Страница 58, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.105 Павел прочитал 78 страниц книги. На сколько страниц меньше осталось прочитать, если в книге всего 144 страницы?

Было – 144 страницы

Прочитал – 78 страниц

Осталось – ?

На сколько меньше осталось прочитать, чем прочитал?

1) 144 - 78 = 66 (стр.) – осталось

2) 78 - 66 = 12 (стр.)

Ответ: на 12 страниц.

Для того чтобы решить задачу, необходимо выполнить два действия. Сначала узнаем, сколько страниц осталось прочитать, а затем сравним это число с количеством уже прочитанных страниц.

1. Найдем, сколько страниц осталось прочитать. Для этого из общего количества страниц в книге вычтем количество страниц, которые Павел уже прочитал.

$144 - 78 = 66$ (страниц)

Таким образом, Павлу осталось прочитать 66 страниц.

2. Теперь найдем, на сколько страниц меньше осталось прочитать, чем уже прочитано. Для этого из количества прочитанных страниц вычтем количество оставшихся страниц.

$78 - 66 = 12$ (страниц)

Ответ: на 12 страниц.

2.106 Используя сложение, проверьте, правильно ли выполнено вычитание:

а) 3467 - 2949 = 518;

б) 2002 - 944 = 1058.

а) 3467 - 2949 = 518

Ответ: правильно.

б) 2002 - 944 = 1058

Ответ: правильно.

а) Чтобы проверить, правильно ли выполнено вычитание $3467 - 2949 = 518$, нужно сложить разность ($518$) и вычитаемое ($2949$). Если результат сложения будет равен уменьшаемому ($3467$), то вычитание выполнено верно.

Выполним проверку сложением:

$518 + 2949 = 3467$

Так как результат сложения $3467$ совпадает с уменьшаемым, вычитание выполнено правильно.

Ответ: правильно.

б) Чтобы проверить, правильно ли выполнено вычитание $2002 - 944 = 1058$, необходимо сложить разность ($1058$) и вычитаемое ($944$). Результат должен быть равен уменьшаемому ($2002$).

Выполним проверку сложением:

$1058 + 944 = 2002$

Так как результат сложения $2002$ совпадает с уменьшаемым, вычитание выполнено правильно.

Ответ: правильно.

2.107 Найдите разность:

а) 176 - 149;

б) 689 - 499;

в) 67 005 - 58 906;

г) 39 067 - 8471;

д) 2 222 222 222 - 987 654 321;

е) 1 234 567 890 - 45 678 910.

2.108 На отрезке DY точка М лежит между точками X и Y, точка X — между точками D и М. Вычислите длину отрезка DY, если XD = 136 см, ХМ на 9 см меньше XD, a MY па 27 см меньше ХМ.

1) 136 - 9 = 127 (см) – длина XM

2) 127 - 27 = 100 (см) – длина MY

3) 136 + 127 + 100 = 363 (см)

Ответ: 363 см.

Для решения задачи сначала определим порядок расположения точек на прямой. Из условия "точка X — между точками D и M" следует порядок D–X–M. Из условия "точка M лежит между точками X и Y" следует порядок X–M–Y. Объединяя эти два условия, получаем, что все четыре точки лежат на отрезке DY в следующем порядке: D, X, M, Y.

Длина всего отрезка DY равна сумме длин составляющих его отрезков:

$DY = DX + XM + MY$

Длина отрезка DX дана в условии как XD.

$XD = 136$ см.

1. Вычислим длину отрезка XM.

По условию, отрезок XM на 9 см меньше отрезка XD.
$XM = XD - 9$ см
$XM = 136 - 9 = 127$ см.

2. Вычислим длину отрезка MY.

По условию, отрезок MY на 27 см меньше отрезка XM.
$MY = XM - 27$ см
$MY = 127 - 27 = 100$ см.

3. Вычислим длину отрезка DY.

Сложим длины всех трех отрезков:
$DY = XD + XM + MY$
$DY = 136 + 127 + 100 = 363$ см.

Ответ: 363 см.

2.109 Вычислите наиболее удобным способом:

а) (5223 + 1687) - 587;

б) (2734 + 437) - 2634;

в) 87 844 - (87 244 + 270);

г) (7694 + 2306) - 888.

а) (5223 + 1687) - 587 = 5223 + (1687 - 587) = 5223 + 1100 = 6323;

б) (2734 + 437) - 2634 = (2734 - 2634) + 437 = 100 + 437 = 537;

в) 87844 - (87244 + 270) = (87844 - 87244) - 270 = 600 - 270 = 330

г) (7694 + 2306) - 888 = 9112

а) $(5223 + 1687) - 587$

Для наиболее удобного вычисления воспользуемся свойством вычитания числа из суммы: $(a + b) - c = a + (b - c)$. В данном случае удобнее сначала вычесть $587$ из $1687$, так как у этих чисел одинаковая концовка.

$(5223 + 1687) - 587 = 5223 + (1687 - 587)$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$1687 - 587 = 1100$

Теперь к результату прибавим первое слагаемое:

$5223 + 1100 = 6323$

Ответ: 6323

б) $(2734 + 437) - 2634$

Чтобы упростить вычисления, воспользуемся свойствами сложения и вычитания и перегруппируем числа. Удобнее сначала вычесть $2634$ из $2734$.

$(2734 + 437) - 2634 = (2734 - 2634) + 437$

Выполним вычитание в скобках:

$2734 - 2634 = 100$

Теперь к результату прибавим оставшееся число:

$100 + 437 = 537$

Ответ: 537

в) $87 844 - (87 244 + 270)$

Здесь применим правило вычитания суммы из числа: $a - (b + c) = a - b - c$. Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри на противоположные.

$87 844 - (87 244 + 270) = 87 844 - 87 244 - 270$

Сначала выполним первое вычитание, так как числа $87 844$ и $87 244$ очень близки:

$87 844 - 87 244 = 600$

Теперь из результата вычтем второе число:

$600 - 270 = 330$

Ответ: 330

г) $(7694 + 2306) - 888$

В этом примере наиболее удобным будет стандартный порядок действий, так как сумма чисел в скобках дает круглое число, из которого легко вычитать.

Сначала выполним сложение в скобках:

$7694 + 2306 = 10000$

Затем вычтем из полученного результата число $888$:

$10000 - 888 = 9112$

Ответ: 9112

2.110 Для отправки учащихся в летнюю математическую школу было заказано 8 автобусов, по 54 места в каждом. Сколько свободных мест останется в автобусах после размещения 380 детей и 24 взрослых?

1) 8 · 54 = 432 (мест) – всего

2) 380 + 24 =404 (мест) – занято

3) 432 - 404 = 28 (мест) – свободно

Ответ: 28 мест.

1. Определим общее количество мест в автобусах.
Для этого необходимо умножить количество заказанных автобусов на количество мест в каждом из них.
$8 \text{ автобусов} \times 54 \text{ места} = 432 \text{ места}$
Таким образом, общее количество посадочных мест составляет 432.

2. Рассчитаем общее количество пассажиров.
Нужно сложить количество детей и количество взрослых, которые отправляются в летнюю школу.
$380 \text{ детей} + 24 \text{ взрослых} = 404 \text{ пассажира}$
Всего необходимо разместить 404 человека.

3. Найдём количество свободных мест.
Чтобы узнать, сколько мест останется свободными, нужно из общего количества мест вычесть общее количество пассажиров.
$432 \text{ места} - 404 \text{ пассажира} = 28 \text{ свободных мест}$

Ответ: 28.

2.111 В зале дворца культуры 480 мест. Для участия в торжественном мероприятии туда прибыло 12 делегаций по 35 человек. Сколько мест осталось в зале для прессы после того, как участники мероприятия заняли свои места?

1) 12 · 35 = 420 (чел.) – прибыло

2) 480 - 420 = 60 (мест)

Ответ: 60 мест.

Для того чтобы найти, сколько мест осталось для прессы, нужно сначала определить, сколько всего мест займут участники мероприятия, а затем вычесть это число из общего количества мест в зале.

1. Рассчитаем общее количество участников.
Прибыло 12 делегаций по 35 человек в каждой. Чтобы найти общее число участников, умножим количество делегаций на число человек в одной делегации:
$12 \times 35 = 420$ (человек).
Следовательно, участники мероприятия займут 420 мест.

2. Рассчитаем количество свободных мест.
Общее количество мест в зале — 480. Вычтем из этого числа количество мест, занятых участниками, чтобы найти, сколько мест осталось для прессы:
$480 - 420 = 60$ (мест).

Ответ: 60 мест осталось в зале для прессы.

2.112 На координатной прямой отметьте натуральные числа, координаты которых больше 9 и меньше 13.

В задаче требуется найти натуральные числа, которые больше 9, но меньше 13. Обозначим искомое натуральное число переменной $x$. Тогда условие задачи можно записать в виде строгого двойного неравенства:

$9 < x < 13$

Натуральные числа — это целые положительные числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...). Нам нужно найти все натуральные числа, которые находятся в интервале между 9 и 13.

Последовательно переберем натуральные числа, начиная с числа, следующего за 9:

- Первое натуральное число, большее 9, — это 10. Проверяем, меньше ли оно 13: $10 < 13$. Да, это так. Значит, число 10 является решением.
- Следующее натуральное число — 11. Проверяем: $11 < 13$. Да, это так. Число 11 также является решением.
- Следующее натуральное число — 12. Проверяем: $12 < 13$. Да, это так. Число 12 — еще одно решение.
- Следующее натуральное число — 13. Оно не меньше 13, поэтому не удовлетворяет условию $x < 13$.

Таким образом, мы нашли три натуральных числа, удовлетворяющих заданным условиям: 10, 11 и 12. На координатной прямой нужно отметить точки, соответствующие этим числам.

Ответ: На координатной прямой необходимо отметить числа 10, 11 и 12.

2.113 В энциклопедии приведены данные о массе некоторых птиц: скворец — 60 г, сорока — 210 г, страус — 120 кг, колибри — 6 г, пингвин — 33 кг, кондор — 11 кг 400 г. Перечислите этих птиц в порядке убывания их массы.

Скворец – 60 г;

Сорока – 210 г;

Страус – 120 кг = 120000 г;

Колибри – 6 г;

Пингвин – 33 кг;

Кондор – 11 кг 400 г = 11400 г.

Ответ: страус, пингвин, кондор, сорока, скворец, колибри.

Для того чтобы перечислить птиц в порядке убывания их массы, необходимо сначала привести все данные к единой единице измерения. Удобнее всего будет перевести все значения в граммы (г), используя соотношение $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

Выполним перевод массы каждой птицы в граммы:
Скворец: $60 \text{ г}$
Сорока: $210 \text{ г}$
Страус: $120 \text{ кг} = 120 \times 1000 \text{ г} = 120000 \text{ г}$
Колибри: $6 \text{ г}$
Пингвин: $33 \text{ кг} = 33 \times 1000 \text{ г} = 33000 \text{ г}$
Кондор: $11 \text{ кг } 400 \text{ г} = (11 \times 1000 + 400) \text{ г} = 11400 \text{ г}$

Теперь, когда все массы выражены в граммах, мы можем сравнить их и расположить птиц в порядке убывания их массы (от самой большой к самой маленькой):
1. Страус ($120000 \text{ г}$)
2. Пингвин ($33000 \text{ г}$)
3. Кондор ($11400 \text{ г}$)
4. Сорока ($210 \text{ г}$)
5. Скворец ($60 \text{ г}$)
6. Колибри ($6 \text{ г}$)

Ответ: страус, пингвин, кондор, сорока, скворец, колибри.

2.114 Два станка-автомата, работая одновременно, изготовили за смену 496 деталей. Сколько часов длилась смена, если один станок за 1 ч изготавливал 27 деталей, а другой — 35 деталей?

1) 27 + 35 = 62 (д) за 1 час изготавливали оба станка;

2) 496 : 62 = 8 (ч).

Ответ: 8 ч длилась смена.

Для решения этой задачи необходимо сначала найти общую производительность двух станков, то есть количество деталей, которое они изготавливают вместе за один час.

1. Найдем совместную производительность.
Производительность первого станка — $27$ деталей в час.
Производительность второго станка — $35$ деталей в час.
Чтобы найти их совместную производительность, нужно сложить их индивидуальные производительности:
$27 + 35 = 62$ (детали в час).

2. Найдем продолжительность смены.
Известно, что за всю смену оба станка изготовили $496$ деталей. Чтобы найти, сколько часов длилась смена, нужно общее количество изготовленных деталей разделить на совместную производительность станков:
$496 \div 62 = 8$ (часов).

Таким образом, смена длилась 8 часов.

Ответ: 8 часов.

2.115 Выполните действия:

а) 1836 + 640 : 8;

б) 80 • 11 — 42 558 : 519;

в) 344 : 4 + 2456;

г) 684 • 245 - 675 • 246.

$\mathrm{а}) 1836 \stackrel{2}{+} 640 \stackrel{1}{:} 8 =$ 1836 + 80 = 1916

$\mathrm{б}) 80 \stackrel{1}{·} 11 \stackrel{3}{-} 42558 \stackrel{2}{:} 519 = 798$

1)

2)

3)

$\mathrm{в}) 344 \stackrel{1}{:} 4 \stackrel{2}{+} 2456 = 2542$

1)

2)

$\mathrm{г}) 684 \stackrel{1}{·} 245 \stackrel{3}{-} 675 \stackrel{2}{·} 246 = 1530$

1)

2)

3)

а) $1836 + 640 : 8$
Согласно порядку выполнения математических операций, сначала выполняем деление, а затем сложение.
1) Первым действием выполним деление: $640 : 8 = 80$.
2) Вторым действием выполним сложение: $1836 + 80 = 1916$.
Полное решение: $1836 + 640 : 8 = 1836 + 80 = 1916$.
Ответ: 1916.

б) $80 \cdot 11 - 42558 : 519$
В соответствии с порядком действий, сначала выполняем умножение и деление (слева направо), а затем вычитание.
1) Первое действие – умножение: $80 \cdot 11 = 880$.
2) Второе действие – деление: $42558 : 519 = 82$.
3) Третье действие – вычитание: $880 - 82 = 798$.
Полное решение: $80 \cdot 11 - 42558 : 519 = 880 - 82 = 798$.
Ответ: 798.

в) $344 : 4 + 2456$
По правилам порядка операций, сначала необходимо выполнить деление, а после этого – сложение.
1) Первое действие – деление: $344 : 4 = 86$.
2) Второе действие – сложение: $86 + 2456 = 2542$.
Полное решение: $344 : 4 + 2456 = 86 + 2456 = 2542$.
Ответ: 2542.

г) $684 \cdot 245 - 675 \cdot 246$
Чтобы упростить вычисления, можно применить распределительное свойство умножения. Для этого представим один из множителей в виде суммы или разности. Например, $246$ можно представить как $(245 + 1)$.
1) Подставим $(245 + 1)$ вместо $246$ в исходное выражение:
$684 \cdot 245 - 675 \cdot (245 + 1)$
2) Раскроем скобки во второй части выражения:
$684 \cdot 245 - (675 \cdot 245 + 675 \cdot 1) = 684 \cdot 245 - 675 \cdot 245 - 675$
3) Теперь можно вынести общий множитель $245$ за скобки:
$(684 - 675) \cdot 245 - 675$
4) Выполним вычисления по порядку:
$9 \cdot 245 - 675 = 2205 - 675 = 1530$
Ответ: 1530.

2.116 В микрорайоне проживает 3457 человек, из них 1395 человек — взрослые. Подростков на 578 человек меньше, чем взрослых, а остальные — дети. Сколько детей проживает в микрорайоне?

1) 1395 - 578 = 817 (чел.) - подростки;

2) 1395 + 817 = 2212 (чел.) - взрослые и подростки;

3) 3457 - 2212 = 1245 (чел.) - дети;

Ответ: 1245 детей.

Для того чтобы найти количество детей в микрорайоне, необходимо последовательно выполнить несколько вычислений.

1. Сначала определим, сколько подростков проживает в микрорайоне. По условию задачи, их на 578 человек меньше, чем взрослых, а взрослых — 1395. Следовательно, число подростков равно:

$1395 - 578 = 817$ (подростков).

2. Теперь найдем общее количество взрослых и подростков вместе. Для этого сложим их количество:

$1395 + 817 = 2212$ (взрослых и подростков).

3. Зная, что всего в микрорайоне проживает 3457 человек, мы можем найти количество детей. Для этого нужно из общего числа жителей вычесть сумму взрослых и подростков:

$3457 - 2212 = 1245$ (детей).

Ответ: в микрорайоне проживает 1245 детей.

2.117 За три месяца автомобильный завод выпустил 4500 автомобилей. За первый и второй месяцы он выпустил 3150 автомобилей, а за второй и третий месяцы — 2950 автомобилей. Сколько автомобилей выпускал завод каждый месяц?

1) 4500 - 2950 = 1550 (авт.) - за I месяц;

2) 3150 - 1550 = 1600 (авт.) - за II месяц;

3) 4500 - 3150 = 1350 (авт.) - за III месяц;

Ответ: 1550, 1600 и 1350 автомобилей.

Для решения задачи разобьем ее на несколько последовательных шагов.

1. Найдем, сколько автомобилей было выпущено за третий месяц.

Нам известно, что всего за три месяца завод выпустил 4500 автомобилей, а за первый и второй месяцы вместе — 3150 автомобилей. Чтобы найти количество автомобилей, выпущенных в третий месяц, нужно из общего количества за три месяца вычесть количество за первые два месяца.

$4500 - 3150 = 1350$ (автомобилей).

2. Найдем, сколько автомобилей было выпущено за первый месяц.

Аналогично, нам известно, что за второй и третий месяцы завод выпустил 2950 автомобилей. Чтобы найти количество автомобилей за первый месяц, нужно из общего количества за три месяца (4500) вычесть количество за второй и третий месяцы.

$4500 - 2950 = 1550$ (автомобилей).

3. Найдем, сколько автомобилей было выпущено за второй месяц.

Теперь мы знаем выпуск за первый месяц (1550) и за третий месяц (1350). Количество автомобилей за второй месяц можно найти несколькими способами. Например, вычтем из общего выпуска за первый и второй месяцы (3150) уже известный нам выпуск за первый месяц (1550).

$3150 - 1550 = 1600$ (автомобилей).

Для проверки можно сложить выпуск за все три месяца: $1550 + 1600 + 1350 = 4500$. Результат совпадает с общим количеством, указанным в условии задачи.

Ответ: в первый месяц завод выпустил 1550 автомобилей, во второй — 1600 автомобилей, в третий — 1350 автомобилей.

?

Изменится ли дробь, если её числитель и знаменатель умножить на 12, а потом разделить на 4?

Пусть дана произвольная дробь $\frac{a}{b}$. Последовательное умножение числителя и знаменателя на 12, а затем деление на 4, эквивалентно одновременному умножению числителя и знаменателя на число $12 \div 4 = 3$. Таким образом, мы получаем новую дробь $\frac{a \cdot 3}{b \cdot 3}$. Согласно основному свойству дроби, при умножении числителя и знаменателя на одно и то же ненулевое число значение дроби не изменяется. Следовательно, $\frac{a}{b} = \frac{a \cdot 3}{b \cdot 3}$. Величина дроби останется прежней.
Ответ: Нет, значение дроби не изменится.

Как называется действие деления числителя и знаменателя дроби на их общий делитель, отличный от единицы?

Действие деления числителя и знаменателя дроби на их общий делитель (кроме 1) называется сокращением дроби. Это преобразование, которое упрощает дробь, не изменяя её значения. Например, если взять дробь $\frac{8}{12}$, то общим делителем для 8 и 12 является число 4. Разделив числитель и знаменатель на 4, мы получим сокращенную дробь $\frac{2}{3}$.
Ответ: Сокращение дроби.

Какую дробь называют несократимой?

Несократимой называют дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами. Взаимно простые числа — это числа, у которых нет общих делителей, кроме 1. Это означает, что такую дробь больше нельзя сократить. Например, дробь $\frac{7}{15}$ является несократимой, так как наибольший общий делитель (НОД) чисел 7 и 15 равен 1.
Ответ: Дробь, у которой числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Чему равна дробь, у которой числитель равен знаменателю?

Дробь, у которой числитель равен знаменателю, всегда равна единице (при условии, что числитель и знаменатель не равны нулю). Дробная черта обозначает операцию деления. Если мы делим любое ненулевое число само на себя, результат равен 1. Если обозначить числитель и знаменатель как $n$, где $n \neq 0$, то дробь будет иметь вид $\frac{n}{n}$, и её значение будет равно 1. Например, $\frac{9}{9} = 1$.
Ответ: 1.

5.331 Разделите числитель и знаменатель каждой дроби 105, 1510, 2515, 4055 на 5. Запишите соответствующие равенства.

Для дроби $\frac{10}{5}$

Разделим числитель (10) и знаменатель (5) на 5. Это действие называется сокращением дроби. Согласно основному свойству дроби, ее значение при этом не изменится. Запишем соответствующее равенство:

$\frac{10}{5} = \frac{10 \div 5}{5 \div 5} = \frac{2}{1}$

Ответ: $\frac{10}{5} = \frac{2}{1}$.

Для дроби $\frac{15}{10}$

Разделим числитель (15) и знаменатель (10) на 5:

$\frac{15}{10} = \frac{15 \div 5}{10 \div 5} = \frac{3}{2}$

Ответ: $\frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

Для дроби $\frac{25}{15}$

Разделим числитель (25) и знаменатель (15) на 5:

$\frac{25}{15} = \frac{25 \div 5}{15 \div 5} = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{25}{15} = \frac{5}{3}$.

Для дроби $\frac{40}{55}$

Разделим числитель (40) и знаменатель (55) на 5:

$\frac{40}{55} = \frac{40 \div 5}{55 \div 5} = \frac{8}{11}$

Ответ: $\frac{40}{55} = \frac{8}{11}$.

5.332 Какое натуральное число надо записать вместо буквы, чтобы было верным равенство:

а)

Дано равенство дробей: $\frac{15}{25} = \frac{c}{5}$. Для того чтобы найти неизвестное натуральное число $c$, необходимо, чтобы дроби были равны. Сначала упростим дробь в левой части равенства, сократив ее. Наибольший общий делитель для числителя 15 и знаменателя 25 равен 5.

$\frac{15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{3}{5}$

Теперь исходное равенство можно переписать в виде:

$\frac{3}{5} = \frac{c}{5}$

Поскольку знаменатели обеих дробей равны, для соблюдения равенства их числители также должны быть равны. Отсюда следует, что $c = 3$.

Ответ: 3

б)

Дано равенство: $\frac{m}{12} = \frac{5}{6}$. Чтобы найти неизвестное число $m$, приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель левой дроби (12) делится на знаменатель правой (6). Приведем правую дробь к знаменателю 12, для этого умножим ее числитель и знаменатель на 2.

$\frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$

Теперь равенство выглядит так:

$\frac{m}{12} = \frac{10}{12}$

Так как знаменатели дробей равны, то и числители должны быть равны. Следовательно, $m = 10$.

Ответ: 10

в)

Дано равенство: $\frac{19}{76} = \frac{1}{a}$. Для нахождения $a$ сначала упростим дробь в левой части. Проверим, делится ли 76 на 19. $19 \cdot 4 = 76$. Значит, мы можем сократить дробь на 19.

$\frac{19 \div 19}{76 \div 19} = \frac{1}{4}$

Подставим сокращенную дробь в исходное равенство:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{a}$

В этом равенстве числители равны (оба равны 1), значит, для того чтобы дроби были равны, их знаменатели также должны быть равны. Отсюда $a = 4$.

Ответ: 4

г)

Дано равенство: $\frac{15}{y} = \frac{5}{6}$. Это пропорция, и для нахождения неизвестного члена $y$ можно использовать основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

$15 \cdot 6 = y \cdot 5$

$90 = 5y$

Теперь найдем $y$, разделив 90 на 5:

$y = \frac{90}{5}$

$y = 18$

Другой способ решения — заметить, что числитель левой дроби (15) в 3 раза больше числителя правой дроби (5), так как $15 = 5 \cdot 3$. Чтобы равенство было верным, знаменатель левой дроби ($y$) также должен быть в 3 раза больше знаменателя правой дроби (6).

$y = 6 \cdot 3 = 18$

Ответ: 18

5.333 Назовите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби:

a)
$\frac{6}{8}$
Делители числа 6: 1; 2; 3; 6
Делители числа 8: 1; 2; 4; 8
Общие делители чисел 6 и 8: 1; 2
Наибольший общий делитель чисел 6 и 8 - это число 2.
Ответ: 2

б)
$\frac{9}{27}$
Делители числа 9: 1; 3; 9
Делители числа 27: 1; 3; 9; 27
Общие делители чисел 9 и 27: 1; 3; 9
Наибольший общий делитель чисел 9 и 27: это число 9.
Ответ: 9

в)
$\frac{7}{21}$
Делители числа 7: 1; 7
Делители числа 21: 1; 3; 7; 21
Общие делители чисел 7 и 21: 1; 7
Наибольший общий делитель чисел 7 и 21: это число 7.
Ответ: 7

2)
$\frac{40}{70}$
Делители числа 40: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 40
Делители числа 70: 1; 2; 7; 10; 35; 70
Общие делители чисел 70 и 40: 1; 2; 10
Наибольший общий делитель чисел 40 и 70 - это число 10.
Ответ: 10

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя дроби, можно разложить оба числа на простые множители и найти произведение их общих множителей.

а) Для дроби $\frac{6}{8}$ найдем наибольший общий делитель числителя 6 и знаменателя 8.

Разложим числа на простые множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

Общим простым множителем является число 2. Наименьшая степень, в которой он входит в оба разложения, это первая ($2^1$).

Таким образом, НОД(6, 8) = 2.

Ответ: 2

б) Для дроби $\frac{9}{27}$ найдем наибольший общий делитель числителя 9 и знаменателя 27.

Разложим числа на простые множители:

$9 = 3 \cdot 3 = 3^2$

$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

Общий простой множитель — это 3. Наименьшая степень, в которой он входит в оба разложения, — вторая ($3^2$).

Следовательно, НОД(9, 27) = $3^2 = 9$.

Также можно заметить, что знаменатель 27 является кратным числителю 9 ($27 = 9 \cdot 3$), поэтому их наибольший общий делитель равен 9.

Ответ: 9

в) Для дроби $\frac{7}{21}$ найдем наибольший общий делитель числителя 7 и знаменателя 21.

Число 7 является простым, его делители — это 1 и 7.

Число 21 делится на 7 без остатка ($21 = 7 \cdot 3$).

Поскольку 7 является делителем и числителя, и знаменателя, он и является их наибольшим общим делителем.

НОД(7, 21) = 7.

Ответ: 7

г) Для дроби $\frac{40}{70}$ найдем наибольший общий делитель числителя 40 и знаменателя 70.

Разложим числа на простые множители:

$40 = 4 \cdot 10 = (2 \cdot 2) \cdot (2 \cdot 5) = 2^3 \cdot 5$

$70 = 7 \cdot 10 = 7 \cdot 2 \cdot 5 = 2 \cdot 5 \cdot 7$

Общими простыми множителями являются 2 и 5. Берем их в наименьших степенях, в которых они входят в оба разложения, то есть $2^1$ и $5^1$.

Их произведение и будет НОД: НОД(40, 70) = $2 \cdot 5 = 10$.

Ответ: 10

5.334 Сократите дробь:

Сократим дробь $ \frac{33}{99} $. Наибольший общий делитель (НОД) числителя 33 и знаменателя 99 равен 33, так как знаменатель кратен числителю ($99 = 3 \cdot 33$). Разделим числитель и знаменатель на 33: $ \frac{33}{99} = \frac{33 \div 33}{99 \div 33} = \frac{1}{3} $.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.

Сократим дробь $ \frac{150}{125} $. Оба числа, 150 и 125, делятся на 25. НОД(150, 125) = 25. Разделим числитель и знаменатель на 25: $ \frac{150}{125} = \frac{150 \div 25}{125 \div 25} = \frac{6}{5} $.
Ответ: $ \frac{6}{5} $.

Сократим дробь $ \frac{25}{100} $. Знаменатель 100 делится нацело на числитель 25 ($100 = 4 \cdot 25$), поэтому НОД(25, 100) = 25. Разделим числитель и знаменатель на 25: $ \frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

Сократим дробь $ \frac{14}{210} $. Знаменатель 210 делится нацело на числитель 14 ($210 = 15 \cdot 14$), поэтому НОД(14, 210) = 14. Разделим числитель и знаменатель на 14: $ \frac{14}{210} = \frac{14 \div 14}{210 \div 14} = \frac{1}{15} $.
Ответ: $ \frac{1}{15} $.

Сократим дробь $ \frac{150}{1000} $. НОД(150, 1000) = 50. Разделим числитель и знаменатель на 50: $ \frac{150}{1000} = \frac{150 \div 50}{1000 \div 50} = \frac{3}{20} $.
Ответ: $ \frac{3}{20} $.

Сократим дробь $ \frac{1000}{2500} $. Можно сократить на 100, получив $ \frac{10}{25} $, а затем на 5. НОД(1000, 2500) = 500. Разделим числитель и знаменатель на 500: $ \frac{1000}{2500} = \frac{1000 \div 500}{2500 \div 500} = \frac{2}{5} $.
Ответ: $ \frac{2}{5} $.

Сократим дробь $ \frac{264}{148} $. Оба числа четные. Найдем их НОД. $264 = 4 \cdot 66$, $148 = 4 \cdot 37$. Так как 37 - простое число, а 66 на 37 не делится, НОД(264, 148) = 4. Разделим числитель и знаменатель на 4: $ \frac{264}{148} = \frac{264 \div 4}{148 \div 4} = \frac{66}{37} $.
Ответ: $ \frac{66}{37} $.

Сократим дробь $ \frac{45}{630} $. Знаменатель 630 делится нацело на числитель 45 ($630 = 14 \cdot 45$), поэтому НОД(45, 630) = 45. Разделим числитель и знаменатель на 45: $ \frac{45}{630} = \frac{45 \div 45}{630 \div 45} = \frac{1}{14} $.
Ответ: $ \frac{1}{14} $.

Сократим дробь $ \frac{30}{64} $. Оба числа четные. $30 = 2 \cdot 15$, $64 = 2 \cdot 32$. НОД(30, 64) = 2, так как 15 и 32 взаимно простые. Разделим числитель и знаменатель на 2: $ \frac{30}{64} = \frac{30 \div 2}{64 \div 2} = \frac{15}{32} $.
Ответ: $ \frac{15}{32} $.

Сократим дробь $ \frac{125}{500} $. Знаменатель 500 делится нацело на числитель 125 ($500 = 4 \cdot 125$), поэтому НОД(125, 500) = 125. Разделим числитель и знаменатель на 125: $ \frac{125}{500} = \frac{125 \div 125}{500 \div 125} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

Сократим дробь $ \frac{7}{217} $. Числитель 7 — простое число. Проверим, делится ли знаменатель 217 на 7: $217 \div 7 = 31$. Значит, НОД(7, 217) = 7. Разделим числитель и знаменатель на 7: $ \frac{7}{217} = \frac{7 \div 7}{217 \div 7} = \frac{1}{31} $.
Ответ: $ \frac{1}{31} $.

Сократим дробь $ \frac{12}{600} $. Знаменатель 600 делится нацело на числитель 12 ($600 = 50 \cdot 12$), поэтому НОД(12, 600) = 12. Разделим числитель и знаменатель на 12: $ \frac{12}{600} = \frac{12 \div 12}{600 \div 12} = \frac{1}{50} $.
Ответ: $ \frac{1}{50} $.

Сократим дробь $ \frac{75}{300} $. Знаменатель 300 делится нацело на числитель 75 ($300 = 4 \cdot 75$), поэтому НОД(75, 300) = 75. Разделим числитель и знаменатель на 75: $ \frac{75}{300} = \frac{75 \div 75}{300 \div 75} = \frac{1}{4} $.
Ответ: $ \frac{1}{4} $.

Сократим дробь $ \frac{140}{210} $. Сначала можно сократить на 10, получив $ \frac{14}{21} $. Затем сократим на 7. Общий делитель равен $10 \cdot 7 = 70$. НОД(140, 210) = 70. Разделим числитель и знаменатель на 70: $ \frac{140}{210} = \frac{140 \div 70}{210 \div 70} = \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $.

5.335 Приведите к несократимой дроби:

а)

Для приведения дроби $ \frac{2 \cdot 7}{6 \cdot 5} $ к несократимому виду, разложим число 6 в знаменателе на множители $ 2 \cdot 3 $. Затем сократим общий множитель 2. $ \frac{2 \cdot 7}{6 \cdot 5} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{\cancel{2} \cdot 7}{\cancel{2} \cdot 3 \cdot 5} = \frac{7}{15} $.
Ответ: $ \frac{7}{15} $.

В дроби $ \frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 3} $ числитель и знаменатель имеют общий множитель 3. Сокращаем дробь на 3: $ \frac{\cancel{3} \cdot 5}{7 \cdot \cancel{3}} = \frac{5}{7} $.
Ответ: $ \frac{5}{7} $.

В дроби $ \frac{9 \cdot 4}{4 \cdot 7} $ числитель и знаменатель имеют общий множитель 4. Сокращаем дробь на 4: $ \frac{9 \cdot \cancel{4}}{\cancel{4} \cdot 7} = \frac{9}{7} $.
Ответ: $ \frac{9}{7} $.

В дроби $ \frac{11 \cdot 5}{3 \cdot 11} $ числитель и знаменатель имеют общий множитель 11. Сокращаем дробь на 11: $ \frac{\cancel{11} \cdot 5}{3 \cdot \cancel{11}} = \frac{5}{3} $.
Ответ: $ \frac{5}{3} $.

б)

Для приведения дроби $ \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 8} $ к несократимому виду, разложим число 8 в знаменателе на множители $ 4 \cdot 2 $. Затем сократим общий множитель 4. $ \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 8} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{\cancel{4} \cdot 3}{7 \cdot \cancel{4} \cdot 2} = \frac{3}{14} $.
Ответ: $ \frac{3}{14} $.

В дроби $ \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 10} $ сократим на общий множитель 3. Затем, разложив 10 на $ 2 \cdot 5 $, сократим на 2. $ \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 10} = \frac{2 \cdot \cancel{3}}{\cancel{3} \cdot 10} = \frac{2}{10} = \frac{2}{2 \cdot 5} = \frac{\cancel{2} \cdot 1}{\cancel{2} \cdot 5} = \frac{1}{5} $.
Ответ: $ \frac{1}{5} $.

В дроби $ \frac{21 \cdot 6}{21 \cdot 7} $ числитель и знаменатель имеют общий множитель 21. Сокращаем дробь на 21: $ \frac{\cancel{21} \cdot 6}{\cancel{21} \cdot 7} = \frac{6}{7} $.
Ответ: $ \frac{6}{7} $.

В дроби $ \frac{3 \cdot 7}{21 \cdot 24} $ произведение в числителе равно 21. Таким образом, дробь можно представить в виде $ \frac{21}{21 \cdot 24} $. Сокращаем на общий множитель 21: $ \frac{21}{21 \cdot 24} = \frac{\cancel{21} \cdot 1}{\cancel{21} \cdot 24} = \frac{1}{24} $.
Ответ: $ \frac{1}{24} $.

5.336 Сократите:

а) Чтобы сократить алгебраическую дробь $\frac{15c}{45c}$, необходимо найти общий делитель для числителя и знаменателя. В данном случае числитель $15c$ и знаменатель $45c$ имеют общий числовой коэффициент 15 (так как 45 делится на 15) и общую переменную $c$. Разделим числитель и знаменатель на их общий множитель $15c$.
$\frac{15c}{45c} = \frac{1 \cdot 15c}{3 \cdot 15c}$
Сократив общий множитель $15c$, получим:
$\frac{1 \cdot \cancel{15c}}{3 \cdot \cancel{15c}} = \frac{1}{3}$
(Данное сокращение возможно при условии, что $c \neq 0$).
Ответ: $\frac{1}{3}$.

б) Рассмотрим дробь $\frac{20m}{75m}$. Сначала найдем наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 20 и 75.
$20 = 4 \cdot 5$
$75 = 15 \cdot 5$
НОД(20, 75) = 5.
Общей переменной в числителе и знаменателе является $m$. Таким образом, мы можем сократить дробь на общий множитель $5m$.
$\frac{20m}{75m} = \frac{4 \cdot 5m}{15 \cdot 5m}$
Сократив общий множитель $5m$, получим:
$\frac{4 \cdot \cancel{5m}}{15 \cdot \cancel{5m}} = \frac{4}{15}$
(Данное сокращение возможно при условии, что $m \neq 0$).
Ответ: $\frac{4}{15}$.

в) В дроби $\frac{mn}{3m}$ общим множителем в числителе ($mn$) и знаменателе ($3m$) является переменная $m$. Разделим числитель и знаменатель на $m$.
$\frac{mn}{3m} = \frac{n \cdot m}{3 \cdot m}$
Сократив общий множитель $m$, получим:
$\frac{n \cdot \cancel{m}}{3 \cdot \cancel{m}} = \frac{n}{3}$
(Данное сокращение возможно при условии, что $m \neq 0$).
Ответ: $\frac{n}{3}$.

г) Рассмотрим дробь $\frac{16ac}{8c}$. Общий делитель для числовых коэффициентов 16 и 8 равен 8. Общая переменная в числителе и знаменателе - это $c$. Следовательно, мы можем сократить дробь на общий множитель $8c$.
$\frac{16ac}{8c} = \frac{2 \cdot 8 \cdot a \cdot c}{8 \cdot c}$
Сократив общие множители $8$ и $c$, получим:
$\frac{2 \cdot a \cdot \cancel{8c}}{\cancel{8c}} = 2a$
(Данное сокращение возможно при условии, что $c \neq 0$).
Ответ: $2a$.

5.337 Какую часть минуты составляют 10 с, 6 с, 4 с, 20 с, 45 с?

$1\hspace{0.17em}\mathrm{мин} = 60с$

$1с = \frac{1}{60}\hspace{0.17em}\mathrm{мин}$

$10с = \frac{10}{60}\hspace{0.17em}\mathrm{мин} = \frac{10}{6·10}\hspace{0.17em}\mathrm{мин} = \frac{1}{6}\hspace{0.17em}\mathrm{мин}$

$6с = \frac{6}{60}\hspace{0.17em}\mathrm{мин} = \frac{6}{6·10}\hspace{0.17em}\mathrm{мин} = \frac{1}{10}\hspace{0.17em}\mathrm{мин}$

$4с = \frac{4}{60}\hspace{0.17em}\mathrm{мин} = \frac{4}{4·15}\hspace{0.17em}\mathrm{мин} = \frac{1}{15}\hspace{0.17em}\mathrm{мин}$

$20с = \frac{20}{60}\hspace{0.17em}\mathrm{мин} = \frac{20}{20·3}\hspace{0.17em}\mathrm{мин} = \frac{1}{3}\hspace{0.17em}\mathrm{мин}$

$45с = \frac{45}{60}\hspace{0.17em}\mathrm{мин} = \frac{3·15}{4·15}\hspace{0.17em}\mathrm{мин} = \frac{3}{4}\hspace{0.17em}\mathrm{мин}$

Для того чтобы определить, какую часть минуты составляет данное количество секунд, необходимо знать, что одна минута равна 60 секундам. Чтобы найти искомую часть, нужно составить дробь, в числителе которой будет указанное количество секунд, а в знаменателе — 60. Затем эту дробь следует сократить до несократимого вида.

10 с

Чтобы найти, какую часть минуты составляют 10 секунд, составим дробь $ \frac{10}{60} $ и сократим её. Наибольший общий делитель для чисел 10 и 60 равен 10.

$ \frac{10}{60} = \frac{10 \div 10}{60 \div 10} = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \frac{1}{6} $

6 с

Чтобы найти, какую часть минуты составляют 6 секунд, составим дробь $ \frac{6}{60} $ и сократим её. Наибольший общий делитель для чисел 6 и 60 равен 6.

$ \frac{6}{60} = \frac{6 \div 6}{60 \div 6} = \frac{1}{10} $

Ответ: $ \frac{1}{10} $

4 с

Чтобы найти, какую часть минуты составляют 4 секунды, составим дробь $ \frac{4}{60} $ и сократим её. Наибольший общий делитель для чисел 4 и 60 равен 4.

$ \frac{4}{60} = \frac{4 \div 4}{60 \div 4} = \frac{1}{15} $

Ответ: $ \frac{1}{15} $

20 с

Чтобы найти, какую часть минуты составляют 20 секунд, составим дробь $ \frac{20}{60} $ и сократим её. Наибольший общий делитель для чисел 20 и 60 равен 20.

$ \frac{20}{60} = \frac{20 \div 20}{60 \div 20} = \frac{1}{3} $

Ответ: $ \frac{1}{3} $

45 с

Чтобы найти, какую часть минуты составляют 45 секунд, составим дробь $ \frac{45}{60} $ и сократим её. Наибольший общий делитель для чисел 45 и 60 равен 15.

$ \frac{45}{60} = \frac{45 \div 15}{60 \div 15} = \frac{3}{4} $

Ответ: $ \frac{3}{4} $

5.338 Какую часть тонны составляют 100 кг, 125 кг, 250 кг, 500 кг, 750 кг?

$1m = 1000\mathrm{кг}$

$1\mathrm{кг} = \frac{1}{1000}m$

$100\mathrm{кг} = \frac{100}{1000}m = \frac{100}{100·10}m = \frac{1}{10}m$

$125\mathrm{кг} = \frac{125}{1000}m = \frac{125}{125·8}m = \frac{1}{8}m$

$250\mathrm{кг} = \frac{250}{1000}m = \frac{250}{250·4}m = \frac{1}{4}m$

$500\mathrm{кг} = \frac{500}{1000}m = \frac{500}{500·2}m = \frac{1}{2}m$

$750\mathrm{кг} = \frac{750}{1000}m = \frac{250·3}{250·4}m = \frac{3}{4}m$

Чтобы найти, какую часть тонны составляет определенное количество килограммов, необходимо составить дробь, где в числителе будет данное количество килограммов, а в знаменателе — количество килограммов в одной тонне, то есть 1000 (поскольку $1 \text{ тонна} = 1000 \text{ кг}$). Затем эту дробь нужно сократить до простейшего вида.

100 кг
Составляем отношение 100 кг к 1000 кг и сокращаем полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 100:
$ \frac{100}{1000} = \frac{100 \div 100}{1000 \div 100} = \frac{1}{10} $
Ответ: 100 кг составляют $ \frac{1}{10} $ тонны.

125 кг
Составляем отношение 125 кг к 1000 кг. Для сокращения дроби найдем наибольший общий делитель чисел 125 и 1000. Он равен 125. Делим числитель и знаменатель на 125:
$ \frac{125}{1000} = \frac{125 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{1}{8} $
Ответ: 125 кг составляют $ \frac{1}{8} $ тонны.

250 кг
Составляем отношение 250 кг к 1000 кг. Так как 1000 делится на 250 без остатка ($1000 = 4 \times 250$), сокращаем дробь:
$ \frac{250}{1000} = \frac{1}{4} $
Ответ: 250 кг составляют $ \frac{1}{4} $ тонны.

500 кг
Составляем отношение 500 кг к 1000 кг. 500 кг — это ровно половина тонны.
$ \frac{500}{1000} = \frac{1}{2} $
Ответ: 500 кг составляют $ \frac{1}{2} $ тонны.

750 кг
Составляем отношение 750 кг к 1000 кг. Наибольший общий делитель для 750 и 1000 — это 250. Сокращаем дробь:
$ \frac{750}{1000} = \frac{750 \div 250}{1000 \div 250} = \frac{3}{4} $
Ответ: 750 кг составляют $ \frac{3}{4} $ тонны.