Страница 94, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Каким может быть остаток?

При делении одного натурального числа на другое с остатком, остаток — это та часть делимого, которая осталась после того, как из него вычли максимально возможное число раз делитель.

Существует строгое правило: остаток всегда должен быть меньше делителя. Кроме того, остаток всегда является неотрицательным числом, то есть он больше или равен нулю.

Если мы делим число $a$ (делимое) на число $b$ (делитель) и получаем остаток $r$, то это можно записать в виде неравенства: $0 \le r < b$.

Например, при делении на 5, возможными остатками могут быть только числа 0, 1, 2, 3 и 4. Остаток не может быть 5 или больше, так как в этом случае деление можно было бы продолжить.

Ответ: Остаток всегда должен быть меньше делителя и быть неотрицательным числом (больше или равен нулю).

Можно ли разделить остаток, чтобы закончить деление?

В рамках целочисленного деления (деления с остатком) сам процесс деления считается законченным именно тогда, когда получен остаток, который меньше делителя. По определению, этот остаток уже нельзя разделить на делитель, чтобы получить в частном целое число (кроме нуля). Поэтому, чтобы "закончить" деление с остатком, делить остаток не нужно — нахождение остатка и есть окончание этого процесса.

Однако, если требуется получить точный результат в виде десятичной дроби, то деление можно продолжить. В этом случае после целой части частного ставится запятая, к остатку приписывается ноль, и этот новый остаток (увеличенный в 10 раз) делится на делитель. Этот процесс продолжается до тех пор, пока в остатке не получится ноль или не будет достигнута требуемая точность.

Например, при делении 23 на 4 получаем 5 и остаток 3. Целочисленное деление закончено. Если продолжить, делим 3 на 4, получаем 0.75. Итоговый результат $23 \div 4 = 5.75$.

Ответ: В рамках деления с остатком, сам остаток уже не делят на делитель, так как он по определению меньше делителя. Деление считается законченным, когда найден остаток. Однако для получения десятичной дроби можно продолжить деление, разделив остаток на делитель.

Сформулируйте правило нахождения делимого при делении с остатком.

Чтобы найти неизвестное делимое, зная делитель, неполное частное и остаток, нужно выполнить следующие действия: умножить делитель на неполное частное и к полученному произведению прибавить остаток.

Это правило можно выразить с помощью формулы:

$a = b \cdot q + r$

где:

• $a$ — делимое (то, что мы ищем)
• $b$ — делитель
• $q$ — неполное частное
• $r$ — остаток

Например, если при делении некоторого числа на 7 получилось неполное частное 9 и остаток 3, то исходное число (делимое) равно: $7 \cdot 9 + 3 = 63 + 3 = 66$.

Ответ: Чтобы найти делимое, нужно делитель умножить на неполное частное и прибавить остаток.

Когда говорят, что число делится нацело?

Говорят, что одно число делится на другое нацело (или без остатка), если в результате такого деления остаток равен нулю.

Используя формулу деления с остатком $a = b \cdot q + r$, деление нацело происходит тогда, когда $r = 0$. В этом случае формула упрощается до $a = b \cdot q$. Это означает, что делимое можно представить в виде произведения делителя и некоторого целого числа (частного).

Например, 35 делится нацело на 5, потому что остаток от деления равен 0. Мы можем записать это как $35 = 5 \cdot 7$. А вот 36 не делится нацело на 5, потому что при делении получается остаток 1: $36 = 5 \cdot 7 + 1$.

Ответ: Говорят, что число делится нацело, если остаток от деления этого числа на другое равен нулю.

3.142 Выполните деление с остатком:

а) 37 : 5;

б) 90 : 14;

в) 120 : 11;

г) 138 : 35.

Назовите делимое, неполное частное, делитель, остаток.

а) $37 : 5 = 7 (\mathrm{ост}. 2),$  так как

$37 = 7 \cdot 5 + 2$

37 - делимое
5 - делитель
7 - неполное частное
2 - остаток

б) $90 : 14 = 6 (\mathrm{ост}. 6);$ 

$90 = 14 · 6 + 6$

90 - делимое
14 - делитель
6 - неполное частное
6 - остаток

в) $120 : 11 = 10 (\mathrm{ост}. 10)$ 

$120 = 10 · 11 + 10$

120 - делимое
11 - делитель
10 - неполное частное
10 - остаток

г) $138 : 35 = 3 (\mathrm{ост}. 33)$ 

$138 = 35 · 3 + 33$

138 - делимое
35 - делитель
3 - неполное частное
33 - остаток

а) Для выполнения деления 37 на 5 с остатком, находим самое большое число, меньшее или равное 37, которое делится на 5 без остатка. Это число 35, поскольку $5 \cdot 7 = 35$.
Неполное частное равно 7.
Далее находим остаток, вычитая 35 из 37: $37 - 35 = 2$.
Проверка: $5 \cdot 7 + 2 = 35 + 2 = 37$.
Делимое: 37.
Неполное частное: 7.
Делитель: 5.
Остаток: 2.
Ответ: $37 : 5 = 7$ (ост. 2).

б) Для выполнения деления 90 на 14 с остатком, находим самое большое число, меньшее или равное 90, которое делится на 14 без остатка. Это число 84, поскольку $14 \cdot 6 = 84$.
Неполное частное равно 6.
Далее находим остаток, вычитая 84 из 90: $90 - 84 = 6$.
Проверка: $14 \cdot 6 + 6 = 84 + 6 = 90$.
Делимое: 90.
Неполное частное: 6.
Делитель: 14.
Остаток: 6.
Ответ: $90 : 14 = 6$ (ост. 6).

в) Для выполнения деления 120 на 11 с остатком, находим самое большое число, меньшее или равное 120, которое делится на 11 без остатка. Это число 110, поскольку $11 \cdot 10 = 110$.
Неполное частное равно 10.
Далее находим остаток, вычитая 110 из 120: $120 - 110 = 10$.
Проверка: $11 \cdot 10 + 10 = 110 + 10 = 120$.
Делимое: 120.
Неполное частное: 10.
Делитель: 11.
Остаток: 10.
Ответ: $120 : 11 = 10$ (ост. 10).

г) Для выполнения деления 138 на 35 с остатком, находим самое большое число, меньшее или равное 138, которое делится на 35 без остатка. Это число 105, поскольку $35 \cdot 3 = 105$.
Неполное частное равно 3.
Далее находим остаток, вычитая 105 из 138: $138 - 105 = 33$.
Проверка: $35 \cdot 3 + 33 = 105 + 33 = 138$.
Делимое: 138.
Неполное частное: 3.
Делитель: 35.
Остаток: 33.
Ответ: $138 : 35 = 3$ (ост. 33).

3.143 Каким числом не может быть остаток при делении на 7:

а) 4;

б) 0;

в) 8;

г) 5?

Остаток всегда меньше делителя, значит меньше 7.

Так как $8>7$, то число 8 не может быть остатком.

Ответ: в) 8.

Согласно правилу деления с остатком, при делении любого целого числа a на натуральное число b (делитель), остаток r всегда должен быть неотрицательным и строго меньше делителя. Это можно записать в виде формулы: $a = b \cdot q + r$ где q — неполное частное, а для остатка r выполняется условие $0 \le r < b$.

В данном задании деление происходит на 7, следовательно, делитель $b = 7$. Это означает, что любой возможный остаток r должен удовлетворять неравенству $0 \le r < 7$. Таким образом, возможными остатками при делении на 7 являются только целые числа из множества $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов:

а) 4
Число 4 удовлетворяет условию $0 \le 4 < 7$, поэтому оно может быть остатком при делении на 7. Например, при делении 11 на 7: $11 = 7 \cdot 1 + 4$.

б) 0
Число 0 удовлетворяет условию $0 \le 0 < 7$, поэтому оно может быть остатком. Это происходит, когда число делится на 7 без остатка (нацело). Например, $14 = 7 \cdot 2 + 0$.

в) 8
Число 8 не может быть остатком при делении на 7, так как оно не удовлетворяет основному условию $r < 7$ (поскольку $8 > 7$). Остаток по определению не может быть больше делителя или равен ему.

г) 5
Число 5 удовлетворяет условию $0 \le 5 < 7$, поэтому оно может быть остатком при делении на 7. Например, $12 = 7 \cdot 1 + 5$.

Следовательно, единственным числом из списка, которое не может являться остатком при делении на 7, является 8.

Ответ: 8.

3.144 Для изготовления одного парника требуется 14 м плёнки. Сколько парников можно сделать из 100 м плёнки?

$100 : 14 = 7$(ост. 2)

Ответ: 7 париков и 2 м останется.

3.144 Для решения этой задачи необходимо найти, сколько раз по $14$ метров плёнки (расход на один парник) содержится в $100$ метрах (общее количество плёнки). Иными словами, нужно разделить общее количество плёнки на расход для одного парника. Результатом будет количество парников, которое можно изготовить. Так как количество парников может быть только целым числом, нас интересует целая часть от деления.

Исходные данные:

• Общее количество плёнки: $100$ м.
• Расход плёнки на один парник: $14$ м.

Выполним деление общего количества плёнки на расход для одного парника:
$100 \div 14$

Чтобы найти целое число, можно выполнить деление с остатком или подобрать ближайшее произведение.
Попробуем умножить $14$ на разные числа:
$14 \times 6 = 84$ (плёнки хватает)
$14 \times 7 = 98$ (плёнки хватает)
$14 \times 8 = 112$ (плёнки не хватает, так как $112 > 100$)

Таким образом, из $100$ метров плёнки можно изготовить $7$ парников. При этом будет израсходовано $98$ метров плёнки, и останется $100 - 98 = 2$ метра плёнки.

Ответ: 7 парников.

3.145 В каждой упаковке 20 тюльпанов. Сколько букетов из 17 тюльпанов можно составить из 10 таких упаковок? Сколько тюльпанов останется?

1) $20 \cdot 10 = 200$ (т.) - всего

2) $200 : 17 = 11$ (ост. 13)

Ответ: 11 букетов и 13 тюльпанов останется.

Сколько букетов из 17 тюльпанов можно составить из 10 таких упаковок?

1. Сначала необходимо найти общее количество тюльпанов. По условию задачи, имеется 10 упаковок, и в каждой упаковке находится 20 тюльпанов. Чтобы найти общее количество, умножим количество упаковок на количество тюльпанов в одной упаковке:
$10 \times 20 = 200$ (тюльпанов).

2. Теперь, зная общее количество тюльпанов, мы можем определить, сколько букетов по 17 тюльпанов в каждом можно из них составить. Для этого нужно разделить общее количество тюльпанов на количество тюльпанов в одном букете. Нам нужна целая часть от этого деления.
$200 \div 17$

Выполним деление с остатком:
$200 = 17 \times 11 + 13$
Целая часть от деления (неполное частное) равна 11. Следовательно, из 200 тюльпанов можно составить 11 полных букетов.

Ответ: можно составить 11 букетов.

Сколько тюльпанов останется?

Количество оставшихся тюльпанов — это остаток от деления общего числа тюльпанов (200) на количество тюльпанов в одном букете (17).
Как было найдено в предыдущем шаге, при делении 200 на 17 получается 11 и 13 в остатке.
$200 \div 17 = 11 \text{ (остаток 13)}$

Также можно выполнить проверку:
1. Вычислим, сколько тюльпанов ушло на 11 букетов: $11 \times 17 = 187$ (тюльпанов).
2. Вычтем это количество из общего числа тюльпанов: $200 - 187 = 13$ (тюльпанов).

Ответ: останется 13 тюльпанов.

3.146 В железнодорожной цистерне помещается 60 т нефти. Сколько таких цистерн потребуется, чтобы полностью заполнить 43 автоцистерны грузоподъёмностью 32 т? Сколько нефти останется?

1) $43 \cdot 32 = 1376$(т) - масса всей нефти

2) $1376 : 60 = 22$(ост. 56)

Ответ: 22 цистерны понадобится, 56 т нефти останется.

Сколько таких цистерн потребуется, чтобы полностью заполнить 43 автоцистерны грузоподъёмностью 32 т?

1. Первым шагом найдем общий объем нефти, необходимый для заполнения всех автоцистерн. Для этого умножим количество автоцистерн на грузоподъемность каждой из них:
$43 \times 32 = 1376$ тонн.
Столько всего нефти нужно перевезти.

2. Далее определим, сколько железнодорожных цистерн вместимостью 60 тонн каждая потребуется для перевозки 1376 тонн нефти. Для этого разделим общий объем нефти на вместимость одной железнодорожной цистерны:
$1376 \div 60$

3. Выполним деление с остатком:
$1376 = 60 \times 22 + 56$.
Результат деления показывает, что потребуется 22 полностью заполненные железнодорожные цистерны, и еще останется 56 тонн нефти. Для перевозки этих 56 тонн понадобится еще одна, 23-я цистерна. Следовательно, общее количество необходимых цистерн равно $22 + 1 = 23$.

Ответ: 23 железнодорожные цистерны.

Сколько нефти останется?

1. Мы определили, что для перевозки всего объема нефти нужно использовать 23 железнодорожные цистерны. Найдем общий объем нефти, который содержится в 23 цистернах:
$23 \times 60 = 1380$ тонн.

2. Из этого общего объема было использовано 1376 тонн для заполнения автоцистерн. Чтобы найти остаток, вычтем использованный объем из общего доступного объема:
$1380 - 1376 = 4$ тонны.

3. Также можно найти остаток, рассмотрев последнюю, 23-ю цистерну. Из нее было взято 56 тонн нефти (остаток от деления из первого вопроса). Поскольку ее полная вместимость 60 тонн, то в ней останется:
$60 - 56 = 4$ тонны.

Ответ: 4 тонны нефти.

3.147 Заполните таблицу.

1)

$q = 8,$ $r = 82$

2) Пусть x - делитель, тогда

$286 : x = 10$ (ост. 16)
$286 = 10x + 16$
$10x + 16 = 286$
$10x = 286 - 16$
$10x = 270$
$x = 270 : 10$
$x = 27$
$b = 27$

3) $a = 76 \cdot 25 + 13$

$a = 1913$

Для решения задачи используется формула деления с остатком: $a = b \cdot q + r$, где $a$ – делимое, $b$ – делитель, $q$ – неполное частное, $r$ – остаток. Также должно выполняться неравенство $0 \le r < b$.

Решение для первой строки

Дано делимое $a = 746$ и делитель $b = 83$. Необходимо найти неполное частное $q$ и остаток $r$.

1. Разделим $a$ на $b$, чтобы найти неполное частное $q$.

$746 \div 83$

Подберем целое число, которое при умножении на 83 даст результат, наиболее близкий к 746, но не превышающий его.

$83 \cdot 8 = 664$

$83 \cdot 9 = 747$ (это больше 746)

Следовательно, неполное частное $q = 8$.

2. Теперь найдем остаток $r$, вычитая из делимого произведение делителя на неполное частное:

$r = a - b \cdot q = 746 - 83 \cdot 8 = 746 - 664 = 82$.

3. Проверим, выполняется ли условие $0 \le r < b$:

$0 \le 82 < 83$. Условие выполнено.

Ответ: неполное частное $q=8$, остаток $r=82$.

Решение для второй строки

Дано делимое $a = 286$, неполное частное $q = 10$ и остаток $r = 16$. Необходимо найти делитель $b$.

1. Воспользуемся формулой $a = b \cdot q + r$. Выразим из нее произведение $b \cdot q$:

$b \cdot q = a - r$

2. Подставим известные значения:

$b \cdot 10 = 286 - 16 = 270$

3. Теперь найдем делитель $b$:

$b = 270 \div 10 = 27$

4. Проверим, выполняется ли условие $0 \le r < b$:

$0 \le 16 < 27$. Условие выполнено.

Ответ: делитель $b=27$.

Решение для третьей строки

Дан делитель $b = 76$, неполное частное $q = 25$ и остаток $r = 13$. Необходимо найти делимое $a$.

1. Используем основную формулу $a = b \cdot q + r$.

2. Подставим известные значения и вычислим:

$a = 76 \cdot 25 + 13$

Сначала выполним умножение:

$76 \cdot 25 = 1900$

Затем прибавим остаток:

$a = 1900 + 13 = 1913$

3. Условие $0 \le r < b$ ($0 \le 13 < 76$) уже выполняется согласно данным задачи.

Ответ: делимое $a=1913$.

6.4 Представьте в виде обыкновенной дроби или смешанного числа:

Не забудьте сократить дробь.

а) $3,7 = 3\frac{7}{10}$

б) $41,5 = 41\frac{5}{10} = 41\frac{1}{2}$

в) $567,99 = 567\frac{99}{100}$

г) $7,003 = 7\frac{3}{1000}$

д) $87,78 = 87\frac{78}{100} = 87\frac{39}{50}$

е) $0,32 = \frac{32}{100} = \frac{8}{25}$

ж) $0,80 = \frac{80}{100} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

з) $0,08 = \frac{8}{100} = \frac{2}{25}$

и) $0,88 = \frac{88}{100} = \frac{22}{25}$

а) Чтобы представить десятичную дробь 3,7 в виде смешанного числа, выделим целую и дробную части. Целая часть равна 3. Дробную часть 0,7 запишем как обыкновенную дробь. Так как после запятой стоит одна цифра, знаменателем будет 10, а числителем – 7. Получаем дробь $ \frac{7}{10} $. Эта дробь является несократимой, так как числа 7 и 10 не имеют общих делителей, кроме 1. Соединив целую и дробную части, получаем смешанное число.
$ 3,7 = 3 \frac{7}{10} $.
Ответ: $ 3 \frac{7}{10} $

б) В десятичной дроби 41,5 целая часть равна 41, а дробная – 0,5. Представим дробную часть в виде обыкновенной дроби: $ 0,5 = \frac{5}{10} $. Эту дробь необходимо сократить. Наибольший общий делитель для 5 и 10 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2} $.
Теперь запишем смешанное число: $ 41,5 = 41 \frac{1}{2} $.
Ответ: $ 41 \frac{1}{2} $

в) Целая часть числа 567,99 равна 567. Дробная часть 0,99. Так как в дробной части две цифры после запятой, знаменатель будет 100. Получаем дробь $ \frac{99}{100} $. Проверим, можно ли ее сократить. Число 99 делится на 1, 3, 9, 11, 33, 99. Число 100 делится на 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100. Общих делителей, кроме 1, нет. Следовательно, дробь несократимая.
$ 567,99 = 567 \frac{99}{100} $.
Ответ: $ 567 \frac{99}{100} $

г) Целая часть числа 7,003 равна 7. Дробная часть 0,003. В дробной части три цифры, поэтому знаменатель будет 1000. Получаем дробь $ \frac{3}{1000} $. Число 3 является простым, а 1000 на 3 не делится (сумма цифр 1+0+0+0=1 не делится на 3). Значит, дробь несократимая.
$ 7,003 = 7 \frac{3}{1000} $.
Ответ: $ 7 \frac{3}{1000} $

д) Целая часть числа 87,78 равна 87. Дробная часть 0,78. Представим ее в виде дроби $ \frac{78}{100} $. Числитель и знаменатель — четные числа, поэтому их можно сократить как минимум на 2.
$ \frac{78 \div 2}{100 \div 2} = \frac{39}{50} $.
Проверим возможность дальнейшего сокращения. Множители числа 39: 3, 13. Множители числа 50: 2, 5. Общих множителей нет, дробь несократимая.
$ 87,78 = 87 \frac{39}{50} $.
Ответ: $ 87 \frac{39}{50} $

е) Целая часть числа 0,32 равна 0, поэтому представим его в виде обыкновенной дроби. $ 0,32 = \frac{32}{100} $. Сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для 32 и 100 равен 4.
$ \frac{32 \div 4}{100 \div 4} = \frac{8}{25} $.
Дробь $ \frac{8}{25} $ несократимая.
Ответ: $ \frac{8}{25} $

ж) Целая часть числа 0,80 равна 0. Представим его в виде обыкновенной дроби. Запись 0,80 эквивалентна 0,8.
$ 0,80 = 0,8 = \frac{8}{10} $.
Сократим дробь $ \frac{8}{10} $, разделив числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5} $.
Ответ: $ \frac{4}{5} $

з) Целая часть числа 0,08 равна 0. Представим его в виде обыкновенной дроби.
$ 0,08 = \frac{8}{100} $.
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 8 и 100 равен 4.
$ \frac{8 \div 4}{100 \div 4} = \frac{2}{25} $.
Дробь $ \frac{2}{25} $ несократимая.
Ответ: $ \frac{2}{25} $

и) Целая часть числа 0,88 равна 0. Представим его в виде обыкновенной дроби.
$ 0,88 = \frac{88}{100} $.
Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 88 и 100 равен 4.
$ \frac{88 \div 4}{100 \div 4} = \frac{22}{25} $.
Дробь $ \frac{22}{25} $ несократимая.
Ответ: $ \frac{22}{25} $

6.5 Выразите:

а) в метрах: 4 м 6 дм; 7 м 1 дм; 8 дм; 6 см 5 мм;

б) в тоннах: 25 т 6 ц; 20 ц 75 кг; 12 ц 40 кг; 72 кг; 25 т 6 ц; 20 ц 75 кг;

в) в килограммах: 9 кг 559 г; 8 кг 11 г; 8 т 11 кг 5 г; 250 г;

г) в тоннах и центнерах: 2,441 т; 26,200 т; 9,031 т; 7,070 т;

д) в метрах и сантиметрах: 4,79 м; 2,07 м; 15,5 м; 0,21 м;

е) в квадратных дециметрах и квадратных сантиметрах: 2,25 дм²; 7,09 дм²; 1,4 дм²; 0,31 дм².

а) в метрах

Для перевода в метры используем следующие соотношения: в одном метре 10 дециметров ($1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$), 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$) и 1000 миллиметров ($1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$).

4 м 6 дм: Дециметры переводим в метры: $6 \text{ дм} = \frac{6}{10} \text{ м} = 0,6 \text{ м}$. Складываем с метрами: $4 \text{ м} + 0,6 \text{ м} = 4,6 \text{ м}$.

7 м 1 дм: $1 \text{ дм} = \frac{1}{10} \text{ м} = 0,1 \text{ м}$. Складываем: $7 \text{ м} + 0,1 \text{ м} = 7,1 \text{ м}$.

8 дм: $8 \text{ дм} = \frac{8}{10} \text{ м} = 0,8 \text{ м}$.

6 см 5 мм: Переводим обе величины в метры: $6 \text{ см} = \frac{6}{100} \text{ м} = 0,06 \text{ м}$ и $5 \text{ мм} = \frac{5}{1000} \text{ м} = 0,005 \text{ м}$. Складываем их: $0,06 \text{ м} + 0,005 \text{ м} = 0,065 \text{ м}$.

Ответ: 4,6 м; 7,1 м; 0,8 м; 0,065 м.

б) в тоннах

Для перевода в тонны используем соотношения: в одной тонне 10 центнеров ($1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$) и 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$). В задании некоторые значения повторяются, поэтому приведем решение для уникальных.

25 т 6 ц: Центнеры переводим в тонны: $6 \text{ ц} = \frac{6}{10} \text{ т} = 0,6 \text{ т}$. Складываем: $25 \text{ т} + 0,6 \text{ т} = 25,6 \text{ т}$.

20 ц 75 кг: Переводим обе величины в тонны: $20 \text{ ц} = \frac{20}{10} \text{ т} = 2 \text{ т}$ и $75 \text{ кг} = \frac{75}{1000} \text{ т} = 0,075 \text{ т}$. Складываем: $2 \text{ т} + 0,075 \text{ т} = 2,075 \text{ т}$.

12 ц 40 кг: Переводим обе величины в тонны: $12 \text{ ц} = \frac{12}{10} \text{ т} = 1,2 \text{ т}$ и $40 \text{ кг} = \frac{40}{1000} \text{ т} = 0,04 \text{ т}$. Складываем: $1,2 \text{ т} + 0,04 \text{ т} = 1,24 \text{ т}$.

72 кг: $72 \text{ кг} = \frac{72}{1000} \text{ т} = 0,072 \text{ т}$.

Ответ: 25,6 т; 2,075 т; 1,24 т; 0,072 т; 25,6 т; 2,075 т.

в) в килограммах

Для перевода в килограммы используем соотношения: в одном килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$), в одной тонне 1000 килограммов ($1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$).

9 кг 559 г: Граммы переводим в килограммы: $559 \text{ г} = \frac{559}{1000} \text{ кг} = 0,559 \text{ кг}$. Складываем: $9 \text{ кг} + 0,559 \text{ кг} = 9,559 \text{ кг}$.

8 кг 11 г: $11 \text{ г} = \frac{11}{1000} \text{ кг} = 0,011 \text{ кг}$. Складываем: $8 \text{ кг} + 0,011 \text{ кг} = 8,011 \text{ кг}$.

8 т 11 кг 5 г: Переводим все в килограммы: $8 \text{ т} = 8 \cdot 1000 \text{ кг} = 8000 \text{ кг}$, $5 \text{ г} = \frac{5}{1000} \text{ кг} = 0,005 \text{ кг}$. Складываем все: $8000 \text{ кг} + 11 \text{ кг} + 0,005 \text{ кг} = 8011,005 \text{ кг}$.

250 г: $250 \text{ г} = \frac{250}{1000} \text{ кг} = 0,25 \text{ кг}$.

Ответ: 9,559 кг; 8,011 кг; 8011,005 кг; 0,25 кг.

г) в тоннах и центнерах

Для представления десятичной дроби в тоннах через тонны, центнеры и килограммы, используем соотношения: $1 \text{ т} = 10 \text{ ц}$ и $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$. Целая часть исходного числа — это тонны. Дробную часть тонн переводим в меньшие единицы.

2,441 т: Это $2$ целых тонны и $0,441$ тонны. $0,441 \text{ т} = 0,441 \cdot 10 \text{ ц} = 4,41 \text{ ц}$. Это $4$ целых центнера и $0,41$ центнера. $0,41 \text{ ц} = 0,41 \cdot 100 \text{ кг} = 41 \text{ кг}$. Итого: $2$ т $4$ ц $41$ кг.

26,200 т: Это $26$ тонн и $0,200 \text{ т} = 0,2$ т. $0,2 \text{ т} = 0,2 \cdot 10 \text{ ц} = 2 \text{ ц}$. Итого: $26$ т $2$ ц.

9,031 т: Это $9$ тонн и $0,031$ т. $0,031 \text{ т} = 0,031 \cdot 1000 \text{ кг} = 31 \text{ кг}$. Поскольку $31 \text{ кг}$ меньше, чем $1$ центнер ($100$ кг), то целых центнеров нет. Итого: $9$ т $31$ кг.

7,070 т: Это $7$ тонн и $0,070 \text{ т} = 0,07$ т. $0,07 \text{ т} = 0,07 \cdot 1000 \text{ кг} = 70 \text{ кг}$. Целых центнеров нет. Итого: $7$ т $70$ кг.

Ответ: 2 т 4 ц 41 кг; 26 т 2 ц; 9 т 31 кг; 7 т 70 кг.

д) в метрах и сантиметрах

Для представления десятичной дроби в метрах через метры и сантиметры, используем соотношение $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Целая часть числа — это метры, а дробная часть, умноженная на 100, — сантиметры.

4,79 м: $4$ целых метра и $0,79$ м. $0,79 \text{ м} = 0,79 \cdot 100 \text{ см} = 79 \text{ см}$. Итого: $4$ м $79$ см.

2,07 м: $2$ целых метра и $0,07$ м. $0,07 \text{ м} = 0,07 \cdot 100 \text{ см} = 7 \text{ см}$. Итого: $2$ м $7$ см.

15,5 м: $15$ целых метров и $0,5$ м. $0,5 \text{ м} = 0,50 \text{ м} = 0,50 \cdot 100 \text{ см} = 50 \text{ см}$. Итого: $15$ м $50$ см.

0,21 м: $0$ целых метров и $0,21$ м. $0,21 \text{ м} = 0,21 \cdot 100 \text{ см} = 21 \text{ см}$. Итого: $21$ см.

Ответ: 4 м 79 см; 2 м 7 см; 15 м 50 см; 21 см.

е) в квадратных дециметрах и квадратных сантиметрах

Для перевода используем соотношение $1 \text{ дм}? = 100 \text{ см}?$. Целая часть числа — это квадратные дециметры, а дробная часть, умноженная на 100, — квадратные сантиметры.

2,25 дм?: $2$ целых дм? и $0,25$ дм?. $0,25 \text{ дм}? = 0,25 \cdot 100 \text{ см}? = 25 \text{ см}?$. Итого: $2$ дм? $25$ см?.

7,09 дм?: $7$ целых дм? и $0,09$ дм?. $0,09 \text{ дм}? = 0,09 \cdot 100 \text{ см}? = 9 \text{ см}?$. Итого: $7$ дм? $9$ см?.

1,4 дм?: $1$ целый дм? и $0,4$ дм?. $0,4 \text{ дм}? = 0,40 \text{ дм}? = 0,40 \cdot 100 \text{ см}? = 40 \text{ см}?$. Итого: $1$ дм? $40$ см?.

0,31 дм?: $0$ целых дм? и $0,31$ дм?. $0,31 \text{ дм}? = 0,31 \cdot 100 \text{ см}? = 31 \text{ см}?$. Итого: $31$ см?.

Ответ: 2 дм? 25 см?; 7 дм? 9 см?; 1 дм? 40 см?; 31 см?.

6.6 Назовите единицы каждого разряда в числе:

а) 567;

б) 5,3;

в) 34,05;

г) 0,304;

д) 1007,1003045.

Чтобы назвать единицы каждого разряда в числе, нужно определить, какое значение имеет каждая цифра в зависимости от ее позиции (разряда). Разряды в целой части числа (слева от запятой) называются: единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д. Разряды в дробной части (справа от запятой) называются: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные и т.д.

а) Разберем число $567$. Это целое число.

Цифра $7$ находится в разряде единиц, поэтому она представляет $7$ единиц.
Цифра $6$ находится в разряде десятков, поэтому она представляет $6$ десятков.
Цифра $5$ находится в разряде сотен, поэтому она представляет $5$ сотен.

Ответ: 5 сотен, 6 десятков, 7 единиц.

б) Разберем число $5,3$. Это десятичная дробь.

Цифра $5$ находится в целой части, в разряде единиц, и представляет $5$ единиц.
Цифра $3$ находится в дробной части, в разряде десятых, и представляет $3$ десятых.

Ответ: 5 единиц, 3 десятых.

в) Разберем число $34,05$. Это десятичная дробь.

В целой части ($34$):
Цифра $3$ находится в разряде десятков и представляет $3$ десятка.
Цифра $4$ находится в разряде единиц и представляет $4$ единицы.
В дробной части ($05$):
Цифра $0$ находится в разряде десятых и представляет $0$ десятых.
Цифра $5$ находится в разряде сотых и представляет $5$ сотых.

Ответ: 3 десятка, 4 единицы, 0 десятых, 5 сотых.

г) Разберем число $0,304$. Это десятичная дробь.

Цифра $0$ в целой части находится в разряде единиц и представляет $0$ единиц.
В дробной части ($304$):
Цифра $3$ находится в разряде десятых и представляет $3$ десятых.
Цифра $0$ находится в разряде сотых и представляет $0$ сотых.
Цифра $4$ находится в разряде тысячных и представляет $4$ тысячных.

Ответ: 0 единиц, 3 десятых, 0 сотых, 4 тысячных.

д) Разберем число $1007,1003045$. Это десятичная дробь.

В целой части ($1007$):
Цифра $1$ находится в разряде тысяч и представляет $1$ тысячу.
Цифра $0$ находится в разряде сотен и представляет $0$ сотен.
Цифра $0$ находится в разряде десятков и представляет $0$ десятков.
Цифра $7$ находится в разряде единиц и представляет $7$ единиц.
В дробной части ($1003045$):
Цифра $1$ находится в разряде десятых и представляет $1$ десятую.
Цифра $0$ находится в разряде сотых и представляет $0$ сотых.
Цифра $0$ находится в разряде тысячных и представляет $0$ тысячных.
Цифра $3$ находится в разряде десятитысячных и представляет $3$ десятитысячных.
Цифра $0$ находится в разряде стотысячных и представляет $0$ стотысячных.
Цифра $4$ находится в разряде миллионных и представляет $4$ миллионных.
Цифра $5$ находится в разряде десятимиллионных и представляет $5$ десятимиллионных.

Ответ: 1 тысяча, 0 сотен, 0 десятков, 7 единиц, 1 десятая, 0 сотых, 0 тысячных, 3 десятитысячных, 0 стотысячных, 4 миллионных, 5 десятимиллионных.

6.7 Проведите отрезок NM = 3,4 см и окружность с центром М и радиусом, равным 2,5 см.

Для выполнения данного задания необходимо последовательно выполнить два геометрических построения: сначала построить отрезок, а затем — окружность. Для этого понадобятся линейка и циркуль.

1. Построение отрезка NM
Сначала построим отрезок $NM$ длиной $3,4$ см.

• На листе бумаги поставим точку и обозначим её буквой N.
• Возьмём линейку, приложим её нулевую отметку к точке N.
• Вдоль линейки отмерим расстояние $3,4$ см и поставим вторую точку, которую обозначим буквой M.
• Соединим точки N и M прямой линией.

В результате мы получили отрезок $NM$, длина которого составляет $NM = 3,4$ см.

2. Построение окружности
Теперь построим окружность с центром в точке M и радиусом $2,5$ см.

• Возьмём циркуль и с помощью линейки установим расстояние между его иголкой и грифелем равным $2,5$ см. Это значение является радиусом окружности: $R = 2,5$ см.
• Установим иголку циркуля в точку M, которая была построена на предыдущем шаге. Эта точка будет центром окружности.
• Не меняя раствор циркуля, проведём замкнутую линию, получив окружность.

Анализ взаимного расположения
В результате построений у нас есть отрезок $NM$ и окружность с центром в точке М. Расстояние от точки N до центра окружности М равно длине отрезка $NM$, то есть $3,4$ см. Радиус окружности равен $R = 2,5$ см.
Сравним расстояние $NM$ с радиусом $R$: $3,4 \text{ см} > 2,5 \text{ см}$, следовательно, $NM > R$.
Так как расстояние от точки N до центра окружности больше её радиуса, точка N находится вне окружности.

Ответ: В результате выполненных построений получен отрезок $NM$ длиной $3,4$ см и окружность с центром в точке M и радиусом $2,5$ см. Точка N, являющаяся одним из концов отрезка, лежит вне построенной окружности.

6.8 Выразите в виде десятичной дроби частное:

а) 131 : 10;

б) 6905 : 100;

в) 721 : 10 000;

г) 66 : 1000;

д) 931 : 1000;

е) 7 : 100 000.

а) Чтобы выразить частное в виде десятичной дроби, необходимо выполнить деление. При делении на 10, десятичная запятая в делимом переносится на один знак влево. В целых числах запятая по умолчанию находится в конце.
$131 : 10 = \frac{131}{10} = 13,1$
Ответ: $13,1$

б) При делении на 100, десятичная запятая переносится на два знака влево.
$6905 : 100 = \frac{6905}{100} = 69,05$
Ответ: $69,05$

в) При делении на 10 000, десятичная запятая переносится на четыре знака влево. Поскольку в числе 721 всего три цифры, необходимо добавить нули слева, чтобы обеспечить нужное количество знаков после запятой.
$721 : 10000 = \frac{721}{10000} = 0,0721$
Ответ: $0,0721$

г) При делении на 1000, десятичная запятая переносится на три знака влево. В числе 66 две цифры, поэтому добавляем один ноль слева.
$66 : 1000 = \frac{66}{1000} = 0,066$
Ответ: $0,066$

д) При делении на 1000, десятичная запятая переносится на три знака влево.
$931 : 1000 = \frac{931}{1000} = 0,931$
Ответ: $0,931$

е) При делении на 100 000, десятичная запятая переносится на пять знаков влево. В числе 7 одна цифра, поэтому необходимо добавить четыре нуля слева после запятой.
$7 : 100000 = \frac{7}{100000} = 0,00007$
Ответ: $0,00007$

6.9 Вычислите.

а) Решим по действиям:
1) $8^2 : 4 = 64 : 4 = 16$
2) $16 + 56 = 72$
3) $72 : 18 = 4$
4) $4 \cdot 25 = 100$
5) $100 - 61 = 39$
Ответ: 39

б) Решим по действиям:
1) $3^3 \cdot 2 = 27 \cdot 2 = 54$
2) $54 : 6 = 9$
3) $9 \cdot 7 = 63$
4) $63 + 7 = 70$
5) $70 + 230 = 300$
Ответ: 300

в) Решим по действиям:
1) $10^2 \cdot 3 = 100 \cdot 3 = 300$
2) $300 : 150 = 2$
3) $2 \cdot 48 = 96$
4) $96 + 44 = 140$
5) $140 : 7 = 20$
Ответ: 20

г) Решим по действиям:
1) $4^3 : 8 = 64 : 8 = 8$
2) $8 \cdot 9 = 72$
3) $72 + 19 = 91$
4) $91 : 13 = 7$
5) $7 \cdot 120 = 840$
Ответ: 840

д) Решим по действиям:
1) $5^2 \cdot 8 = 25 \cdot 8 = 200$
2) $200 : 40 = 5$
3) $5 \cdot 60 = 300$
4) $300 - 120 = 180$
5) $180 : 30 = 6$
Ответ: 6

6.10 Назовите целую и дробную части чисел 667, 3716, 27, 710, 11719.

$6\frac{6}{7}$

Смешанное число состоит из целой и дробной части. Для числа $6\frac{6}{7}$ целая часть – это число, стоящее слева, а дробная часть – это дробь справа.
Целая часть: 6.
Дробная часть: $\frac{6}{7}$.
Ответ: целая часть – 6, дробная часть – $\frac{6}{7}$.

$3\frac{7}{16}$

Аналогично предыдущему примеру, в смешанном числе $3\frac{7}{16}$ мы можем выделить целую и дробную части.
Целая часть: 3.
Дробная часть: $\frac{7}{16}$.
Ответ: целая часть – 3, дробная часть – $\frac{7}{16}$.

27

Число 27 является целым числом. Любое целое число можно рассматривать как смешанное число, у которого дробная часть равна нулю.
Целая часть: 27.
Дробная часть: 0.
Ответ: целая часть – 27, дробная часть – 0.

$\frac{7}{10}$

Дробь $\frac{7}{10}$ является правильной дробью, так как её числитель (7) меньше знаменателя (10). У правильных дробей целая часть считается равной нулю.
Целая часть: 0.
Дробная часть: $\frac{7}{10}$.
Ответ: целая часть – 0, дробная часть – $\frac{7}{10}$.

$1\frac{17}{19}$

Для смешанного числа $1\frac{17}{19}$ определяем целую и дробную части по тому же принципу.
Целая часть: 1.
Дробная часть: $\frac{17}{19}$.
Ответ: целая часть – 1, дробная часть – $\frac{17}{19}$.

6.11 Расположите числа 45, 4500, 045, 450, 45 000 в порядке убывания.

$45000,4500,450,45,0.45$

Для того чтобы расположить числа в порядке убывания, их необходимо сравнить друг с другом и выстроить в последовательность от самого большого к самому маленькому.

Нам даны следующие числа: $45$, $4500$, $045$, $450$, $45 000$.

Прежде всего, заметим, что число $045$ равно числу $45$, так как ведущий ноль в записи целого числа не изменяет его значения.

Теперь сравним все числа по их величине. Проще всего это сделать, сравнивая количество разрядов (цифр) в каждом числе:
1. Самое большое число — $45 000$ (сорок пять тысяч), так как оно пятизначное.
2. Следующим по величине идет $4500$ (четыре тысячи пятьсот), так как оно четырёхзначное.
3. Далее следует $450$ (четыреста пятьдесят), это трёхзначное число.
4. Самыми маленькими являются числа $45$ и $045$, они равны друг другу и являются двузначными.

Таким образом, выстраивая числа в порядке от наибольшего к наименьшему, мы получаем следующий ряд.
Ответ: $45 000, 4500, 450, 45, 045$.

6.12 Запишите в виде смешанного числа или дроби частное:

а) 7 : 2;

б) 7 : 12;

в) 6 : 10;

г) 25 : 10.

а) Чтобы записать частное $7 : 2$ в виде смешанного числа, нужно представить его в виде неправильной дроби и выделить целую часть. Деление $7$ на $2$ можно записать как дробь $\frac{7}{2}$.
Чтобы из неправильной дроби $\frac{7}{2}$ выделить целую часть, разделим числитель $7$ на знаменатель $2$ с остатком:
$7 \div 2 = 3$ и остаток $1$.
Неполное частное ($3$) становится целой частью смешанного числа. Остаток ($1$) становится числителем дробной части, а знаменатель ($2$) остается тем же.
Таким образом, получаем: $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.
Ответ: $3\frac{1}{2}$

б) Частное $7 : 12$ записывается в виде дроби, где делимое ($7$) является числителем, а делитель ($12$) — знаменателем: $\frac{7}{12}$.
Так как числитель ($7$) меньше знаменателя ($12$), эта дробь является правильной. Проверим, можно ли ее сократить. Число $7$ — простое, а $12$ на $7$ не делится. Следовательно, у чисел $7$ и $12$ нет общих делителей, кроме $1$, и дробь является несократимой.
Ответ: $\frac{7}{12}$

в) Частное $6 : 10$ записывается в виде дроби $\frac{6}{10}$.
Эта дробь является правильной, так как числитель ($6$) меньше знаменателя ($10$). Дробь можно сократить, поскольку и числитель, и знаменатель имеют общий делитель $2$.
Разделим числитель и знаменатель на $2$:
$\frac{6}{10} = \frac{6 \div 2}{10 \div 2} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$

г) Частное $25 : 10$ можно записать в виде неправильной дроби $\frac{25}{10}$.
Чтобы преобразовать эту дробь в смешанное число, разделим числитель $25$ на знаменатель $10$ с остатком:
$25 \div 10 = 2$ и остаток $5$.
Целая часть равна $2$, а дробная часть равна $\frac{5}{10}$. Получаем смешанное число $2\frac{5}{10}$.
Дробную часть $\frac{5}{10}$ можно сократить, так как числитель и знаменатель делятся на $5$:
$\frac{5}{10} = \frac{5 \div 5}{10 \div 5} = \frac{1}{2}$.
Таким образом, итоговый результат: $2\frac{1}{2}$.
Ответ: $2\frac{1}{2}$

6.13 Определите координаты точек Р, К, М, D на рисунке 6.1. Найдите в единичных отрезках длину отрезка: а) ОМ; б) РК; в) DO; г) MD.

Для решения задачи сначала определим цену одного деления на координатной прямой, изображенной на рисунке 6.1. Расстояние от точки O с координатой 0 до точки P с координатой 1 разделено на 4 равных части. Следовательно, длина одного такого деления составляет $1 \div 4 = \frac{1}{4}$.

Теперь определим координаты заданных точек:

• Точка M находится на 2 деления правее точки O. Её координата: $2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
• Точка P находится на 4 деления правее точки O. Её координата: $4 \cdot \frac{1}{4} = 1$.
• Точка D находится на 6 делений правее точки O. Её координата: $6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
• Точка K находится на 9 делений правее точки O. Её координата: $9 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.

Таким образом, координаты точек: P(1), K($\frac{9}{4}$), M($\frac{1}{2}$), D($\frac{3}{2}$).

Далее найдем длины отрезков в единичных отрезках. Длина отрезка на координатной прямой равна модулю разности координат его концов.

а) OM
Длина отрезка OM равна модулю разности координат точек M($\frac{1}{2}$) и O(0).
$OM = |\frac{1}{2} - 0| = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

б) PK
Длина отрезка PK равна модулю разности координат точек K($\frac{9}{4}$) и P(1).
$PK = |\frac{9}{4} - 1| = |\frac{9}{4} - \frac{4}{4}| = \frac{5}{4}$.
Ответ: $\frac{5}{4}$

в) DO
Длина отрезка DO равна модулю разности координат точек O(0) и D($\frac{3}{2}$). Длина отрезка не зависит от направления, поэтому DO = OD.
$DO = |0 - \frac{3}{2}| = |-\frac{3}{2}| = \frac{3}{2}$.
Ответ: $\frac{3}{2}$

г) MD
Длина отрезка MD равна модулю разности координат точек D($\frac{3}{2}$) и M($\frac{1}{2}$).
$MD = |\frac{3}{2} - \frac{1}{2}| = |\frac{2}{2}| = 1$.
Ответ: 1

6.14 Какое число записывается единицей:

а) с двумя последующими нулями;

б) с тремя последующими нулями;

в) с пятью последующими нулями;

г) с девятью последующими нулями?

а) с двумя последующими нулями

Число, которое записывается единицей и двумя последующими нулями, является разрядной единицей класса единиц, разряда сотен. Чтобы записать это число, мы ставим цифру 1, а за ней — два нуля. Получается число 100 (сто). Такое число можно также представить в виде степени десяти, где показатель степени равен количеству нулей: $10^2$.

Ответ: 100.

б) с тремя последующими нулями

Число, которое записывается единицей и тремя последующими нулями, является разрядной единицей класса тысяч. Записываем цифру 1 и дописываем три нуля. Получаем число 1000 (одна тысяча). В виде степени десяти это записывается как $10^3$.

Ответ: 1000.

в) с пятью последующими нулями

Число, которое записывается единицей с пятью последующими нулями, — это 100 000 (сто тысяч). Чтобы его получить, мы записываем цифру 1, а за ней — пять нулей. Как степень десяти, это число равно $10^5$.

Ответ: 100 000.

г) с девятью последующими нулями

Число, которое записывается единицей с девятью последующими нулями, — это 1 000 000 000 (один миллиард). Для его записи ставим цифру 1 и дописываем девять нулей. В виде степени десяти это число записывается как $10^9$.

Ответ: 1 000 000 000.

6.15 Найдите координаты пяти точек на рисунке 6.2 и запишите их в порядке возрастания. Запишите координаты двух чисел, которые меньше любой из этих координат.

Найдите координаты пяти точек на рисунке 6.2 и запишите их в порядке возрастания.

Для того чтобы найти координаты точек, сначала определим цену одного деления координатной прямой. На рисунке показано, что отрезок между точкой O с координатой 0 и точкой E с координатой 1 разделен на 7 равных частей. Следовательно, длина одного такого деления (единичного отрезка) составляет $\frac{1}{7}$.
Теперь определим координаты пяти точек, например, O, K, E, P и N, двигаясь слева направо.
- Координата точки O равна 0.
- Точка K расположена на 3 деления правее точки O, поэтому ее координата равна $3 \times \frac{1}{7} = \frac{3}{7}$.
- Точка E расположена на 7 делений правее точки O, ее координата $7 \times \frac{1}{7} = 1$.
- Точка P расположена на 8 делений правее точки O, ее координата $8 \times \frac{1}{7} = \frac{8}{7}$.
- Точка N расположена на 10 делений правее точки O, ее координата $10 \times \frac{1}{7} = \frac{10}{7}$.
Поскольку точки на числовой прямой расположены слева направо в порядке их перечисления, их координаты уже записаны в порядке возрастания.

Ответ: Координаты пяти точек в порядке возрастания: $0; \frac{3}{7}; 1; \frac{8}{7}; \frac{10}{7}$.

Запишите координаты двух чисел, которые меньше любой из этих координат.

Мы нашли следующие координаты: $0, \frac{3}{7}, 1, \frac{8}{7}, \frac{10}{7}$. Наименьшей из этих координат является 0. Нам нужно указать два числа, которые меньше любого из этих значений. Это означает, что нужно выбрать два числа, которые меньше 0.
Любое отрицательное число меньше 0. В качестве примера можно взять числа -1 и -3.

Ответ: -1 и -3.