Страница 55, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.76 Вместо прямоугольников поставьте цифры так, чтобы вычитание было выполнено правильно.

2.77 Вычислите:

а) 6099 - 4379 + 2687;

б) 2454 + 3987 - 2592;

в) 4306 + 3091 - 2492;

г) 6303 - 2414 + 2839.

$\mathrm{а}) 6099 \stackrel{1}{-} 4379 \stackrel{2}{+} 2687 = 4407$

1)

2)

$\mathrm{б}) 2454 \stackrel{1}{+} 3987 \stackrel{2}{-} 2592 = 3849$

1)

2)

$\mathrm{в}) 4306 \stackrel{1}{+} 3091 \stackrel{2}{-} 2492 = 4905$

1)

2)

$\mathrm{г}) 6303 \stackrel{1}{-} 2414 \stackrel{2}{+} 2839 = 6728$

1)

2)

а) $6099 - 4379 + 2687$

Для решения этого примера выполним действия по порядку слева направо.

1. Сначала выполним вычитание: $6099 - 4379 = 1720$.

2. Затем к полученному результату прибавим $2687$: $1720 + 2687 = 4407$.

Таким образом, итоговый результат: $4407$.

Ответ: 4407.

б) $2454 + 3987 - 2592$

Для решения этого примера выполним действия по порядку слева направо.

1. Сначала выполним сложение: $2454 + 3987 = 6441$.

2. Затем из полученного результата вычтем $2592$: $6441 - 2592 = 3849$.

Таким образом, итоговый результат: $3849$.

Ответ: 3849.

в) $4306 + 3091 - 2492$

Для решения этого примера выполним действия по порядку слева направо.

1. Сначала выполним сложение: $4306 + 3091 = 7397$.

2. Затем из полученного результата вычтем $2492$: $7397 - 2492 = 4905$.

Таким образом, итоговый результат: $4905$.

Ответ: 4905.

г) $6303 - 2414 + 2839$

Для решения этого примера выполним действия по порядку слева направо.

1. Сначала выполним вычитание: $6303 - 2414 = 3889$.

2. Затем к полученному результату прибавим $2839$: $3889 + 2839 = 6728$.

Таким образом, итоговый результат: $6728$.

Ответ: 6728.

2.78 В первом вагоне поезда ехали 53 пассажира, во втором — на 7 пассажиров меньше. На станции из второго вагона вышли 14 пассажиров. Сколько всего пассажиров продолжило поездку в этих вагонах? Решите задачу двумя способами.

Способ 1:

1) 53 - 7 = 46 (п.) - было во II вагоне;

2) 46 - 14 = 32 (п.) - осталось во II вагоне;

3) 53 + 32 = 85 (п.) - продолжило поездку.

Способ 2:

1) 14 + 7 = 21 (п.) - на столько пассажиров стало меньше во II вагоне после того как из него вышли 14 человек;

2) 53 - 21 = 32 (п.) - осталось во II вагоне;

3) 53 + 32 = 85 (п.).

Ответ: 85 пассажиров.

Способ 1

1. Сначала найдем, сколько пассажиров было во втором вагоне до станции. По условию, их было на 7 меньше, чем в первом:

$53 - 7 = 46$ (пассажиров) — ехало во втором вагоне изначально.

2. Затем на станции из второго вагона вышли 14 пассажиров. Найдем, сколько пассажиров осталось во втором вагоне:

$46 - 14 = 32$ (пассажира) — осталось во втором вагоне.

3. В первом вагоне количество пассажиров не менялось и осталось равным 53. Теперь найдем общее количество пассажиров, которые продолжили поездку в двух вагонах, сложив число пассажиров в первом и оставшееся число во втором:

$53 + 32 = 85$ (пассажиров).

Ответ: 85 пассажиров.

Способ 2

1. Сначала найдем общее количество пассажиров в двух вагонах до остановки. Для этого вычислим, сколько было во втором вагоне, и прибавим к количеству пассажиров в первом:

Количество пассажиров во втором вагоне: $53 - 7 = 46$

Общее количество пассажиров: $53 + 46 = 99$ (пассажиров) — ехало в двух вагонах до станции.

2. Из общего числа пассажиров нужно вычесть тех, кто вышел на станции. По условию, вышли 14 человек из второго вагона:

$99 - 14 = 85$ (пассажиров).

Эту же логику можно представить в виде одного выражения:

$(53 + (53 - 7)) - 14 = (53 + 46) - 14 = 99 - 14 = 85$ (пассажиров).

Ответ: 85 пассажиров.

2.79 В маршрутном такси ехали 17 человек. На первой остановке из такси вышли 4 человека, а на следующей — ещё 3 человека. Сколько человек осталось в маршрутном такси? Решите задачу двумя способами.

Было - 17 человек.

Вышли на 1 остановке - 4 человека.

Вышли на 2 остановке - 3 человека.

Осталось - ?

Способ 1:

1) 17 - 4 = 13 (ч) - осталось после 1 остановки;

2) 13 - 3 = 10 (ч) - осталось.

Способ 2:

1) 4 + 3 = 7 (ч) - вышло на двух остановках;

2) 17 - 7 = 10 (ч) - осталось.

Ответ: 10 человек.

Первый способ
Решим задачу последовательно. Сначала из первоначального количества пассажиров (17) вычтем тех, кто вышел на первой остановке (4). Так мы узнаем, сколько человек осталось в такси после первой остановки.
$17 - 4 = 13$ (человек)
Далее, из получившегося количества (13) вычтем пассажиров, вышедших на следующей остановке (3), чтобы найти итоговое количество человек в такси.
$13 - 3 = 10$ (человек)
Ответ: 10 человек.

Второй способ
Сначала найдем общее количество человек, которые вышли из такси на двух остановках. Для этого сложим количество вышедших на первой (4) и второй (3) остановках.
$4 + 3 = 7$ (человек)
Теперь, зная, что всего вышло 7 человек, вычтем это общее число из первоначального количества пассажиров (17).
$17 - 7 = 10$ (человек)
Ответ: 10 человек.

2.80 На полке в библиотеке было 46 книг. Из них 13 книг выдали читателям, а 16 прочитанных книг поставили на полку. Сколько стало книг на полке? Решите задачу двумя способами.

Было - 46 книг
Выдали - 13 кг
Поставили - 16 книг
Стало - ?

Способ 1:

1) 46 - 13 = 33 (кн.) осталось после того как выдали читателям;
2) 33 + 16 = 49 (кн.) - стало.

Способ 2:

1) 16 - 13 = 3 (кн.) - на столько книг стало больше на полке после всех изменений;
2) 46 + 3 = 49 (кн.) - стало.

Ответ: 49 книг.

Первый способ (пошаговое решение)

Этот способ предполагает выполнение действий в том порядке, в котором они происходили.

1. Сначала определим, сколько книг осталось на полке после того, как 13 книг забрали читатели. Для этого из начального количества вычтем количество выданных книг:

$46 - 13 = 33$ (книги)

2. Затем к оставшимся на полке 33 книгам добавим те 16, которые вернули на полку:

$33 + 16 = 49$ (книг)

Ответ: 49 книг.

Второй способ (решение выражением)

Этот способ заключается в составлении одного числового выражения, которое отражает все изменения количества книг.

1. Начальное количество книг — 46. Из него нужно вычесть 13 книг и прибавить 16 книг. Запишем это в виде одного выражения:

$46 - 13 + 16$

2. Выполним вычисления по порядку:

$46 - 13 + 16 = 33 + 16 = 49$ (книг)

Также можно было сначала сложить, а потом вычесть:

$46 + 16 - 13 = 62 - 13 = 49$ (книг)

Ответ: 49 книг.

2.81 Вычислите наиболее удобным способом:

а) 4279 - (1279 + 1360);

б) (2143 + 4968) - 1143;

в) 4287 + 5374 - 2374;

г) 2125 + (3970 - 2775).

а) 4279 - (1279 + 1360) = $(4279 \stackrel{3000}{-} 1279)$ - 1360 = 3000 - 1360 = 1640;

б) (2143 + 4968) - 1143 = $(2143 \stackrel{1000}{-} 1143)$ + 4968 = 1000 + 4968 = 5968;

в) 4287 + 5374 - 2374 = 4287 + $(5374 \stackrel{3000}{-} 2374)$ = 4287 + 3000 = 7287;

г) 2125 + (3970 - 2775) = (2125 + 3970) - 2775 = 3320;

1)

2)

2.82 Точки К и Р лежат на отрезке MN, длина которого 47 см. Точка Р лежит между точками К и N. Найдите длину отрезка КР, если:

а) МК = 13 см, PN = 18 см;

б) МР = 34 см, KN = 18 см.

MN = 47 см
MK = 13 см
PN = 18 см

1) 13 + 18 = 31 (см) - длина отрезка MK и PN;
2) 47 - 31 = 16 (см) - длина KP.

MN = 47 см
MP = 34 см
KN = 18 см

1) 47 - 34 = 13 (см) - длина отрезка PN;
2) 18 - 13 = 5 (см) - длина KP.

Ответ: а) 16 см; б) 5 см.

По условию задачи, точки K и P лежат на отрезке MN, длина которого составляет $MN = 47$ см. Точка P лежит между точками K и N. Это означает, что точки на прямой расположены в последовательности M, K, P, N.

Из расположения точек следует, что длина всего отрезка MN является суммой длин его частей: $MN = MK + KP + PN$. Мы будем использовать это свойство для решения задачи.

а)

Нам известны длины отрезков $MK = 13$ см и $PN = 18$ см. Требуется найти длину отрезка KP.

Воспользуемся основным свойством длины отрезка: $MN = MK + KP + PN$

Чтобы найти KP, выразим его из формулы: $KP = MN - MK - PN$

Подставим числовые значения: $KP = 47 - 13 - 18 = 34 - 18 = 16$ см.

Ответ: 16 см.

б)

Нам известны длины отрезков $MP = 34$ см и $KN = 18$ см. Требуется найти длину отрезка KP.

Рассмотрим отрезки MP и KN. Они состоят из следующих частей: $MP = MK + KP$ $KN = KP + PN$

Сложим длины этих двух отрезков: $MP + KN = (MK + KP) + (KP + PN) = MK + 2 \cdot KP + PN$

Мы можем перегруппировать слагаемые, чтобы выделить длину всего отрезка MN: $MP + KN = (MK + KP + PN) + KP$

Поскольку $MK + KP + PN = MN$, получаем: $MP + KN = MN + KP$

Теперь выразим искомую длину KP: $KP = MP + KN - MN$

Подставим известные значения: $KP = 34 + 18 - 47 = 52 - 47 = 5$ см.

Ответ: 5 см.

2.83 Найдите периметр прямоугольного участка, если ширина участка 317 м, а длина на 118 м больше ширины.

1) 317 + 118 = 435 (м) - длина

2) (317 + 435) 2 = 1504 (м) - периметр

Ответ: 1504 м.

Для того чтобы найти периметр прямоугольного участка, необходимо сначала определить его длину, а затем использовать формулу для расчёта периметра.

1. Вычисление длины участка
Известно, что ширина участка составляет 317 м. Длина на 118 м больше ширины. Следовательно, чтобы найти длину, нужно к значению ширины прибавить 118 м.
Длина = $317 \text{ м} + 118 \text{ м} = 435 \text{ м}$.

2. Вычисление периметра участка
Периметр прямоугольника ($P$) находится по формуле $P = 2 \cdot (a + b)$, где $a$ — это длина, а $b$ — это ширина.
Мы знаем, что длина ($a$) равна 435 м, а ширина ($b$) — 317 м.
Подставляем эти значения в формулу:
$P = 2 \cdot (435 + 317)$
Сначала вычисляем сумму в скобках:
$435 + 317 = 752 \text{ м}$
Затем умножаем результат на 2, чтобы найти периметр:
$P = 2 \cdot 752 = 1504 \text{ м}$.

Ответ: 1504 м.

2.84 Периметр пятиугольника MNPQS равен 204 см. Стороны MN и MS равны по 51 см, сторона NP короче стороны MN на 16 см, но длиннее стороны PQ на 7 см. Найдите сторону MQ.

1) 51 - 16 = 35 (см) - NP;

2) 35 - 7 = 28 (см) - PQ;

$3) 51 \stackrel{102}{+} 51 + 35 \stackrel{63}{+} 28 =$102 + 63 = 165 (см) - сумма длин сторон MN, MS, NP и PQ;

4) 204 - 165 =39 (см).

Ответ: 39 см.

Периметр пятиугольника MNPQS равен сумме длин всех его сторон: $P = MN + NP + PQ + QS + SM$.

Согласно условию задачи:

Периметр $P = 204$ см.

Стороны MN и SM равны по 51 см (в условии указано MS, что является той же стороной, что и SM). Таким образом, $MN = 51$ см и $SM = 51$ см.

Сторона NP короче стороны MN на 16 см. Вычислим ее длину:

$NP = MN - 16 = 51 - 16 = 35$ см.

Сторона NP длиннее стороны PQ на 7 см. Это значит, что сторона PQ короче стороны NP на 7 см. Вычислим длину PQ:

$PQ = NP - 7 = 35 - 7 = 28$ см.

Теперь нам известны длины четырех из пяти сторон: $MN = 51$ см, $NP = 35$ см, $PQ = 28$ см, $SM = 51$ см. Осталось найти последнюю сторону — QS. В вопросе "Найдите сторону MQ" содержится опечатка, так как MQ не является стороной пятиугольника MNPQS. Требуется найти длину стороны QS.

Для нахождения длины стороны QS вычтем из периметра сумму длин всех известных сторон:

$QS = P - (MN + NP + PQ + SM)$

$QS = 204 - (51 + 35 + 28 + 51)$

Сумма длин известных сторон равна:

$51 + 35 + 28 + 51 = 165$ см.

Вычисляем длину QS:

$QS = 204 - 165 = 39$ см.

Ответ: 39 см.

2.85 Четыре бригады собирали на поле картофель. Первая бригада собрала на 210 кг больше, чем вторая, и на 120 кг больше, чем третья. Третья бригада собрала на 230 кг меньше, чем четвёртая. Сколько килограммов картофеля собрали четыре бригады вместе, если первая бригада собрала 840 кг?

1) 840 - 210 = 630 (кг) — собрала II бригада

2) 840 - 120 = 720 (кг) — собрала III бригада

3) 720 + 230 = 850 (кг) — собрала IV бригада

4) 840 + 630 + 720 + 950 = (630 + 720) + 950 + 840 = 3140 (кг)

Ответ: 3140 кг.

Для решения этой задачи нужно последовательно найти, сколько килограммов картофеля собрала каждая бригада, а затем сложить полученные результаты.

1. Найдём, сколько картофеля собрала вторая бригада.
Известно, что первая бригада собрала 840 кг, и это на 210 кг больше, чем собрала вторая. Следовательно, вторая бригада собрала на 210 кг меньше, чем первая.
$840 - 210 = 630$ (кг) — собрала вторая бригада.

2. Найдём, сколько картофеля собрала третья бригада.
Первая бригада собрала на 120 кг больше, чем третья. Значит, третья бригада собрала на 120 кг меньше, чем первая.
$840 - 120 = 720$ (кг) — собрала третья бригада.

3. Найдём, сколько картофеля собрала четвёртая бригада.
Третья бригада собрала 720 кг, что на 230 кг меньше, чем четвёртая. Это означает, что четвёртая бригада собрала на 230 кг больше, чем третья.
$720 + 230 = 950$ (кг) — собрала четвёртая бригада.

4. Найдём общее количество картофеля.
Теперь сложим массу картофеля, собранную всеми четырьмя бригадами:
$840$ (первая) $+ 630$ (вторая) $+ 720$ (третья) $+ 950$ (четвёртая) $= 3140$ (кг).

Ответ: четыре бригады вместе собрали 3140 кг картофеля.

2.86 Разбираемся в решении. В соревнованиях по бегу Михаил, Денис, Сергей, Антон и Вадим заняли места со второго по шестое. Михаил отстал от Дениса на 10с. Сергей финишировал на 27с раньше Дениса, но позже Вадима на 19с. Антон обогнал Вадима на 11с, но отстал от победителя на 9с. Какие места заняли мальчики и на сколько позже победителя финишировали?

Решение. Составим схему для решения задачи. Отметим точками на схеме Михаила, Дениса, Сергея, Антона, Вадима и победителя:

На схеме будем ставить стрелку $\stackrel{\mathrm{отстал}}{\to }$ от одного участника к другому и указывать время отставания.

Михаил отстал от Дениса на 10с, а Сергей финишировал раньше Дениса на 27с, значит, Денис отстал от Сергея на 27с:

Сергей финишировал позже Вадима (отстал) на 19 с:

Антон обогнал Вадима на 11 с, поэтому Вадим отстал от Антона на 11 с, а Антон отстал от победителя на 9 с:

На схеме видно, что первым после победителя финишировал Антон с отставанием от него на 9с, за ним — Вадим с отставанием от победителя на 9с+11с=20с, Сергей финишировал с отставанием 20с+19с=39с. Затем Денис, который отстал от победителя на 39с+27с=1 мин 6с. И затем финишировал Михаил, который отстал от победителя на 1 мин 16с.

Антон занял второе место, Вадим — третье, Сергей — четвёртое, Денис — пятое, а Михаил — шестое.

Решение разобрано в учебнике.

Ответ:
Антон – 2-е место;
Вадим – 3-е место;
Сергей – 4-е место;
Денис – 5-е место;
Михаил – 6-е место.

Для решения задачи определим время финиша каждого участника относительно времени финиша победителя. Примем время победителя за точку отсчета (0 секунд) и последовательно рассчитаем, на сколько позже него финишировал каждый из мальчиков.

1. Начнем с Антона. По условию, Антон отстал от победителя на 9 с. Таким образом, его время отставания $T_{Антон} = 9$ с.

2. Далее рассмотрим Вадима. Сказано, что Антон обогнал Вадима на 11 с, это означает, что Вадим финишировал на 11 секунд позже Антона. Рассчитаем время отставания Вадима от победителя:

$T_{Вадим} = T_{Антон} + 11 \text{ с} = 9 \text{ с} + 11 \text{ с} = 20$ с.

3. Теперь определим время Сергея. Сергей финишировал позже Вадима на 19 с. Следовательно, его время отставания от победителя равно:

$T_{Сергей} = T_{Вадим} + 19 \text{ с} = 20 \text{ с} + 19 \text{ с} = 39$ с.

4. Перейдем к Денису. Сергей финишировал на 27 с раньше Дениса, что означает, что Денис финишировал на 27 секунд позже Сергея. Время отставания Дениса от победителя:

$T_{Денис} = T_{Сергей} + 27 \text{ с} = 39 \text{ с} + 27 \text{ с} = 66$ с.

5. Наконец, рассчитаем время Михаила. Михаил отстал от Дениса на 10 с. Его итоговое время отставания от победителя составляет:

$T_{Михаил} = T_{Денис} + 10 \text{ с} = 66 \text{ с} + 10 \text{ с} = 76$ с.

Теперь, зная время отставания каждого мальчика от победителя, мы можем определить занятые ими места. Места распределяются в порядке увеличения времени отставания: чем меньше время, тем выше место. Поскольку по условию мальчики заняли места со второго по шестое, мы получаем следующий результат.

Какие места заняли мальчики и на сколько позже победителя финишировали

- 2-е место: Антон, отставший от победителя на 9 с.
- 3-е место: Вадим, отставший от победителя на 20 с.
- 4-е место: Сергей, отставший от победителя на 39 с.
- 5-е место: Денис, отставший от победителя на 66 с (что составляет 1 минуту 6 секунд).
- 6-е место: Михаил, отставший от победителя на 76 с (что составляет 1 минуту 16 секунд).

Ответ: Антон занял второе место с отставанием от победителя на 9 с; Вадим — третье место (отставание 20 с); Сергей — четвёртое место (отставание 39 с); Денис — пятое место (отставание 66 с, или 1 мин 6 с); Михаил — шестое место (отставание 76 с, или 1 мин 16 с).

5.310 Используя циферблат часов на рисунке 5.54, объясните, почему равны дроби:

N. 5.310

a) $\frac{1}{6} = \frac{2}{12} = \frac{10}{60}$
Циферблат часов разделён на 60 равных частей (мин) и 10 частей (мин) взяли. Значит, $\frac{10}{60}$ = 10 мин.
Если циферблат часов разделить на 6 равных частей и взять одну из них, то получим, что $\frac{1}{6} = 60\text{мин} : 6 · 1 = 10\text{мин}$.
Если циферблат часов разделить на 12 равных частей и взять 2 из них, то получим, что $\frac{2}{12} = 60\text{мин} : 12 · 2 = 10\text{мин}$.
Значит, $\frac{1}{6} = \frac{2}{12} = \frac{10}{60}$ = 10 мин.

б) $\frac{1}{2} = \frac{6}{12} = \frac{30}{60}$
Циферблат часов разделён на 60 равных частей (мин) и 30 частей (мин) взяли. Значит, $\frac{30}{60}$ = 30 мин.
Если циферблат часов разделить на 2 равные части и взять одну из них, то получим, что $\frac{1}{2} = 60\text{мин} : 2 · 1 = 30\text{мин}$.
Если циферблат часов разделить на 12 равных частей и взять 6 из них, то получим, что $\frac{6}{12} = 60\text{мин} : 12 · 6 = 30\text{мин}$.
Значит, $\frac{1}{2} = \frac{6}{12} = \frac{30}{60}$ = 30 мин.

в) $\frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{50}{60}$
Если циферблат часов разделить на 60 равных частей (мин) из них взять, то $\frac{50}{60}$ = 50 мин.
Если циферблат часов разделить на 6 равных частей и взять 5 из них, то получим, что $\frac{5}{6} = 60\text{мин} : 6 · 5 = 50\text{мин}$.
Если циферблат часов разделить на 12 равных частей и взять 10 из них, то получим, что $\frac{10}{12} = 60\text{мин} : 12 · 10 = 50\text{мин}$.
Значит, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12} = \frac{50}{60}$ = 50 мин.

г) $\frac{1}{3} = \frac{4}{12} = \frac{20}{60}$
Циферблат часов разделён на 60 равных частей (мин) и 20 частей (мин) взяли. Значит, $\frac{20}{60}$ = 20 мин.
Если циферблат часов разделить на 3 равные части и взять одну из них, то получим, что $\frac{1}{3} = 60\text{мин} : 3 · 1 = 20\text{мин}$.
Если циферблат часов разделить на 12 равных частей и взять 4 из них, то получим, что $\frac{4}{12} = 60\text{мин} : 12 · 4 = 20\text{мин}$.
Значит, $\frac{1}{3} = \frac{4}{12} = \frac{20}{60}$ = 20 мин.

а) Циферблат часов можно рассматривать как единое целое, представляющее один час. Он разделен на 12 больших делений (часов) и 60 малых делений (минут). На рисунке а стрелка указывает на цифру 2. Это положение соответствует 10-й минуте из 60, что записывается дробью $\frac{10}{60}$. Также это положение соответствует 2-му часовому делению из 12, что записывается дробью $\frac{2}{12}$. Если сократить обе дроби, мы получим $\frac{1}{6}$: $\frac{10 \div 10}{60 \div 10} = \frac{1}{6}$ и $\frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6}$. Следовательно, все три дроби обозначают одну и ту же часть циферблата.
Ответ: Дроби равны, так как $\frac{10}{60}$ (10 минут из 60), $\frac{2}{12}$ (2 часа из 12 на циферблате) и $\frac{1}{6}$ представляют собой одно и то же значение, равное одной шестой части полного оборота стрелки.

б) На рисунке б стрелка указывает на цифру 6. Это соответствует 30-й минуте из 60, что равно дроби $\frac{30}{60}$. Также это 6-е часовое деление из 12, что равно дроби $\frac{6}{12}$. Визуально стрелка прошла ровно половину циферблата, что соответствует дроби $\frac{1}{2}$. При сокращении дробей $\frac{30}{60}$ и $\frac{6}{12}$ также получается $\frac{1}{2}$: $\frac{30 \div 30}{60 \div 30} = \frac{1}{2}$ и $\frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$. Таким образом, все три дроби равны.
Ответ: Дроби равны, так как $\frac{30}{60}$ (30 минут из 60), $\frac{6}{12}$ (6 часов из 12 на циферблате) и $\frac{1}{2}$ представляют собой одно и то же значение, равное половине полного оборота стрелки.

в) На рисунке в стрелка указывает на цифру 10. Это соответствует 50-й минуте из 60, что записывается дробью $\frac{50}{60}$. Это также 10-е часовое деление из 12, что записывается дробью $\frac{10}{12}$. Сократив обе дроби, мы получим $\frac{5}{6}$: $\frac{50 \div 10}{60 \div 10} = \frac{5}{6}$ и $\frac{10 \div 2}{12 \div 2} = \frac{5}{6}$. Это доказывает, что все три дроби представляют одну и ту же часть циферблата.
Ответ: Дроби равны, так как $\frac{50}{60}$ (50 минут из 60), $\frac{10}{12}$ (10 часов из 12 на циферблате) и $\frac{5}{6}$ представляют собой одно и то же значение, равное пяти шестым частям полного оборота стрелки.

г) На рисунке г стрелка указывает на цифру 4. Это соответствует 20-й минуте из 60, что равно дроби $\frac{20}{60}$. Также это 4-е часовое деление из 12, что равно дроби $\frac{4}{12}$. Если сократить обе дроби, получится $\frac{1}{3}$: $\frac{20 \div 20}{60 \div 20} = \frac{1}{3}$ и $\frac{4 \div 4}{12 \div 4} = \frac{1}{3}$. Таким образом, все три дроби обозначают одно и то же положение на циферблате.
Ответ: Дроби равны, так как $\frac{20}{60}$ (20 минут из 60), $\frac{4}{12}$ (4 часа из 12 на циферблате) и $\frac{1}{3}$ представляют собой одно и то же значение, равное одной трети полного оборота стрелки.

5.311 Поясните, используя циферблат часов, почему:

а) Пояснение равенства $ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} = \frac{15}{60} $ с использованием циферблата:

Представим, что циферблат часов — это единое целое (один круг или один час). На циферблате есть деления для часов и для минут.

• Дробь $ \frac{1}{4} $ означает одну четверть. Если разделить циферблат на 4 равные части, то одна четверть — это сектор от 12 до 3. Мы часто говорим "четверть часа".

• Дробь $ \frac{3}{12} $ означает 3 части из 12. На циферблате 12 часовых делений. 3 часа из 12 — это сектор, который часовая стрелка проходит от 12 до 3. Этот сектор в точности равен одной четверти циферблата.

• Дробь $ \frac{15}{60} $ означает 15 частей из 60. На циферблате 60 минутных делений. 15 минут — это время, за которое минутная стрелка проходит от 12 до 3. Этот сектор также равен одной четверти циферблата.

Таким образом, все три дроби описывают один и тот же сектор на циферблате, а значит, они равны между собой.

Ответ: $ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} = \frac{15}{60} $.

б) Пояснение равенства $ \frac{3}{4} = \frac{9}{12} = \frac{45}{60} $ с использованием циферблата:

Снова представим циферблат как единое целое.

• Дробь $ \frac{3}{4} $ означает три четверти. Если разделить циферблат на 4 равные части и взять три из них, начиная от 12, то мы получим сектор от 12 до 9 (пройдя через 3 и 6). Мы говорим "три четверти часа".

• Дробь $ \frac{9}{12} $ означает 9 частей из 12. На циферблате 12 часовых делений. 9 часов из 12 — это сектор, который стрелка проходит от 12 до 9. Этот сектор в точности равен трем четвертям циферблата.

• Дробь $ \frac{45}{60} $ означает 45 частей из 60. На циферблате 60 минутных делений. 45 минут — это время, за которое минутная стрелка проходит от 12 до 9 (так как $ 9 \times 5 = 45 $). Этот сектор также равен трем четвертям циферблата.

Следовательно, все три дроби описывают один и тот же сектор на циферблате, равный трем четвертям круга, и поэтому они равны.

Ответ: $ \frac{3}{4} = \frac{9}{12} = \frac{45}{60} $.

5.312 Проведите равные отрезки MN и РК длиной 9 см. Отложите 23 отрезка MN от точки М и поставьте точку А. Отложите 69 отрезка РК от точки К и поставьте точку S. Сравните с помощью циркуля отрезки МА и KS. Сделайте вывод.

N.5.312

$\mathrm{MN} = \mathrm{PK} = 9\text{см}$

$\mathrm{MA} = \frac{2}{3}\mathrm{MN}$

$\mathrm{KS} = \frac{6}{9}\mathrm{PK}$

Если сравнивать с помощью циркуля, то$\mathrm{MA} = \mathrm{KS}$. Значит,$\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$

Для решения задачи выполним последовательно все указанные действия.

1. Вычисление длины отрезка MA

По условию задачи, длина отрезка $MN$ равна $9$ см. Нам нужно отложить от точки $M$ отрезок $MA$, длина которого составляет $\frac{2}{3}$ от длины отрезка $MN$.

Вычислим длину отрезка $MA$:

$MA = \frac{2}{3} \times MN = \frac{2}{3} \times 9 \text{ см} = \frac{2 \times 9}{3} \text{ см} = \frac{18}{3} \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: Длина отрезка $MA$ составляет $6$ см.

2. Вычисление длины отрезка KS

По условию, длина отрезка $PK$ также равна $9$ см. Нам нужно отложить от точки $K$ отрезок $KS$, длина которого составляет $\frac{6}{9}$ от длины отрезка $PK$.

Вычислим длину отрезка $KS$:

$KS = \frac{6}{9} \times PK = \frac{6}{9} \times 9 \text{ см} = \frac{6 \times 9}{9} \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: Длина отрезка $KS$ составляет $6$ см.

3. Сравнение отрезков MA и KS и вывод

Мы вычислили, что длина отрезка $MA$ равна $6$ см и длина отрезка $KS$ также равна $6$ см. Таким образом, $MA = KS$.

Если сравнить эти отрезки с помощью циркуля, то, измерив отрезок $MA$ (установив ножки циркуля на точки $M$ и $A$) и приложив циркуль к отрезку $PK$ так, чтобы одна ножка была в точке $K$, вторая ножка совпадет с точкой $S$. Это подтверждает, что отрезки равны.

Вывод: Отрезки $MA$ и $KS$ равны, потому что они представляют собой равные части от изначально равных отрезков. Дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{6}{9}$ являются равными, так как дробь $\frac{6}{9}$ можно сократить на $3$:

$\frac{6}{9} = \frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$.

Поскольку мы берем равные доли ($\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$) от равных отрезков ($MN = PK = 9$ см), то и результирующие отрезки ($MA$ и $KS$) будут равны.

Ответ: Отрезки $MA$ и $KS$ равны, их длина составляет 6 см. Равенство отрезков объясняется тем, что они являются равными долями ($\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$) от изначально равных отрезков.

5.313 Приняв за единичный отрезок 12 см, начертите координатную прямую. Отметьте на этой координатной прямой точки с координатами

Какие из этих координат соответствуют одной и той же точке? Запишите соответствующие равенства.

$\frac{1}{8}$$\frac{2}{8}$$\frac{3}{8}$$\frac{4}{8}$$\frac{5}{8}$$\frac{6}{8}$$\frac{7}{8}$

0$\frac{1}{12}$$\frac{2}{12}$$\frac{3}{12}$$\frac{4}{12}$$\frac{5}{12}$$\frac{6}{12}$$\frac{7}{12}$$\frac{8}{12}$$\frac{9}{12}$$\frac{10}{12}$$\frac{11}{12}$1

$\frac{1}{4}$$\frac{3}{4}$

$\frac{1}{4} = \frac{2}{8} = \frac{3}{12}$

$\frac{3}{4} = \frac{6}{8} = \frac{9}{12}$

Приняв за единичный отрезок 12 см, начертите координатную прямую. Отметьте на этой координатной прямой точки с координатами.

Для построения координатной прямой с единичным отрезком в 12 см, мы сначала начертим луч, на котором отметим начало координат — точку 0. Точка с координатой 1 будет находиться на расстоянии 12 см от точки 0.

Чтобы отметить на этой прямой точку с дробной координатой, необходимо умножить значение дроби на длину единичного отрезка (12 см). Расстояние $d$ от начала координат до точки с координатой $x$ вычисляется по формуле: $d = x \times 12$ см.

Рассчитаем расстояние для каждой из заданных координат:

• Координаты со знаменателем 12:
  • $\frac{1}{12}$: расстояние $\frac{1}{12} \times 12 = 1$ см
  • $\frac{2}{12}$: расстояние $\frac{2}{12} \times 12 = 2$ см
  • $\frac{3}{12}$: расстояние $\frac{3}{12} \times 12 = 3$ см
  • $\frac{4}{12}$: расстояние $\frac{4}{12} \times 12 = 4$ см
  • $\frac{5}{12}$: расстояние $\frac{5}{12} \times 12 = 5$ см
  • $\frac{6}{12}$: расстояние $\frac{6}{12} \times 12 = 6$ см
  • $\frac{7}{12}$: расстояние $\frac{7}{12} \times 12 = 7$ см
  • $\frac{8}{12}$: расстояние $\frac{8}{12} \times 12 = 8$ см
  • $\frac{9}{12}$: расстояние $\frac{9}{12} \times 12 = 9$ см
  • $\frac{10}{12}$: расстояние $\frac{10}{12} \times 12 = 10$ см
  • $\frac{11}{12}$: расстояние $\frac{11}{12} \times 12 = 11$ см
• Координаты со знаменателем 8:
  • $\frac{1}{8}$: расстояние $\frac{1}{8} \times 12 = \frac{12}{8} = 1.5$ см
  • $\frac{2}{8}$: расстояние $\frac{2}{8} \times 12 = \frac{24}{8} = 3$ см
  • $\frac{3}{8}$: расстояние $\frac{3}{8} \times 12 = \frac{36}{8} = 4.5$ см
  • $\frac{4}{8}$: расстояние $\frac{4}{8} \times 12 = \frac{48}{8} = 6$ см
  • $\frac{5}{8}$: расстояние $\frac{5}{8} \times 12 = \frac{60}{8} = 7.5$ см
  • $\frac{6}{8}$: расстояние $\frac{6}{8} \times 12 = \frac{72}{8} = 9$ см
  • $\frac{7}{8}$: расстояние $\frac{7}{8} \times 12 = \frac{84}{8} = 10.5$ см
• Координаты со знаменателем 4:
  • $\frac{1}{4}$: расстояние $\frac{1}{4} \times 12 = 3$ см
  • $\frac{3}{4}$: расстояние $\frac{3}{4} \times 12 = 9$ см

Начертив прямую и отметив на ней начало координат 0, с помощью линейки отложите вычисленные расстояния и отметьте соответствующие точки, подписав над ними их координаты.

Ответ: Для нанесения точек на координатную прямую необходимо отложить от точки 0 отрезки, длины которых равны произведению координаты точки на 12 см. Например, точка с координатой $\frac{1}{12}$ будет расположена на расстоянии 1 см от начала, точка $\frac{2}{8}$ — на расстоянии 3 см, а точка 1 — на расстоянии 12 см.

Какие из этих координат соответствуют одной и той же точке? Запишите соответствующие равенства.

Одной и той же точке на координатной прямой соответствуют равные дроби. Чтобы найти такие координаты, мы можем сравнить вычисленные в предыдущем пункте расстояния или привести все дроби к их несократимому виду.

Сравнивая расстояния, мы видим, что некоторые точки совпадают:

• На расстоянии 3 см от начала координат находятся точки с координатами $\frac{3}{12}$, $\frac{2}{8}$ и $\frac{1}{4}$.
• На расстоянии 6 см от начала координат находятся точки с координатами $\frac{6}{12}$ и $\frac{4}{8}$.
• На расстоянии 9 см от начала координат находятся точки с координатами $\frac{9}{12}$, $\frac{6}{8}$ и $\frac{3}{4}$.

Чтобы подтвердить это, приведем дроби к несократимому виду:

• $\frac{3}{12} = \frac{3 \div 3}{12 \div 3} = \frac{1}{4}$; $\frac{2}{8} = \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4}$. Значит, $\frac{3}{12} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
• $\frac{6}{12} = \frac{6 \div 6}{12 \div 6} = \frac{1}{2}$; $\frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2}$. Значит, $\frac{6}{12} = \frac{4}{8}$.
• $\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$; $\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$. Значит, $\frac{9}{12} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Ответ:
Одной и той же точке соответствуют следующие группы координат:
1) $\frac{3}{12}$, $\frac{2}{8}$, $\frac{1}{4}$
2) $\frac{6}{12}$, $\frac{4}{8}$
3) $\frac{9}{12}$, $\frac{6}{8}$, $\frac{3}{4}$
Соответствующие равенства:
$\frac{3}{12} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$\frac{6}{12} = \frac{4}{8}$
$\frac{9}{12} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

5.314 Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби 14, 26, 429, 4150 на 4. Запишите соответствующие равенства.

Для решения этой задачи используется основное свойство дроби, которое гласит, что если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится. В данном случае мы умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на 4.

$\frac{1}{4}$

Умножим числитель (1) и знаменатель (4) на 4:

$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{4}{16}$

Ответ: $\frac{1}{4} = \frac{4}{16}$.

$\frac{2}{6}$

Умножим числитель (2) и знаменатель (6) на 4:

$\frac{2}{6} = \frac{2 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{8}{24}$

Ответ: $\frac{2}{6} = \frac{8}{24}$.

$\frac{42}{9}$

Умножим числитель (42) и знаменатель (9) на 4:

$\frac{42}{9} = \frac{42 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{168}{36}$

Ответ: $\frac{42}{9} = \frac{168}{36}$.

$\frac{41}{50}$

Умножим числитель (41) и знаменатель (50) на 4:

$\frac{41}{50} = \frac{41 \cdot 4}{50 \cdot 4} = \frac{164}{200}$

Ответ: $\frac{41}{50} = \frac{164}{200}$.

5.315 Найдите, сколько двадцать четвёртых долей в 112, 18, 46, 78, 23.

Найдём натуральное число, на которое нужно умножить числитель и знаменатель данной дроби, чтобы получить дробь со знаменателем 24.

24 : 12 = 2

24 : 8 = 3

→ Так как 1см = 2 клетки тетради, то

263 12см = 24 клетки тетради (12·2 = 24)

24 : 12 = 2 клетки - 1 часть

2 · 1 = 2 клетки - $\frac{1}{12}$

2 · 2 = 4 клетки - $\frac{2}{12}$

2 · 3 = 6 клеток - $\frac{3}{12}$

2 · 4 = 8 клеток - $\frac{4}{12}$

2 · 5 = 10 клеток - $\frac{5}{12}$

2 · 6 = 12 клеток - $\frac{6}{12}$

2 · 7 = 14 клеток - $\frac{7}{12}$

2 · 8 = 16 клеток - $\frac{8}{12}$

2 · 9 = 18 клеток - $\frac{9}{12}$

2 · 10 = 20 клеток - $\frac{10}{12}$

2 · 11 = 22 клетки - $\frac{11}{12}$

24 : 8 = 3 клетки - 1 часть

3 · 1 = 3 клетки - $\frac{1}{8}$

3 · 2 = 6 клеток - $\frac{2}{8}$

3 · 3 = 9 клеток - $\frac{3}{8}$

3 · 4 = 12 клеток - $\frac{4}{8}$

3 · 5 = 15 клеток - $\frac{5}{8}$

3 · 6 = 18 клеток - $\frac{6}{8}$

3 · 7 = 21 клетка - $\frac{7}{8}$

24 : 4 = 6 клеток - 1 часть

6 · 1 = 6 клеток - $\frac{1}{4}$

6 · 3 = 18 клеток - $\frac{3}{4}$

24 : 6 = 4

24 : 8 = 3

24 : 3 = 8

Чтобы найти, сколько двадцать четвёртых долей (то есть долей вида $\frac{1}{24}$) содержится в каждой из данных дробей, нужно привести каждую дробь к знаменателю 24. Числитель полученной дроби и будет искомым количеством долей.

Для дроби $\frac{1}{12}$

Чтобы привести дробь $\frac{1}{12}$ к знаменателю 24, необходимо умножить её числитель и знаменатель на 2:

$\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{2}{24}$

Это означает, что в дроби $\frac{1}{12}$ содержится 2 двадцать четвёртых доли.

Ответ: 2

Для дроби $\frac{1}{8}$

Чтобы привести дробь $\frac{1}{8}$ к знаменателю 24, необходимо умножить её числитель и знаменатель на 3:

$\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24}$

Это означает, что в дроби $\frac{1}{8}$ содержится 3 двадцать четвёртых доли.

Ответ: 3

Для дроби $\frac{4}{6}$

Чтобы привести дробь $\frac{4}{6}$ к знаменателю 24, необходимо умножить её числитель и знаменатель на 4:

$\frac{4}{6} = \frac{4 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{16}{24}$

Это означает, что в дроби $\frac{4}{6}$ содержится 16 двадцать четвёртых долей.

Ответ: 16

Для дроби $\frac{7}{8}$

Чтобы привести дробь $\frac{7}{8}$ к знаменателю 24, необходимо умножить её числитель и знаменатель на 3:

$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{21}{24}$

Это означает, что в дроби $\frac{7}{8}$ содержится 21 двадцать четвёртая доля.

Ответ: 21

Для дроби $\frac{2}{3}$

Чтобы привести дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 24, необходимо умножить её числитель и знаменатель на 8:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{16}{24}$

Это означает, что в дроби $\frac{2}{3}$ содержится 16 двадцать четвёртых долей.

Ответ: 16

5.316 Верно ли равенство:

а) $\frac{5}{7} = \frac{5 · 2}{7 · 2} = \frac{10}{14}$ верно

б) $\frac{11}{250} = \frac{11 · 5}{250 · 5} = \frac{55}{1250}$

Значит, $\frac{55}{1000} = \frac{11}{250}$ - неверно

в) $\frac{11}{200} = \frac{11 · 5}{200 · 5} = \frac{55}{1000}$ - верно

а) Проверим равенство $\frac{5}{7} = \frac{10}{14}$.

Чтобы проверить равенство, можно упростить (сократить) правую часть. Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{10}{14}$ на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$\frac{10 \div 2}{14 \div 2} = \frac{5}{7}$

Мы получили, что $\frac{5}{7} = \frac{5}{7}$. Следовательно, равенство верно.

Другой способ проверки — перекрестное умножение. Равенство $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ верно, если $a \times d = b \times c$.

$5 \times 14 = 70$

$7 \times 10 = 70$

Поскольку $70 = 70$, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

б) Проверим равенство $\frac{55}{1000} = \frac{11}{250}$.

Сократим левую часть равенства. Наибольший общий делитель для числителя 55 и знаменателя 1000 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{55 \div 5}{1000 \div 5} = \frac{11}{200}$

Сравним результат с правой частью исходного равенства: $\frac{11}{200} \neq \frac{11}{250}$. Дроби с одинаковыми числителями равны только если равны их знаменатели. Здесь знаменатели $200$ и $250$ не равны. Следовательно, равенство неверно.

Проверим перекрестным умножением:

$55 \times 250 = 13750$

$1000 \times 11 = 11000$

Поскольку $13750 \neq 11000$, равенство неверно.

Ответ: нет, равенство неверно.

в) Проверим равенство $\frac{55}{1000} = \frac{11}{200}$.

Сократим левую часть равенства, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 5:

$\frac{55 \div 5}{1000 \div 5} = \frac{11}{200}$

Мы получили, что $\frac{11}{200} = \frac{11}{200}$. Следовательно, равенство верно.

Проверим перекрестным умножением:

$55 \times 200 = 11000$

$1000 \times 11 = 11000$

Поскольку $11000 = 11000$, равенство верно.

Ответ: да, равенство верно.

5.317 Запишите в виде обыкновенных дробей частные 3 : 5, 14 : 33, 30 : 50 и 6 : 13. Какие из полученных дробей равны?

Запишите в виде обыкновенных дробей частные 3 : 5, 14 : 33, 30 : 50 и 6 : 13.
Частное двух чисел $a : b$ можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{a}{b}$, где делимое $a$ становится числителем, а делитель $b$ — знаменателем. Применим это правило к каждому частному:
Частное $3 : 5$ записывается как дробь $\frac{3}{5}$.
Частное $14 : 33$ записывается как дробь $\frac{14}{33}$.
Частное $30 : 50$ записывается как дробь $\frac{30}{50}$.
Частное $6 : 13$ записывается как дробь $\frac{6}{13}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$; $\frac{14}{33}$; $\frac{30}{50}$; $\frac{6}{13}$.

Какие из полученных дробей равны?
Чтобы найти равные дроби, необходимо сократить их, то есть привести к несократимому виду. Для этого нужно разделить числитель и знаменатель дроби на их наибольший общий делитель (НОД).
1. Дробь $\frac{3}{5}$ является несократимой, так как числа 3 и 5 — простые.
2. Дробь $\frac{14}{33}$ является несократимой, так как у числителя $14 = 2 \cdot 7$ и знаменателя $33 = 3 \cdot 11$ нет общих делителей, кроме 1.
3. Дробь $\frac{30}{50}$ можно сократить. Наибольший общий делитель для 30 и 50 равен 10. Выполним сокращение: $ \frac{30}{50} = \frac{30 \div 10}{50 \div 10} = \frac{3}{5} $.
4. Дробь $\frac{6}{13}$ является несократимой, так как 13 — простое число, а 6 на 13 не делится.
После приведения всех дробей к несократимому виду мы получили следующий ряд: $\frac{3}{5}$, $\frac{14}{33}$, $\frac{3}{5}$, $\frac{6}{13}$.
Сравнивая дроби, видим, что первая и третья дроби равны.
Ответ: $\frac{3}{5} = \frac{30}{50}$.

5.318 Запишите по две дроби, равные дроби:

а) $\frac{1}{2} = \frac{1 · 2}{2 · 2} = \frac{2}{4}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 · 4}{2 · 4} = \frac{4}{8}$

б) $\frac{4}{6} = \frac{4 · 3}{6 · 3} = \frac{12}{18}$

$\frac{4}{6} = \frac{4 · 2}{6 · 2} = \frac{8}{12}$

в) $\frac{2}{5} = \frac{2 · 5}{5 · 5} = \frac{10}{25}$

$\frac{2}{5} = \frac{2 · 7}{5 · 7} = \frac{14}{35}$

г) $\frac{12}{14} = \frac{12 · 2}{14 · 2} = \frac{24}{28}$

$\frac{12}{14} = \frac{12 · 3}{14 · 4} = \frac{36}{56}$

а) Чтобы найти дроби, равные данной, можно использовать основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Для дроби $ \frac{1}{2} $ мы можем только умножать числитель и знаменатель, так как она несократима.
1. Умножим числитель и знаменатель на 2: $ \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} $.
2. Умножим числитель и знаменатель на 3: $ \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} $.
Ответ: $ \frac{2}{4} $ и $ \frac{3}{6} $.

б) Для дроби $ \frac{4}{6} $ можно применить как сокращение (деление), так и умножение.
1. Сократим дробь. Числитель 4 и знаменатель 6 делятся на 2. $ \frac{4 \div 2}{6 \div 2} = \frac{2}{3} $.
2. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 2: $ \frac{4 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{8}{12} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{8}{12} $.

в) Дробь $ \frac{3}{5} $ является несократимой, так как у чисел 3 и 5 нет общих делителей, кроме 1. Поэтому для нахождения равных дробей будем использовать умножение.
1. Умножим числитель и знаменатель на 2: $ \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} $.
2. Умножим числитель и знаменатель на 4: $ \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20} $.
Ответ: $ \frac{6}{10} $ и $ \frac{12}{20} $.

г) Для дроби $ \frac{12}{14} $ можно применить как сокращение, так и умножение.
1. Сократим дробь. Числитель 12 и знаменатель 14 являются четными числами и делятся на 2. $ \frac{12 \div 2}{14 \div 2} = \frac{6}{7} $.
2. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 2: $ \frac{12 \cdot 2}{14 \cdot 2} = \frac{24}{28} $.
Ответ: $ \frac{6}{7} $ и $ \frac{24}{28} $.

5.319 Вычислите.

а)

Для нахождения ответа необходимо выполнить последовательно все указанные действия:

1. Делим 400 на 25:

$400 : 25 = 16$

2. Умножаем результат на 5:

$16 \cdot 5 = 80$

3. Прибавляем 40:

$80 + 40 = 120$

4. Делим результат на 12:

$120 : 12 = 10$

5. Прибавляем 190:

$10 + 190 = 200$

Ответ: 200

б)

Выполним вычисления по шагам:

1. Вычитаем 20 из 700:

$700 - 20 = 680$

2. Делим результат на 4:

$680 : 4 = 170$

3. Умножаем на 2:

$170 \cdot 2 = 340$

4. Делим на 17:

$340 : 17 = 20$

5. Прибавляем 480:

$20 + 480 = 500$

Ответ: 500

в)

Выполним вычисления по шагам:

1. Делим 420 на 14:

$420 : 14 = 30$

2. Умножаем результат на 6:

$30 \cdot 6 = 180$

3. Прибавляем 120:

$180 + 120 = 300$

4. Делим на 25:

$300 : 25 = 12$

5. Умножаем на 8:

$12 \cdot 8 = 96$

Ответ: 96

г)

Выполним вычисления по шагам:

1. Складываем 320 и 240:

$320 + 240 = 560$

2. Делим результат на 80:

$560 : 80 = 7$

3. Умножаем на 50:

$7 \cdot 50 = 350$

4. Вычитаем 60:

$350 - 60 = 290$

5. Делим на 29:

$290 : 29 = 10$

Ответ: 10