Страница 49, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.40 Значение каких величин может быть равно 156 см:

а) расстояние от школы до дома;

б) толщина книги;

в) длина ручки;

г) рост человека;

д) высота холодильника;

е) длина велосипеда?

г) рост человвека;

д) высота холодильника;

е) длина велосипеда.

а) расстояние от школы до дома
Данная величина измеряется в метрах или километрах. Значение $156 \text{ см}$ эквивалентно $1.56 \text{ м}$. Это крайне малое расстояние для пути от дома до школы, оно означает, что дом находится буквально в нескольких шагах от школы. Такая ситуация возможна, но маловероятна и не является типичным значением для этого параметра.
Ответ: нет.

б) толщина книги
Толщина книги обычно составляет от нескольких миллиметров до нескольких сантиметров. Даже очень толстая энциклопедия или словарь редко превышают $10-15 \text{ см}$ в толщину. Толщина в $156 \text{ см}$ для книги является нереалистичной.
Ответ: нет.

в) длина ручки
Стандартная длина письменной ручки составляет примерно $13-15 \text{ см}$. Длина в $156 \text{ см}$ ($1.56 \text{ м}$) более чем в 10 раз превышает обычную, что невозможно для функционального пишущего инструмента.
Ответ: нет.

г) рост человека
Рост человека является подходящей величиной. $156 \text{ см}$ – это обычный рост для подростка или взрослого человека невысокого роста (например, для многих женщин).
Ответ: да.

д) высота холодильника
Бытовые холодильники выпускаются в разных размерах. Их высота обычно варьируется от $85 \text{ см}$ до $210 \text{ см}$. Высота $156 \text{ см}$ является распространенным значением для многих моделей холодильников среднего размера.
Ответ: да.

е) длина велосипеда
Длина стандартного взрослого велосипеда обычно находится в диапазоне от $150 \text{ см}$ до $180 \text{ см}$, в зависимости от его типа и размера рамы. Значение $156 \text{ см}$ является абсолютно реалистичной длиной для велосипеда.
Ответ: да.

2.41 В каких единицах целесообразно измерять:

а) расстояние между городами;

б) высоту дома;

в) толщину книги;

г) толщину железного листа?

а) в километрах (км);

б) в метрах (м);

в) в самтиметрах (см);

г) в милиметрах (мм).

а) расстояние между городами
Расстояния между городами являются большими величинами, которые могут составлять десятки, сотни или тысячи километров. Использование более мелких единиц, таких как метры, привело бы к громоздким числам. Например, расстояние в 150 километров в метрах будет равно $150 \times 1000 = 150 \ 000$ м. Поэтому для удобства и наглядности такие расстояния принято измерять в километрах (км).
Ответ: в километрах.

б) высоту дома
Высота дома обычно составляет несколько десятков метров. Например, высота трехэтажного дома примерно равна 10 метрам. Использование километров нецелесообразно, так как получится малое дробное число (10 м = 0,01 км). Использование сантиметров, наоборот, даст слишком большое число (10 м = 1000 см). Таким образом, наиболее подходящей единицей измерения высоты дома являются метры (м).
Ответ: в метрах.

в) толщину книги
Толщина книги — это относительно небольшая величина. Обычно она составляет несколько сантиметров (например, от 1 до 7 см). Измерять ее в метрах неудобно (например, 3 см = 0,03 м). Для тонких брошюр или для более точных измерений можно использовать миллиметры (3 см = 30 мм). Однако для большинства книг наиболее удобной и общепринятой единицей измерения толщины являются сантиметры (см).
Ответ: в сантиметрах или миллиметрах.

г) толщину железного листа
Железные листы, как правило, очень тонкие. Их толщина обычно измеряется в миллиметрах или даже в долях миллиметра (например, 0,5 мм, 1 мм, 3 мм). Использование сантиметров для таких малых величин привело бы к неудобным дробным числам (например, 2 мм = 0,2 см). Поэтому для точного и удобного указания толщины металлического листа целесообразно использовать миллиметры (мм).
Ответ: в миллиметрах.

2.42 На ленте (шкале) времени деления обозначают один век.

Покажите на ленте времени:

а) начало четвёртого века;

б) конец десятого века;

в) десятый век;

г) середину пятнадцатого века;

д) вторую половину девятнадцатого века;

е) век, в котором мы живём.

а) начало IV века;

б) конец Х века;

в) Х век;

г) середину ХV века;

д) вторую половину XIX века;

е) век, в котором мы живём.

Для решения задачи воспользуемся представленной лентой времени, где каждое деление соответствует одному веку. Век — это сто лет. Порядковый номер века (например, пятый век) начинается с года, оканчивающегося на 01 (например, 401 год), и заканчивается годом, оканчивающимся на 00 (например, 500 год). На шкале $N$-й век — это отрезок между отметками $(N-1)$ и $N$.

а) начало четвёртого века

Четвёртый век (обозначается римской цифрой $IV$) — это период времени с 1 января 301 года по 31 декабря 400 года. Он начинается сразу после окончания третьего века. На ленте времени конец третьего века обозначен отметкой $III$. Таким образом, начало четвёртого века соответствует точке на шкале, отмеченной как $III$.

Ответ: Начало четвёртого века на ленте времени находится в точке, обозначенной римской цифрой $III$.

б) конец десятого века

Десятый век (обозначается римской цифрой $X$) — это период с 901 по 1000 год. Конец этого века совпадает с началом одиннадцатого века. На ленте времени эта точка обозначена отметкой $X$.

Ответ: Конец десятого века на ленте времени находится в точке, обозначенной римской цифрой $X$.

в) десятый век

Десятый век ($X$ век) — это весь столетний промежуток времени. На ленте времени он представлен отрезком, который начинается у отметки, обозначающей конец девятого века ($IX$), и заканчивается у отметки, обозначающей конец десятого века ($X$).

Ответ: Десятый век на ленте времени — это весь отрезок (деление) между отметками $IX$ и $X$.

г) середину пятнадцатого века

Пятнадцатый век ($XV$ век) длился с 1401 по 1500 год. На ленте времени это отрезок между отметками $XIV$ и $XV$. Середина века приходится примерно на 1450 год. На шкале это точка, которая делит отрезок между $XIV$ и $XV$ пополам.

Ответ: Середина пятнадцатого века на ленте времени — это точка, расположенная ровно посередине отрезка между отметками $XIV$ и $XV$.

д) вторую половину девятнадцатого века

Девятнадцатый век ($XIX$ век) — это период с 1801 по 1900 год. Вторая половина этого века — это годы с 1851 по 1900. На ленте времени девятнадцатый век — это отрезок между $XVIII$ и $XIX$. Соответственно, вторая половина века — это вторая половина этого отрезка, от его середины до отметки $XIX$.

Ответ: Вторая половина девятнадцатого века на ленте времени — это участок от середины отрезка между $XVIII$ и $XIX$ до отметки $XIX$.

е) век, в котором мы живём

В настоящее время мы живём в двадцать первом веке ($XXI$ век). Он начался 1 января 2001 года и закончится 31 декабря 2100 года. На ленте времени этот век представлен отрезком, который начинается у отметки $XX$ (конец двадцатого века) и идёт до отметки $XXI$.

Ответ: Век, в котором мы живём, — это двадцать первый век, который на ленте времени обозначен как отрезок между отметками $XX$ и $XXI$.

2.43 Сколько веков составляют 400 лет; 600 лет; 10 000 лет? Сколько лет в трёх веках; половине века; четверти века; пятой части века?

1 век = 100 лет

400 : 100 = 4 (в); 400 лет = 4 века;

600 : 100 = 6 (в); 600 лет = 6 веков;

10 000 : 100 = 100 (в); 10 000 = 100 веков;

3 века = 3 · 100 = 300 лет;

100 : 2 = 50 (лет) в половине века;

100 : 4 = 25 (лет) в четверти века;

100 : 5 = 20 (лет) в пятой части века.

Для решения задачи используется соотношение: 1 век равен 100 годам.

400 лет

Чтобы перевести годы в века, необходимо разделить количество лет на 100. Расчет: $400 \div 100 = 4$.

Ответ: 4 века.

600 лет

Аналогично предыдущему пункту, делим количество лет на 100: $600 \div 100 = 6$.

Ответ: 6 веков.

10 000 лет

Делим количество лет на 100, чтобы найти соответствующее количество веков: $10000 \div 100 = 100$.

Ответ: 100 веков.

в трёх веках

Чтобы перевести века в годы, необходимо умножить количество веков на 100. Расчет: $3 \times 100 = 300$.

Ответ: 300 лет.

половине века

Половина века — это $1/2$ века. Чтобы найти количество лет, умножаем эту долю на 100: $\frac{1}{2} \times 100 = 50$.

Ответ: 50 лет.

четверти века

Четверть века — это $1/4$ века. Умножаем на 100, чтобы найти количество лет: $\frac{1}{4} \times 100 = 25$.

Ответ: 25 лет.

пятой части века

Пятая часть века — это $1/5$ века. Умножаем на 100, чтобы найти количество лет: $\frac{1}{5} \times 100 = 20$.

Ответ: 20 лет.

2.44 Выполните сравнение чисел:

1) 100 006 и 99 009;

2) 807 059 и 5 680 088;

3) 5 723 082 и 5 723 282;

4) 404 654 и 404 626.

1) Любое шестизначное число больше любого пятизначного числа: 100 006 > 99 007;

2) Любое шестизначное число меньше любого семизначного числа: 807 059 < 5 680 008;

3) 5 723 082 < 5 723 282;

4) 404 654 > 404 626.

Для сравнения двух натуральных чисел используют следующие правила:

• Если у чисел разное количество цифр, то большим является то число, у которого цифр больше.
• Если количество цифр в числах одинаковое, то их сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда (слева направо). Большим будет то число, у которого первая из неодинаковых цифр больше.

Сравним числа 100 006 и 99 009.
Первое число, 100 006, является шестизначным (состоит из 6 цифр).
Второе число, 99 009, является пятизначным (состоит из 5 цифр).
Поскольку у числа 100 006 больше цифр, оно больше, чем число 99 009.

Ответ: $100\ 006 > 99\ 009$

Сравним числа 807 059 и 5 680 088.
Первое число, 807 059, является шестизначным.
Второе число, 5 680 088, является семизначным.
Так как у числа 5 680 088 больше цифр, оно больше, чем число 807 059.

Ответ: $807\ 059 < 5\ 680\ 088$

Сравним числа 5 723 082 и 5 723 282.
Оба числа имеют одинаковое количество цифр (по 7), поэтому будем сравнивать их поразрядно слева направо.
Цифра в разряде миллионов: $5 = 5$.
Цифра в разряде сотен тысяч: $7 = 7$.
Цифра в разряде десятков тысяч: $2 = 2$.
Цифра в разряде тысяч: $3 = 3$.
Цифра в разряде сотен: $0 < 2$.
Так как в разряде сотен цифра первого числа (0) меньше цифры второго числа (2), то первое число меньше второго.

Ответ: $5\ 723\ 082 < 5\ 723\ 282$

Сравним числа 404 654 и 404 626.
Оба числа шестизначные. Сравниваем их поразрядно слева направо.
Цифра в разряде сотен тысяч: $4 = 4$.
Цифра в разряде десятков тысяч: $0 = 0$.
Цифра в разряде тысяч: $4 = 4$.
Цифра в разряде сотен: $6 = 6$.
Цифра в разряде десятков: $5 > 2$.
Поскольку в разряде десятков цифра первого числа (5) больше цифры второго числа (2), то первое число больше второго.

Ответ: $404\ 654 > 404\ 626$

2.45 Вычислите:

1) 44 - 14 • 6 : 28;

2) 2511 : 31 • 13 - 164;

3) (73 • 310 - 17 554) : 47;

4) (4515 : 43 + 145) • 84.

$1) 44 \stackrel{3}{-} 14 \stackrel{1}{·} 6 \stackrel{2}{:} 28 = 41$

1)

2) 84 : 28 = 3, так как $28 · 3 =$$20 \stackrel{60}{·} 3 + 8 \stackrel{24}{·} 3 = 84$ 

3) 44 - 3 = 41

$2) 2511 \stackrel{1}{:} 31 \stackrel{2}{·} 13 \stackrel{3}{-} 164 = 889$

1)

2)

3)

$3) (73 \stackrel{1}{·} 310 \stackrel{2}{-} 17554) \stackrel{3}{:} 47 = 108$

1)

2)

3)

$4) (4515 \stackrel{1}{:} 43 \stackrel{2}{+} 145) \stackrel{3}{·} 84 = 21000$

1)

2)

3)

1) Для решения примера $44 - 14 \cdot 6 : 28$ необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняются умножение и деление в порядке их следования (слева направо), а затем вычитание.
Первое действие (умножение): $14 \cdot 6 = 84$.
Второе действие (деление): $84 : 28 = 3$.
Третье действие (вычитание): $44 - 3 = 41$.
Полная запись решения: $44 - 14 \cdot 6 : 28 = 44 - 84 : 28 = 44 - 3 = 41$.
Ответ: 41

2) В выражении $2511 : 31 \cdot 13 - 164$ сначала выполняем деление и умножение (слева направо), а в конце вычитание.
Первое действие (деление): $2511 : 31 = 81$.
Второе действие (умножение): $81 \cdot 13 = 1053$.
Третье действие (вычитание): $1053 - 164 = 889$.
Полная запись решения: $2511 : 31 \cdot 13 - 164 = 81 \cdot 13 - 164 = 1053 - 164 = 889$.
Ответ: 889

3) В выражении $(73 \cdot 310 - 17554) : 47$ сначала выполняются действия в скобках, а затем деление. В скобках в первую очередь выполняется умножение.
Первое действие (умножение в скобках): $73 \cdot 310 = 22630$.
Второе действие (вычитание в скобках): $22630 - 17554 = 5076$.
Третье действие (деление): $5076 : 47 = 108$.
Полная запись решения: $(73 \cdot 310 - 17554) : 47 = (22630 - 17554) : 47 = 5076 : 47 = 108$.
Ответ: 108

4) В выражении $(4515 : 43 + 145) \cdot 84$ сначала выполняются действия в скобках, а затем умножение. В скобках в первую очередь выполняется деление.
Первое действие (деление в скобках): $4515 : 43 = 105$.
Второе действие (сложение в скобках): $105 + 145 = 250$.
Третье действие (умножение): $250 \cdot 84 = 21000$.
Полная запись решения: $(4515 : 43 + 145) \cdot 84 = (105 + 145) \cdot 84 = 250 \cdot 84 = 21000$.
Ответ: 21000

2.46 Разбираемся в решении. Из цифр 1, 3, 5 и 9 составили трёхзначные числа, в записи которых цифры не повторяются. Сколько таких чисел получили?

Решение. Построим дерево вариантов. В записи числа первой цифрой (сотни) может быть любая из четырёх цифр, второй (десятки) — любая из трёх оставшихся, а третьей (единицы) — любая из двух оставшихся. Получается:

Из данных цифр можно составить 4•3•2=24 трёхзначных числа.

Решение разобрано в учебнике 4 · 3 · 2 = 24 всего трёхзначных чисел можно составить. Используя дерево вариантов, это числа:

135; 139; 153; 159; 192; 195;

315; 319; 351; 359; 391; 395;

513; 519; 531; 539; 591; 593;

913; 915; 931; 931; 951; 953.

2.47 а) Из цифр 6, 7, 8, 9 и 2 составьте четырёхзначные числа, в записи которых цифры не повторяются. Сколько чисел получили?

б) Сколько чисел можно получить, если надо составить пятизначные числа из шести цифр 1, 3, 5, 7, 8, 9?

а) Построим дерево вариантов. В записи числа первой цифрой (единицы тысяч) может быть любая из пяти цифр, второй (сотни) - любая из четырёх оставшихся, третьей (десятки) - любая из трёх оставшихся, а четвёртый (единицы) любая из двух оставшихся. Построим часть дерева. Пусть первой цифрой будет 6.

Получим четырёхзначные числа 6789, 6782, 6798, 6792 и т.д.

Таких чисел на данном фрагменте 24, а фрагментов дерева можно построить всего 5 (т.к. дано 5 цифр). 5 · 4 · 3 · 2 = 120 или 24 · 5 = 120 чисел.

Ответ: 120 чисел.

б) Используя теорию из №2.46 и №2.47 а) пятизначных чисел, в записи которых цифры не повторяются, из шести цифр 1, 3, 5, 7, 8, 9 можно составить: 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 720 штук. Так как в условии задании не сказано, что цифры не должны повторятся, значит, они могут повторяться. Тогда таких чисел может быть 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 7776.

Ответ: 720 чисел без повторений или 7776 с повторениями.

а) Задача состоит в том, чтобы найти количество четырёхзначных чисел, которые можно составить из пяти данных цифр {6, 7, 8, 9, 2} без повторения цифр. Это классическая задача на размещения из комбинаторики.
Нам нужно выбрать 4 цифры из 5 и расставить их по 4 позициям.
- На первую позицию (разряд тысяч) можно поставить любую из 5 данных цифр.
- После выбора первой цифры, на вторую позицию (разряд сотен) останется 4 варианта, так как цифры не должны повторяться.
- На третью позицию (разряд десятков) останется 3 варианта.
- На последнюю, четвертую позицию (разряд единиц) останется 2 варианта.

Общее количество таких чисел находится перемножением числа вариантов для каждой позиции (по правилу произведения):
$5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$

Ответ: 120 чисел.

б) В этой задаче нужно найти, сколько пятизначных чисел можно составить из шести цифр {1, 3, 5, 7, 8, 9}. Как и в предыдущем пункте, предполагается, что цифры в записи числа не повторяются.
Это задача на нахождение числа размещений из 6 элементов по 5.
- На первую позицию есть 6 вариантов выбора цифры.
- На вторую позицию — 5 оставшихся вариантов.
- На третью — 4 варианта.
- На четвертую — 3 варианта.
- На пятую — 2 варианта.

Общее количество возможных чисел равно произведению числа вариантов для каждой позиции:
$6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 720$

Ответ: 720 чисел.

2.48 Три брата собирали морковь. Первый брат собрал 220 кг моркови, второй — на 40 кг больше, чем первый, а оба вместе собрали на 270 кг больше, чем третий брат. Сколько килограммов моркови было собрано?

1) 220 + 40 = 260 (кг) собрал II брат

2) 220 + 260 = 480 (кг) собрали I и II братья

3) 480 - 270 = 210 (кг) собрал III брат

4) 480 + 210 = 690 (кг)

Ответ: 690 кг.

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку:

1. Найдем, сколько килограммов моркови собрал второй брат.
По условию задачи, первый брат собрал 220 кг моркови, а второй — на 40 кг больше.
$220 + 40 = 260$ (кг)
Таким образом, второй брат собрал 260 кг моркови.

2. Найдем, сколько килограммов моркови собрали первый и второй братья вместе.
Сложим массу моркови, которую собрал первый брат, и массу моркови, которую собрал второй брат.
$220 + 260 = 480$ (кг)
Вместе первый и второй братья собрали 480 кг моркови.

3. Найдем, сколько килограммов моркови собрал третий брат.
В условии сказано, что первые два брата вместе собрали на 270 кг больше, чем третий. Следовательно, третий брат собрал на 270 кг меньше, чем первые два вместе.
$480 - 270 = 210$ (кг)
Третий брат собрал 210 кг моркови.

4. Найдем, сколько всего килограммов моркови было собрано тремя братьями.
Сложим массу моркови, собранную каждым из трех братьев.
$220 + 260 + 210 = 690$ (кг)

Ответ: всего было собрано 690 килограммов моркови.

?

Как сложить смешанные числа?

Существует два основных способа сложения смешанных чисел.

Способ 1. Сложение целых и дробных частей по отдельности.

1. Сложить целые части смешанных чисел.
2. Сложить дробные части. Если у них разные знаменатели, их нужно привести к общему знаменателю.
3. Сложить полученные результаты.
4. Если сумма дробных частей оказалась неправильной дробью (числитель больше или равен знаменателю), нужно выделить из нее целую часть и прибавить к сумме целых частей.

Пример 1: Сложим $3\frac{1}{4}$ и $5\frac{2}{3}$.

• Складываем целые части: $3 + 5 = 8$.
• Складываем дробные части, приводя их к общему знаменателю 12: $\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3}{12} + \frac{2 \cdot 4}{12} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$.
• Складываем результаты: $8 + \frac{11}{12} = 8\frac{11}{12}$.

Пример 2 (с неправильной дробью): Сложим $2\frac{3}{5}$ и $4\frac{4}{5}$.

• Складываем целые части: $2 + 4 = 6$.
• Складываем дробные части: $\frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$.
• Дробь $\frac{7}{5}$ — неправильная. Выделим из нее целую часть: $\frac{7}{5} = 1\frac{2}{5}$.
• Прибавим эту целую часть к сумме целых частей: $6 + 1\frac{2}{5} = 7\frac{2}{5}$.

Способ 2. Преобразование в неправильные дроби.

1. Преобразовать каждое смешанное число в неправильную дробь.
2. Сложить полученные дроби (при необходимости приведя их к общему знаменателю).
3. Если результат — неправильная дробь, преобразовать его обратно в смешанное число.

Пример: Сложим $3\frac{1}{4}$ и $5\frac{2}{3}$.

• Преобразуем в неправильные дроби: $3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$; $5\frac{2}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{17}{3}$.
• Складываем дроби: $\frac{13}{4} + \frac{17}{3} = \frac{13 \cdot 3}{12} + \frac{17 \cdot 4}{12} = \frac{39}{12} + \frac{68}{12} = \frac{107}{12}$.
• Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{107}{12} = 8\frac{11}{12}$.

Ответ: Чтобы сложить смешанные числа, можно сложить их целые и дробные части по отдельности, а затем сложить результаты, или можно сначала преобразовать смешанные числа в неправильные дроби, сложить их, а затем преобразовать результат обратно в смешанное число.

Какие свойства сложения используются при сложении смешанных чисел?

При сложении смешанных чисел, особенно при использовании способа раздельного сложения целых и дробных частей, используются основные свойства сложения.

Смешанное число, например $A\frac{b}{c}$, по определению является суммой его целой и дробной части: $A + \frac{b}{c}$.

Рассмотрим сумму двух смешанных чисел $A\frac{b}{c}$ и $D\frac{e}{f}$:

$A\frac{b}{c} + D\frac{e}{f} = (A + \frac{b}{c}) + (D + \frac{e}{f})$

Чтобы сгруппировать целые части с целыми, а дробные с дробными, мы применяем следующие свойства:

1. Переместительное (коммутативное) свойство сложения: $a + b = b + a$. Это свойство позволяет менять слагаемые местами.
2. Сочетательное (ассоциативное) свойство сложения: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Это свойство позволяет произвольно группировать слагаемые.

Используя эти свойства, мы можем преобразовать выражение:

$(A + \frac{b}{c}) + (D + \frac{e}{f}) = A + (\frac{b}{c} + D) + \frac{e}{f} = A + (D + \frac{b}{c}) + \frac{e}{f} = (A + D) + (\frac{b}{c} + \frac{e}{f})$

Именно это преобразование и лежит в основе метода, где целые части складываются с целыми, а дробные — с дробными.

Ответ: При сложении смешанных чисел используются переместительное (коммутативное) и сочетательное (ассоциативное) свойства сложения.

Как вычесть дробь из натурального числа?

Чтобы вычесть обыкновенную правильную дробь из натурального числа, нужно выполнить следующие шаги:

1. "Занять" единицу у натурального числа. Например, число 5 можно представить как $4 + 1$.
2. Представить эту единицу в виде дроби с тем же знаменателем, что и у вычитаемой дроби. Например, если мы вычитаем дробь со знаменателем 7, то 1 представляется как $\frac{7}{7}$.
3. Выполнить вычитание дробей.
4. Записать результат в виде смешанного числа, состоящего из оставшейся целой части и полученной дроби.

Пример: Вычтем $\frac{3}{8}$ из $6$.

$6 - \frac{3}{8}$

1. Представляем 6 как $5+1$. Получаем: $5 + 1 - \frac{3}{8}$.
2. Представляем 1 как дробь со знаменателем 8: $1 = \frac{8}{8}$. Выражение принимает вид: $5 + \frac{8}{8} - \frac{3}{8}$.
3. Вычитаем дроби: $\frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{8-3}{8} = \frac{5}{8}$.
4. Записываем окончательный результат: $5\frac{5}{8}$.

Ответ: Чтобы вычесть дробь из натурального числа, нужно занять у этого числа единицу, представить ее в виде дроби с нужным знаменателем, выполнить вычитание дробей и записать результат, состоящий из уменьшенной на единицу целой части и полученной дроби.

Как вычесть смешанное число из натурального числа?

Чтобы вычесть смешанное число из натурального числа, можно действовать одним из двух способов.

Способ 1. Последовательное вычитание.

1. Из натурального числа вычесть целую часть смешанного числа.
2. Из полученного результата вычесть дробную часть смешанного числа (как в предыдущем вопросе).

Пример: Вычтем $3\frac{4}{7}$ из $9$.

$9 - 3\frac{4}{7}$

1. Вычитаем целую часть: $9 - 3 = 6$. Теперь задача сводится к $6 - \frac{4}{7}$.
2. Вычитаем дробь из полученного числа. "Занимаем" единицу у 6: $6 = 5 + 1$.
3. Представляем 1 как дробь со знаменателем 7: $1 = \frac{7}{7}$.
4. Выполняем вычитание: $5 + \frac{7}{7} - \frac{4}{7} = 5 + \frac{7-4}{7} = 5 + \frac{3}{7} = 5\frac{3}{7}$.

Способ 2. Преобразование в неправильные дроби.

1. Представить натуральное число в виде неправильной дроби с тем же знаменателем, что и у дробной части вычитаемого смешанного числа.
2. Преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
3. Выполнить вычитание дробей.
4. Если результат — неправильная дробь, преобразовать его обратно в смешанное число.

Пример: Вычтем $3\frac{4}{7}$ из $9$.

• Представляем 9 в виде дроби со знаменателем 7: $9 = \frac{9 \cdot 7}{7} = \frac{63}{7}$.
• Преобразуем $3\frac{4}{7}$ в неправильную дробь: $3\frac{4}{7} = \frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{25}{7}$.
• Вычитаем дроби: $\frac{63}{7} - \frac{25}{7} = \frac{63 - 25}{7} = \frac{38}{7}$.
• Преобразуем результат в смешанное число: $\frac{38}{7} = 5\frac{3}{7}$.

Ответ: Чтобы вычесть смешанное число из натурального, можно сначала вычесть целую часть, а затем дробную; либо можно преобразовать оба числа в неправильные дроби, выполнить вычитание, и, если нужно, преобразовать ответ обратно в смешанное число.

5.276 Маша собрала 618 кг малины, а Миша — 568 кг. Сколько килограммов малины собрали дети?

Маша - $6\frac{1}{8}$ кг,

Миша - $5\frac{6}{8}$ кг

$6\frac{1}{8} + 5\frac{6}{8} = 6 + \frac{1}{8} + 5 + \frac{6}{8} = 6 + 5 + \frac{1}{8} + \frac{6}{8} =$

$= 11 + \frac{7}{8} = 11\frac{7}{8}$ (кг)

Ответ: $11\frac{7}{8}$ кг

Чтобы найти, сколько всего килограммов малины собрали дети, необходимо сложить количество малины, которое собрала Маша, с количеством малины, которое собрал Миша.

Количество малины у Маши: $6\frac{1}{8}$ кг.

Количество малины у Миши: $5\frac{6}{8}$ кг.

Выполним сложение смешанных чисел:

$6\frac{1}{8} + 5\frac{6}{8}$

Сначала сложим целые части чисел:

$6 + 5 = 11$

Затем сложим дробные части. Так как у дробей одинаковый знаменатель, складываем их числители:

$\frac{1}{8} + \frac{6}{8} = \frac{1+6}{8} = \frac{7}{8}$

Теперь сложим полученную целую часть и дробную часть:

$11 + \frac{7}{8} = 11\frac{7}{8}$

Таким образом, дети вместе собрали $11\frac{7}{8}$ кг малины.

Ответ: $11\frac{7}{8}$ кг.

5.277 Найдите высоту рябины, если высота ели 645 м, а рябина на 425 м ниже ели.

Чтобы найти высоту рябины, нужно из высоты ели вычесть значение, на которое рябина ниже ели.

Высота ели равна $6 \frac{4}{5}$ м.

Рябина ниже ели на $4 \frac{2}{5}$ м.

Вычислим высоту рябины, выполнив вычитание смешанных чисел:

$6 \frac{4}{5} - 4 \frac{2}{5}$

Для этого вычтем отдельно целые части и отдельно дробные части:

Вычитание целых частей: $6 - 4 = 2$.

Вычитание дробных частей: $\frac{4}{5} - \frac{2}{5} = \frac{4-2}{5} = \frac{2}{5}$.

Сложим результаты: $2 + \frac{2}{5} = 2 \frac{2}{5}$.

Следовательно, высота рябины составляет $2 \frac{2}{5}$ метра.

Ответ: $2 \frac{2}{5}$ м.

5.278 Найдите сумму:

а) $7+2\frac{5}{8};$

б) $9\frac{1}{9}+20;$

в) $64\frac{1}{7}+4\frac{4}{7};$

г) $7\frac{5}{7}+4\frac{1}{7}.$

а) Чтобы найти сумму целого числа и смешанной дроби, нужно сложить целые части, а дробную часть оставить без изменений. Складываем целые части: 7 и 2. Дробную часть $\frac{5}{8}$ оставляем.
$7 + 2\frac{5}{8} = (7 + 2) + \frac{5}{8} = 9 + \frac{5}{8} = 9\frac{5}{8}$.
Ответ: $9\frac{5}{8}$.

б) Чтобы найти сумму смешанной дроби и целого числа, нужно сложить целые части, а дробную часть оставить без изменений. Складываем целые части: 9 и 20. Дробную часть $\frac{1}{9}$ оставляем.
$9\frac{1}{9} + 20 = (9 + 20) + \frac{1}{9} = 29 + \frac{1}{9} = 29\frac{1}{9}$.
Ответ: $29\frac{1}{9}$.

в) Чтобы найти сумму двух смешанных дробей, нужно отдельно сложить их целые части и отдельно их дробные части.
Складываем целые части: $64 + 4 = 68$.
Складываем дробные части: $\frac{1}{7} + \frac{4}{7} = \frac{1+4}{7} = \frac{5}{7}$.
Складываем полученные результаты: $68 + \frac{5}{7} = 68\frac{5}{7}$.
Таким образом: $64\frac{1}{7} + 4\frac{4}{7} = (64 + 4) + (\frac{1}{7} + \frac{4}{7}) = 68 + \frac{5}{7} = 68\frac{5}{7}$.
Ответ: $68\frac{5}{7}$.

г) Складываем целые и дробные части по отдельности.
Складываем целые части: $7 + 4 = 11$.
Складываем дробные части: $\frac{5}{7} + \frac{1}{7} = \frac{5+1}{7} = \frac{6}{7}$.
Складываем полученные результаты: $11 + \frac{6}{7} = 11\frac{6}{7}$.
Таким образом: $7\frac{5}{7} + 4\frac{1}{7} = (7 + 4) + (\frac{5}{7} + \frac{1}{7}) = 11 + \frac{6}{7} = 11\frac{6}{7}$.
Ответ: $11\frac{6}{7}$.

5.279 Найдите разность:

а) $20\frac{3}{4}-17;$

б) $13\frac{8}{11}-5\frac{2}{11};$

в) $34\frac{7}{15}-34;$

г) $29\frac{19}{23}-7\frac{6}{23}.$

а) Чтобы найти разность смешанного числа и целого числа, нужно из целой части смешанного числа вычесть целое число, а дробную часть оставить без изменений.

$20\frac{3}{4} - 17 = (20 - 17) + \frac{3}{4} = 3 + \frac{3}{4} = 3\frac{3}{4}$

Ответ: $3\frac{3}{4}$.

б) Чтобы найти разность двух смешанных чисел с одинаковыми знаменателями, нужно отдельно вычесть их целые части и отдельно их дробные части, после чего сложить полученные результаты.

$13\frac{8}{11} - 5\frac{2}{11} = (13 - 5) + (\frac{8}{11} - \frac{2}{11}) = 8 + \frac{8-2}{11} = 8 + \frac{6}{11} = 8\frac{6}{11}$

Ответ: $8\frac{6}{11}$.

в) Вычитаем целые части. Поскольку они равны, их разность равна нулю. Дробная часть остается.

$34\frac{7}{15} - 34 = (34 - 34) + \frac{7}{15} = 0 + \frac{7}{15} = \frac{7}{15}$

Ответ: $\frac{7}{15}$.

г) Для нахождения разности двух смешанных чисел с одинаковыми знаменателями, вычитаем отдельно целые части и отдельно дробные части.

$29\frac{19}{23} - 7\frac{6}{23} = (29 - 7) + (\frac{19}{23} - \frac{6}{23}) = 22 + \frac{19-6}{23} = 22 + \frac{13}{23} = 22\frac{13}{23}$

Ответ: $22\frac{13}{23}$.

5.280 Выполните вычитание:

а) $14 - \frac{6}{9} = 13 + 1 - \frac{6}{9} = 13 + \frac{9}{9} - \frac{6}{9} =$

$= 13\frac{9}{9} - \frac{6}{9} = 13\frac{3}{9}$

б) $82 - \frac{7}{15} = 81 + 1 - \frac{7}{15} = 81 + \frac{15}{15} - \frac{7}{15} =$

$= 81\frac{15}{15} - \frac{7}{15} = 81\frac{8}{15}$

в) $5 - 4\frac{3}{4} = 4 + 1 - 4\frac{3}{4} = 4 + \frac{4}{4} - 4\frac{3}{4} =$

$= 4\frac{4}{4} - 4\frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

г) $44 - 3\frac{8}{11} = 43 + 1 - 3\frac{8}{11} = 43 + \frac{11}{11} - 3\frac{8}{11} =$

$= 43\frac{11}{11} - 3\frac{8}{11} = 40\frac{3}{11}$

а) $14 - \frac{6}{9}$

Для того чтобы вычесть дробь из целого числа, необходимо представить целое число в виде смешанного числа. Возьмем (или "займем") единицу у целого числа 14 и представим ее в виде дроби со знаменателем 9.
$14 = 13 + 1 = 13 + \frac{9}{9} = 13\frac{9}{9}$.
Теперь выполним вычитание:
$13\frac{9}{9} - \frac{6}{9} = 13\frac{9-6}{9} = 13\frac{3}{9}$.
Полученную дробь $\frac{3}{9}$ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 3:
$\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
Итоговый результат: $13\frac{1}{3}$.
Ответ: $13\frac{1}{3}$.

б) $82 - \frac{7}{15}$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Представим число 82 в виде смешанного числа, "заняв" у него единицу.
$82 = 81 + 1 = 81 + \frac{15}{15} = 81\frac{15}{15}$.
Теперь произведем вычитание:
$81\frac{15}{15} - \frac{7}{15} = 81\frac{15-7}{15} = 81\frac{8}{15}$.
Дробь $\frac{8}{15}$ является несократимой.
Ответ: $81\frac{8}{15}$.

в) $5 - 4\frac{3}{4}$

Чтобы вычесть смешанное число из целого, представим целое число 5 в виде смешанного числа со знаменателем 4.
$5 = 4 + 1 = 4 + \frac{4}{4} = 4\frac{4}{4}$.
Теперь выполним вычитание смешанных чисел. Вычитаем отдельно целые части и отдельно дробные части.
$4\frac{4}{4} - 4\frac{3}{4} = (4 - 4) + (\frac{4}{4} - \frac{3}{4}) = 0 + \frac{4-3}{4} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

г) $44 - 3\frac{8}{11}$

Представим уменьшаемое 44 в виде смешанного числа со знаменателем 11.
$44 = 43 + 1 = 43 + \frac{11}{11} = 43\frac{11}{11}$.
Теперь выполним вычитание смешанных чисел, вычитая целые части из целых, а дробные из дробных:
$43\frac{11}{11} - 3\frac{8}{11} = (43-3) + (\frac{11}{11} - \frac{8}{11}) = 40 + \frac{11-8}{11} = 40 + \frac{3}{11} = 40\frac{3}{11}$.
Ответ: $40\frac{3}{11}$.

5.281 Вычислите:

а) $4\frac{4}{7} + 12\frac{5}{7}$

Чтобы сложить смешанные числа, у которых знаменатели дробных частей одинаковы, можно сложить их целые и дробные части по отдельности.

Сложим целые части: $4 + 12 = 16$.

Сложим дробные части: $\frac{4}{7} + \frac{5}{7} = \frac{4+5}{7} = \frac{9}{7}$.

Так как дробная часть получилась в виде неправильной дроби, выделим из нее целую часть: $\frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$.

Теперь сложим результат сложения целых частей с полученной смешанной дробью: $16 + 1\frac{2}{7} = 17\frac{2}{7}$.

Ответ: $17\frac{2}{7}$.

б) $9\frac{8}{15} + 6\frac{13}{15}$

Складываем целые и дробные части отдельно.

Сложение целых частей: $9 + 6 = 15$.

Сложение дробных частей: $\frac{8}{15} + \frac{13}{15} = \frac{8+13}{15} = \frac{21}{15}$.

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{21}{15}$: $\frac{21}{15} = 1\frac{6}{15}$.

Сократим дробную часть полученного числа: $\frac{6}{15} = \frac{6 \div 3}{15 \div 3} = \frac{2}{5}$. Таким образом, $1\frac{6}{15} = 1\frac{2}{5}$.

Прибавим эту часть к результату сложения целых частей: $15 + 1\frac{2}{5} = 16\frac{2}{5}$.

Ответ: $16\frac{2}{5}$.

в) $5\frac{4}{7} - 1\frac{5}{7}$

При вычитании смешанных чисел мы видим, что дробная часть уменьшаемого ($\frac{4}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{5}{7}$). В этом случае нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого и представить ее в виде дроби со знаменателем 7.

$5\frac{4}{7} = 4 + 1 + \frac{4}{7} = 4 + \frac{7}{7} + \frac{4}{7} = 4\frac{11}{7}$.

Теперь можно выполнить вычитание: $4\frac{11}{7} - 1\frac{5}{7}$.

Вычтем целые части: $4 - 1 = 3$.

Вычтем дробные части: $\frac{11}{7} - \frac{5}{7} = \frac{11-5}{7} = \frac{6}{7}$.

Объединим результаты: $3\frac{6}{7}$.

Ответ: $3\frac{6}{7}$.

г) $4\frac{8}{15} - 2\frac{13}{15}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{8}{15}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{13}{15}$), поэтому необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого.

$4\frac{8}{15} = 3 + 1 + \frac{8}{15} = 3 + \frac{15}{15} + \frac{8}{15} = 3\frac{23}{15}$.

Теперь выполним вычитание из преобразованного числа: $3\frac{23}{15} - 2\frac{13}{15}$.

Вычитаем целые части: $3 - 2 = 1$.

Вычитаем дробные части: $\frac{23}{15} - \frac{13}{15} = \frac{23-13}{15} = \frac{10}{15}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5: $\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$.

Объединим целую и дробную части: $1\frac{2}{3}$.

Ответ: $1\frac{2}{3}$.

5.282 Вычислите значение выражения:

а) $14\frac{9}{13} - 1\frac{5}{13} + 12\frac{11}{13}$

Поскольку у всех смешанных чисел в выражении одинаковые знаменатели в дробных частях, мы можем выполнить действия отдельно с целыми частями и отдельно с дробными.

1. Складываем и вычитаем целые части: $14 - 1 + 12 = 13 + 12 = 25$

2. Складываем и вычитаем дробные части: $\frac{9}{13} - \frac{5}{13} + \frac{11}{13} = \frac{9 - 5 + 11}{13} = \frac{4 + 11}{13} = \frac{15}{13}$

3. Складываем полученные результаты: $25 + \frac{15}{13}$

Дробь $\frac{15}{13}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть: $\frac{15}{13} = 1\frac{2}{13}$

4. Прибавим эту целую часть к результату, полученному в шаге 1: $25 + 1\frac{2}{13} = 26\frac{2}{13}$

Ответ: $26\frac{2}{13}$.

б) $7\frac{24}{25} - 3\frac{12}{25} - 1\frac{7}{25}$

Знаменатели у всех дробей одинаковы, поэтому вычисления можно проводить отдельно для целых и дробных частей.

1. Выполним действия с целыми частями: $7 - 3 - 1 = 4 - 1 = 3$

2. Выполним действия с дробными частями: $\frac{24}{25} - \frac{12}{25} - \frac{7}{25} = \frac{24 - 12 - 7}{25} = \frac{12 - 7}{25} = \frac{5}{25}$

3. Сократим полученную дробь: $\frac{5}{25} = \frac{5 \div 5}{25 \div 5} = \frac{1}{5}$

4. Объединим целую и дробную части: $3 + \frac{1}{5} = 3\frac{1}{5}$

Ответ: $3\frac{1}{5}$.

в) $17\frac{7}{40} + 3\frac{9}{40} - \frac{17}{40}$

Знаменатели всех дробей одинаковы. Сгруппируем целые и дробные части. У числа $\frac{17}{40}$ целая часть равна 0.

1. Выполним действия с целыми частями: $17 + 3 - 0 = 20$

2. Выполним действия с дробными частями: $\frac{7}{40} + \frac{9}{40} - \frac{17}{40} = \frac{7 + 9 - 17}{40} = \frac{16 - 17}{40} = -\frac{1}{40}$

3. Объединим полученные результаты: $20 + (-\frac{1}{40}) = 20 - \frac{1}{40}$

4. Чтобы выполнить вычитание, "займем" единицу у 20 и представим ее в виде дроби со знаменателем 40: $20 - \frac{1}{40} = 19 + 1 - \frac{1}{40} = 19 + \frac{40}{40} - \frac{1}{40} = 19 + \frac{40 - 1}{40} = 19 + \frac{39}{40} = 19\frac{39}{40}$

Ответ: $19\frac{39}{40}$.

г) $23\frac{15}{49} - 13\frac{19}{49} - 1\frac{30}{49}$

Решим это выражение по действиям, так как вычитание дробных частей может потребовать заимствования из целой части.

1. Выполним первое вычитание: $23\frac{15}{49} - 13\frac{19}{49}$. Дробная часть уменьшаемого ($\frac{15}{49}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{19}{49}$), поэтому необходимо "занять" единицу у целой части 23. $23\frac{15}{49} = 22 + 1\frac{15}{49} = 22 + \frac{49+15}{49} = 22\frac{64}{49}$ Теперь вычитаем: $22\frac{64}{49} - 13\frac{19}{49} = (22-13) + (\frac{64-19}{49}) = 9 + \frac{45}{49} = 9\frac{45}{49}$

2. Теперь выполним второе вычитание, используя результат первого действия: $9\frac{45}{49} - 1\frac{30}{49}$ Здесь дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, поэтому можно вычитать целые и дробные части напрямую. Целые части: $9 - 1 = 8$ Дробные части: $\frac{45}{49} - \frac{30}{49} = \frac{15}{49}$

3. Объединяем результаты: $8\frac{15}{49}$

Ответ: $8\frac{15}{49}$.

5.283 В первый рейс грузовой автомобиль привёз на элеватор 6710 т зерна, что на 1310 т больше, чем он привёз во второй рейс. Сколько тонн зерна привёз грузовой автомобиль за два рейса? Выразите ответ в центнерах.

I рейс - $6\frac{7}{10}$ Т, на $1\frac{3}{10}$ Т больше

II рейс - ?

1) Если в I рейс грузовой автомобиль привёз больше зерна, то во II рейс - меньше.

$6\frac{7}{10} - 1\frac{3}{10} = 5\frac{4}{10}\text{(Т)}$ - привёз во II рейс

2) $6\frac{7}{10} + 5\frac{4}{10} = 11\frac{11}{10} = 11 + \frac{11}{10} = 11 + 1\frac{1}{10} = 12\frac{1}{10}\text{(Т)}$ - привёз за два рейса.

$1\text{т} = 10\text{ц}$

$12\frac{1}{10}\text{т} = (12 + \frac{1}{10})\text{т}$

$12\text{т} = 120\text{ц}$

$\frac{1}{10}\text{т} = 10\text{ц} : 10·1 = 1\text{ц}$

$12\frac{1}{10}\text{т} = 12\text{т} + \frac{1}{10}\text{т} = 120\text{ц} + 1\text{ц} = 121\text{ц}$

Ответ: 121ц

1. Найдем, сколько тонн зерна привез автомобиль во второй рейс.

Из условия задачи известно, что в первый рейс автомобиль привез $6\frac{7}{10}$ тонны зерна, что на $1\frac{3}{10}$ тонны больше, чем во второй рейс. Чтобы найти, сколько зерна было привезено во второй рейс, необходимо из количества зерна первого рейса вычесть разницу.

$6\frac{7}{10} - 1\frac{3}{10} = (6 - 1) + (\frac{7}{10} - \frac{3}{10}) = 5 + \frac{4}{10} = 5\frac{4}{10}$ т.

Таким образом, во второй рейс автомобиль привез $5\frac{4}{10}$ т зерна.

2. Найдем, сколько всего тонн зерна привез автомобиль за два рейса.

Чтобы найти общее количество зерна, привезенное за два рейса, сложим массу зерна из первого и второго рейсов.

$6\frac{7}{10} + 5\frac{4}{10} = (6 + 5) + (\frac{7}{10} + \frac{4}{10}) = 11 + \frac{11}{10} = 11 + 1\frac{1}{10} = 12\frac{1}{10}$ т.

Всего за два рейса автомобиль привез $12\frac{1}{10}$ т зерна.

3. Выразим полученный результат в центнерах.

В одной тонне содержится 10 центнеров. Для перевода тонн в центнеры необходимо умножить массу в тоннах на 10. Сначала представим смешанное число в виде десятичной дроби:

$12\frac{1}{10} \text{ т} = 12.1$ т.

Теперь выполним перевод в центнеры:

$12.1 \times 10 = 121$ ц.

Ответ: за два рейса грузовой автомобиль привёз 121 центнер зерна.

5.284 1) До остановки автобус ехал 1210 ч, а на оставшийся путь он затратил на 110 ч меньше. За сколько часов автобус проехал весь маршрут, если на остановке автобус стоял 110 ч? Ответ выразите в минутах.

2) В спектакле было два действия: первое действие продолжалось 1110 ч, а второе — на 310 ч больше. Сколько часов длился спектакль, если антракт длился 310 ч? Выразите ответ в минутах.

1)

Сначала найдем, сколько времени автобус ехал после остановки. По условию, на этот путь он затратил на $\frac{1}{10}$ часа меньше, чем на путь до остановки.

Время в пути после остановки: $1 \frac{2}{10} - \frac{1}{10} = 1 \frac{1}{10}$ ч.

Теперь найдем общее время, которое автобус затратил на весь маршрут. Для этого сложим время в пути до остановки, время самой остановки ($\frac{1}{10}$ ч) и время в пути после остановки.

Общее время: $1 \frac{2}{10} + 1 \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = 2 \frac{4}{10}$ ч.

Далее необходимо выразить полученное время в минутах. Мы знаем, что в 1 часе 60 минут. Переведем смешанную дробь в неправильную и умножим на 60.

$2 \frac{4}{10} \text{ ч} = \frac{2 \times 10 + 4}{10} \text{ ч} = \frac{24}{10} \text{ ч}$

$\frac{24}{10} \times 60 = 24 \times 6 = 144$ минут.

Ответ: 144 минуты.

2)

Сначала определим продолжительность второго действия спектакля. По условию, оно было на $\frac{3}{10}$ часа дольше, чем первое.

Длительность второго действия: $1 \frac{1}{10} + \frac{3}{10} = 1 \frac{4}{10}$ ч.

Теперь найдем общую продолжительность спектакля. Для этого сложим длительность первого действия, второго действия и антракта ($\frac{3}{10}$ ч).

Общая длительность: $1 \frac{1}{10} + 1 \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = 2 \frac{8}{10}$ ч.

Наконец, выразим полученное время в минутах. Переведем смешанную дробь в неправильную и умножим на 60 (так как в 1 часе 60 минут).

$2 \frac{8}{10} \text{ ч} = \frac{2 \times 10 + 8}{10} \text{ ч} = \frac{28}{10} \text{ ч}$

$\frac{28}{10} \times 60 = 28 \times 6 = 168$ минут.

Ответ: 168 минут.