Страница 50, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.49 На трёх полках шкафа стоят книги. На первой полке на 12 книг больше, чем на второй, на третьей на 7 книг больше, чем на второй. Сколько книг в шкафу, если самое маленькое количество книг на полке равно 14?

Если на первой и третьей полках больше, чем на второй, то самое маленькое количество книг на второй полке.

1) 14 + 12 = 26 (кн.) - на I полке;

2) 14 + 7 = 21 (кн.) - на III полке;

3) 26 + 14 + 21 = 61 (кн.) в шкафу.

Ответ: 61 книга.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество книг на второй полке.

Согласно условию, на первой полке на 12 книг больше, чем на второй. Следовательно, количество книг на первой полке можно выразить как $x + 12$.

Также по условию, на третьей полке на 7 книг больше, чем на второй. Значит, количество книг на третьей полке составляет $x + 7$.

Теперь мы имеем выражения для количества книг на каждой из трех полок:
- Первая полка: $x + 12$ книг
- Вторая полка: $x$ книг
- Третья полка: $x + 7$ книг

Сравнивая эти выражения ($x$, $x+7$ и $x+12$), очевидно, что наименьшее количество книг находится на второй полке, так как $x$ — наименьшее из этих трех чисел.

В задаче указано, что самое маленькое количество книг на полке равно 14. Это означает, что количество книг на второй полке равно 14.

$x = 14$

Теперь, зная количество книг на второй полке, мы можем рассчитать количество книг на остальных полках:
Количество книг на первой полке: $14 + 12 = 26$
Количество книг на третьей полке: $14 + 7 = 21$

Чтобы найти общее количество книг в шкафу, необходимо сложить количество книг на всех трех полках:

$26 + 14 + 21 = 61$

Ответ: в шкафу 61 книга.

2.50 Вычислите наиболее удобным способом:

а) (3757 + 3939) + 4061;

б) (34 271 + 20 001) + 49 999;

в) 18 699 + (7701 + 13 600);

г) 17 212 + (2788 + 1465).

$\mathrm{а}) (3757 + 3939) + 4061 =$$3757 \stackrel{2}{+} (3939 \stackrel{1}{+} 4061) = 11757$

$\mathrm{б}) (34271 + 20001) + 49999 =$$34271 \stackrel{2}{+} (20001 \stackrel{1}{+} 49999) = 104271$

$\mathrm{в}) 18699 + (7701 + 13600) =$$(18699 \stackrel{1}{+} 7701) \stackrel{2}{+} 13600=40000$

$\mathrm{г}) 17212 + (2788 + 1465) =$$(17212 \stackrel{1}{+} 2788) \stackrel{2}{+} 1465 = 21465$

а) Для удобства вычислений используем сочетательное свойство сложения, которое позволяет изменять порядок действий: $(a + b) + c = a + (b + c)$. Сгруппируем слагаемые 3939 и 4061, так как их сумма является круглым числом.
$(3757 + 3939) + 4061 = 3757 + (3939 + 4061) = 3757 + 8000 = 11757$
Ответ: 11757

б) Аналогично предыдущему примеру, применим сочетательное свойство сложения. Сгруппируем слагаемые 20 001 и 49 999.
$(34 271 + 20 001) + 49 999 = 34 271 + (20 001 + 49 999) = 34 271 + 70 000 = 104 271$
Ответ: 104 271

в) В этом выражении мы можем использовать как сочетательное, так и переместительное свойства сложения: $a + (b + c) = (a + b) + c$. Сгруппируем слагаемые 18 699 и 7701, так как их удобно складывать.
$18 699 + (7701 + 13 600) = (18 699 + 7701) + 13 600 = 26 400 + 13 600 = 40 000$
Ответ: 40 000

г) Используем сочетательное и переместительное свойства сложения для перегруппировки слагаемых. Удобнее всего сложить 17 212 и 2788, так как их сумма - круглое число.
$17 212 + (2788 + 1465) = (17 212 + 2788) + 1465 = 20 000 + 1465 = 21 465$
Ответ: 21 465

2.51 Разложите число по разрядным слагаемым:

а) 8 007 004;

б) 222 222.

а) Число 8 007 004 содержит 8 единиц миллионов, 0 сотен тысяч, 0 десятков тысяч, 7 единиц тысяч, 0 сотен, 0 десятков и 4 единицы. Это можно записать так:

8 007 004 = 8 000 000 + 7 000 + 4 = 8 · 1 000 000 + 0 · 100 000 + 0 · 10 000 + 7 · 1000 + 0 · 100 + 0 · 10 + 4 · 1 = 8 · 1 000 000 + 7 · 1 000 + 4;

б) Число 222 222 содержит 2 сотни тысяч, 2 десятка тысяч, 2 единицы тысяч, 2 сотни, 2 десятка, 2 единицы. Это можно записать так:

222 222 = 200 000 + 20 000 + 2 000 + 200 + 20 + 2 = 2 · 100 000 + 2 · 10 000 + 2 · 1 000 + 2 · 100 + 2 · 10 + 2.

а) Чтобы разложить число по разрядным слагаемым, необходимо представить его в виде суммы значений его разрядов. Число 8 007 004 состоит из 8 миллионов, 7 тысяч и 4 единиц.

Разберем его по разрядам:

Цифра 8 находится в разряде миллионов, ее значение: $8 \times 1\ 000\ 000 = 8\ 000\ 000$.

Цифра 7 находится в разряде тысяч, ее значение: $7 \times 1\ 000 = 7\ 000$.

Цифра 4 находится в разряде единиц, ее значение: $4 \times 1 = 4$.

Цифры 0 в разрядах сотен тысяч, десятков тысяч, сотен и десятков имеют нулевое значение, поэтому в сумму разрядных слагаемых они не вносятся.

Сложив ненулевые разрядные слагаемые, получаем искомое разложение:

$8\ 007\ 004 = 8\ 000\ 000 + 7\ 000 + 4$.

Ответ: $8\ 007\ 004 = 8\ 000\ 000 + 7\ 000 + 4$.

б) Аналогично разложим по разрядным слагаемым число 222 222. В этом числе каждая цифра 2 имеет разное значение в зависимости от ее позиции (разряда).

Разберем по разрядам слева направо:

Первая цифра 2 находится в разряде сотен тысяч, ее значение: $2 \times 100\ 000 = 200\ 000$.

Вторая цифра 2 находится в разряде десятков тысяч, ее значение: $2 \times 10\ 000 = 20\ 000$.

Третья цифра 2 находится в разряде тысяч, ее значение: $2 \times 1\ 000 = 2\ 000$.

Четвертая цифра 2 находится в разряде сотен, ее значение: $2 \times 100 = 200$.

Пятая цифра 2 находится в разряде десятков, ее значение: $2 \times 10 = 20$.

Шестая цифра 2 находится в разряде единиц, ее значение: $2 \times 1 = 2$.

Сумма этих разрядных слагаемых и будет разложением исходного числа:

$222\ 222 = 200\ 000 + 20\ 000 + 2\ 000 + 200 + 20 + 2$.

Ответ: $222\ 222 = 200\ 000 + 20\ 000 + 2\ 000 + 200 + 20 + 2$.

2.52 Найдите сумму:

а) 3587 357 285 +12 542 284 367 +2 060 438 247 =18 190 079 899;

1)

2)

б) 728 405 247 961 +33 869 632 596 +87 696 029 453 =849 970 910 010.

1)

2)

2.53 Найдите общую стоимость товаров, поступивших:

а) в отделы магазина за каждый месяц;

б) в отделы магазина за полгода;

в) в магазин за полгода.

$\mathrm{а}) (55000\stackrel{100 000}{+}45000)$ + 43 000 = 100 000 + 43 000 = 143 000 (тыс. р.) - за январь;

76 000 + 61 100 + 54 000 = $(76 000\stackrel{130 000}{+}54 000)$ + 61 100 = 130 000 + 61 100 = 191 100 (тыс. р.) - за февраль;

232 000 + 80 200 + 51 000 =  $(232 000\stackrel{283 000}{+}51 000) + 80 200 =$283 000 + 80 200 = 363 200 (тыс. р.) - за март;

$(47 000\stackrel{93 000}{+}46 000)$ + 72 000 = 93 000 + 72 000 = 165 000 (тыс. р.) - за апрель;

103 600 + 98 200 + 64 200 = 266 000 (тыс. р.) - за май;

99 000 + 57 400 + 37 200 = 193 600 (тыс. р.) - за июнь;

б) 55 000 + 76 000 + 232 000 + 47 000 + 103 600 + 99 000 = 612 600 (тыс. р.) - в молочный

45 000 + 61 100 + 80 200 + 46 000 + 98 200 + 57 400 = 387 900 (тыс. р.) - в хлебный

43 000 + 54 000 + 51 000 + 72 000 + 64 200 + 37 200 = 321 400 (тыс. р.) - в мясной

в) 612 600 + 387 900 + 321 400 = (612 600 + 321 400) + 387 900 = 1 321 900 (тыс. р.) - за полгода

или

143 000 + 191 100 + 363 200 + 165 000 + 266 000 + 193 600 = 1 321 900 (тыс. р.) - за полгода

а) Для того чтобы найти общую стоимость товаров, поступивших в отделы магазина за каждый месяц, необходимо сложить стоимость товаров по каждому отделу (Молочный, Хлебный, Мясной) за соответствующий месяц. Расчеты производятся в тысячах рублей.

Январь: $55 \ 000 + 45 \ 000 + 43 \ 000 = 143 \ 000$ тыс. р.

Февраль: $76 \ 000 + 61 \ 100 + 54 \ 000 = 191 \ 100$ тыс. р.

Март: $232 \ 000 + 80 \ 200 + 51 \ 000 = 363 \ 200$ тыс. р.

Апрель: $47 \ 000 + 46 \ 000 + 72 \ 000 = 165 \ 000$ тыс. р.

Май: $103 \ 600 + 98 \ 200 + 64 \ 200 = 266 \ 000$ тыс. р.

Июнь: $99 \ 000 + 57 \ 400 + 37 \ 200 = 193 \ 600$ тыс. р.

Ответ: общая стоимость товаров за январь — 143 000 тыс. р., за февраль — 191 100 тыс. р., за март — 363 200 тыс. р., за апрель — 165 000 тыс. р., за май — 266 000 тыс. р., за июнь — 193 600 тыс. р.

б) Чтобы найти общую стоимость товаров, поступивших в каждый отдел магазина за полгода, нужно просуммировать поступления по каждому отделу за все шесть месяцев.

Молочный отдел: $55 \ 000 + 76 \ 000 + 232 \ 000 + 47 \ 000 + 103 \ 600 + 99 \ 000 = 612 \ 600$ тыс. р.

Хлебный отдел: $45 \ 000 + 61 \ 100 + 80 \ 200 + 46 \ 000 + 98 \ 200 + 57 \ 400 = 387 \ 900$ тыс. р.

Мясной отдел: $43 \ 000 + 54 \ 000 + 51 \ 000 + 72 \ 000 + 64 \ 200 + 37 \ 200 = 321 \ 400$ тыс. р.

Ответ: общая стоимость товаров за полгода в Молочном отделе — 612 600 тыс. р., в Хлебном отделе — 387 900 тыс. р., в Мясном отделе — 321 400 тыс. р.

в) Для нахождения общей стоимости товаров, поступивших в магазин за полгода, можно сложить итоговые суммы по всем месяцам (из пункта а) или итоговые суммы по всем отделам (из пункта б).

Способ 1: Сложение итогов по месяцам.

$143 \ 000 + 191 \ 100 + 363 \ 200 + 165 \ 000 + 266 \ 000 + 193 \ 600 = 1 \ 321 \ 900$ тыс. р.

Способ 2: Сложение итогов по отделам.

$612 \ 600 + 387 \ 900 + 321 \ 400 = 1 \ 321 \ 900$ тыс. р.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: общая стоимость товаров, поступивших в магазин за полгода, составляет 1 321 900 тыс. р.

2.54 Назовите число, оканчивающееся цифрой 6, если оно:

а) больше 231 и меньше 246;

б) меньше 646 и больше 626.

а) 231 < 236 < 246;
б) 626 < 636 < 646.

а) Искомое число должно быть больше 231 и меньше 246. Это условие можно записать в виде двойного неравенства: $231 < x < 246$. Кроме того, число должно оканчиваться на цифру 6.

Рассмотрим числа, следующие за 231, и найдем первое, которое оканчивается на 6. Это число 236. Проверим, удовлетворяет ли оно нашему неравенству: $231 < 236 < 246$. Условие выполняется. Следующее число, оканчивающееся на 6, это 246, но оно не подходит, так как искомое число должно быть строго меньше 246. Таким образом, единственное подходящее число — это 236.

Ответ: 236

б) Искомое число должно быть меньше 646 и больше 626. Запишем это условие в виде двойного неравенства: $626 < x < 646$. Число также должно оканчиваться на цифру 6.

Рассмотрим числа, следующие за 626, и найдем первое, которое оканчивается на 6. Это число 636. Проверим, удовлетворяет ли оно нашему неравенству: $626 < 636 < 646$. Условие выполняется. Следующее число, оканчивающееся на 6, это 646, но оно не подходит, так как искомое число должно быть строго меньше 646. Следовательно, единственное подходящее число — это 636.

Ответ: 636

2.55 Сторона КМ треугольника KML равна 6 см 8 мм, сторона ML на 1 см 3 мм короче стороны КМ, но на 2 см 4 мм длиннее стороны LK. Найдите периметр треугольника.

1) 6 см 8 мм - 1 см 3 мм = 5 см 5 мм - ML

2) 5 см 5 мм - 2 см 4 мм = 3 см 1 мм - LK

3) 6 см 8 мм + 5 см 5 мм + 3 см 1 мм = 12 см 3 мм + 3 см 1 мм = 15 см 4 мм.

Ответ: 15 см 4 мм.

Для решения задачи необходимо последовательно найти длины всех сторон треугольника, а затем сложить их, чтобы получить периметр. Для удобства вычислений переведем все значения в миллиметры, помня, что $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.

1. Определение длины стороны KM

Длина стороны $KM$ дана в условии:

$KM = 6 \text{ см } 8 \text{ мм} = 6 \times 10 \text{ мм} + 8 \text{ мм} = 68 \text{ мм}$.

2. Вычисление длины стороны ML

Сторона $ML$ на 1 см 3 мм короче стороны $KM$.

Сначала переведем разницу в миллиметры: $1 \text{ см } 3 \text{ мм} = 10 \text{ мм} + 3 \text{ мм} = 13 \text{ мм}$.

Теперь найдем длину стороны $ML$:

$ML = KM - 13 \text{ мм} = 68 \text{ мм} - 13 \text{ мм} = 55 \text{ мм}$.

3. Вычисление длины стороны LK

По условию, сторона $ML$ на 2 см 4 мм длиннее стороны $LK$. Это означает, что сторона $LK$ короче стороны $ML$ на эту величину.

Переведем разницу в миллиметры: $2 \text{ см } 4 \text{ мм} = 2 \times 10 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 24 \text{ мм}$.

Теперь найдем длину стороны $LK$:

$LK = ML - 24 \text{ мм} = 55 \text{ мм} - 24 \text{ мм} = 31 \text{ мм}$.

4. Нахождение периметра треугольника

Периметр треугольника ($P$) равен сумме длин всех его сторон.

$P = KM + ML + LK$

$P = 68 \text{ мм} + 55 \text{ мм} + 31 \text{ мм} = 154 \text{ мм}$.

Переведем полученный результат обратно в сантиметры и миллиметры:

$154 \text{ мм} = 150 \text{ мм} + 4 \text{ мм} = 15 \text{ см } 4 \text{ мм}$.

Ответ: 15 см 4 мм.

2.56 Ширина прямоугольной столешницы 40 см, а длина в 2 раза больше. Чему равна сторона квадратной столешницы, если периметры обеих столешниц одинаковы?

1) 40 · 2 = 80 (см);

2) (40 + 80) · 2 = 120 · 2 = 240 (см) - периметр прямоугольной столешницы или периметр квадратной столешницы;

3) 240 : 4 = 60 (см) - сторона квадратной столешницы.

Ответ: 60 см.

Для решения задачи выполним следующие действия по порядку.

1. Найдём длину прямоугольной столешницы.
Из условия известно, что ширина прямоугольной столешницы составляет 40 см, а её длина в 2 раза больше. Чтобы найти длину, необходимо умножить ширину на 2.
Длина = $40 \text{ см} \times 2 = 80 \text{ см}$.

2. Вычислим периметр прямоугольной столешницы.
Периметр прямоугольника ($P_{прямоуг.}$) равен удвоенной сумме его длины ($a$) и ширины ($b$). Формула для расчёта: $P = 2 \times (a + b)$.
Подставим наши значения:
$P_{прямоуг.} = 2 \times (80 \text{ см} + 40 \text{ см}) = 2 \times 120 \text{ см} = 240 \text{ см}$.

3. Найдём сторону квадратной столешницы.
По условию, периметры обеих столешниц одинаковы. Значит, периметр квадратной столешницы ($P_{квадр.}$) также равен 240 см.
Периметр квадрата равен произведению длины его стороны ($c$) на 4. Формула для расчёта: $P = 4 \times c$.
Чтобы найти сторону квадратной столешницы, разделим её периметр на 4:
$c = P_{квадр.} \div 4 = 240 \text{ см} \div 4 = 60 \text{ см}$.
Ответ: сторона квадратной столешницы равна 60 см.

2.57 В яблоневом саду собрали 560 ц яблок. Из них 56 ц отправили в детские оздоровительные учреждения, а остальные — на ярмарки урожая для продажи, расфасовав яблоки в ящики по 28 кг. Сколько ящиков яблок отправили на ярмарки урожая?

Собрали: 560 ц.

Отправили:

• в детские учреждения - 56 ц;
• на ярмарки урожая - ? ящиков по 28 кг.

1) 560 - 56 = 504 (ц) - на ярмарки урожая;

Ответ: 1800 ящиков.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем массу яблок, которую отправили на ярмарки урожая.

Для этого из общего количества собранных яблок вычтем количество яблок, отправленных в детские учреждения:

$560 \text{ ц} - 56 \text{ ц} = 504 \text{ ц}$

Таким образом, на ярмарки отправили 504 центнера яблок.

2. Переведем массу яблок из центнеров в килограммы.

В одном центнере содержится 100 килограммов, поэтому:

$504 \text{ ц} = 504 \times 100 \text{ кг} = 50400 \text{ кг}$

Итак, на ярмарки отправили 50400 кг яблок.

3. Определим количество ящиков.

Чтобы найти, сколько ящиков понадобилось, разделим общую массу яблок, предназначенных для ярмарки, на вместимость одного ящика:

$50400 \text{ кг} \div 28 \text{ кг} = 1800 \text{ ящиков}$

Ответ: на ярмарки урожая отправили 1800 ящиков яблок.

2.58 На координатной прямой отметьте все точки, координаты которых — натуральные числа:

а) меньшие 6;

б) большие 10, но меньшие 14.

а) Нам нужно найти все точки на координатной прямой, координаты которых являются натуральными числами и меньше 6. Натуральные числа – это целые положительные числа, используемые при счете (1, 2, 3, ...). Если обозначить искомую координату буквой $x$, то условие можно записать в виде неравенства $x < 6$.

Натуральными числами, которые удовлетворяют этому неравенству, являются 1, 2, 3, 4 и 5. Число 6 и все последующие числа не подходят, так как они не меньше 6.

Таким образом, на координатной прямой необходимо отметить точки с координатами 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5.

б) В этом задании требуется найти все точки, координаты которых – натуральные числа, которые больше 10, но меньше 14. Это условие можно записать в виде двойного неравенства: $10 < x < 14$.

Это означает, что мы ищем натуральные числа, которые находятся строго между 10 и 14.

Этому условию удовлетворяют следующие натуральные числа: 11, 12, 13. Числа 10 и 14 не входят в этот промежуток, так как неравенство строгое.

Следовательно, на координатной прямой нужно отметить точки с координатами 11, 12, 13.

Ответ: 11, 12, 13.

2.59 Выполните вычисления:

а) (829 - 239) • 75;

б) 2000 - (859 + 1085): 243;

в) 1035 : (4968 : 18 : 12);

г) 14 976 : 48 : (182 : 14):

д) (760 + 350) : 37 • 54;

е) (3381 + 103 • 23) : 125

$\mathrm{а}) (829 \stackrel{1}{-} 239) \stackrel{2}{·} 75 = 44250$

1)

2)

$\mathrm{б}) 2000 \stackrel{3}{-} (859 \stackrel{1}{+} 1085) \stackrel{2}{:} 243 = 1992$

1)

2)

3)

$\mathrm{в}) 1035 \stackrel{3}{:} (4968 \stackrel{1}{:} 18 \stackrel{2}{:} 12) = 45$

1)

2)

3)

$\mathrm{г}) 14976 \stackrel{2}{:} 48 \stackrel{3}{:} (182 \stackrel{1}{:} 14) = 24$

1)

2)

3)

$\mathrm{д}) (760 \stackrel{1}{+} 350) \stackrel{2}{:} 37 \stackrel{3}{·} 54 = 1620$

1)

2)

3)

$\mathrm{е}) (3381\stackrel{2}{ +} 103 \stackrel{1}{·} 23) \stackrel{3}{:} 125=46$

1)

2)

3)

5.285 Вычислите.

а) $6^2 + 24 = 6 · 6 + 24 = 36 + 24 = 60$

$60 : 12 = 5$

$5 · 20 = 100$

$100 + 60 = 160$

$160 : 32 = 5$

б) $2^3 · 9 = 2 · 2 · 2 · 9 = 8 · 9 = 72$

$72 - 34 = 72 - (32 + 2) = 72 - 32 - 2 =$

$= 40 - 2 = 38$

$38 + 18 = 56$

$56 : 14 = 4$

$4 · 25 = 100$

в) $6м20\mathrm{см} = 620\mathrm{см}$

$620\mathrm{см} : 31 = 20\mathrm{см}$

$20\mathrm{см} + 30\mathrm{см} = 50\mathrm{см}$

$50\mathrm{см} · 4 = 200\mathrm{см}$

$200\mathrm{см} - 1м60\mathrm{см} = 200\mathrm{см} - 160\mathrm{см} = 40\mathrm{см}$

г) $2\mathrm{кг}50г = 2050г$

$2050г : 5 = 410г$

$410г + 190г = 600г$

$600г · 8 = 4800г$

$4800г - 3\mathrm{кг}300г = 4800г - 3300г =$

$= 1500г$

а) Данное выражение вычисляется последовательно, выполняя указанные операции по порядку:
1) Сначала возводим в степень: $6^2 = 36$.
2) Затем выполняем сложение: $36 + 24 = 60$.
3) Выполняем деление: $60 : 12 = 5$.
4) Выполняем умножение: $5 \cdot 20 = 100$.
5) Выполняем сложение: $100 + 60 = 160$.
6) Выполняем деление: $160 : 32 = 5$.
Ответ: 5

б) Вычисляем по действиям в указанном порядке:
1) Возводим в степень: $2^3 = 8$.
2) Выполняем умножение: $8 \cdot 9 = 72$.
3) Выполняем вычитание: $72 - 34 = 38$.
4) Выполняем сложение: $38 + 18 = 56$.
5) Выполняем деление: $56 : 14 = 4$.
6) Выполняем умножение: $4 \cdot 25 = 100$.
Ответ: 100

в) Для удобства вычислений переведем все значения в сантиметры, зная, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.
Начальное значение: $6 \text{ м } 20 \text{ см} = 6 \cdot 100 \text{ см} + 20 \text{ см} = 620 \text{ см}$.
Выполним операции по порядку:
1) $620 \text{ см} : 31 = 20 \text{ см}$.
2) $20 \text{ см} + 30 \text{ см} = 50 \text{ см}$.
3) $50 \text{ см} \cdot 4 = 200 \text{ см}$.
4) Теперь вычтем $1 \text{ м } 60 \text{ см}$. Переведем это значение в сантиметры: $1 \text{ м } 60 \text{ см} = 100 \text{ см} + 60 \text{ см} = 160 \text{ см}$.
$200 \text{ см} - 160 \text{ см} = 40 \text{ см}$.
Ответ: 40 см

г) Для удобства вычислений переведем все значения в граммы, зная, что $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
Начальное значение: $2 \text{ кг } 50 \text{ г} = 2 \cdot 1000 \text{ г} + 50 \text{ г} = 2050 \text{ г}$.
Выполним операции по порядку:
1) $2050 \text{ г} : 5 = 410 \text{ г}$.
2) $410 \text{ г} + 190 \text{ г} = 600 \text{ г}$.
3) $600 \text{ г} \cdot 8 = 4800 \text{ г}$.
4) Теперь вычтем $3 \text{ кг } 300 \text{ г}$. Переведем это значение в граммы: $3 \text{ кг } 300 \text{ г} = 3 \cdot 1000 \text{ г} + 300 \text{ г} = 3300 \text{ г}$.
$4800 \text{ г} - 3300 \text{ г} = 1500 \text{ г}$.
Переведем результат обратно в килограммы и граммы: $1500 \text{ г} = 1000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 1 \text{ кг } 500 \text{ г}$.
Ответ: 1 кг 500 г

5.286 Какое число должно стоять в конце цепочки?

а)

Выполним последовательно все действия в цепочке:

1. Первое действие: вычитание из 1 дроби $\frac{5}{13}$. Представим 1 в виде дроби со знаменателем 13: $1 = \frac{13}{13}$.

$1 - \frac{5}{13} = \frac{13}{13} - \frac{5}{13} = \frac{13-5}{13} = \frac{8}{13}$

2. Второе действие: к полученному результату прибавим $\frac{4}{13}$.

$\frac{8}{13} + \frac{4}{13} = \frac{8+4}{13} = \frac{12}{13}$

3. Третье действие: из полученного результата вычтем $\frac{2}{13}$.

$\frac{12}{13} - \frac{2}{13} = \frac{12-2}{13} = \frac{10}{13}$

4. Четвертое, заключительное действие: из результата вычтем $\frac{10}{13}$.

$\frac{10}{13} - \frac{10}{13} = 0$

В конце цепочки должно стоять число 0.

Ответ: 0

б)

Для решения этой задачи необходимо сначала привести все величины к одной единице измерения. Переведем квадратные дециметры в квадратные сантиметры. В одном дециметре 10 сантиметров, значит в одном квадратном дециметре $10 \times 10 = 100$ квадратных сантиметров.

$1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$

Теперь выполним действия по цепочке:

1. Первое действие: деление.

$100 \text{ см}^2 : 10 = 10 \text{ см}^2$

2. Второе действие: сложение.

$10 \text{ см}^2 + 40 \text{ см}^2 = 50 \text{ см}^2$

3. Третье действие: деление.

$50 \text{ см}^2 : 5 = 10 \text{ см}^2$

4. Четвертое, заключительное действие: деление.

$10 \text{ см}^2 : 20 = 0,5 \text{ см}^2$

В конце цепочки должно стоять число 0,5.

Ответ: 0,5

в)

Выполним последовательно все действия с дробями в цепочке:

1. Первое действие: сложение дробей с одинаковым знаменателем.

$\frac{8}{15} + \frac{7}{15} = \frac{8+7}{15} = \frac{15}{15} = 1$

2. Второе действие: вычитание дроби из единицы. Представим 1 как $\frac{8}{8}$.

$1 - \frac{3}{8} = \frac{8}{8} - \frac{3}{8} = \frac{8-3}{8} = \frac{5}{8}$

3. Третье действие: вычитание дробей с одинаковым знаменателем. Результат можно сократить.

$\frac{5}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5-1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

4. Четвертое, заключительное действие: сложение дробей с разными знаменателями. Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 8.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{8} = \frac{1 \times 4}{2 \times 4} + \frac{3}{8} = \frac{4}{8} + \frac{3}{8} = \frac{4+3}{8} = \frac{7}{8}$

В конце цепочки должно стоять число $\frac{7}{8}$.

Ответ: $\frac{7}{8}$

г)

Для решения этой задачи необходимо привести все величины к одной единице измерения объема. Переведем литры в кубические сантиметры. Один литр равен одному кубическому дециметру. В одном дециметре 10 сантиметров, значит в одном кубическом дециметре $10 \times 10 \times 10 = 1000$ кубических сантиметров.

$6 \text{ л} = 6 \text{ дм}^3 = 6 \times 1000 \text{ см}^3 = 6000 \text{ см}^3$

Теперь выполним действия по цепочке:

1. Первое действие: деление.

$6000 \text{ см}^3 : 12 = 500 \text{ см}^3$

2. Второе действие: деление.

$500 \text{ см}^3 : 2 = 250 \text{ см}^3$

3. Третье действие: сложение.

$250 \text{ см}^3 + 50 \text{ см}^3 = 300 \text{ см}^3$

4. Четвертое, заключительное действие: деление.

$300 \text{ см}^3 : 3 = 100 \text{ см}^3$

В конце цепочки должно стоять число 100.

Ответ: 100

5.287 а) Укажите координаты точек на рисунке 5.49.

б) Найдите расстояние (в единичных отрезках) между точками: O и E; O и P; O и C; F и C; A и E; R и E.

в) Координата какой точки больше: C или F; C или E; R или P; N или A; A или K?

а) Укажите координаты точек на рисунке 5.49.

На координатном луче единичный отрезок (отрезок от 0 до 1) разделен на 4 равные части. Следовательно, цена одного деления шкалы составляет $1 \div 4 = \frac{1}{4}$. Чтобы найти координату каждой точки, нужно посчитать количество таких делений от начала координат (точки O) до нужной точки и умножить это количество на цену деления.

• Точка O находится в начале координат, поэтому ее координата $0$.
• Точка F отстоит от O на 2 деления: $2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
• Точка C отстоит от O на 3 деления: $3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
• Точка E отстоит от O на 4 деления: $4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
• Точка A отстоит от O на 6 делений: $6 \cdot \frac{1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
• Точка P отстоит от O на 7 делений: $7 \cdot \frac{1}{4} = \frac{7}{4}$.
• Точка R отстоит от O на 9 делений: $9 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$.
• Точка N отстоит от O на 10 делений: $10 \cdot \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
• Точка K отстоит от O на 12 делений: $12 \cdot \frac{1}{4} = \frac{12}{4} = 3$.

Ответ: $O(0)$; $F(\frac{1}{2})$; $C(\frac{3}{4})$; $E(1)$; $A(\frac{3}{2})$; $P(\frac{7}{4})$; $R(\frac{9}{4})$; $N(\frac{5}{2})$; $K(3)$.

б) Найдите расстояние (в единичных отрезках) между точками: O и E; O и P; O и C; F и C; А и E; R и E.

Расстояние между двумя точками на координатной прямой равно модулю разности их координат. Если точка B расположена правее точки A, то расстояние AB равно разности координаты B и координаты A.

• O и E: Координаты точек $O(0)$ и $E(1)$. Расстояние равно $|1 - 0| = 1$.
  Ответ: 1.
• O и P: Координаты точек $O(0)$ и $P(\frac{7}{4})$. Расстояние равно $|\frac{7}{4} - 0| = \frac{7}{4}$.
  Ответ: $\frac{7}{4}$.
• O и C: Координаты точек $O(0)$ и $C(\frac{3}{4})$. Расстояние равно $|\frac{3}{4} - 0| = \frac{3}{4}$.
  Ответ: $\frac{3}{4}$.
• F и C: Координаты точек $F(\frac{1}{2})$ и $C(\frac{3}{4})$. Расстояние равно $|\frac{3}{4} - \frac{1}{2}| = |\frac{3}{4} - \frac{2}{4}| = \frac{1}{4}$.
  Ответ: $\frac{1}{4}$.
• А и E: Координаты точек $A(\frac{3}{2})$ и $E(1)$. Расстояние равно $|\frac{3}{2} - 1| = |\frac{3}{2} - \frac{2}{2}| = \frac{1}{2}$.
  Ответ: $\frac{1}{2}$.
• R и E: Координаты точек $R(\frac{9}{4})$ и $E(1)$. Расстояние равно $|\frac{9}{4} - 1| = |\frac{9}{4} - \frac{4}{4}| = \frac{5}{4}$.
  Ответ: $\frac{5}{4}$.

в) Координата какой точки больше: C или F; C или E; R или P; N или A; А или K?

На координатном луче точка, расположенная правее, имеет большую координату. Сравним координаты точек для каждой пары.

• C или F: Сравниваем координаты $C(\frac{3}{4})$ и $F(\frac{1}{2})$. Приведем дроби к общему знаменателю: $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$. Так как $\frac{3}{4} > \frac{2}{4}$, координата точки C больше.
  Ответ: C.
• C или E: Сравниваем координаты $C(\frac{3}{4})$ и $E(1)$. Так как $1 > \frac{3}{4}$, координата точки E больше.
  Ответ: E.
• R или P: Сравниваем координаты $R(\frac{9}{4})$ и $P(\frac{7}{4})$. Так как $\frac{9}{4} > \frac{7}{4}$, координата точки R больше.
  Ответ: R.
• N или A: Сравниваем координаты $N(\frac{5}{2})$ и $A(\frac{3}{2})$. Так как $\frac{5}{2} > \frac{3}{2}$, координата точки N больше.
  Ответ: N.
• A или K: Сравниваем координаты $A(\frac{3}{2})$ и $K(3)$. Так как $3 = \frac{6}{2}$, а $\frac{6}{2} > \frac{3}{2}$, координата точки K больше.
  Ответ: K.

5.288 На координатной прямой отмечены числа 178, 5310, 25716 и 220011000. Между какими соседними натуральными числами расположено каждое из этих чисел?

Чтобы определить, между какими двумя соседними натуральными числами находится смешанное число, нужно проанализировать его целую и дробную части. Любое смешанное число вида $A\frac{b}{c}$, где $A$ – это целая часть (натуральное число), а $\frac{b}{c}$ – это правильная дробная часть (то есть $0 < b < c$), удовлетворяет двойному неравенству: $A < A\frac{b}{c} < A+1$. Это означает, что число расположено на координатной прямой между натуральным числом $A$ и следующим за ним натуральным числом $A+1$.

$1\frac{7}{8}$: Целая часть этого числа равна 1. Дробная часть $\frac{7}{8}$ является правильной дробью, так как $0 < \frac{7}{8} < 1$. Следовательно, число $1\frac{7}{8}$ больше, чем 1, но меньше, чем 2. Это можно записать в виде неравенства: $1 < 1\frac{7}{8} < 2$.
Ответ: между 1 и 2.

$5\frac{3}{10}$: Целая часть этого числа равна 5. Дробная часть $\frac{3}{10}$ является правильной дробью, так как $0 < \frac{3}{10} < 1$. Следовательно, число $5\frac{3}{10}$ больше, чем 5, но меньше, чем 6. Неравенство: $5 < 5\frac{3}{10} < 6$.
Ответ: между 5 и 6.

$25\frac{7}{16}$: Целая часть этого числа равна 25. Дробная часть $\frac{7}{16}$ является правильной дробью, так как $0 < \frac{7}{16} < 1$. Следовательно, число $25\frac{7}{16}$ больше, чем 25, но меньше, чем 26. Неравенство: $25 < 25\frac{7}{16} < 26$.
Ответ: между 25 и 26.

$2200\frac{1}{1000}$: Целая часть этого числа равна 2200. Дробная часть $\frac{1}{1000}$ является правильной дробью, так как $0 < \frac{1}{1000} < 1$. Следовательно, число $2200\frac{1}{1000}$ больше, чем 2200, но меньше, чем 2201. Неравенство: $2200 < 2200\frac{1}{1000} < 2201$.
Ответ: между 2200 и 2201.

5.289 1) Найдите значения m, при которых частное 18 : m будет:

а) натуральным числом;

б) неправильной дробью;

в) правильной дробью.

2) Решите предыдущую задачу для частного m : 5.

1) 18 : m
a) Частное 18 : m будет натуральным числом, если деление выполнено без остатка. Это возможно при m = 1, 2, 3, 6; 9; 18.
б) Частное 18:m будет неправильной дробью, если $18 : m = \frac{18}{m}$ и знаменатель m будет меньше 18 или m = 18. Это возможно при m = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18.
в) Частное 18:m будет правильной дробью, если $18 : m = \frac{18}{m}$ и $m>18$. Это возможно при m = 19; 20; 21; ....

2) m : 5
a) Частное m : 5 будет натуральным числом, если m кратно 5, т.е. делится на 5 без остатка. Это возможно при m = 5; 10; 15; 20; ...
б) Частное m:5 будет неправильной дробью, если $m : 5 = \frac{m}{5}$ и числитель m будет больше знаменателя 5 или m=5. Это возможно при m=5; 6; 7; 8; ....
в) Частное m:5 будет правильной дробью, если $m : 5 = \frac{m}{5}$ и числитель m будет меньше знаменателя 5. Это возможно при m = 1; 2; 3; 4.

1) Рассмотрим частное $18 : m$, которое можно представить в виде дроби $\frac{18}{m}$. Предполагается, что $m$ является натуральным числом, так как деление на ноль не определено, а в контексте дробей обычно рассматриваются натуральные знаменатели.

а) Чтобы частное было натуральным числом, числитель 18 должен делиться на знаменатель $m$ без остатка. Это означает, что $m$ должно быть натуральным делителем числа 18.

Найдем все натуральные делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Ответ: $m$ может принимать значения 1, 2, 3, 6, 9, 18.

б) Чтобы частное было неправильной дробью, его числитель должен быть больше или равен знаменателю. Для дроби $\frac{18}{m}$ это условие записывается как неравенство $18 \ge m$.

Поскольку $m$ — натуральное число, оно может принимать любые целые значения от 1 до 18 включительно.

Ответ: $m$ может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

в) Чтобы частное было правильной дробью, его числитель должен быть меньше знаменателя. Для дроби $\frac{18}{m}$ это условие записывается как неравенство $18 < m$.

Следовательно, $m$ может быть любым натуральным числом, которое больше 18.

Ответ: $m$ может быть любым натуральным числом, большим 18 (например, 19, 20, 21, и так далее).

2) Теперь решим задачу для частного $m : 5$, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{5}$. Будем считать, что $m$ является натуральным числом.

а) Чтобы частное было натуральным числом, числитель $m$ должен делиться на знаменатель 5 без остатка. Это означает, что $m$ должно быть натуральным числом, кратным 5.

Ответ: $m$ может быть любым натуральным числом, которое делится на 5 (например: 5, 10, 15, 20, ...).

б) Чтобы частное было неправильной дробью, числитель $m$ должен быть больше или равен знаменателю 5. То есть, должно выполняться неравенство $m \ge 5$.

Ответ: $m$ может быть любым натуральным числом, большим или равным 5 (например: 5, 6, 7, 8, ...).

в) Чтобы частное было правильной дробью, числитель $m$ должен быть меньше знаменателя 5. То есть, должно выполняться неравенство $m < 5$.

Поскольку $m$ — натуральное число, оно может принимать значения 1, 2, 3, 4.

Ответ: $m$ может принимать значения 1, 2, 3, 4.

5.290 Составьте условие задачи по уравнению:

а) $\frac{2}{7}+y=\frac{5}{7};$

б) $n-\frac{5}{9}=\frac{2}{9};$

в) $6\frac{6}{7}-c=3.$

а)

Условие задачи: В кувшине было $\frac{2}{7}$ литра сока. Когда в него долили еще сока, в кувшине стало $\frac{5}{7}$ литра. Сколько литров сока долили в кувшин?

Решение:

Обозначим количество долитого сока через $y$. Тогда, согласно условию, мы можем составить следующее уравнение:

$\frac{2}{7} + y = \frac{5}{7}$

Чтобы найти неизвестное слагаемое $y$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$y = \frac{5}{7} - \frac{2}{7}$

$y = \frac{5 - 2}{7} = \frac{3}{7}$

Ответ: в кувшин долили $\frac{3}{7}$ литра сока.

б)

Примечание: В уравнении $n \uparrow \frac{5}{9} = \frac{2}{9}$ знак «$\uparrow$» является опечаткой и должен быть знаком вычитания «$-$».

Условие задачи: В мешке было некоторое количество муки. После того как из мешка отсыпали $\frac{5}{9}$ кг, в нём осталось $\frac{2}{9}$ кг муки. Сколько килограммов муки было в мешке первоначально?

Решение:

Обозначим первоначальное количество муки через $n$. Тогда уравнение, соответствующее задаче, будет таким:

$n - \frac{5}{9} = \frac{2}{9}$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое $n$, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$n = \frac{2}{9} + \frac{5}{9}$

$n = \frac{2 + 5}{9} = \frac{7}{9}$

Ответ: первоначально в мешке было $\frac{7}{9}$ кг муки.

в)

Условие задачи: У фермера был участок земли площадью $6\frac{6}{7}$ гектара. Он продал часть участка, и у него осталось 3 гектара земли. Какую площадь участка продал фермер?

Решение:

Обозначим площадь проданного участка через $c$. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

$6\frac{6}{7} - c = 3$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое $c$, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$c = 6\frac{6}{7} - 3$

Вычтем целые части:

$c = (6 - 3) + \frac{6}{7}$

$c = 3 + \frac{6}{7} = 3\frac{6}{7}$

Ответ: фермер продал участок площадью $3\frac{6}{7}$ гектара.