Страница 78, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

6. Для ремонта комнаты длиной 4 м и шириной 5 м, у которой ширина двери равна 80 см, нужно купить потолочный и напольный плинтусы. Вычислите, сколько плинтуса надо купить для пола и для потолка.

1) (4 + 5) · 2 = 9 · 2 = 18 (м) – длина потолочного плинтуса;

2) ${(4 · 2 + 5)}_{\mathrm{м}}$ + ${(500 - 80)}_{\mathrm{см}}$ = 13 м + 420 см = 13 м + 4 м 20 см = 17 м 20 см – длина напольного плинтуса;

Ответ: 18 м и 17 м 20 см.

Для решения задачи необходимо рассчитать периметр комнаты и на его основе определить необходимое количество плинтуса для потолка и для пола.

Для потолка

Потолочный плинтус укладывается по всему периметру комнаты. Периметр комнаты, имеющей форму прямоугольника с длиной $a = 4$ м и шириной $b = 5$ м, вычисляется по формуле:

$P = 2 \times (a + b)$

Подставим значения в формулу:

$P_{потолок} = 2 \times (4 \text{ м} + 5 \text{ м}) = 2 \times 9 \text{ м} = 18 \text{ м}$

Следовательно, для потолка необходимо приобрести 18 метров плинтуса.

Ответ: для потолка надо купить 18 м плинтуса.

Для пола

Напольный плинтус укладывается по периметру комнаты, но не устанавливается в дверном проеме. Поэтому из общего периметра комнаты (18 м) нужно вычесть ширину двери.

Ширина двери равна 80 см. Переведем эту величину в метры для единообразия расчетов:

$80 \text{ см} = 0,8 \text{ м}$

Теперь найдем необходимую длину напольного плинтуса, вычтя ширину двери из общего периметра:

$L_{пол} = 18 \text{ м} - 0,8 \text{ м} = 17,2 \text{ м}$

Следовательно, для пола потребуется 17,2 метра плинтуса.

Ответ: для пола надо купить 17,2 м плинтуса.

7. Высота потолка в комнате 2 м 70 см. Можно ли разместить в этой комнате шкаф из двух секций, если высота нижней секции 18 дм, а верхняя на 35 см ниже неё?

2) 180 + 145 = 325 (см) – высота шкафа;

Ответ: разместить нельзя.

Чтобы определить, поместится ли шкаф в комнату, необходимо вычислить общую высоту шкафа и сравнить ее с высотой потолка. Для удобства расчетов переведем все измерения в одну единицу — сантиметры (см).

1. Переведем высоту потолка в сантиметры.
Высота потолка составляет 2 м 70 см. В одном метре 100 сантиметров ($1 \text{ м} = 100 \text{ см}$), поэтому:
$2 \text{ м } 70 \text{ см} = 2 \cdot 100 \text{ см} + 70 \text{ см} = 200 \text{ см} + 70 \text{ см} = 270 \text{ см}$.

2. Вычислим высоту нижней секции шкафа в сантиметрах.
Высота нижней секции равна 18 дм. В одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$), следовательно:
$18 \text{ дм} = 18 \cdot 10 \text{ см} = 180 \text{ см}$.

3. Найдем высоту верхней секции шкафа.
По условию, верхняя секция на 35 см ниже нижней:
$180 \text{ см} - 35 \text{ см} = 145 \text{ см}$.

4. Рассчитаем общую высоту шкафа.
Общая высота шкафа равна сумме высот его секций:
$180 \text{ см} + 145 \text{ см} = 325 \text{ см}$.

5. Сравним высоту шкафа с высотой потолка.
Высота шкафа ($325$ см) больше высоты потолка ($270$ см):
$325 \text{ см} > 270 \text{ см}$.

Так как общая высота шкафа превышает высоту потолка в комнате, его разместить не получится.

Ответ: нет, разместить шкаф в этой комнате нельзя.

8. В магазине купили 1 кг 460 г помидоров, 2 кг 240 г огурцов, 1 кг 150 г перца и 300 г зелёного лука. Донесёт ли покупатель овощи до дома в пакете, который выдерживает груз до 5 кг?

Помидоры – 1 кг 460 г,

Огурцы – 2 кг 240 г,

Перец – 1 кг 150 г,

Зелёный лук – 300 г.

1 кг 460 г + 2 кг 240 г + 1 кг 150 г + 300 г = (3 кг 700 г + 300 г) + 1 кг 150 г = 4 кг + 1 кг 150 г = 5 кг 150 г.

5 кг 150 г > 5 кг

Ответ не донесёт.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо найти общую массу всех купленных овощей и сравнить ее с максимальной нагрузкой, которую выдерживает пакет.

1. Найдем общую массу покупок. Для этого сложим массу всех овощей:

• Помидоры: 1 кг 460 г
• Огурцы: 2 кг 240 г
• Перец: 1 кг 150 г
• Зелёный лук: 300 г

Сложим килограммы с килограммами, а граммы с граммами:

Сумма килограммов: $1 \text{ кг} + 2 \text{ кг} + 1 \text{ кг} = 4 \text{ кг}$.

Сумма граммов: $460 \text{ г} + 240 \text{ г} + 150 \text{ г} + 300 \text{ г} = 1150 \text{ г}$.

2. Переведем граммы в килограммы. Мы знаем, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

Следовательно, $1150 \text{ г} = 1000 \text{ г} + 150 \text{ г} = 1 \text{ кг} \ 150 \text{ г}$.

3. Теперь найдем общую массу, сложив килограммы и граммы:

Общая масса = $4 \text{ кг} + 1 \text{ кг} \ 150 \text{ г} = 5 \text{ кг} \ 150 \text{ г}$.

4. Сравним общую массу овощей с грузоподъемностью пакета.

Общая масса покупок составляет 5 кг 150 г.

Пакет выдерживает груз до 5 кг.

Сравниваем: $5 \text{ кг} \ 150 \text{ г} > 5 \text{ кг}$.

Общая масса овощей превышает максимальную нагрузку на пакет на 150 граммов.

Ответ: нет, покупатель не донесёт овощи до дома в этом пакете, потому что их общая масса (5 кг 150 г) больше, чем та, которую выдерживает пакет (5 кг).

9. Максим купил машину в кредит и заплатил при покупке 81200 р. Кредит он обязан выплачивать в течение трёх лет по 7180 р. в месяц. На сколько больше он заплатит за машину, если её первоначальная стоимость 310 тыс. р.?

1) 3 · 12 = 36 (месяцев) нужно выплачивать кредит;

2) 7180 · 36 = 258480 (р.) – кредит;

3) 258480 + 81200 = 339680 (р.) – заплатил за машину;

4) 339680 - 310000 = 29680 (р.)

Ответ: на 29680 р.

Чтобы определить, на сколько больше Максим заплатил за машину по сравнению с её первоначальной стоимостью, нужно сначала рассчитать общую сумму всех его платежей, а затем вычесть из неё первоначальную стоимость автомобиля.

1. Найдём общую сумму выплат по кредиту.
Максим выплачивал кредит в течение трёх лет. В году 12 месяцев, следовательно, общее количество платежей составляет:
$3 \text{ года} \times 12 \text{ месяцев/год} = 36 \text{ месяцев}$
Ежемесячный платёж составлял 7180 рублей. Умножим эту сумму на количество месяцев:
$7180 \text{ р.} \times 36 = 258480 \text{ р.}$

2. Рассчитаем полную сумму, которую Максим заплатил за машину.
Полная сумма складывается из первоначального взноса и общей суммы выплат по кредиту.
$81200 \text{ р. (первоначальный взнос)} + 258480 \text{ р. (выплаты по кредиту)} = 339680 \text{ р.}$

3. Вычислим, на сколько больше он заплатил.
Первоначальная стоимость машины — 310 000 рублей (310 тыс. р.). Вычтем эту стоимость из полной суммы, заплаченной Максимом:
$339680 \text{ р.} - 310000 \text{ р.} = 29680 \text{ р.}$

Ответ: Максим заплатил за машину на 29 680 р. больше её первоначальной стоимости.

10. а) Предложите наиболее выгодный вариант поездки на загородную экскурсию в заповедник для семьи из шести человек: мама, папа и четверо детей.

Вариант первый. Общественный транспорт:

• автобус до железнодорожного вокзала — 50 р.;
• проезд в электричке до станции — 180 р.;
• маршрутное такси от станции до заповедника — 40 р.

Вариант второй. Такси для 6 пассажиров от дома до заповедника — 1650 р.

Примечание: у мамы и папы есть проездной билет на автобус, проезд детей оплачивается полностью.

б) А какой вариант выбрали бы вы? Обоснуйте свой выбор.

а)

1) 50 · 4 = 200 (р.) – на автобусе;

2) 180 · 6 = (100 + 80) · 6 = 100 · 6 + 80 · 6 = 600 + 480 = 1080 (р.) – в электричке;

3) 40 · 6 = 240 (р.) – на маршрутном такси;

4) 200 + 1080 + 240 = 1208 + 240 = 1520 (р.) – вся поездка.

1520 < 1650

Ответ: вариант первой наиболее выгодный.

б) Я бы выбрала второй вариант. Он незначительно дороже, затратит меньше времени и сил.

а) Для того чтобы предложить наиболее выгодный вариант поездки, необходимо рассчитать и сравнить общую стоимость каждого варианта для семьи из шести человек (двое взрослых и четверо детей).

Расчет стоимости Варианта 1 (Общественный транспорт):

Стоимость этого варианта складывается из трех этапов:

1. Поездка на автобусе до железнодорожного вокзала. Стоимость билета — 50 рублей. У мамы и папы есть проездной билет, поэтому их проезд является бесплатным. Оплатить нужно только проезд четверых детей. Итого за автобус: $4 \times 50 \text{ р.} = 200 \text{ р.}$.

2. Проезд в электричке до станции. Стоимость билета — 180 рублей. Скидки не предусмотрены, поэтому билеты приобретаются для всех шести членов семьи. Итого за электричку: $6 \times 180 \text{ р.} = 1080 \text{ р.}$.

3. Поездка на маршрутном такси от станции до заповедника. Стоимость — 40 рублей. Проезд также оплачивается для всех шести человек. Итого за маршрутное такси: $6 \times 40 \text{ р.} = 240 \text{ р.}$.

Общая стоимость поездки на общественном транспорте: $200 + 1080 + 240 = 1520 \text{ рублей}$.

Расчет стоимости Варианта 2 (Такси):

Стоимость поездки на такси для 6 пассажиров от дома до заповедника фиксирована и составляет 1650 рублей.

Сравнение вариантов:

Стоимость поездки на общественном транспорте (1520 р.) ниже, чем стоимость поездки на такси (1650 р.).

$1520 \text{ р.} < 1650 \text{ р.}$

Таким образом, первый вариант является более выгодным.

Ответ: Наиболее выгодный вариант — первый (поездка на общественном транспорте), его стоимость составляет 1520 рублей.

б) Выбор между вариантами зависит не только от цены, но и от других факторов, таких как удобство, комфорт и время, затраченное на дорогу.

С финансовой точки зрения, первый вариант предпочтительнее, так как он позволяет сэкономить $1650 - 1520 = 130$ рублей.

Однако поездка на общественном транспорте с четырьмя детьми включает в себя две пересадки и ожидание на остановках и вокзале. Это может быть утомительно, неудобно и сопряжено с определенным стрессом для родителей и детей.

Второй вариант (такси) предлагает поездку «от двери до двери» без пересадок. Это значительно комфортнее, быстрее и безопаснее для большой семьи. Учитывая, что разница в стоимости составляет всего 130 рублей, преимущества в удобстве и экономии времени могут оказаться более весомыми, чем небольшая экономия денег.

Ответ: Я бы выбрал второй вариант (такси). Несмотря на то, что он немного дороже, он обеспечивает значительно больший комфорт, экономит время и силы, что особенно важно во время поездки с четырьмя детьми. Удобство и положительные эмоции от семейной поездки в данном случае оправдывают дополнительные расходы в 130 рублей.

5.484 Решите уравнение:

a) $m - \frac{4}{7} = \frac{11}{14}$

m = $\frac{11}{14} + \frac{4}{7}$

$\frac{11}{14} + \frac{4·2}{7·2} = \frac{11}{14} + \frac{8}{14} = \frac{11 + 8}{14} = \frac{19}{14} = 1\frac{5}{14}$

m = $1\frac{5}{14}$

Ответ: $1\frac{5}{14}$

б) $\frac{5}{7} - c = \frac{3}{14}$

c = $\frac{5}{7} - \frac{3}{14}$

$\frac{5}{7} - \frac{3}{14} = \frac{5·2}{7·2} - \frac{3}{14} = \frac{10}{14} - \frac{3}{14} = \frac{7}{14} = \frac{7·1}{7·2} = \frac{1}{2}$

c = $\frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

а) В уравнении $m + \frac{4}{7} = \frac{11}{14}$ переменная $m$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$m = \frac{11}{14} - \frac{4}{7}$
Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 14 и 7 равен 14. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:
$m = \frac{11}{14} - \frac{4 \cdot 2}{7 \cdot 2}$
$m = \frac{11}{14} - \frac{8}{14}$
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:
$m = \frac{11 - 8}{14} = \frac{3}{14}$
Ответ: $m = \frac{3}{14}$.

б) В уравнении $\frac{5}{7} + c = \frac{3}{14}$ переменная $c$ является неизвестным слагаемым. Чтобы найти его, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$c = \frac{3}{14} - \frac{5}{7}$
Приведем дроби к общему знаменателю 14. Для этого домножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:
$c = \frac{3}{14} - \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2}$
$c = \frac{3}{14} - \frac{10}{14}$
Выполним вычитание:
$c = \frac{3 - 10}{14} = \frac{-7}{14}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:
$c = -\frac{7}{14} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $c = -\frac{1}{2}$.

5.485 Упростите выражение:

1) 28m + 35n - 28m - 28n;

2) 13a + 16b + 13b - 13a.

1) Для упрощения выражения $28m + 35n - 28m - 28n$ необходимо привести подобные слагаемые. Подобные слагаемые — это слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть. В данном выражении это $28m$ и $-28m$, а также $35n$ и $-28n$.
Сгруппируем их: $(28m - 28m) + (35n - 28n)$.
Выполним действия в каждой группе:
$28m - 28m = 0$
$35n - 28n = (35 - 28)n = 7n$
Теперь сложим полученные результаты: $0 + 7n = 7n$.
Таким образом, упрощенное выражение равно $7n$.
Ответ: $7n$

2) Для упрощения выражения $13a + 16b + 13b - 13a$ также приведем подобные слагаемые. Подобными здесь являются $13a$ и $-13a$, а также $16b$ и $13b$.
Сгруппируем их: $(13a - 13a) + (16b + 13b)$.
Выполним действия в каждой группе:
$13a - 13a = 0$
$16b + 13b = (16 + 13)b = 29b$
Сложим полученные результаты: $0 + 29b = 29b$.
Таким образом, упрощенное выражение равно $29b$.
Ответ: $29b$

5.486 Найдите произведение:

а) Чтобы найти произведение двух дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Для упрощения вычислений можно сначала сократить дроби. Сократим числитель 8 и знаменатель 4 на их общий делитель 4. Затем сократим числитель 3 и знаменатель 9 на их общий делитель 3.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 4} = \frac{^2\cancel{8} \cdot \cancel{3}^1}{_3\cancel{9} \cdot \cancel{4}_1} = \frac{2 \cdot 1}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) Перемножим числители и знаменатели данных дробей. Перед умножением выполним сокращение: 11 и 22 сократим на 11, а 9 и 45 сократим на 9.

$\frac{11}{45} \cdot \frac{9}{22} = \frac{11 \cdot 9}{45 \cdot 22} = \frac{^1\cancel{11} \cdot \cancel{9}^1}{_5\cancel{45} \cdot \cancel{22}_2} = \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 2} = \frac{1}{10}$

Ответ: $\frac{1}{10}$

в) Перемножим числители и знаменатели. Сократим 58 и 29 на 29. Числа 51 и 85 имеют общий делитель 17 ($51 = 3 \cdot 17$, $85 = 5 \cdot 17$), поэтому сократим их на 17.

$\frac{51}{29} \cdot \frac{58}{85} = \frac{51 \cdot 58}{29 \cdot 85} = \frac{^3\cancel{51} \cdot \cancel{58}^2}{_1\cancel{29} \cdot \cancel{85}_5} = \frac{3 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{6}{5}$

Результат можно представить в виде смешанного числа: $\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$

г) Чтобы перемножить три дроби, нужно перемножить все их числители и все их знаменатели. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 5 \cdot 6}$

Сокращаем 4 в числителе и знаменателе, а также 5 в числителе и знаменателе.

$\frac{1 \cdot \cancel{4} \cdot \cancel{5}}{\cancel{4} \cdot \cancel{5} \cdot 6} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

5.487 Выполните действие:

а) Чтобы умножить дробь $\frac{7}{15}$ на целое число $5$, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{7}{15} \cdot 5 = \frac{7 \cdot 5}{15}$

Сократим дробь, заметив, что числитель ($5$) и знаменатель ($15$) делятся на $5$.

$\frac{7 \cdot \cancel{5}^1}{\cancel{15}_3} = \frac{7 \cdot 1}{3} = \frac{7}{3}$

Так как полученная дробь неправильная (числитель больше знаменателя), преобразуем ее в смешанное число.

$7 \div 3 = 2$ (остаток $1$), следовательно $\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$.

Ответ: $2\frac{1}{3}$.

б) Умножим дробь $\frac{5}{18}$ на целое число $12$. Для этого умножим числитель дроби на это число, а знаменатель оставим прежним.

$\frac{5}{18} \cdot 12 = \frac{5 \cdot 12}{18}$

Сократим дробь до умножения. Числа $12$ и $18$ имеют общий делитель $6$.

$\frac{5 \cdot \cancel{12}^2}{\cancel{18}_3} = \frac{5 \cdot 2}{3} = \frac{10}{3}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{10}{3}$ в смешанное число.

$10 \div 3 = 3$ (остаток $1$), следовательно $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.

Ответ: $3\frac{1}{3}$.

в) Чтобы умножить целое число $2$ на дробь $\frac{2}{9}$, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений.

$2 \cdot \frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 2}{9} = \frac{4}{9}$

Полученная дробь $\frac{4}{9}$ является правильной (числитель меньше знаменателя) и несократимой, так как у $4$ и $9$ нет общих делителей, кроме $1$.

Ответ: $\frac{4}{9}$.

г) Для умножения дроби на дробь необходимо перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Результат первого умножения будет числителем новой дроби, а результат второго — знаменателем.

$\frac{14}{121} \cdot \frac{11}{28} = \frac{14 \cdot 11}{121 \cdot 28}$

Чтобы упростить вычисления, выполним сокращение дроби до перемножения. Заметим, что:

Числитель $14$ и знаменатель $28$ можно сократить на $14$ ($28 = 2 \cdot 14$).

Числитель $11$ и знаменатель $121$ можно сократить на $11$ ($121 = 11 \cdot 11$).

$\frac{\cancel{14}^1 \cdot \cancel{11}^1}{\cancel{121}_{11} \cdot \cancel{28}_2} = \frac{1 \cdot 1}{11 \cdot 2} = \frac{1}{22}$

Ответ: $\frac{1}{22}$.

5.488 Найдите значение выражения:

а) при $a$ = $\frac{3}{7}$

$\frac{3}{7}a$ = $\frac{3}{7} \cdot \frac{3}{7}$ = $\frac{3 \cdot 3}{7 \cdot 7}$ = $\frac{9}{49}$

при $a$ = $\frac{119}{66}$

$\frac{3}{7}a$ = $\frac{3}{7} \cdot \frac{119}{66}$ = $\frac{3 \cdot 119}{7 \cdot 66}$ = $\frac{3 \cdot 17 \cdot 7}{7 \cdot 3 \cdot 22}$ = $\frac{17}{22}$

при $a$ = $\frac{28}{33}$

$\frac{3}{7}a$ = $\frac{3}{7} \cdot \frac{28}{33}$ = $\frac{3 \cdot 28}{7 \cdot 33}$ = $\frac{3 \cdot 7 \cdot 4}{7 \cdot 3 \cdot 11}$ = $\frac{4}{11}$

при $a$ = $1$

$\frac{3}{7}a$ = $\frac{3}{7} \cdot 1$ = $\frac{3}{7}$

б) при $b$ = $\frac{1}{5}$

$\frac{5}{12}b$ = $\frac{5}{12} \cdot \frac{1}{5}$ = $\frac{5 \cdot 1}{12 \cdot 5}$ = $\frac{1}{12}$

при $b$ = $\frac{5}{12}$

$\frac{5}{12}b$ = $\frac{5}{12} \cdot \frac{5}{12}$ = $\frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 12}$ = $\frac{25}{144}$

при $b$ = $\frac{6}{5}$

$\frac{5}{12}b$ = $\frac{5}{12} \cdot \frac{6}{5}$ = $\frac{5 \cdot 6}{12 \cdot 5}$ = $\frac{6}{12}$ = $\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2}$ = $\frac{1}{2}$

при $b$ = $\frac{84}{25}$

$\frac{5}{12}b$ = $\frac{5}{12} \cdot \frac{84}{25}$ = $\frac{5 \cdot 84}{12 \cdot 25}$ = $\frac{5 \cdot 12 \cdot 7}{12 \cdot 5 \cdot 5}$ = $\frac{7}{5}$ = $1\frac{2}{5}$

при $b$ = $0$

$\frac{5}{12}b$ = $\frac{5}{12} \cdot 0$ = $0$

а)

Чтобы найти значение выражения, подставим заданные значения $a$ в выражение $\frac{3}{7}a$ и выполним умножение.

При $a = \frac{3}{7}$:
$\frac{3}{7}a = \frac{3}{7} \times \frac{3}{7} = \frac{3 \times 3}{7 \times 7} = \frac{9}{49}$.
Ответ: $\frac{9}{49}$.

При $a = \frac{119}{66}$:
$\frac{3}{7}a = \frac{3}{7} \times \frac{119}{66}$. Перед умножением сократим дроби: 3 и 66 на 3; 7 и 119 на 7 (так как $119 = 7 \times 17$).
$\frac{3 \times 119}{7 \times 66} = \frac{1 \times 17}{1 \times 22} = \frac{17}{22}$.
Ответ: $\frac{17}{22}$.

При $a = \frac{28}{33}$:
$\frac{3}{7}a = \frac{3}{7} \times \frac{28}{33}$. Сократим дроби: 3 и 33 на 3; 7 и 28 на 7.
$\frac{3 \times 28}{7 \times 33} = \frac{1 \times 4}{1 \times 11} = \frac{4}{11}$.
Ответ: $\frac{4}{11}$.

При $a = 1$:
$\frac{3}{7}a = \frac{3}{7} \times 1 = \frac{3}{7}$.
Ответ: $\frac{3}{7}$.

б)

Чтобы найти значение выражения, подставим заданные значения $b$ в выражение $\frac{5}{12}b$ и выполним умножение.

При $b = \frac{1}{5}$:
$\frac{5}{12}b = \frac{5}{12} \times \frac{1}{5}$. Сократим 5 в числителе и 5 в знаменателе.
$\frac{5 \times 1}{12 \times 5} = \frac{1}{12}$.
Ответ: $\frac{1}{12}$.

При $b = \frac{5}{12}$:
$\frac{5}{12}b = \frac{5}{12} \times \frac{5}{12} = \frac{5 \times 5}{12 \times 12} = \frac{25}{144}$.
Ответ: $\frac{25}{144}$.

При $b = \frac{6}{5}$:
$\frac{5}{12}b = \frac{5}{12} \times \frac{6}{5}$. Сократим дроби: 5 и 5 на 5; 6 и 12 на 6.
$\frac{5 \times 6}{12 \times 5} = \frac{1 \times 1}{2 \times 1} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

При $b = \frac{84}{25}$:
$\frac{5}{12}b = \frac{5}{12} \times \frac{84}{25}$. Сократим дроби: 5 и 25 на 5; 12 и 84 на 12 (так как $84 = 12 \times 7$).
$\frac{5 \times 84}{12 \times 25} = \frac{1 \times 7}{1 \times 5} = \frac{7}{5}$.
Ответ: $\frac{7}{5}$.

При $b = 0$:
$\frac{5}{12}b = \frac{5}{12} \times 0 = 0$.
Ответ: $0$.

5.489 Масса 1 м³ древесины 1425 т. Найдите массу 34 м³ и 57 м³ древесины.

Для того чтобы найти массу определенного объема древесины, необходимо массу 1 м? умножить на искомый объем.

Масса 1 м? древесины составляет $\frac{14}{25}$ т.

Найдем массу $\frac{3}{4}$ м? древесины

Для этого умножим массу одного кубического метра на объем $\frac{3}{4}$ м?:

$\frac{14}{25} \cdot \frac{3}{4} = \frac{14 \cdot 3}{25 \cdot 4} = \frac{42}{100}$ т.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$\frac{42 : 2}{100 : 2} = \frac{21}{50}$ т.

Ответ: $\frac{21}{50}$ т.

Найдем массу $\frac{5}{7}$ м? древесины

Аналогично, умножим массу одного кубического метра на объем $\frac{5}{7}$ м?:

$\frac{14}{25} \cdot \frac{5}{7} = \frac{14 \cdot 5}{25 \cdot 7}$ т.

Для удобства вычислений сократим дробь перед умножением. Мы можем сократить 14 и 7 на 7, а 5 и 25 на 5:

$\frac{(14:7) \cdot (5:5)}{(25:5) \cdot (7:7)} = \frac{2 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{2}{5}$ т.

Ответ: $\frac{2}{5}$ т.

5.490 Деревянный брус имеет форму прямоугольного параллелепипеда с измерениями 6 м, 320 м и 110 м. Для строительных работ было куплено 40 штук этого бруса по цене 19 200 р. за 1 м³. На какую сумму был закуплен брус?

1) $6·\frac{3}{20}·\frac{1}{10} = \frac{6·3·1}{20·10} = \frac{18}{200} = \frac{2·9}{2·100} = 9100\left({\text{м}}^3\right)$

объём одного бруса

2) $\frac{9}{100}·40 = \frac{9·40}{100} = \frac{9·4·10}{10·10} = \frac{36}{10} = \frac{2·18}{2·5} = \frac{18}{5} = 3\frac{3}{5}\left({\text{м}}^3\right)$ - объём всех брусьев

3) $19200·3\frac{3}{5} = 19200·\frac{18}{5} = \frac{19200·18}{5} = (19200·18) : 5 = (19200 : 5)·18 = 69120\left(\text{р.}\right)$

 19200|5 x 3840- 15 |---- 18----- |3840 ----- 42 30720- 40 + 384----- ----- 20 69120- 20----- 0

Ответ: 69 120 рублей.

Для того чтобы найти общую стоимость закупленного бруса, необходимо последовательно выполнить три шага: вычислить объем одного бруса, затем найти общий объем всех брусьев и, наконец, рассчитать их стоимость.

1. Вычисление объема одного бруса
Брус имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Его объем ($V$) вычисляется как произведение трех его измерений (длины, ширины и высоты).
Измерения бруса: $6$ м, $\frac{3}{20}$ м и $\frac{1}{10}$ м.
$V_{одного\;бруса} = 6 \cdot \frac{3}{20} \cdot \frac{1}{10} = \frac{6 \cdot 3 \cdot 1}{20 \cdot 10} = \frac{18}{200} = \frac{9}{100}$ м?.

2. Вычисление общего объема 40 брусьев
Для строительных работ было куплено 40 брусьев. Чтобы найти их общий объем ($V_{общий}$), нужно объем одного бруса умножить на количество.
$V_{общий} = \frac{9}{100} \cdot 40 = \frac{360}{100} = 3,6$ м?.

3. Расчет общей стоимости закупки
Стоимость одного кубического метра бруса составляет 19 200 рублей. Умножим общий объем на цену за 1 м?:
Стоимость = $V_{общий} \cdot Цена = 3,6 \cdot 19200 = 69120$ рублей.

Ответ: брус был закуплен на сумму 69 120 рублей.

5.491 Найдите значение выражения:

а) $ \frac{61}{64} - (\frac{7}{12} - \frac{5}{14}) \cdot (\frac{13}{16} + \frac{1}{2}) $

Решим по действиям:

1. Вычислим разность в первой скобке. Найдем наименьший общий знаменатель для 12 и 14. НОК(12, 14) = 84.
$ \frac{7}{12} - \frac{5}{14} = \frac{7 \cdot 7}{12 \cdot 7} - \frac{5 \cdot 6}{14 \cdot 6} = \frac{49}{84} - \frac{30}{84} = \frac{49 - 30}{84} = \frac{19}{84} $.

2. Вычислим сумму во второй скобке. Общий знаменатель для 16 и 2 равен 16.
$ \frac{13}{16} + \frac{1}{2} = \frac{13}{16} + \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{13}{16} + \frac{8}{16} = \frac{13 + 8}{16} = \frac{21}{16} $.

3. Выполним умножение результатов из скобок. Сократим 21 и 84 на 21 ($84 \div 21 = 4$).
$ \frac{19}{84} \cdot \frac{21}{16} = \frac{19 \cdot 21}{84 \cdot 16} = \frac{19 \cdot 1}{4 \cdot 16} = \frac{19}{64} $.

4. Выполним вычитание.
$ \frac{61}{64} - \frac{19}{64} = \frac{61 - 19}{64} = \frac{42}{64} $. Сократим дробь на 2: $ \frac{21}{32} $.

Ответ: $ \frac{21}{32} $.

б) $ (1 - \frac{11}{17}) \cdot (\frac{3}{4} - \frac{5}{12} + \frac{11}{18}) $

Решим по действиям:

1. Вычислим значение в первой скобке.
$ 1 - \frac{11}{17} = \frac{17}{17} - \frac{11}{17} = \frac{17 - 11}{17} = \frac{6}{17} $.

2. Вычислим значение во второй скобке. Найдем наименьший общий знаменатель для 4, 12 и 18. НОК(4, 12, 18) = 36.
$ \frac{3}{4} - \frac{5}{12} + \frac{11}{18} = \frac{3 \cdot 9}{36} - \frac{5 \cdot 3}{36} + \frac{11 \cdot 2}{36} = \frac{27 - 15 + 22}{36} = \frac{12 + 22}{36} = \frac{34}{36} = \frac{17}{18} $.

3. Выполним умножение результатов. Сократим 17 и 17, а также 6 и 18 ($18 \div 6 = 3$).
$ \frac{6}{17} \cdot \frac{17}{18} = \frac{6 \cdot 17}{17 \cdot 18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} $.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

в) $ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $

Чтобы найти значение выражения, приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 2, 3, 4, 5, 6 равно 60.
$ 1 = \frac{60}{60}; \frac{1}{2} = \frac{30}{60}; \frac{1}{3} = \frac{20}{60}; \frac{1}{4} = \frac{15}{60}; \frac{1}{5} = \frac{12}{60}; \frac{1}{6} = \frac{10}{60} $.

Подставим значения в выражение:
$ \frac{60}{60} - \frac{30}{60} + \frac{20}{60} - \frac{15}{60} + \frac{12}{60} - \frac{10}{60} = \frac{60 - 30 + 20 - 15 + 12 - 10}{60} $.

Вычислим числитель:
$ 60 - 30 = 30 $
$ 30 + 20 = 50 $
$ 50 - 15 = 35 $
$ 35 + 12 = 47 $
$ 47 - 10 = 37 $.

Результат: $ \frac{37}{60} $.

Ответ: $ \frac{37}{60} $.

г) $ \frac{1}{8} + \frac{3}{8} + \frac{1}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{16} + \frac{7}{16} + \frac{1}{20} + \frac{9}{20} $

Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями, чтобы упростить вычисления:
$ (\frac{1}{8} + \frac{3}{8}) + (\frac{1}{12} + \frac{5}{12}) + (\frac{1}{16} + \frac{7}{16}) + (\frac{1}{20} + \frac{9}{20}) $.

Вычислим сумму в каждой группе:
1) $ \frac{1}{8} + \frac{3}{8} = \frac{1+3}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} $
2) $ \frac{1}{12} + \frac{5}{12} = \frac{1+5}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $
3) $ \frac{1}{16} + \frac{7}{16} = \frac{1+7}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2} $
4) $ \frac{1}{20} + \frac{9}{20} = \frac{1+9}{20} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $.

Сложим полученные результаты:
$ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 + 1 = 2 $.

Ответ: $ 2 $.

1 Вычислите:

а) Чтобы умножить целое число на дробь, нужно это число умножить на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменений. Затем, если возможно, сократить полученную дробь.

$7 \cdot \frac{3}{28} = \frac{7 \cdot 3}{28} = \frac{21}{28}$

Сократим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 7:

$ \frac{21 \div 7}{28 \div 7} = \frac{3}{4} $

Другой способ — сократить до умножения:

$ 7 \cdot \frac{3}{28} = \frac{\cancel{7}^1 \cdot 3}{\cancel{28}^4} = \frac{1 \cdot 3}{4} = \frac{3}{4} $

Ответ: $ \frac{3}{4} $

б) Чтобы перемножить две дроби, нужно перемножить их числители и их знаменатели. Перед умножением удобно сократить множители в числителе и знаменателе.

$ \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{5} = \frac{5 \cdot 4}{8 \cdot 5} $

Сократим 5 в числителе и знаменателе. Также сократим 4 и 8 на 4:

$ \frac{\cancel{5}^1 \cdot \cancel{4}^1}{\cancel{8}^2 \cdot \cancel{5}^1} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Чтобы умножить дробь на целое число, нужно умножить числитель дроби на это число, а знаменатель оставить без изменений.

$ \frac{5}{8} \cdot 24 = \frac{5 \cdot 24}{8} $

Сократим 24 и 8 на 8:

$ \frac{5 \cdot \cancel{24}^3}{\cancel{8}^1} = 5 \cdot 3 = 15 $

Ответ: 15

г) Чтобы перемножить несколько чисел и дробей, представим их все в виде одной дроби, перемножив все числители и все знаменатели.

$ 200 \cdot \frac{26}{4000} \cdot \frac{2}{13} = \frac{200 \cdot 26 \cdot 2}{4000 \cdot 13} $

Выполним сокращение. Сократим 200 и 4000 на 200. Сократим 26 и 13 на 13.

$ \frac{\cancel{200}^1 \cdot \cancel{26}^2 \cdot 2}{\cancel{4000}^{20} \cdot \cancel{13}^1} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 2}{20} = \frac{4}{20} $

Теперь сократим полученную дробь $ \frac{4}{20} $ на 4:

$ \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $

Ответ: $ \frac{1}{5} $

2 Выполните действия:

а) Выполним действия в соответствии с порядком операций. Сначала выполним вычитание в скобках, затем умножение.

1. Вычитание в скобках: $\frac{11}{14} - \frac{3}{7}$.

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 7 это 14. Домножим вторую дробь на 2:

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{6}{14}$

Теперь выполним вычитание:

$\frac{11}{14} - \frac{6}{14} = \frac{11 - 6}{14} = \frac{5}{14}$

2. Умножение. Теперь умножим результат, полученный в скобках, на $\frac{2}{5}$:

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5}{14} = \frac{2 \cdot 5}{5 \cdot 14}$

Можно сократить 5 в числителе и знаменателе:

$\frac{2}{14}$

Сократим полученную дробь на 2:

$\frac{2 \div 2}{14 \div 2} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

б) Выполним действия в соответствии с порядком операций. Сначала возведем дроби в степень, а затем сложим результаты.

1. Возведение в степень:

Первое слагаемое: $\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$

Второе слагаемое: $\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$

2. Сложение. Теперь сложим полученные дроби:

$\frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 27 это 27. Домножим первую дробь на 3:

$\frac{1 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{3}{27}$

Теперь выполним сложение:

$\frac{3}{27} + \frac{1}{27} = \frac{3 + 1}{27} = \frac{4}{27}$

Ответ: $\frac{4}{27}$

3 На заказ сделан аквариум с измерениями 78м, 34м, 12м. Наименьшее из измерений — высота аквариума.

а) Найдите объём грунта, необходимого для заполнения аквариума, если толщина слоя грунта равна 5 см.

б) Для расчёта затрат на профилактику течи найдите общую аквариума (места соединения двух стёкол).

в) Найдите объём аквариума.

г)* Сколько кубометров воды можно налить в аквариум, чтобы вода не доходила на 10 см до края?

N3

8- наименьший общий знаменатель

$\frac{7}{8}\text{м},\frac{3}{4}\text{м} = \frac{3 · 2}{4 · 2}\text{м} = \frac{6}{8}\text{м};\frac{1}{2}\text{м} = \frac{1 · 4}{2 · 4}\text{м} = \frac{4}{8}\text{м}$

$\frac{4}{8}\text{м}<\frac{6}{8}\text{м}<\frac{7}{8}\text{м}$

Значит, $\frac{1}{2}\text{м}$ - наименьшее измерение,

высота аквариума.

а) 5 см = $\frac{5}{100}\text{м} = \frac{5 · 1}{5 · 20}\text{м} = \frac{1}{20}\text{м}$, т.к. 1 м = 100 см

$78\text{м}$ и $\frac{3}{4}\text{м}$ - длина и ширина аквариума.

б) $\frac{7}{8} · \frac{3}{4} · \frac{1}{20} = \frac{7 · 3 · 1}{8 · 4 · 20} = \frac{21}{640}\text{(м}{}^3\text{)}$ - объём грунта

$\left(\frac{7}{8} + \frac{7}{8}\right) + \left(\frac{3}{4} + \frac{3}{4}\right) + \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\right) =$

$= \frac{14}{8} + \frac{6}{4} + \frac{4}{2} = \frac{7 · 2}{4 · 2} + \frac{6}{4} + 4 : 2 =$

$= \frac{7}{4} + \frac{6}{4} + 2 = \frac{13}{4} + 2 = 3\frac{1}{4} + 2 = 3\frac{1}{4} + 2 =$

$= 3 + 2 + \frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}\text{(м)}$ - общая длина всех швов

б) $\frac{7}{8} · \frac{3}{4} · \frac{1}{2} = \frac{7 · 3 · 1}{8 · 4 · 2} = \frac{21}{64}\text{(м}{}^3\text{)}$ объём аквариума

г) 10 см = $\frac{10}{100}\text{м} = \frac{10 · 1}{10 · 10}\text{м} = \frac{1}{10}\text{м}$

1) $\frac{1}{2}\text{м} - \frac{1}{10}\text{м} = \frac{1 · 5}{2 · 5}\text{м} - \frac{1}{10}\text{м} =$

$= \frac{5}{10}\text{м} - \frac{1}{10}\text{м} = \frac{4}{10}\text{м} = \frac{2 · 2}{2 · 5}\text{м} = \frac{2}{5}\text{м}$ - высота воды в аквариуме

2) $\frac{7}{8} · \frac{3}{4} · \frac{2}{5} = \frac{7 · 3 · 2}{8 · 4 · 5} = \frac{7 · 3 · 2}{8 · 2 · 5} = \frac{21}{80}\text{(м}{}^3\text{)}$ - объём воды

Ответ: а) $\frac{21}{640}{\text{м}}^3$, б) $5\frac{1}{4}\text{м}$; в) $\frac{21}{64}{\text{м}}^3$;

г) $\frac{21}{80}{\text{м}}^3$

Сначала определим, какое из измерений является высотой. Для этого сравним данные дроби: $\frac{7}{8}$, $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{2}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 8:

$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 4}{2 \times 4} = \frac{4}{8}$

Сравнивая числители, получаем: $\frac{4}{8} < \frac{6}{8} < \frac{7}{8}$, следовательно, $\frac{1}{2} < \frac{3}{4} < \frac{7}{8}$.

Наименьшее из измерений — $\frac{1}{2}$ м, значит, это высота аквариума. Остальные два измерения — это длина и ширина.

Обозначим размеры аквариума:

Длина: $l = \frac{7}{8}$ м

Ширина: $w = \frac{3}{4}$ м

Высота: $h = \frac{1}{2}$ м

а) Найдите объём грунта, необходимого для заполнения аквариума, если толщина слоя грунта равна 5 см.

Объём грунта вычисляется как произведение площади дна аквариума на толщину слоя грунта. Сначала переведем толщину грунта в метры: 5 см = 0,05 м = $\frac{5}{100}$ м = $\frac{1}{20}$ м.

Площадь дна аквариума равна $S_{дна} = l \times w = \frac{7}{8} \times \frac{3}{4} = \frac{21}{32}$ м?.

Объём грунта $V_{грунта}$ равен:

$V_{грунта} = S_{дна} \times \text{толщина грунта} = \frac{21}{32} \text{ м}^2 \times \frac{1}{20} \text{ м} = \frac{21}{640}$ м?.

Ответ: $\frac{21}{640}$ м?.

б) Для расчёта затрат на профилактику течи найдите общую длину всех швов аквариума (места соединения двух стёкол).

Аквариум представляет собой прямоугольный параллелепипед без верхней крышки. Швы — это рёбра, где соединяются стёкла. Это четыре ребра на дне (периметр основания) и четыре вертикальных ребра (высоты).

Длина швов на дне (периметр основания): $P = 2 \times (l + w) = 2 \times (\frac{7}{8} + \frac{3}{4}) = 2 \times (\frac{7}{8} + \frac{6}{8}) = 2 \times \frac{13}{8} = \frac{26}{8} = \frac{13}{4}$ м.

Длина вертикальных швов: $4 \times h = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ м.

Общая длина всех швов $L$ равна сумме длины швов на дне и вертикальных швов:

$L = \frac{13}{4} \text{ м} + 2 \text{ м} = 3\frac{1}{4} \text{ м} + 2 \text{ м} = 5\frac{1}{4}$ м.

Ответ: $5\frac{1}{4}$ м.

в) Найдите объём аквариума.

Объём аквариума $V_{аквариума}$ вычисляется по формуле объёма прямоугольного параллелепипеда: $V = l \times w \times h$.

$V_{аквариума} = \frac{7}{8} \text{ м} \times \frac{3}{4} \text{ м} \times \frac{1}{2} \text{ м} = \frac{7 \times 3 \times 1}{8 \times 4 \times 2} = \frac{21}{64}$ м?.

Ответ: $\frac{21}{64}$ м?.

г)* Сколько кубометров воды можно налить в аквариум, чтобы вода не доходила на 10 см до края?

Высота аквариума $h = \frac{1}{2}$ м = 50 см. Вода не должна доходить до края на 10 см, значит, высота слоя воды будет:

$h_{воды} = 50 \text{ см} - 10 \text{ см} = 40$ см.

Переведем высоту воды в метры: 40 см = 0,4 м = $\frac{4}{10}$ м = $\frac{2}{5}$ м.

Объём воды $V_{воды}$ вычисляется как произведение площади дна на высоту слоя воды:

$V_{воды} = l \times w \times h_{воды} = \frac{7}{8} \times \frac{3}{4} \times \frac{2}{5} = \frac{7 \times 3 \times 2}{8 \times 4 \times 5} = \frac{42}{160} = \frac{21}{80}$ м?.

Ответ: $\frac{21}{80}$ м?.