Страница 54, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.63 Объясните, что значит вычесть:

а) число 340 из числа 780;

б) из числа 87 число 49;

в) число 3400 из числа 3400;

г) число 0 из числа 9857.

а) Вычесть число 340 из числа 780, значит найти разность этих чисел, которая показывает, на сколько число 780 больше числа 340 или на сколько число 340 меньше числа 780: 780 - 340 = 440.
б) Вычесть из числа 87 число 49, значит найти разность этих чисел, которая показывает, насколько число 87 больше числа 49 или на сколько число 49 меньше числа 87: 87 - 49 = 38.
в) Вычесть число 3400 из числа 3400, значит найти разность этих чисел, которая показывает, на сколько число 3400 больше числа 3400 или на сколько число 3400 меньше числа 3400: 3400 - 3400 = 0.
г) Вычесть число 0 из числа 9857, значит найти разность этих чисел, которая показывает, на сколько число 9857 больше числа 0 или на сколько число 0 меньше числа 9857: 9857 - 0 = 9857.

2.64 Вычислите, если возможно:

а) 230 - 76;

б) 973 - 973;

в) 13 456 170 - 13 456 174;

г) 0 - 101;

д) 174 - 0;

е) 41 700 534 - 41 700 533.

Объясните, почему вы не всегда смогли выполнить вычитание.

$\mathrm{а}) \underset{ }{230}- \underset{ }{76}= 154;$

$\mathrm{б}) 973- 973= 0;$

в) 13 456 170 - 13 456 174 — вычислить не возможно, потому что уменьшаемое мое 13 456 170 меньше вычитаемого 13 456 174;

г) 0 - 101  — вычислить не возможно, потому что уменьшаемое 0 меньше вычитаемого 101;

$\mathrm{д}) \underset{ }{174}- \underset{ }{0}= 174;$

$\mathrm{е}) \underset{ }{41 700 534 }- \underset{ }{41 700 533 }= 1;$

Чтобы выполнить вычитание, вычитаемое должно быть меньше или равно уменьшаемого.

а) Чтобы вычислить разность $230 - 76$, можно выполнить вычитание по частям. Сначала вычтем десятки: $230 - 70 = 160$. Затем из результата вычтем единицы: $160 - 6 = 154$. Уменьшаемое больше вычитаемого, поэтому действие возможно.
Ответ: 154

б) При вычитании из числа самого себя, результат всегда равен нулю. Это свойство вычитания. $973 - 973 = 0$.
Ответ: 0

в) В данном примере уменьшаемое $13\,456\,170$ меньше, чем вычитаемое $13\,456\,174$. В множестве натуральных чисел и нуля вычитание возможно только если уменьшаемое больше или равно вычитаемому. Так как $13\,456\,170 < 13\,456\,174$, выполнить это действие в рамках натуральных чисел и нуля невозможно.
Ответ: Вычислить невозможно.

г) Здесь уменьшаемое $0$ меньше вычитаемого $101$. Аналогично предыдущему пункту, нельзя из меньшего числа вычесть большее, если мы работаем с натуральными числами и нулем. Так как $0 < 101$, вычитание невозможно.
Ответ: Вычислить невозможно.

д) Если из числа вычесть ноль, то число не изменится. Это одно из свойств нуля при вычитании. $174 - 0 = 174$.
Ответ: 174

е) В этом примере уменьшаемое $41\,700\,534$ на единицу больше, чем вычитаемое $41\,700\,533$. Следовательно, их разность равна 1. $41\,700\,534 - 41\,700\,533 = 1$.
Ответ: 1

Объяснение, почему вы не всегда смогли выполнить вычитание:
Вычитание удалось выполнить не во всех случаях, потому что операция вычитания $a - b$ в множестве натуральных чисел (и нуля) определена только тогда, когда уменьшаемое $a$ не меньше вычитаемого $b$, то есть $a \ge b$. В примерах в) и г) это условие не выполняется, так как уменьшаемое меньше вычитаемого: $13\,456\,170 < 13\,456\,174$ и $0 < 101$. Результатом такого вычитания было бы отрицательное число, которое не является натуральным числом или нулём.

2.65 Путь по шоссе от Екатеринбурга до Омска, равный 947 км, автомобиль преодолел за два дня, из них в первый день он прошёл 478 км. Сколько километров ему осталось преодолеть во второй день?

Весь путь - 947 км,

Предолел - 478 км,

Осталось - ?

Ответ: 469 км.

Чтобы найти расстояние, которое автомобилю осталось проехать во второй день, нужно из общего расстояния вычесть расстояние, пройденное в первый день.

Общее расстояние по шоссе от Екатеринбурга до Омска составляет 947 км.

В первый день автомобиль прошел 478 км.

Выполним вычитание, чтобы найти оставшийся путь:

$947 км - 478 км = 469 км$

Следовательно, во второй день автомобилю осталось преодолеть 469 км.

Ответ: 469 км.

2.66 На отрезке MN, равном 83 см, лежит точка К. Найдите длину отрезка МК, если KN = 67 см.

Ответ: 16 см.

По условию задачи, точка K лежит на отрезке MN. Это означает, что длина всего отрезка MN складывается из длин отрезков MK и KN. Это можно выразить следующей формулой, основанной на свойстве измерения отрезков:

$MN = MK + KN$

Нам даны длины отрезков MN и KN:

$MN = 83$ см
$KN = 67$ см

Чтобы найти длину искомого отрезка MK, необходимо из длины всего отрезка MN вычесть длину известной его части KN. Выразим MK из формулы выше:

$MK = MN - KN$

Подставим известные значения в формулу и выполним вычисление:

$MK = 83 - 67 = 16$ (см)

Таким образом, длина отрезка MK составляет 16 см.

Ответ: 16 см.

2.67 Масса 1 л воды равна 1 кг. Масса 1 л подсолнечного масла на 75 г меньше, а 1 л мёда на 450 г больше. Найдите массу одного литра: а) подсолнечного масла; б) мёда.

а) 1000 - 75 = 925 (г)

Ответ: а) 925 г; б) 1 кг 450 г.

Для решения задачи примем за основу массу 1 литра воды. По условию она равна 1 кг. Так как остальные значения даны в граммах, для удобства вычислений переведем килограммы в граммы. В одном килограмме 1000 граммов.

Масса 1 л воды = $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

а) подсолнечного масла

Масса 1 литра подсолнечного масла на 75 г меньше массы 1 литра воды. Чтобы найти массу масла, необходимо вычесть 75 г из массы воды.

$1000 \text{ г} - 75 \text{ г} = 925 \text{ г}$.

Ответ: 925 г.

б) мёда

Масса 1 литра мёда на 450 г больше массы 1 литра воды. Чтобы найти массу мёда, необходимо прибавить 450 г к массе воды.

$1000 \text{ г} + 450 \text{ г} = 1450 \text{ г}$.

Это значение также можно представить как 1 кг 450 г.

Ответ: 1450 г.

2.68 Для проведения независимой диагностической работы в пятых классах на первом принтере напечатали 1325 листов, а на втором — 1465 листов. На сколько больше листов напечатали на втором принтере, чем на первом?

1465 - 1325 = 140 (л.)

Ответ: на 140 листов.

Для решения задачи необходимо найти разницу между количеством листов, напечатанных на втором принтере, и количеством листов, напечатанных на первом принтере.

Количество листов, напечатанных на первом принтере: $1325$.

Количество листов, напечатанных на втором принтере: $1465$.

Чтобы найти, на сколько больше листов напечатали на втором принтере, вычтем из большего числа меньшее:

$1465 - 1325 = 140$

Таким образом, на втором принтере было напечатано на 140 листов больше, чем на первом.

Ответ: на 140 листов.

2.69 Фермер собрал с двух участков 144 мешка моркови, из которых 78 мешков он собрал с первого участка. На сколько мешков моркови меньше собрал фермер со второго участка, чем с первого?

На сколько мешков моркови меньше собрали со II участка, чем I участка?

1) 144 - 78 = 66 (м.) - со II участка

2) 78 - 66 = 12 (м.)

Ответ: на 12 мешков.

Чтобы решить задачу, необходимо выполнить два действия. Сначала нужно найти, сколько мешков моркови фермер собрал со второго участка, а затем определить разницу между урожаем с первого и второго участков.

1. Найдем количество мешков моркови, собранных со второго участка. Для этого из общего количества мешков вычтем количество мешков, собранных с первого участка.
$144 - 78 = 66$ (мешков) — было собрано со второго участка.

2. Теперь найдем, на сколько мешков моркови меньше собрал фермер со второго участка, чем с первого. Для этого из количества мешков, собранных с первого участка, вычтем количество мешков, собранных со второго участка.
$78 - 66 = 12$ (мешков).

Ответ: на 12 мешков моркови меньше собрал фермер со второго участка, чем с первого.

2.70 От рулона ткани отрезали 28 м. Сколько метров ткани было в рулоне, если в нём осталось 42 м?

Было - ?

Отрезали - 28 м

Осталось - 42 м

28 + 42 = 70 (м)

Ответ: 70 м ткани было в рулоне.

Чтобы найти, сколько метров ткани было в рулоне первоначально, необходимо сложить длину отрезанной части и длину оставшейся части.

Согласно условию задачи, от рулона отрезали 28 метров ткани, а осталось в нём 42 метра.

Сложим эти два значения, чтобы найти общую первоначальную длину ткани:
$28 + 42 = 70$ (м)

Следовательно, изначально в рулоне было 70 метров ткани.

Ответ: 70 м.

2.71 Дон на 1820 км короче Волги. Найдите длину Дона, если длина Волги 3690 км.

3690 - 1820 = 1870 (м)

Ответ: 1870 м.

Для решения этой задачи необходимо найти длину реки Дон. По условию, нам известны следующие данные:

• Длина реки Волги составляет 3690 км.
• Река Дон на 1820 км короче реки Волги.

Фраза "на 1820 км короче" означает, что для того, чтобы найти длину Дона, нужно из длины Волги вычесть 1820 км.

Составим математическое выражение и выполним вычисление:

$3690 - 1820 = 1870$ км

Таким образом, мы находим, что длина реки Дон составляет 1870 км.

Ответ: 1870 км.

2.72 На координатной прямой отметьте точку S(13). От неё отложите влево 6 единичных отрезков и отметьте точку К. Найдите координату точки К.

13 - 6 = 7

Ответ: К(7).

Нам дана точка S на координатной прямой с координатой 13. Это можно записать как S(13).

От этой точки нужно отложить 6 единичных отрезков влево, чтобы найти точку K. На координатной прямой движение влево означает вычитание из координаты. Движение на 6 единичных отрезков означает, что нужно вычесть число 6.

Чтобы найти координату точки K, мы должны из координаты точки S вычесть 6.

Выполним вычисление:
$13 - 6 = 7$

Следовательно, координата точки K равна 7.

Ответ: 7

2.73 На координатной прямой отметьте точки S(4) и N(11). В какую сторону и сколько единичных отрезков надо отложить от точки N, чтобы попасть в точку S?

11 - 4 = 7

Чтобы попасть из точки N в точку S, нужно отложить влево 7 единичных отрезков от точки N.

Чтобы определить, в какую сторону и на сколько единичных отрезков нужно сместиться от точки $N(11)$ для того, чтобы попасть в точку $S(4)$, необходимо сравнить их координаты и найти расстояние между ними.

1. Определение направления движения
Координата точки $S$ равна 4, а координата точки $N$ равна 11. Поскольку $4 < 11$, точка $S$ на координатной прямой расположена левее точки $N$. Следовательно, чтобы попасть из точки $N$ в точку $S$, необходимо двигаться влево, в сторону уменьшения числовых значений.

2. Определение количества единичных отрезков
Количество единичных отрезков между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. Также его можно найти, вычтя из большей координаты меньшую.
Вычислим это расстояние:
$11 - 4 = 7$
Таким образом, расстояние между точками $N$ и $S$ составляет 7 единичных отрезков.

Итак, для того чтобы из точки $N(11)$ попасть в точку $S(4)$, нужно отложить 7 единичных отрезков влево.
Ответ: от точки N надо отложить 7 единичных отрезков влево.

2.74 Покажите на координатной прямой вычитание чисел:

а) 7 - 4;

б) 7 - 6;

в) 7 - 7.

7 - 4 = 3

7 - 6 = 1

7 - 7 = 0

Чтобы показать вычитание чисел на координатной прямой, нужно выполнить следующие действия:
1. Найти на прямой точку, соответствующую первому числу (уменьшаемому).
2. От этой точки двигаться влево (в сторону уменьшения чисел) на количество единичных отрезков, равное второму числу (вычитаемому).
3. Точка, в которой мы остановимся, будет соответствовать результату вычитания (разности).

а) 7 – 4;

Найдём на координатной прямой точку с координатой 7. От неё нужно отсчитать 4 единицы влево. Двигаясь от точки 7, мы последовательно пройдём точки 6, 5, 4 и остановимся в точке 3.
Таким образом, $7 - 4 = 3$.

Ответ: 3

б) 7 – 6;

Найдём на координатной прямой точку с координатой 7. От этой точки нужно отсчитать 6 единиц влево. Двигаясь от точки 7, мы последовательно пройдём точки 6, 5, 4, 3, 2 и остановимся в точке 1.
Таким образом, $7 - 6 = 1$.

Ответ: 1

в) 7 – 7.

Найдём на координатной прямой точку с координатой 7. От этой точки нужно отсчитать 7 единиц влево. Двигаясь от точки 7, мы последовательно пройдём точки 6, 5, 4, 3, 2, 1 и остановимся в точке 0 (начало координат).
Таким образом, $7 - 7 = 0$.

Ответ: 0

2.75 Найдите разность:

а) 1345 - 157;

б) 4000 - 981;

в) 44 364 - 28 894;

г) 43 156 - 27 967;

д) 19 891 543 - 9 123 865;

е) 100 000 000 - 13 456 789.

В задании а) выполните проверку сложением, а в задании в) выполните проверку вычитанием.

а) Найдем разность чисел 1345 и 157, выполнив вычитание в столбик:

$ \begin{array}{r} -\;1345 \\ \underline{\phantom{0}157} \\ 1188 \end{array} $

Таким образом, $1345 - 157 = 1188$.

В задании требуется выполнить проверку сложением. Для этого к полученной разности (1188) прибавим вычитаемое (157). Результат должен быть равен уменьшаемому (1345).

$ \begin{array}{r} +\;1188 \\ \underline{\phantom{0}157} \\ 1345 \end{array} $

Поскольку $1188 + 157 = 1345$, вычисление выполнено верно.

Ответ: 1188.

б) Найдем разность чисел 4000 и 981:

$ \begin{array}{r} -\;4000 \\ \underline{\phantom{0}981} \\ 3019 \end{array} $

Результат вычитания: $4000 - 981 = 3019$.

Ответ: 3019.

в) Найдем разность чисел 44 364 и 28 894:

$ \begin{array}{r} -\;44364 \\ \underline{28894} \\ 15470 \end{array} $

Таким образом, $44\,364 - 28\,894 = 15\,470$.

В задании требуется выполнить проверку вычитанием. Для этого из уменьшаемого (44 364) вычтем полученную разность (15 470). Результат должен быть равен вычитаемому (28 894).

$ \begin{array}{r} -\;44364 \\ \underline{15470} \\ 28894 \end{array} $

Поскольку $44\,364 - 15\,470 = 28\,894$, вычисление выполнено верно.

Ответ: 15 470.

г) Найдем разность чисел 43 156 и 27 967:

$ \begin{array}{r} -\;43156 \\ \underline{27967} \\ 15189 \end{array} $

Результат вычитания: $43\,156 - 27\,967 = 15\,189$.

Ответ: 15 189.

д) Найдем разность чисел 19 891 543 и 9 123 865:

$ \begin{array}{r} -\;19\,891\,543 \\ \underline{\phantom{0}9\,123\,865} \\ 10\,767\,678 \end{array} $

Результат вычитания: $19\,891\,543 - 9\,123\,865 = 10\,767\,678$.

Ответ: 10 767 678.

е) Найдем разность чисел 100 000 000 и 13 456 789:

$ \begin{array}{r} -\;100\,000\,000 \\ \underline{\phantom{0}13\,456\,789} \\ 86\,543\,211 \end{array} $

Результат вычитания: $100\,000\,000 - 13\,456\,789 = 86\,543\,211$.

Ответ: 86 543 211.

?

Сформулируйте и запишите основное свойство дроби.

Основное свойство дроби заключается в том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число (отличное от нуля), то получится дробь, равная данной. Это свойство позволяет как приводить дробь к новому знаменателю, так и сокращать ее.

В виде формул это можно записать следующим образом:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n}$ (умножение на натуральное число $n$)

$\frac{a}{b} = \frac{a : m}{b : m}$ (деление на общий делитель $m$)

Здесь $a$, $b$, $n$, $m$ – натуральные числа, при этом для второй формулы $m$ должно быть общим делителем для $a$ и $b$.

Ответ: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Назовите какие-нибудь дроби, равные дроби: $\frac{1}{7}$; $\frac{3}{8}$.

Для нахождения равных дробей воспользуемся основным свойством дроби, умножив числитель и знаменатель исходных дробей на одно и то же натуральное число.

Для дроби $\frac{1}{7}$:

Умножим на 2: $\frac{1 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{2}{14}$
Умножим на 3: $\frac{1 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{3}{21}$
Умножим на 10: $\frac{1 \cdot 10}{7 \cdot 10} = \frac{10}{70}$

Для дроби $\frac{3}{8}$:

Умножим на 2: $\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{6}{16}$
Умножим на 5: $\frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40}$
Умножим на 100: $\frac{3 \cdot 100}{8 \cdot 100} = \frac{300}{800}$

Ответ: Примеры дробей, равных $\frac{1}{7}$: $\frac{2}{14}$, $\frac{3}{21}$, $\frac{10}{70}$. Примеры дробей, равных $\frac{3}{8}$: $\frac{6}{16}$, $\frac{15}{40}$, $\frac{300}{800}$.

5.309 По рисунку 5.53 объясните равенство дробей:

а) $\frac{3}{4}=\frac{15}{20};$

б) $\frac{7}{8}=\frac{14}{16};$

в) $\frac{4}{7}=\frac{8}{14}.$

а) На рисунке а круг разделен жирными линиями на 4 равные части. Три из этих частей закрашены, что соответствует дроби $\frac{3}{4}$. Каждая из этих четырех частей, в свою очередь, разделена на 5 более мелких равных секторов. Весь круг, таким образом, состоит из $4 \times 5 = 20$ мелких секторов. Закрашенная область содержит $3 \times 5 = 15$ таких секторов. Это соответствует дроби $\frac{15}{20}$. Так как закрашенная часть круга одна и та же, то и дроби, ее выражающие, равны.

Ответ: $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$.

б) На рисунке б большой квадрат разделен на 16 одинаковых маленьких квадратов. Из них 14 закрашены. Закрашенная часть составляет $\frac{14}{16}$ от всего квадрата. Если мы объединим маленькие квадраты по два, то весь большой квадрат будет состоять из $16 \div 2 = 8$ равных частей (прямоугольников). Закрашенная область будет содержать $14 \div 2 = 7$ таких частей. Следовательно, та же закрашенная область составляет $\frac{7}{8}$ от всего квадрата. Поскольку мы описываем одну и ту же область, дроби равны.

Ответ: $\frac{7}{8} = \frac{14}{16}$.

в) На рисунке в прямоугольник разделен на 14 равных частей, из которых 8 закрашены. Это соответствует дроби $\frac{8}{14}$. Если сгруппировать эти части по две, то весь прямоугольник будет состоять из $14 \div 2 = 7$ новых, более крупных, равных частей. Закрашенная область будет состоять из $8 \div 2 = 4$ таких новых частей. Это соответствует дроби $\frac{4}{7}$. Так как закрашенная область не изменилась, дроби равны.

Ответ: $\frac{4}{7} = \frac{8}{14}$.