) + (1250 \cdot 2)$

Вычислим полученное выражение:

$85 \cdot 5 + 1250 \cdot 2 = 425 + 2500 = 2925$

Ответ: 2925

3.16 Вместо прямоугольников поставьте цифры так, чтобы умножение было выполнено верно.

а)

В этом примере мы умножаем 316 на двузначное число. Обозначим это число как $XY$, где $X$ — цифра десятков, а $Y$ — цифра единиц.

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 316 \\ & \times & \phantom{0}XY \\ \hline & & \dots80 \\ & + & \dots48\phantom{0} \\ \hline & & \dots\dots\dots\dots \end{array} $

Первое промежуточное произведение — это результат умножения $316$ на $Y$. Оно оканчивается на 80. Чтобы произведение $316 \times Y$ оканчивалось на 0, произведение $6 \times Y$ должно оканчиваться на 0. Это возможно, если $Y=0$ или $Y=5$. Если $Y=0$, то и все произведение будет 0, что не соответствует шаблону `¦¦80`. Значит, $Y=5$.
Проверяем: $316 \times 5 = 1580$. Это соответствует `¦¦80`.

Второе промежуточное произведение — это результат умножения $316$ на $X$. Оно оканчивается на 48. Чтобы произведение $316 \times X$ оканчивалось на 8, произведение $6 \times X$ должно оканчиваться на 8. Это возможно, если $X=3$ ($6 \times 3 = 18$) или $X=8$ ($6 \times 8 = 48$).
Проверим $X=3$: $316 \times 3 = 948$. Это соответствует шаблону `¦48`.
Проверим $X=8$: $316 \times 8 = 2528$. Это не соответствует шаблону `¦48`, так как в нем три цифры.
Значит, $X=3$.

Итак, мы умножаем 316 на 35. Выполним сложение промежуточных произведений: $1580 + 9480 = 11060$.

Полное решение выглядит так:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 316 \\ & \times & \phantom{0}35 \\ \hline & & 1580 \\ & + & \phantom{0}948\phantom{0} \\ \hline & & 11060 \end{array} $

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 316 \\ & \times & \phantom{0}35 \\ \hline & & 1580 \\ & + & \phantom{0}948\phantom{0} \\ \hline & & 11060 \end{array} $

б)

В этом примере мы умножаем трехзначное число вида $3¦2$ на двузначное число вида $3¦$.

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 3¦2 \\ & \times & 3¦ \\ \hline & & ¦62 \\ & + & ¦¦¦¦\phantom{0} \\ \hline & & ¦¦¦¦¦ \end{array} $

Обозначим неизвестную цифру в первом множителе как $A$, а во втором как $B$. То есть, умножаем $3A2$ на $3B$.
Первое промежуточное произведение $3A2 \times B$ равно `¦62`. Произведение $2 \times B$ должно оканчиваться на 2. Это возможно, если $B=1$ или $B=6$.
Если $B=1$, то $3A2 \times 1 = 3A2$. Сравнивая с `¦62`, получаем, что $A=6$. Тогда первый множитель — 362, а множитель — 31. Первое промежуточное произведение равно $362 \times 1 = 362$, что соответствует `¦62`.
Если $B=6$, то $3A2 \times 6$. $2 \times 6 = 12$ (пишем 2, 1 в уме). Десятки: $(A \times 6) + 1$ должно оканчиваться на 6, значит $A \times 6$ должно оканчиваться на 5. Такого значения для $A$ не существует. Значит, этот вариант не подходит.

Итак, мы умножаем 362 на 31.
Первое промежуточное произведение: $362 \times 1 = 362$.
Второе промежуточное произведение: $362 \times 3 = 1086$.
Складываем: $362 + 10860 = 11222$.

Полное решение выглядит так:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 362 \\ & \times & \phantom{0}31 \\ \hline & & \phantom{0}362 \\ & + & 1086\phantom{0} \\ \hline & & 11222 \end{array} $

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 362 \\ & \times & \phantom{0}31 \\ \hline & & \phantom{0}362 \\ & + & 1086\phantom{0} \\ \hline & & 11222 \end{array} $

в)

В этом примере мы умножаем 37 на двузначное число вида $4¦$.

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 37 \\ & \times & 4¦ \\ \hline & & 333 \\ & + & 14¦\phantom{0} \\ \hline & & 1¦¦3 \end{array} $

Пусть неизвестная цифра в множителе равна $A$. Тогда множитель равен $4A$.
Первое промежуточное произведение равно $37 \times A = 333$. Отсюда можно найти $A$: $A = 333 \div 37$. Произведение $7 \times A$ должно оканчиваться на 3. Единственная цифра, удовлетворяющая этому условию, — это 9 ($7 \times 9 = 63$). Проверяем: $37 \times 9 = 333$. Верно. Значит, $A=9$, а множитель — 49.

Второе промежуточное произведение равно $37 \times 4$.
$37 \times 4 = 148$. Это соответствует шаблону `14¦`.

Теперь найдем итоговую сумму: $333 + 1480 = 1813$. Это соответствует шаблону `1¦¦3`.

Полное решение выглядит так:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & \phantom{0}37 \\ & \times & \phantom{0}49 \\ \hline & & 333 \\ & + & 148\phantom{0} \\ \hline & & 1813 \end{array} $

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & \phantom{0}37 \\ & \times & \phantom{0}49 \\ \hline & & 333 \\ & + & 148\phantom{0} \\ \hline & & 1813 \end{array} $

г)

В этом примере мы умножаем 63 на неизвестное двузначное число, и в результате получаем 3654.

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 63 \\ & \times & ¦¦ \\ \hline & & ¦¦¦ \\ & + & ¦¦¦\phantom{0} \\ \hline & & 3654 \end{array} $

Чтобы найти неизвестный множитель, нужно разделить произведение на известный множитель: $3654 \div 63$.
Выполним деление столбиком:
1. Делим 365 на 63. Ближайшее произведение — $63 \times 5 = 315$. Первая цифра частного — 5. Остаток: $365 - 315 = 50$.
2. Сносим следующую цифру (4), получаем 504. Делим 504 на 63. Чтобы произведение $63 \times X$ оканчивалось на 4, произведение $3 \times X$ должно оканчиваться на 4. Единственная подходящая цифра — 8 ($3 \times 8 = 24$). Проверяем: $63 \times 8 = 504$. Вторая цифра частного — 8.
Итак, неизвестный множитель — 58.

Теперь восстановим вычисления в столбик:
Первое промежуточное произведение: $63 \times 8 = 504$.
Второе промежуточное произведение: $63 \times 5 = 315$.
Проверяем сложение: $504 + 3150 = 3654$. Результат верный.

Полное решение выглядит так:

$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 63 \\ & \times & 58 \\ \hline & & 504 \\ & + & 315\phantom{0} \\ \hline & & 3654 \end{array} $

Ответ:
$ \begin{array}{@{}c@{\,}c@{}c} & & 63 \\ & \times & 58 \\ \hline & & 504 \\ & + & 315\phantom{0} \\ \hline & & 3654 \end{array} $

5.504 Выполните действия:

а) Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{7}$ наименьшим общим знаменателем будет их произведение, так как числа 4 и 7 взаимно простые. Общий знаменатель: $4 \times 7 = 28$.

Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 7, а второй — на 4:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{7} = \frac{1 \times 7}{4 \times 7} + \frac{1 \times 4}{7 \times 4} = \frac{7}{28} + \frac{4}{28}$

Теперь сложим числители, а знаменатель оставим прежним:

$\frac{7 + 4}{28} = \frac{11}{28}$

Ответ: $\frac{11}{28}$

б) Для вычитания дробей $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{5}$ также приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 равен $4 \times 5 = 20$.

Приводим дроби к знаменателю 20:

$\frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1 \times 5}{4 \times 5} - \frac{1 \times 4}{5 \times 4} = \frac{5}{20} - \frac{4}{20}$

Выполняем вычитание числителей:

$\frac{5 - 4}{20} = \frac{1}{20}$

Ответ: $\frac{1}{20}$

в) Чтобы выполнить вычитание $\frac{1}{2} - \frac{3}{8}$, найдем общий знаменатель. Наименьший общий знаменатель для 2 и 8 — это 8, так как 8 делится на 2.

Домножим первую дробь на дополнительный множитель $8 \div 2 = 4$:

$\frac{1 \times 4}{2 \times 4} - \frac{3}{8} = \frac{4}{8} - \frac{3}{8}$

Теперь вычитаем числители:

$\frac{4 - 3}{8} = \frac{1}{8}$

Ответ: $\frac{1}{8}$

г) Для вычитания дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$ найдем их общий знаменатель, который равен $3 \times 5 = 15$.

Приводим дроби к знаменателю 15:

$\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} - \frac{1 \times 3}{5 \times 3} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15}$

Выполняем вычитание числителей:

$\frac{5 - 3}{15} = \frac{2}{15}$

Ответ: $\frac{2}{15}$

д) Чтобы сложить целое число и дробь, можно представить целое число в виде смешанного числа с этой дробной частью.

$4 + \frac{4}{7} = 4\frac{4}{7}$

Другой способ — представить 4 как дробь со знаменателем 7:

$4 = \frac{4 \times 7}{7} = \frac{28}{7}$

Тогда:

$\frac{28}{7} + \frac{4}{7} = \frac{28 + 4}{7} = \frac{32}{7}$

Выделим целую часть из неправильной дроби: $32 \div 7 = 4$ (остаток 4). Получаем $4\frac{4}{7}$.

Ответ: $4\frac{4}{7}$

е) Чтобы сложить дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$, найдем наименьший общий знаменатель для 4 и 6. Наименьшее общее кратное (НОК) для 4 и 6 равно 12.

Приведем дроби к знаменателю 12. Дополнительный множитель для первой дроби $12 \div 4 = 3$, для второй — $12 \div 6 = 2$.

$\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} + \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12}$

Складываем числители:

$\frac{9 + 10}{12} = \frac{19}{12}$

Так как получилась неправильная дробь, выделим из нее целую часть: $19 \div 12 = 1$ (остаток 7).

$\frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$

Ответ: $1\frac{7}{12}$

5.505 Катю отводят в детский сад к 7 ч 30 мин, там она проводит 9 часов, а потом посещает дополнительные занятия по подготовке к школе, которые длятся 45 мин. Саша идёт в школу к 8 ч 10 мин, там он проводит 6 часов и идёт в спортивную секцию на 112 ч. В какое время дети закончат занятия?

Чтобы узнать, в какое время дети закончат свои занятия, необходимо произвести расчеты для Кати и Саши по отдельности.

Катя

1. Катю отводят в детский сад к 7 ч 30 мин, и она проводит там 9 часов. Найдем время, когда она уходит из детского сада, прибавив 9 часов к времени прихода.

$7 \text{ ч } 30 \text{ мин } + 9 \text{ ч } = 16 \text{ ч } 30 \text{ мин }$

2. После детского сада Катя посещает дополнительные занятия, которые длятся 45 минут. Прибавим это время к времени ухода из сада.

$16 \text{ ч } 30 \text{ мин } + 45 \text{ мин } = 16 \text{ ч } + (30 + 45) \text{ мин } = 16 \text{ ч } 75 \text{ мин }$

3. Поскольку 1 час равен 60 минутам, представим 75 минут как 1 час 15 минут.

$75 \text{ мин } = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин }$

4. Теперь найдем окончательное время.

$16 \text{ ч } + 1 \text{ ч } 15 \text{ мин } = 17 \text{ ч } 15 \text{ мин }$

Ответ: Катя закончит занятия в 17 часов 15 минут.

Саша

1. Саша идёт в школу к 8 ч 10 мин и проводит там 6 часов. Найдем время, когда он уходит из школы.

$8 \text{ ч } 10 \text{ мин } + 6 \text{ ч } = 14 \text{ ч } 10 \text{ мин }$

2. После школы Саша идёт в спортивную секцию, которая длится $1\frac{1}{2}$ часа. Переведем это время в часы и минуты.

$1\frac{1}{2} \text{ ч } = 1 \text{ час и } 0.5 \times 60 \text{ минут } = 1 \text{ ч } 30 \text{ мин }$

3. Теперь прибавим длительность секции к времени окончания школы, чтобы найти итоговое время.

$14 \text{ ч } 10 \text{ мин } + 1 \text{ ч } 30 \text{ мин } = (14+1) \text{ ч } + (10+30) \text{ мин } = 15 \text{ ч } 40 \text{ мин }$

Ответ: Саша закончит занятия в 15 часов 40 минут.

5.506 Найдите, между какими последовательными натуральными числами расположены числа 113, 4911, 489, 7336.

$1\frac{1}{3}>1$ и $1\frac{1}{3}<2$. Значит, $1<1\frac{1}{3}<2$

Ответ: между 1 и 2.

$4\frac{9}{11}>4$ и $4\frac{9}{11}<5$. Значит, $4<4\frac{9}{11}<5$

Ответ: между 4 и 5.

$\frac{48}{9} = 5\frac{3}{9}$

$5\frac{3}{9}>5$ и $5\frac{3}{9}<6$. Значит, $5<\frac{48}{9}<6$

Ответ: между 5 и 6

$\frac{73}{36} = 2\frac{1}{36}$

$2\frac{1}{36}>2$ и $2\frac{1}{36}<3$. Значит, $2<\frac{73}{36}<3$

Ответ: между 2 и 3.

Чтобы найти, между какими последовательными натуральными числами расположено данное число, нужно определить его целую часть. Если число представлено в виде смешанной дроби $a\frac{b}{c}$, где $\frac{b}{c}$ — правильная дробь (числитель меньше знаменателя), то его целая часть равна $a$. Это означает, что число находится между натуральными числами $a$ и $a+1$. Если число представлено в виде неправильной дроби (числитель больше или равен знаменателю), его нужно сначала преобразовать в смешанную дробь, выделив целую часть.

$1\frac{1}{3}$

Число $1\frac{1}{3}$ является смешанным. Его целая часть равна 1, а дробная часть $\frac{1}{3}$ больше нуля. Следовательно, данное число больше 1, но меньше следующего натурального числа, то есть 2. Это можно записать в виде двойного неравенства: $1 < 1\frac{1}{3} < 2$.
Ответ: число $1\frac{1}{3}$ расположено между натуральными числами 1 и 2.

$4\frac{9}{11}$

Число $4\frac{9}{11}$ является смешанным. Его целая часть равна 4, а дробная часть $\frac{9}{11}$ больше нуля. Таким образом, это число больше 4, но меньше следующего натурального числа, то есть 5. Запишем неравенство: $4 < 4\frac{9}{11} < 5$.
Ответ: число $4\frac{9}{11}$ расположено между натуральными числами 4 и 5.

$\frac{48}{9}$

Число $\frac{48}{9}$ является неправильной дробью. Для определения его местоположения на числовой прямой выделим целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:
$48 \div 9 = 5$ (остаток $3$).
Следовательно, дробь можно представить в виде смешанного числа: $\frac{48}{9} = 5\frac{3}{9}$.
Целая часть этого числа равна 5, а дробная часть $\frac{3}{9}$ больше нуля. Значит, число $\frac{48}{9}$ больше 5, но меньше 6. Неравенство: $5 < \frac{48}{9} < 6$.
Ответ: число $\frac{48}{9}$ расположено между натуральными числами 5 и 6.

$\frac{73}{36}$

Число $\frac{73}{36}$ является неправильной дробью. Выделим целую часть, разделив 73 на 36 с остатком:
$73 \div 36 = 2$ (остаток $1$).
Таким образом, дробь можно представить в виде смешанного числа: $\frac{73}{36} = 2\frac{1}{36}$.
Целая часть числа равна 2, а дробная часть $\frac{1}{36}$ больше нуля. Следовательно, число $\frac{73}{36}$ больше 2, но меньше 3. Неравенство: $2 < \frac{73}{36} < 3$.
Ответ: число $\frac{73}{36}$ расположено между натуральными числами 2 и 3.

5.507 Найдите какие-нибудь четыре решения неравенства:

а) $a<\frac{1}{2}$

Приведём дробь $\frac{1}{2}$ к новым знаменателям

$\frac{1}{2} = \frac{1 · 4}{2 · 4} = \frac{4}{8}$ или

$\frac{1}{2} = \frac{1 · 7}{2 · 7} = \frac{7}{14}$ или

$\frac{1}{2} = \frac{1 · 10}{2 · 10} = \frac{10}{20}$ или

$\frac{1}{2} = \frac{1 · 15}{2 · 15} = \frac{15}{30}$.

Тогда $\frac{6}{14}<\frac{7}{14}$, $\frac{6}{14}<\frac{1}{2}$; $a = \frac{6}{14}$

$\frac{3}{8}<\frac{4}{8}$; $\frac{3}{8}<\frac{1}{2}$; $a = \frac{3}{8}$

$\frac{7}{20}<\frac{10}{20}$; $\frac{7}{20}<\frac{1}{2}$; $a = \frac{7}{20}$

$\frac{13}{30}<\frac{15}{30}$; $\frac{13}{30}<\frac{1}{2}$; $a = \frac{13}{30}$

Ответ: $\frac{6}{14}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{7}{20}$ и $\frac{13}{30}$

б) $5<b<8$

$b = 6$; $b = 6\frac{1}{2}$; $b = 7$; $b = 7\frac{3}{5}$

в) $9\frac{1}{2}<c<10\frac{1}{4}$

$c = 10$

Приведём обе части чисел $9\frac{1}{2}$ и $10\frac{1}{4}$ к общему знаменателю 8

$9\frac{1}{2} = 9 + \frac{1}{2} = 9 + \frac{1 · 4}{2 · 4} = 9 + \frac{4}{8} = 9\frac{4}{8}$

$10\frac{1}{4} = 10 + \frac{1}{4} = 10 + \frac{1 · 2}{4 · 2} = 10 + \frac{2}{8}$

$= 9 + 1 + \frac{2}{8} = 9 + \frac{8}{8} + \frac{2}{8} = 9 + \frac{10}{8}$

$9\frac{4}{8}<c<9\frac{10}{8}$

$c = 9\frac{5}{8}$; $c = 9\frac{6}{8}$

$c = 9\frac{7}{8}$

Ответ: $9\frac{5}{8}$; $9\frac{3}{4}$; $9\frac{7}{8}$; $10$

а) $a < \frac{1}{2}$

Неравенство $a < \frac{1}{2}$ означает, что переменная a должна быть любым числом, которое строго меньше чем $\frac{1}{2}$ (что равно $0.5$). Решений у такого неравенства бесконечно много. Нам нужно найти любые четыре. Мы можем выбрать целые числа, дроби или десятичные числа.

Примеры решений:
1. Пусть $a = 0$. Проверяем: $0 < \frac{1}{2}$. Это верное неравенство.
2. Пусть $a = -5$. Любое отрицательное число меньше любого положительного, поэтому $-5 < \frac{1}{2}$. Это верное неравенство.
3. Пусть $a = \frac{1}{3}$. Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{2}$, приведем их к общему знаменателю 6: $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ и $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$. Так как $2 < 3$, то $\frac{2}{6} < \frac{3}{6}$, следовательно, $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$. Это верное неравенство.
4. Пусть $a = 0.4$. Представим $\frac{1}{2}$ в виде десятичной дроби: $\frac{1}{2} = 0.5$. Сравниваем $0.4$ и $0.5$. Так как $0.4 < 0.5$, то это решение подходит.

Ответ: $0$; $-5$; $\frac{1}{3}$; $0.4$ (могут быть и другие решения).

б) $5 < b < 8$

Двойное неравенство $5 < b < 8$ означает, что переменная b должна быть любым числом, которое строго больше 5 и одновременно строго меньше 8. Здесь также бесконечно много решений. Найдем четыре из них, включая целые и дробные числа.

Примеры решений:
1. Пусть $b = 6$. Это целое число. Проверяем: $5 < 6$ (верно) и $6 < 8$ (верно). Значит, $5 < 6 < 8$ является верным неравенством.
2. Пусть $b = 7$. Это также целое число. Проверяем: $5 < 7$ (верно) и $7 < 8$ (верно). Значит, $5 < 7 < 8$ является верным неравенством.
3. Пусть $b = 5.5$. Это десятичная дробь. Проверяем: $5 < 5.5$ (верно) и $5.5 < 8$ (верно). Значит, $5 < 5.5 < 8$ является верным неравенством.
4. Пусть $b = 7\frac{1}{2}$. Это смешанное число, равное $7.5$. Проверяем: $5 < 7\frac{1}{2}$ (верно) и $7\frac{1}{2} < 8$ (верно). Значит, $5 < 7\frac{1}{2} < 8$ является верным неравенством.

Ответ: $6$; $7$; $5.5$; $7\frac{1}{2}$ (могут быть и другие решения).

в) $9\frac{1}{2} < c < 10\frac{1}{4}$

Двойное неравенство $9\frac{1}{2} < c < 10\frac{1}{4}$ означает, что переменная c должна быть любым числом, которое строго больше $9\frac{1}{2}$ и строго меньше $10\frac{1}{4}$. Для удобства поиска решений переведем смешанные числа в десятичные дроби.

$9\frac{1}{2} = 9 + \frac{1}{2} = 9.5$
$10\frac{1}{4} = 10 + \frac{1}{4} = 10.25$
Таким образом, неравенство можно записать в виде $9.5 < c < 10.25$. Теперь нужно найти четыре числа в этом интервале.

Примеры решений:
1. Пусть $c = 9.6$. Проверяем: $9.5 < 9.6$ (верно) и $9.6 < 10.25$ (верно). Следовательно, решение подходит.
2. Пусть $c = 10$. Это целое число. Проверяем: $9.5 < 10$ (верно) и $10 < 10.25$ (верно). Следовательно, решение подходит.
3. Пусть $c = 10.2$. Проверяем: $9.5 < 10.2$ (верно) и $10.2 < 10.25$ (верно). Следовательно, решение подходит.
4. Пусть $c = 9\frac{3}{4}$. Переведем в десятичную дробь: $9\frac{3}{4} = 9.75$. Проверяем: $9.5 < 9.75$ (верно) и $9.75 < 10.25$ (верно). Следовательно, решение подходит. Можно также сравнить в виде дробей: $9\frac{1}{2} = 9\frac{2}{4}$. Неравенство $9\frac{2}{4} < 9\frac{3}{4} < 10\frac{1}{4}$ является верным.

Ответ: $9.6$; $10$; $10.2$; $9\frac{3}{4}$ (могут быть и другие решения).

5.508 Сколькими способами можно выбрать трёх участников марафона из 20 человек?

Данная задача относится к разделу комбинаторики и решается с помощью формулы для числа сочетаний, поскольку порядок выбора участников не имеет значения. Нам нужно определить, сколькими способами можно выбрать группу из 3 человек из общего числа 20 человек.

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит следующим образом:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество выбираемых элементов.

В нашей задаче:
$n = 20$ (общее количество человек)
$k = 3$ (количество участников, которых необходимо выбрать)

Подставим эти значения в формулу:
$C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20!}{3! \cdot 17!}$

Чтобы упростить вычисление, распишем факториалы. Мы знаем, что $20! = 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!$ и $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
$C_{20}^3 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17!}{6 \cdot 17!}$

Теперь мы можем сократить $17!$ в числителе и знаменателе:
$C_{20}^3 = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6}$

Проведем вычисления:
$C_{20}^3 = 20 \cdot 19 \cdot \frac{18}{6} = 20 \cdot 19 \cdot 3 = 380 \cdot 3 = 1140$

Таким образом, существует 1140 различных способов выбрать трёх участников марафона из 20 человек.
Ответ: 1140.

5.509 1) Для освещения площади используют 29 фонарей, в которых три или две лампочки. Сколько фонарей каждого вида на площади, если всего лампочек 76?

2) К новогоднему празднику для 23 детей купили машинки с тремя и с четырьмя колёсами. Сколько машинок каждого вида было куплено, если всего колёс 83?

1)

Для решения этой задачи можно использовать метод предположения. Допустим, что все 29 фонарей имеют по 2 лампочки (минимально возможное количество). В этом случае общее число лампочек составило бы:

$29 \cdot 2 = 58$ (лампочек)

Однако по условию задачи всего лампочек 76. Найдем разницу между фактическим количеством лампочек и нашим предположением:

$76 - 58 = 18$ (лампочек)

Эта разница в 18 лампочек возникла потому, что часть фонарей на самом деле имеет не две, а три лампочки. Каждый фонарь с тремя лампочками добавляет одну лампочку ($3 - 2 = 1$) по сравнению с нашим предположением. Следовательно, количество фонарей с тремя лампочками равно этой разнице:

$18 \div 1 = 18$ (фонарей)

Теперь мы знаем, что на площади 18 фонарей с тремя лампочками. Остальные фонари имеют по две лампочки. Их количество равно:

$29 - 18 = 11$ (фонарей)

Проверим полученный результат: $18 \cdot 3 + 11 \cdot 2 = 54 + 22 = 76$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 18 фонарей с тремя лампочками и 11 фонарей с двумя лампочками.

2)

Решим задачу аналогичным методом. Предположим, что все 23 купленные машинки — трёхколёсные. Тогда общее количество колёс было бы:

$23 \cdot 3 = 69$ (колёс)

В условии сказано, что всего колёс 83. Вычислим разницу между реальным количеством колёс и тем, что получилось в нашем предположении:

$83 - 69 = 14$ (колёс)

Эта разница образовалась за счёт машинок, у которых по четыре колеса. Каждая четырёхколёсная машинка добавляет одно "лишнее" колесо ($4 - 3 = 1$) по сравнению с трёхколёсной. Таким образом, количество машинок с четырьмя колёсами равно этой разнице:

$14 \div 1 = 14$ (машинок)

Итак, было куплено 14 машинок с четырьмя колёсами. Найдём количество машинок с тремя колёсами, зная, что всего их 23:

$23 - 14 = 9$ (машинок)

Проверим полученный результат: $9 \cdot 3 + 14 \cdot 4 = 27 + 56 = 83$. Условия задачи выполнены.

Ответ: 9 машинок с тремя колёсами и 14 машинок с четырьмя колёсами.

5.510 В первом магазине цена коробки зефира в шоколаде 187 р., а цена во втором магазине составляет 1617 от цены в первом магазине. На сколько рублей зефир во втором магазине дешевле?

Для решения этой задачи можно воспользоваться двумя способами.

Способ 1. Последовательное вычисление

1. Сначала вычислим цену коробки зефира во втором магазине. По условию, она составляет $ \frac{16}{17} $ от цены в первом магазине, которая равна 187 рублям. Чтобы найти часть от числа, нужно умножить это число на соответствующую дробь:

$ 187 \cdot \frac{16}{17} = \frac{187 \cdot 16}{17} $

Можно заметить, что 187 делится на 17:

$ 187 \div 17 = 11 $

Тогда вычисление упрощается:

$ 11 \cdot 16 = 176 $ рублей.

Итак, цена зефира во втором магазине — 176 рублей.

2. Теперь найдем, на сколько рублей зефир во втором магазине дешевле. Для этого вычтем из цены в первом магазине цену во втором:

$ 187 - 176 = 11 $ рублей.

Способ 2. Вычисление через разность долей

1. Цена в первом магазине — это целое, то есть $ 1 $. Цена во втором магазине составляет $ \frac{16}{17} $ от цены в первом. Следовательно, разница в цене составляет:

$ 1 - \frac{16}{17} = \frac{17}{17} - \frac{16}{17} = \frac{1}{17} $

Это значит, что зефир во втором магазине дешевле на $ \frac{1}{17} $ от цены в первом магазине.

2. Теперь найдем эту разницу в рублях. Для этого умножим цену в первом магазине на найденную долю:

$ 187 \cdot \frac{1}{17} = \frac{187}{17} = 11 $ рублей.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: зефир во втором магазине дешевле на 11 рублей.

5.511 Овощная смесь состоит из горошка и моркови. Масса моркови составляет 1113 массы горошка. Найдите массу смеси, если горошка в ней 455 г.

Для того чтобы найти массу всей овощной смеси, необходимо сначала вычислить массу моркови, а затем сложить ее с массой горошка.

1. Вычисление массы моркови.

Из условия известно, что масса моркови составляет $ \frac{11}{13} $ от массы горошка. Масса горошка равна 455 г. Чтобы найти массу моркови, умножим массу горошка на эту дробь:

$ 455 \times \frac{11}{13} = \frac{455 \times 11}{13} $

Сократим дробь, разделив 455 на 13:

$ 455 \div 13 = 35 $

Теперь умножим полученный результат на числитель дроби:

$ 35 \times 11 = 385 $ г.

Следовательно, масса моркови в смеси составляет 385 г.

2. Вычисление общей массы смеси.

Масса смеси складывается из массы горошка и массы моркови.

$ m_{смеси} = m_{горошка} + m_{моркови} $

$ m_{смеси} = 455 \text{ г} + 385 \text{ г} = 840 \text{ г} $

Ответ: 840 г.

5.512 На участке сибирского леса 710 занимает лиственница, 512 оставшейся площади занимает кедр, а остальную площадь — лиственные деревья. Сколько гектаров занимают лиственные деревья, если площадь всего участка 720 га?

Для решения задачи необходимо последовательно вычислить площадь, занимаемую каждой породой деревьев.

1. Найдем площадь, которую занимает лиственница.
Из условия известно, что площадь всего участка составляет 720 га. Лиственница занимает $ \frac{7}{10} $ от этой площади.
$ 720 \cdot \frac{7}{10} = \frac{720 \cdot 7}{10} = 72 \cdot 7 = 504 $ га.

2. Найдем оставшуюся площадь.
Теперь определим, какая площадь осталась после посадки лиственницы, вычтя ее площадь из общей.
$ 720 - 504 = 216 $ га.

3. Найдем площадь, которую занимает кедр.
Кедр занимает $ \frac{5}{12} $ от оставшейся площади (216 га).
$ 216 \cdot \frac{5}{12} = \frac{216 \cdot 5}{12} = 18 \cdot 5 = 90 $ га.

4. Найдем площадь, которую занимают лиственные деревья.
Лиственные деревья занимают всю остальную площадь. Чтобы найти ее, нужно из оставшейся после лиственницы площади (216 га) вычесть площадь, занятую кедром (90 га).
$ 216 - 90 = 126 $ га.

Ответ: лиственные деревья занимают 126 га.

5.513 В торговом центре 37 всего персонала — продавцы и кассиры, 712 оставшегося персонала — технические работники, а остальные — менеджеры и администрация.

а) Какую часть персонала составляют менеджеры и администрация?

б) Сколько человек работает менеджерами и в администрации, если всего в торговом центре работает 483 человека?

а) Какую часть персонала составляют менеджеры и администрация?

1. Примем весь персонал торгового центра за 1. Продавцы и кассиры составляют $\frac{3}{7}$ всего персонала. Найдем, какая часть персонала осталась:
$1 - \frac{3}{7} = \frac{7}{7} - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$
Таким образом, на долю технических работников, менеджеров и администрации приходится $\frac{4}{7}$ всего персонала.

2. Технические работники составляют $\frac{7}{12}$ от оставшегося персонала. Найдем, какую часть от всего персонала составляют технические работники. Для этого умножим долю оставшегося персонала на долю технических работников в нем:
$\frac{4}{7} \times \frac{7}{12} = \frac{4 \times 7}{7 \times 12} = \frac{28}{84}$
Сократим дробь на 28:
$\frac{28}{84} = \frac{1}{3}$
Итак, технические работники составляют $\frac{1}{3}$ всего персонала.

3. Менеджеры и администрация — это оставшаяся часть персонала. Чтобы найти их долю, вычтем из всего персонала (1) долю продавцов и кассиров ($\frac{3}{7}$) и долю технических работников ($\frac{1}{3}$):
$1 - \frac{3}{7} - \frac{1}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 21:
$\frac{21}{21} - \frac{3 \times 3}{7 \times 3} - \frac{1 \times 7}{3 \times 7} = \frac{21}{21} - \frac{9}{21} - \frac{7}{21} = \frac{21 - 9 - 7}{21} = \frac{5}{21}$
Таким образом, менеджеры и администрация составляют $\frac{5}{21}$ всего персонала.

Ответ: $\frac{5}{21}$

б) Сколько человек работает менеджерами и в администрации, если всего в торговом центре работает 483 человека?

Мы выяснили в пункте а), что менеджеры и администрация составляют $\frac{5}{21}$ от всего персонала. Чтобы найти количество этих сотрудников, нужно общее число работников умножить на эту долю.
Всего работает 483 человека.
Найдем $\frac{5}{21}$ от 483:
$483 \times \frac{5}{21} = \frac{483 \times 5}{21}$
Сначала разделим 483 на 21:
$483 \div 21 = 23$
Теперь умножим полученный результат на 5:
$23 \times 5 = 115$
Следовательно, 115 человек работают менеджерами и в администрации.

Ответ: 115 человек.

5.514 В первом зале картинной галереи в 2 раза меньше картин, чем во втором, а в третьем — на 14 картин больше, чем в первом. Найдите количество картин в каждом зале, если всего в трёх залах 102 картины.

Для решения этой задачи введём переменную. Пусть $x$ — количество картин в первом зале.

Согласно условию, в первом зале в 2 раза меньше картин, чем во втором. Это означает, что во втором зале в 2 раза больше картин, чем в первом. Таким образом, количество картин во втором зале можно выразить как $2x$.

Также из условия известно, что в третьем зале на 14 картин больше, чем в первом. Следовательно, количество картин в третьем зале составляет $x + 14$.

Общее количество картин в трёх залах равно 102. Мы можем составить уравнение, просуммировав количество картин в каждом зале:

$x + 2x + (x + 14) = 102$

Теперь решим это уравнение поэтапно:

1. Упростим левую часть уравнения, сложив все слагаемые с переменной $x$:

$4x + 14 = 102$

2. Перенесём число 14 из левой части уравнения в правую с противоположным знаком:

$4x = 102 - 14$

$4x = 88$

3. Найдём значение $x$, разделив обе части уравнения на 4:

$x = \frac{88}{4}$

$x = 22$

Итак, мы выяснили, что в первом зале находится 22 картины.

Теперь, зная $x$, найдём количество картин в двух других залах:

• Количество картин во втором зале: $2x = 2 \cdot 22 = 44$ картины.
• Количество картин в третьем зале: $x + 14 = 22 + 14 = 36$ картин.

Проверим правильность решения, сложив количество картин во всех залах: $22 + 44 + 36 = 66 + 36 = 102$. Сумма совпадает с условием задачи.

Ответ: в первом зале — 22 картины, во втором — 44 картины, в третьем — 36 картин.

5.515 Найдите значение выражения:

а) (31 941 : 63 - 32) : 5;

б) (46 • 25 - 315 : 35) : 163.

а) $(31941 : 63 - 82) : 5$

Для решения этого выражения необходимо следовать порядку выполнения арифметических операций. Сначала выполняются действия в скобках (деление, затем вычитание), а после этого — деление за скобками.

1. Выполним деление в скобках:
$31941 : 63 = 507$

2. Теперь выполним вычитание в скобках:
$507 - 82 = 425$

3. Наконец, выполним деление результата на 5:
$425 : 5 = 85$

Ответ: 85.

б) $(46 \cdot 25 - 315 : 35) : 163$

Сначала выполняем действия в скобках, соблюдая их приоритет: умножение и деление выполняются слева направо, а затем вычитание. После этого результат в скобках делим на 163.

1. Первое действие – умножение в скобках:
$46 \cdot 25 = 1150$

2. Второе действие – деление в скобках:
$315 : 35 = 9$

3. Третье действие – вычитание в скобках:
$1150 - 9 = 1141$

4. Четвертое, заключительное действие – деление за скобками:
$1141 : 163 = 7$

Ответ: 7.