Страница 87, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

С помощью какого действия находят неизвестный множитель?

Неизвестный множитель находят с помощью действия, обратного умножению, — деления. Если у нас есть уравнение вида $a \cdot x = b$, где $x$ — неизвестный множитель, $a$ — известный множитель, а $b$ — произведение, то чтобы найти $x$, нужно произведение $b$ разделить на известный множитель $a$.

Ответ: Неизвестный множитель находят с помощью деления.

Назовите делимое, делитель и частное: 6 : 3 = 2.

В выражении $6 : 3 = 2$ компоненты деления называются следующим образом:

• $6$ — это число, которое делят. Оно называется делимое.
• $3$ — это число, на которое делят. Оно называется делитель.
• $2$ — это результат деления. Он называется частное.

Ответ: Делимое — 6, делитель — 3, частное — 2.

Что показывает частное?

Частное показывает, сколько раз делитель содержится в делимом. Например, в выражении $6 : 3 = 2$ частное, равное 2, показывает, что число 3 содержится в числе 6 ровно два раза ($3 + 3 = 6$). Также частное может показывать размер одной доли, если делимое разделить на указанное количество равных долей (делитель).

Ответ: Частное показывает, сколько раз делитель «помещается» в делимом.

Чему равно частное: a : 1; a : a; 0 : a?

Рассмотрим каждый случай отдельно:

• a : 1: При делении любого числа на 1 получается то же самое число. Таким образом, $a : 1 = a$.
• a : a: При делении любого числа (кроме нуля) на само себя получается 1. Таким образом, $a : a = 1$ (при условии, что $a \neq 0$).
• 0 : a: При делении нуля на любое другое число (кроме нуля) получается ноль. Таким образом, $0 : a = 0$ (при условии, что $a \neq 0$).

Ответ: $a : 1 = a$; $a : a = 1$ (при $a \neq 0$); $0 : a = 0$ (при $a \neq 0$).

Приведите пример и объясните, почему нельзя делить на ноль.

Деление — это операция, обратная умножению. Если мы говорим, что $a : b = c$, это равносильно утверждению, что $c \cdot b = a$.

Рассмотрим пример деления на ноль: $5 : 0$. Допустим, результатом является некое число $x$. То есть, $5 : 0 = x$. Согласно определению деления, это должно означать, что $x \cdot 0 = 5$. Однако мы знаем, что любое число, умноженное на ноль, дает в результате ноль ($x \cdot 0 = 0$). Получается противоречие: $0 = 5$. Это невозможно, значит, не существует такого числа $x$, которое было бы результатом деления 5 на 0.

Рассмотрим другой случай: $0 : 0$. Допустим, $0 : 0 = x$. Это означает, что $x \cdot 0 = 0$. Это равенство верно для абсолютно любого числа $x$. Поскольку результат не является единственным определенным числом, эта операция также считается бессмысленной (неопределенной) в арифметике.

Ответ: Делить на ноль нельзя, потому что эта операция не имеет смысла. Деление числа, отличного от нуля, на ноль приводит к противоречию, а деление нуля на ноль не дает однозначного результата.

Как найти неизвестный множитель; неизвестное делимое; неизвестный делитель?

Правила нахождения неизвестных компонентов арифметических действий:

• Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение разделить на известный множитель.
  Пример: $x \cdot 3 = 15$. Чтобы найти $x$, делим $15$ на $3$. $x = 15 : 3$, $x = 5$.
• Чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель.
  Пример: $x : 4 = 8$. Чтобы найти $x$, умножаем $8$ на $4$. $x = 8 \cdot 4$, $x = 32$.
• Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное.
  Пример: $20 : x = 5$. Чтобы найти $x$, делим $20$ на $5$. $x = 20 : 5$, $x = 4$.

Ответ: Неизвестный множитель = произведение : известный множитель. Неизвестное делимое = частное · делитель. Неизвестный делитель = делимое : частное.

3.69 Объясните, что значит:

а) 36 : 12;

б) 75 : 15.

a) 36 : 12 — это значит найти такое число, которое при умножении на 12 даст в произведении 36.

б) 75 : 15 — это значит найти такое число, которое при умножении на 15 даст в произведении 75.

а) 36 : 12

Выражение «разделить 36 на 12» означает найти такое число, которое при умножении на 12 даст в результате 36. Деление — это действие, обратное умножению. Математически это можно представить как нахождение неизвестного числа $x$ в уравнении: $12 \cdot x = 36$

Другое значение этого выражения — выяснить, сколько раз число 12 содержится (или «умещается») в числе 36. Это можно проверить последовательным сложением или вычитанием:
$12 + 12 + 12 = 36$
Мы видим, что для получения 36 нужно сложить число 12 три раза.
Следовательно, $36 : 12 = 3$.

Ответ: Разделить 36 на 12 — это значит найти число, которое при умножении на 12 дает 36. Этим числом является 3. Также это означает, что число 12 содержится в числе 36 три раза.

б) 75 : 15

Выражение «разделить 75 на 15» означает найти такое число, которое при умножении на 15 даст в результате 75. Это действие является обратным к умножению. Математически это можно представить как нахождение неизвестного числа $x$ в уравнении: $15 \cdot x = 75$

Также это выражение означает, сколько раз число 15 содержится в числе 75. Проверим это сложением:
$15 + 15 + 15 + 15 + 15 = 75$
Мы видим, что для получения 75 нужно сложить число 15 пять раз.
Следовательно, $75 : 15 = 5$.

Ответ: Разделить 75 на 15 — это значит найти число, которое при умножении на 15 дает 75. Этим числом является 5. Также это означает, что число 15 содержится в числе 75 пять раз.

3.70 Найдите частное чисел и выполните проверку умножением:

а) 0 : 6;

б) 13 : 1;

в) 101 : 101;

г) 95 : 19;

д) 800 : 16.

а) Найдем частное чисел 0 и 6. По правилу деления, если делимое равно нулю, а делитель не равен нулю, то частное равно нулю. Таким образом, $0 : 6 = 0$.
Выполним проверку умножением. Для этого необходимо частное умножить на делитель. Если в результате получится делимое, то деление выполнено верно.
$0 \times 6 = 0$.
Результат умножения (0) совпадает с делимым (0), значит, решение верное.
Ответ: 0.

б) Найдем частное чисел 13 и 1. По правилу деления, при делении любого числа на 1, в результате получается то же самое число. Таким образом, $13 : 1 = 13$.
Выполним проверку умножением. Умножим частное (13) на делитель (1):
$13 \times 1 = 13$.
Результат умножения (13) совпадает с делимым (13), значит, решение верное.
Ответ: 13.

в) Найдем частное чисел 101 и 101. По правилу деления, при делении любого числа, не равного нулю, на само себя, в результате получается 1. Таким образом, $101 : 101 = 1$.
Выполним проверку умножением. Умножим частное (1) на делитель (101):
$1 \times 101 = 101$.
Результат умножения (101) совпадает с делимым (101), значит, решение верное.
Ответ: 1.

г) Найдем частное чисел 95 и 19. Чтобы найти частное, можно подобрать такое число, которое при умножении на 19 даст 95. Это число 5. Таким образом, $95 : 19 = 5$.
Выполним проверку умножением. Умножим частное (5) на делитель (19):
$5 \times 19 = 95$.
Результат умножения (95) совпадает с делимым (95), значит, решение верное.
Ответ: 5.

д) Найдем частное чисел 800 и 16. Выполним деление. Это можно сделать столбиком или упростив выражение: $800:16 = (80 \times 10):16 = (80:16) \times 10 = 5 \times 10 = 50$. Таким образом, $800 : 16 = 50$.
Выполним проверку умножением. Умножим частное (50) на делитель (16):
$50 \times 16 = 800$.
Результат умножения (800) совпадает с делимым (800), значит, решение верное.
Ответ: 50.

3.71 Площадь прямоугольника равна 240 квадратным сантиметрам, а его длина - 16 см. Найдите ширину прямоугольника.

240 : 16 = 15 (см)

Ответ: 15 см.

Для нахождения ширины прямоугольника необходимо использовать формулу площади. Площадь прямоугольника ($S$) равна произведению его длины ($a$) на ширину ($b$).

Формула площади: $S = a \cdot b$.

По условию задачи нам известны:
Площадь $S = 240$ см?
Длина $a = 16$ см

Чтобы найти ширину ($b$), нужно разделить площадь ($S$) на длину ($a$):
$b = \frac{S}{a}$

Подставим известные значения в формулу:
$b = \frac{240}{16}$

Выполним вычисление:
$b = 15$ см

Ответ: ширина прямоугольника равна 15 см.

3.72 Расстояние между городами, равное 80 км, велосипедист проезжает за 5 ч. Найдите скорость велосипедиста.

80 : 5 = 16 (км/ч)

Ответ: 16 км/ч.

Для того чтобы найти скорость велосипедиста, необходимо разделить расстояние, которое он проехал, на время, затраченное на этот путь. Для этого используется следующая формула:
$v = \frac{s}{t}$
где $v$ — это скорость, $s$ — расстояние, а $t$ — время.

Из условия задачи нам известны следующие значения:
Расстояние $s = 80$ км.
Время $t = 5$ ч.

Теперь подставим известные значения в формулу, чтобы найти скорость:
$v = \frac{80 \text{ км}}{5 \text{ ч}}$

Выполнив вычисление, получаем:
$v = 16$ км/ч.
Ответ: 16 км/ч.

3.73 Теплоход прошёл 189 км со скоростью 27 км/ч. Сколько времени он был в пути?

189 : 27 = 7 (ч)

Ответ: 7 ч.

Чтобы найти время, которое теплоход был в пути, нужно разделить пройденное расстояние на его скорость.

Это можно выразить следующей формулой:
$t = \frac{S}{v}$

где:
$t$ — время в пути,
$S$ — расстояние,
$v$ — скорость.

Согласно условию задачи, мы имеем:
Расстояние $S = 189$ км.
Скорость $v = 27$ км/ч.

Подставим эти значения в формулу:
$t = \frac{189}{27}$

Выполним деление:
$t = 7$ часов.

Ответ: 7 часов.

3 По данным таблицы выясните:

а) за какое время каждая из улиток проползёт 12 дм;

б) какая из улиток самая быстрая; самая медленная;

в) на сколько скорость самой быстрой улитки больше скорости самой медленной;

г) во сколько раз скорость самой медленной улитки меньше скорости самой быстрой;

д) сколько сантиметров преодолеет каждая улитка за 25 мин.

а) за какое время каждая из улиток проползёт 12 дм

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость ($t = S \div v$). В данном случае расстояние $S = 12$ дм.

• Янтарная улитка:
  $t = 12 \div \frac{1}{5} = 12 \times 5 = 60$ мин.
• Виноградная улитка:
  $t = 12 \div \frac{18}{25} = 12 \times \frac{25}{18} = \frac{2 \times 25}{3} = \frac{50}{3} = 16 \frac{2}{3}$ мин.
• Ахатинская улитка:
  $t = 12 \div \frac{7}{10} = 12 \times \frac{10}{7} = \frac{120}{7} = 17 \frac{1}{7}$ мин.
• Лесная улитка:
  $t = 12 \div \frac{6}{10} = 12 \times \frac{10}{6} = 2 \times 10 = 20$ мин.

Ответ: Янтарная улитка проползёт 12 дм за 60 минут, Виноградная – за $16 \frac{2}{3}$ минуты, Ахатинская – за $17 \frac{1}{7}$ минуты, а Лесная – за 20 минут.

б) какая из улиток самая быстрая; самая медленная

Чтобы сравнить скорости, приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5, 25 и 10 — это 50.

• Янтарная улитка: $\frac{1}{5} = \frac{1 \times 10}{5 \times 10} = \frac{10}{50}$ дм/мин.
• Виноградная улитка: $\frac{18}{25} = \frac{18 \times 2}{25 \times 2} = \frac{36}{50}$ дм/мин.
• Ахатинская улитка: $\frac{7}{10} = \frac{7 \times 5}{10 \times 5} = \frac{35}{50}$ дм/мин.
• Лесная улитка: $\frac{6}{10} = \frac{6 \times 5}{10 \times 5} = \frac{30}{50}$ дм/мин.

Теперь сравним числители: $36 > 35 > 30 > 10$.

Самая большая скорость ($\frac{36}{50}$) у Виноградной улитки, а самая маленькая ($\frac{10}{50}$) – у Янтарной.

Ответ: самая быстрая – Виноградная улитка, самая медленная – Янтарная улитка.

в) на сколько скорость самой быстрой улитки больше скорости самой медленной

Нужно найти разность между скоростью самой быстрой (Виноградной) и самой медленной (Янтарной) улитки.

$\frac{18}{25} - \frac{1}{5} = \frac{18}{25} - \frac{5}{25} = \frac{18-5}{25} = \frac{13}{25}$ дм/мин.

Ответ: на $\frac{13}{25}$ дм/мин.

г) во сколько раз скорость самой медленной улитки меньше скорости самой быстрой

Нужно найти отношение скорости самой быстрой (Виноградной) улитки к скорости самой медленной (Янтарной).

$\frac{18}{25} \div \frac{1}{5} = \frac{18}{25} \times \frac{5}{1} = \frac{18 \times 5}{25 \times 1} = \frac{18}{5} = 3 \frac{3}{5}$ раза.

Ответ: в $3 \frac{3}{5}$ раза.

д) сколько сантиметров преодолеет каждая улитка за 25 мин.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время ($S = v \times t$). Время $t = 25$ мин. Так как ответ нужен в сантиметрах, сначала переведем скорость из дм/мин в см/мин, зная, что 1 дм = 10 см.

• Янтарная улитка:
  Скорость: $\frac{1}{5} \times 10 = 2$ см/мин.
  Расстояние: $2 \times 25 = 50$ см.
• Виноградная улитка:
  Скорость: $\frac{18}{25} \times 10 = \frac{180}{25} = \frac{36}{5}$ см/мин.
  Расстояние: $\frac{36}{5} \times 25 = 36 \times 5 = 180$ см.
• Ахатинская улитка:
  Скорость: $\frac{7}{10} \times 10 = 7$ см/мин.
  Расстояние: $7 \times 25 = 175$ см.
• Лесная улитка:
  Скорость: $\frac{6}{10} \times 10 = 6$ см/мин.
  Расстояние: $6 \times 25 = 150$ см.

Ответ: за 25 минут Янтарная улитка преодолеет 50 см, Виноградная – 180 см, Ахатинская – 175 см, а Лесная – 150 см.

?

Нахождение целого по его части — это одна из основных задач при работе с дробями и процентами. Чтобы найти целое число, зная лишь значение его части, нужно выполнить обратное действие к нахождению части от целого, то есть деление.

Рассмотрим два основных случая.

Как найти целое, если часть выражена дробью

Правило: чтобы найти число по его дроби, нужно значение этой дроби (часть) разделить на саму дробь.

Допустим, нам известно, что часть некоторого числа $X$, равная дроби $\frac{m}{n}$, составляет величину $A$. Математически это записывается так:

$X \cdot \frac{m}{n} = A$

Чтобы найти неизвестное целое $X$, нужно величину $A$ разделить на дробь $\frac{m}{n}$:

$X = A \div \frac{m}{n} = A \cdot \frac{n}{m}$

Пример:

Найти число, если его $\frac{2}{5}$ равны 12.

Решение:

Здесь значение части $A=12$, а сама часть выражена дробью $\frac{2}{5}$. Чтобы найти целое число, разделим 12 на $\frac{2}{5}$.

$12 \div \frac{2}{5} = 12 \cdot \frac{5}{2} = \frac{12 \cdot 5}{2} = 6 \cdot 5 = 30$

Также можно рассуждать поэтапно: если две пятых ($\frac{2}{5}$) равны 12, то одна пятая ($\frac{1}{5}$) будет равна $12 \div 2 = 6$. А целое число, то есть пять пятых ($\frac{5}{5}$), будет равно $6 \cdot 5 = 30$.

Ответ: чтобы найти целое по его части, выраженной дробью, нужно значение этой части разделить на эту дробь.

Как найти целое, если часть выражена процентами

Правило: чтобы найти число по его процентам, нужно сначала выразить проценты в виде десятичной или обыкновенной дроби, а затем разделить значение части на полученную дробь.

Поскольку процент — это сотая часть числа ($1\% = \frac{1}{100}$), этот случай сводится к предыдущему.

Допустим, нам известно, что $p\%$ некоторого числа $X$ равны величине $A$.

Чтобы найти целое $X$, сначала переводим проценты в дробь: $p\% = \frac{p}{100}$. Затем делим значение части $A$ на эту дробь:

$X = A \div \frac{p}{100} = A \cdot \frac{100}{p}$

Пример:

Найти число, если его 40% равны 80.

Решение:

Шаг 1: Представим 40% в виде десятичной дроби. Для этого разделим 40 на 100.

$40\% = \frac{40}{100} = 0.4$

Шаг 2: Разделим значение части (80) на полученную дробь (0.4).

$80 \div 0.4 = 800 \div 4 = 200$

Таким образом, искомое число равно 200.

Ответ: чтобы найти целое по его части, выраженной процентами, нужно перевести проценты в дробь и разделить значение этой части на полученную дробь.

5.549 За неделю расход бензина автомобилем составил 57 вместимости бензобака. Сколько литров бензина вмещает бензобак, если израсходовано 30 л бензина?

Данная задача относится к типу задач на нахождение целого по его известной части.

Пусть $V$ — полная вместимость бензобака в литрах. Согласно условию, расход бензина составил $\frac{5}{7}$ от вместимости бензобака, и этот расход равен 30 литрам. Это можно выразить математическим уравнением: $$ \frac{5}{7} \cdot V = 30 $$

Чтобы найти полную вместимость бензобака $V$, необходимо значение части (30 литров) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($\frac{5}{7}$). $$ V = 30 : \frac{5}{7} $$

Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь. Обратная дробь для $\frac{5}{7}$ — это $\frac{7}{5}$. $$ V = 30 \cdot \frac{7}{5} $$

Теперь выполним вычисление: $$ V = \frac{30 \cdot 7}{5} $$ Сократим 30 и 5 на 5: $$ V = \frac{6 \cdot 7}{1} = 42 $$ Таким образом, вместимость бензобака составляет 42 литра.

Ответ: 42 литра.

5.550 Вместимость одной ёмкости для полива огорода составляет 916 вместимости другой и равна 288 л. Сколько литров воды в двух ёмкостях вместе?

Для решения задачи необходимо сначала найти вместимость второй ёмкости, а затем сложить объемы обеих ёмкостей, чтобы найти их общую вместимость.

Обозначим вместимость первой ёмкости как $V_1$, а вместимость второй ёмкости как $V_2$.

Из условия задачи известно, что вместимость первой ёмкости составляет $\frac{9}{16}$ вместимости второй. Также дано, что вместимость первой ёмкости равна 288 л.

Это можно записать в виде уравнения:

$V_1 = \frac{9}{16} \times V_2$

$288 = \frac{9}{16} \times V_2$

1. Найдём вместимость второй ёмкости ($V_2$).

Чтобы найти число по его части (найти $V_2$), нужно значение этой части (288 л) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($\frac{9}{16}$):

$V_2 = 288 \div \frac{9}{16}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную делителю:

$V_2 = 288 \times \frac{16}{9} = \frac{288 \times 16}{9}$

Сократим 288 и 9. Так как $288 \div 9 = 32$, получаем:

$V_2 = 32 \times 16 = 512$ л.

Таким образом, вместимость второй ёмкости — 512 литров.

2. Найдём, сколько литров воды в двух ёмкостях вместе.

Для этого сложим вместимости первой и второй ёмкостей:

$V_{общая} = V_1 + V_2 = 288 + 512 = 800$ л.

Ответ: 800 литров.

5.551 После того как 49 заготовленного на зиму сена было израсходовано на кормление животных, осталось 36 т. Сколько тонн сена было заготовлено на зиму?

Для решения задачи обозначим всё заготовленное на зиму сено за 1 (единицу).

1. Сначала определим, какая часть сена осталась после того, как $\frac{4}{9}$ было израсходовано. Для этого вычтем израсходованную часть из целого:
$1 - \frac{4}{9} = \frac{9}{9} - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$
Таким образом, осталось $\frac{5}{9}$ всего заготовленного сена.

2. Из условия задачи известно, что оставшаяся часть сена составляет 36 тонн. Это означает, что $\frac{5}{9}$ от общего количества сена равны 36 тоннам.

3. Теперь мы можем найти общее количество сена. Если 36 тонн — это $\frac{5}{9}$ от всего сена, то, чтобы найти целое (всё сено), нужно число разделить на соответствующую ему дробь:
$36 : \frac{5}{9} = 36 \cdot \frac{9}{5} = \frac{36 \cdot 9}{5} = \frac{324}{5} = 64,8$ (т)

Следовательно, на зиму было заготовлено 64,8 тонны сена.

Ответ: 64,8 т.

5.552 Как известно, девятнадцатилетний Михаил Ломоносов отправился из Холмогор (Архангельская область) в Москву для поступления в Славяно-греко-латинскую академию. Первые три дня пути он шёл, догоняя обоз, который отправился из Холмогор. Сколько километров прошёл М. Ломоносов, догоняя обоз, если в первый день он преодолел 1029 всего пути, во второй день — 45 пути, пройденного в первый день, а в третий день — остальные 66 км?

в

Для решения задачи обозначим весь путь, который прошёл М. Ломоносов, за $S$ километров. Решим задачу по шагам.

1. Определим, какую часть всего пути Ломоносов прошёл во второй день.

Согласно условию, в первый день он преодолел $\frac{10}{29}$ всего пути. Во второй день он прошёл $\frac{4}{5}$ от расстояния, пройденного в первый день. Чтобы найти эту часть, нужно перемножить дроби:

$\frac{4}{5} \cdot \frac{10}{29} = \frac{4 \cdot 10}{5 \cdot 29} = \frac{40}{145}$

Сократим полученную дробь на 5:

$\frac{40 \div 5}{145 \div 5} = \frac{8}{29}$

Таким образом, во второй день Ломоносов прошёл $\frac{8}{29}$ всего пути.

2. Найдём, какую часть пути он преодолел за первые два дня.

Для этого сложим части пути, пройденные в первый и второй дни:

$\frac{10}{29} + \frac{8}{29} = \frac{10 + 8}{29} = \frac{18}{29}$

Итак, за первые два дня М. Ломоносов прошёл $\frac{18}{29}$ всего пути.

3. Найдём, какую долю от всего пути составляют оставшиеся 66 км.

В третий день Ломоносов прошёл оставшуюся часть пути. Весь путь принимаем за единицу (1). Чтобы найти оставшуюся долю, вычтем из единицы часть, пройденную за первые два дня:

$1 - \frac{18}{29} = \frac{29}{29} - \frac{18}{29} = \frac{11}{29}$

Следовательно, 66 км, которые Ломоносов прошёл в третий день, составляют $\frac{11}{29}$ всего пути.

4. Вычислим общую длину пути $S$.

Теперь мы знаем, что $\frac{11}{29}$ от всего пути $S$ равны 66 км. Чтобы найти весь путь (найти целое по его части), нужно разделить известное расстояние на соответствующую ему дробь:

$S = 66 \div \frac{11}{29} = 66 \cdot \frac{29}{11}$

Выполним вычисление, сократив 66 и 11:

$S = \frac{66 \cdot 29}{11} = (66 \div 11) \cdot 29 = 6 \cdot 29 = 174$ км.

Ответ: 174 км.