Страница 51, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.60 а) Выразите в граммах и килограммах фунт, пуд и берковец.

б) Используя старые русские меры пуд и берковец, составьте задачу.

а) 1 золотник = 4 г;

1 фунт = 96 золотник = 96 · 4 г = 384 г;

1 пуд = 40 фунтов = 40 384 г = 15 кг 360 г;

1 берковец = 10 пудов = 10 · 15360 г = 153600 г = 153 кг 600 г.

б) На мельницу привезли 4 пуда пшеницы и 2 берковца овса. Сколько килограммов зерна привезли на мельницу?

1 Какое число на 1 больше числа 1199?

Прибавив к натуральному числу единицу, мы получим следующие за ним число: 1199 + 1 = 1200.

1. Чтобы найти число, которое на 1 больше, чем 1199, нужно к числу 1199 прибавить 1. Выполним операцию сложения.

Запишем это в виде математического примера:

$$1199 + 1$$

При сложении 9 и 1 в разряде единиц получаем 10. 0 пишем в разряд единиц, а 1 переносим в разряд десятков. В разряде десятков было 9, прибавляем 1, получаем 10. 0 пишем в разряд десятков, а 1 переносим в разряд сотен. В разряде сотен была 1, прибавляем 1, получаем 2. В разряде тысяч остается 1.

Таким образом, результат сложения:

$$1199 + 1 = 1200$$

Ответ: 1200

2 Найдите сумму 527 и 195.

3 Вычислите:

а) 219 + (194 + 81);

б) (134 + 285) + 115;

в) (274 + 399) + 26.

а) 219 + (194 + 81) = $(219 \stackrel{300}{+} 81)$ + 194 = 494

б) (134 + 285) + 115 = 134 + $(285 \stackrel{400}{+} 115)$ = 534

в) (274 + 399) + 26 = $(274 \stackrel{300}{+} 26)$ + 399 = 699

а) $219 + (194 + 81)$

Для решения этого примера сначала выполним действие в скобках, а затем сложим полученный результат с первым числом.

1. Сначала найдем сумму чисел в скобках: $194 + 81 = 275$.

2. Теперь сложим результат с числом 219: $219 + 275 = 494$.

Полное решение выглядит так: $219 + (194 + 81) = 219 + 275 = 494$.

Ответ: 494.

б) $(134 + 285) + 115$

Для удобства вычислений воспользуемся сочетательным свойством сложения, которое гласит $(a + b) + c = a + (b + c)$. Это свойство позволяет нам перегруппировать слагаемые.

$(134 + 285) + 115 = 134 + (285 + 115)$.

1. Сначала найдем сумму чисел в новых скобках, так как она дает круглое число: $285 + 115 = 400$.

2. Теперь сложим результат с числом 134: $134 + 400 = 534$.

Полное решение выглядит так: $(134 + 285) + 115 = 134 + (285 + 115) = 134 + 400 = 534$.

Ответ: 534.

в) $(274 + 399) + 26$

Чтобы упростить вычисления, воспользуемся переместительным ($a + b = b + a$) и сочетательным ($(a + b) + c = a + (b + c)$) свойствами сложения. Они позволяют менять слагаемые местами и группировать их в удобном порядке. Сгруппируем 274 и 26, так как их сумма — круглое число.

$(274 + 399) + 26 = (274 + 26) + 399$.

1. Сначала выполним сложение в скобках: $274 + 26 = 300$.

2. Затем прибавим к результату оставшееся слагаемое: $300 + 399 = 699$.

Полное решение выглядит так: $(274 + 399) + 26 = (274 + 26) + 399 = 300 + 399 = 699$.

Ответ: 699.

4 Решите задачи по схеме на рисунке 2.6.

а) 23 + 19 = 42 (м)

а
Чтобы найти общую длину отрезка, необходимо сложить длины его двух частей. Первая часть равна 23 м, вторая — 19 м.
$23 \text{ м} + 19 \text{ м} = 42 \text{ м}$
Ответ: 42 м

б
Чтобы найти общую массу, нужно сложить массы двух частей. Первая часть равна 2 т 400 кг, вторая — 900 кг. Для удобства сложим килограммы с килограммами.
$400 \text{ кг} + 900 \text{ кг} = 1300 \text{ кг}$
Мы знаем, что $1 \text{ тонна} = 1000 \text{ килограммов}$, поэтому $1300 \text{ кг} = 1 \text{ т } 300 \text{ кг}$.
Теперь прибавим к имеющимся тоннам получившийся результат:
$2 \text{ т} + 1 \text{ т } 300 \text{ кг} = 3 \text{ т } 300 \text{ кг}$
Ответ: 3 т 300 кг

в
Чтобы найти общий промежуток времени, нужно сложить два данных промежутка. Первый равен 3 ч 45 мин, второй — 2 ч 30 мин. Сложим отдельно часы и минуты.
Часы: $3 \text{ ч} + 2 \text{ ч} = 5 \text{ ч}$
Минуты: $45 \text{ мин} + 30 \text{ мин} = 75 \text{ мин}$
Получилось 5 ч 75 мин. Мы знаем, что $1 \text{ час} = 60 \text{ минут}$, поэтому преобразуем 75 минут.
$75 \text{ мин} = 60 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 1 \text{ ч } 15 \text{ мин}$
Теперь сложим часы:
$5 \text{ ч} + 1 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 15 \text{ мин}$
Ответ: 6 ч 15 мин

5 Всегда ли сумма двух чисел больше каждого слагаемого?

5 + 0 = 5 - сумма чисел 5 и 0 равна первому слагаемому.

Ответ: не всегда.

6 Если каждое из двух слагаемых увеличили на 10, на сколько увеличилась сумма?

Пусть 15 + 17 = 32.

Увеличим каждое слагаемое на 10, получим: 15 + 10 = 25; 17 + 10 = 27.

Найдём сумму: 25 + 27 = 52; 52 - 32 = 20.

Ответ: на 20 увечилась сумма.

Для решения этой задачи можно использовать алгебраический подход. Обозначим два исходных слагаемых как $a$ и $b$.

Тогда их первоначальная сумма, назовем ее $S_{1}$, будет равна: $S_{1} = a + b$

Согласно условию, каждое из слагаемых увеличили на 10. Таким образом, первое слагаемое стало равным $(a + 10)$, а второе слагаемое стало равным $(b + 10)$.

Новая сумма, $S_{2}$, будет результатом сложения новых слагаемых: $S_{2} = (a + 10) + (b + 10)$

Используя свойства сложения (переместительное и сочетательное), мы можем перегруппировать члены этого выражения: $S_{2} = a + b + 10 + 10$ $S_{2} = (a + b) + (10 + 10)$ $S_{2} = (a + b) + 20$

Поскольку мы знаем, что $(a + b)$ — это первоначальная сумма $S_{1}$, мы можем подставить это значение в уравнение для $S_{2}$: $S_{2} = S_{1} + 20$

Это равенство показывает, что новая сумма на 20 больше первоначальной. Чтобы найти, на сколько именно увеличилась сумма, нужно вычислить разность между новой и старой суммами: $S_{2} - S_{1}$. $S_{2} - S_{1} = (S_{1} + 20) - S_{1} = 20$

Таким образом, сумма увеличилась на 20.

Ответ: 20

7 Одну сторону прямоугольника увеличили на 15 см, а другую уменьшили на 15 см. Изменился ли периметр прямоугольника?

Пусть а - длина прямоугольника, в - ширина прямоугольника. Тогда периметр прямоугольника равен (а + в) · 2. По условию задачи (а + 15) см - стала длина прямоугольника; (в - 15) см - стала ширина прямоугольника. Тогда периметр нового прямоугольника равен (а + 15 + в - 15) · 2 =((а+ в) +(15 - 15)) · 2 =(а + в) · 2.

Ответ: периметр прямоугольника не изменится.

Чтобы ответить на этот вопрос, давайте введем переменные и сравним периметр прямоугольника до и после изменений.

Пусть изначально стороны прямоугольника равны a и b.

Периметр ($P_1$) исходного прямоугольника вычисляется по формуле: $P_1 = 2 \cdot (a + b)$

Согласно условию, одну сторону увеличили на 15 см, а другую уменьшили на 15 см. Пусть новые стороны будут $a'$ и $b'$: $a' = a + 15$ $b' = b - 15$

Теперь найдем периметр нового прямоугольника ($P_2$) с новыми сторонами: $P_2 = 2 \cdot (a' + b')$

Подставим в эту формулу выражения для $a'$ и $b'$: $P_2 = 2 \cdot ((a + 15) + (b - 15))$

Упростим выражение в скобках. Члены +15 и -15 взаимно уничтожаются: $P_2 = 2 \cdot (a + b + 15 - 15)$ $P_2 = 2 \cdot (a + b)$

Сравнивая формулы для исходного и нового периметров, мы видим, что они полностью совпадают: $P_1 = 2 \cdot (a + b)$ $P_2 = 2 \cdot (a + b)$ Следовательно, $P_1 = P_2$.

Ответ: Нет, периметр прямоугольника не изменился.

Результаты контрольной работы по математике, проведённой в 5 «А», представлены на столбчатой диаграмме (рис. 2.7).

Выясните:

1 Сколько человек написало контрольную работу:

а) на 5;

б) на 4;

в) на 3;

г) на 2?

а) на 5 написало 5 человек;
б) на 4 написало 11 человек;
в) на 3 написало 7 человек;
г) на 1 написало 2 человека.

а) Чтобы определить, сколько учеников написали контрольную работу на оценку «5», необходимо найти на столбчатой диаграмме столбец, соответствующий отметке «5» на горизонтальной оси «Оценка». Этому значению соответствует крайний правый столбец желтого цвета. Проведя воображаемую горизонтальную линию от вершины этого столбца к вертикальной оси «Количество учеников», мы увидим, что она совпадает с отметкой 5. Следовательно, 5 учеников получили оценку «5».

Ответ: 5.

б) Для определения количества учеников, получивших оценку «4», найдем на диаграмме столбец, соответствующий отметке «4» на горизонтальной оси. Это высокий столбец зеленого цвета. Его вершина находится на уровне отметки 11 на вертикальной оси. Таким образом, 11 учеников написали контрольную работу на «4».

Ответ: 11.

в) Найдем столбец, соответствующий оценке «3» на горизонтальной оси. Это столбец фиолетового цвета. Его высота, согласно вертикальной оси «Количество учеников», равна 7. Это означает, что 7 учеников получили оценку «3».

Ответ: 7.

г) Найдем столбец, соответствующий оценке «2» на горизонтальной оси. Это крайний левый столбец розового цвета. Его вершина совпадает с отметкой 2 на вертикальной оси. Следовательно, 2 ученика написали контрольную работу на оценку «2».

Ответ: 2.

2 Сколько человек писало контрольную работу?

2 + 7 + 11 + 5 = 25 (ч)

Ответ: 25 человек.

3 На сколько меньше человек написало контрольную работу на 3, чем на 4 и 5?

1) 11 + 5 = 16 (ч) - написали на 4 и 5;

2) 16 - 7 = 9 (ч).

Ответ: на 9 человек

4 На сколько больше человек справились с контрольной работой (получили 3, 4 и 5), чем не справились (получили 2)?

1) 7 + 11 + 5 = 23 (ч.) - справились с контрольной работой (получили 3, 4 и 5)

2) 23 - 2 = 21 (ч.)

Ответ: на 21 человек.

5 Сколько человек в классе можно отправить на школьный тур олимпиады по математике, если требуется оценка не ниже 4 за контрольную работу по математике?

11 + 5 = 16 (ч.)

Ответ: 16 человек.

6 Составьте таблицу по диаграмме.

5.291 Составьте уравнение, используя рисунок 5.50, и найдите его корни.

а

На числовой прямой показано, что к числу $\frac{7}{13}$ прибавили число $m$ и получили $\frac{11}{13}$. Составим уравнение на основе этого действия:

$\frac{7}{13} + m = \frac{11}{13}$

Чтобы найти корень уравнения, то есть значение $m$, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$m = \frac{11}{13} - \frac{7}{13}$

Выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$m = \frac{11 - 7}{13}$

$m = \frac{4}{13}$

Ответ: $m = \frac{4}{13}$.

б

На числовой прямой показано, что к неизвестному числу $n$ прибавили $\frac{5}{10}$ и получили $1\frac{3}{10}$. Составим уравнение:

$n + \frac{5}{10} = 1\frac{3}{10}$

Чтобы найти корень уравнения, выразим $n$. Для этого преобразуем смешанное число $1\frac{3}{10}$ в неправильную дробь:

$1\frac{3}{10} = \frac{1 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{13}{10}$

Подставим это значение в уравнение:

$n + \frac{5}{10} = \frac{13}{10}$

Теперь найдем $n$, вычитая из суммы известное слагаемое:

$n = \frac{13}{10} - \frac{5}{10}$

$n = \frac{13 - 5}{10}$

$n = \frac{8}{10}$

Полученную дробь можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2:

$n = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$

Ответ: $n = \frac{4}{5}$.

5.292 а) Объясните, как появились следующие названия: 16 — полтрети, 112 — полполтрети, 124 — полполполтрети.

б) Назовите дроби 16, 112, 124.

в) Объясните, почему смешанные числа называли: 112 — полвтора, 212 — полтретья, 312 — полчетверта, 412 — полпяты, 512 — полшесты и т. д. Где сейчас применяется такой способ чтения?

а)

Эти старинные названия дробей образованы с помощью слова «пол», которое означает «половина». В основе лежит дробь «треть» ($ \frac{1}{3} $). Каждое добавление слова «пол» означает деление предыдущего значения пополам.

• Полтрети — это «половина от трети». Математически это выражается как умножение на $ \frac{1}{2} $: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6} $.
• Полполтрети — это «половина от полтрети», то есть половина от одной шестой: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} $.
• Полполполтрети — это «половина от полполтрети», то есть половина от одной двенадцатой: $ \frac{1}{2} \times \frac{1}{12} = \frac{1}{24} $.

Ответ: Названия появились путем последовательного деления дроби $ \frac{1}{3} $ (треть) пополам. Приставка «пол-» означает «половина».

б)

В современной математике и речи эти дроби называются следующим образом:

• $ \frac{1}{6} $ — одна шестая;
• $ \frac{1}{12} $ — одна двенадцатая;
• $ \frac{1}{24} $ — одна двадцать четвёртая.

Ответ: Одна шестая, одна двенадцатая, одна двадцать четвёртая.

в)

Названия этих смешанных чисел также образованы с помощью приставки «пол-» (половина), но принцип другой. Конструкция «пол-» + порядковое числительное в родительном падеже означает, что взято целое число, которое на единицу меньше этого порядкового числительного, и к нему добавлена половина.

• Полвтора ($1 \frac{1}{2}$) — это «половина второго». Имеется в виду, что взят один целый предмет и половина от второго.
• Полтретья ($2 \frac{1}{2}$) — это «половина третьего». Взяты два целых предмета и половина от третьего.
• Полчетверта ($3 \frac{1}{2}$) — это «половина четвертого». Три целых и половина от четвертого.
• Полпяты ($4 \frac{1}{2}$) — «половина пятого». Четыре целых и половина от пятого.
• Полшесты ($5 \frac{1}{2}$) — «половина шестого». Пять целых и половина от шестого.

Такой способ наименования сохранился и активно используется в современном русском языке, в первую очередь, для обозначения времени. Например, «полтретьего» означает 2:30 (два часа и половина третьего часа), «полдевятого» — 8:30.

Кроме того, слово полтора, которое является видоизмененной формой слова «полвтора», повсеместно используется для обозначения числа $1 \frac{1}{2}$. Его производное «полтораста» используется для числа 150. Другие же формы («полтретья», «полчетверта» и т.д.) для обозначения количества являются устаревшими.

Ответ: Эти названия означают количество целых единиц плюс половина следующей по счёту единицы. В современном языке этот способ используется для указания времени (например, «полтретьего» — 2:30) и в виде слова «полтора» для числа $1 \frac{1}{2}$.

5.293 а) Представьте в виде смешанного числа дроби 574, 103, 1711, 666100, 1477211 и 65 07010 000.

б) Запишите в виде неправильной дроби смешанные числа 134, 6415, 91119, 105361, 181100 и 71510 000.

а) Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо разделить числитель дроби на ее знаменатель с остатком. Полученное неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток от деления — числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

Для дроби $\frac{57}{4}$:
Разделим 57 на 4: $57 \div 4 = 14$ с остатком $1$.
Таким образом, $\frac{57}{4} = 14\frac{1}{4}$.

Для дроби $\frac{10}{3}$:
Разделим 10 на 3: $10 \div 3 = 3$ с остатком $1$.
Таким образом, $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$.

Для дроби $\frac{17}{11}$:
Разделим 17 на 11: $17 \div 11 = 1$ с остатком $6$.
Таким образом, $\frac{17}{11} = 1\frac{6}{11}$.

Для дроби $\frac{666}{100}$:
Разделим 666 на 100: $666 \div 100 = 6$ с остатком $66$.
Таким образом, $\frac{666}{100} = 6\frac{66}{100}$.

Для дроби $\frac{1477}{211}$:
Разделим 1477 на 211: $1477 \div 211 = 7$ с остатком $0$.
Так как остаток равен нулю, дробь является целым числом. Таким образом, $\frac{1477}{211} = 7$.

Для дроби $\frac{65070}{10000}$:
Разделим 65070 на 10000: $65070 \div 10000 = 6$ с остатком $5070$.
Таким образом, $\frac{65070}{10000} = 6\frac{5070}{10000}$.

Ответ: $14\frac{1}{4}$; $3\frac{1}{3}$; $1\frac{6}{11}$; $6\frac{66}{100}$; $7$; $6\frac{5070}{10000}$.

б) Чтобы записать смешанное число в виде неправильной дроби, нужно умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Этот результат станет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется тот же.

Для числа $1\frac{3}{4}$:
Числитель: $1 \times 4 + 3 = 7$. Знаменатель: 4.
Результат: $\frac{7}{4}$.

Для числа $6\frac{4}{15}$:
Числитель: $6 \times 15 + 4 = 90 + 4 = 94$. Знаменатель: 15.
Результат: $\frac{94}{15}$.

Для числа $9\frac{11}{19}$:
Числитель: $9 \times 19 + 11 = 171 + 11 = 182$. Знаменатель: 19.
Результат: $\frac{182}{19}$.

Для числа $10\frac{53}{61}$:
Числитель: $10 \times 61 + 53 = 610 + 53 = 663$. Знаменатель: 61.
Результат: $\frac{663}{61}$.

Для числа $18\frac{1}{100}$:
Числитель: $18 \times 100 + 1 = 1800 + 1 = 1801$. Знаменатель: 100.
Результат: $\frac{1801}{100}$.

Для числа $7\frac{15}{10000}$:
Числитель: $7 \times 10000 + 15 = 70000 + 15 = 70015$. Знаменатель: 10000.
Результат: $\frac{70015}{10000}$.

Ответ: $\frac{7}{4}$; $\frac{94}{15}$; $\frac{182}{19}$; $\frac{663}{61}$; $\frac{1801}{100}$; $\frac{70015}{10000}$.

5.294 Вычислите:

а) $\frac{8}{25}+\frac{7}{25}+\frac{9}{25};$

б) $\frac{13}{15}-\left(\frac{8}{15}+\frac{4}{15}\right);$

в) $\left(\frac{17}{100}+\frac{27}{100}\right)-\left(\frac{8}{100}+\frac{3}{100}\right).$

а) $\frac{8}{25} + \frac{7}{25} + \frac{9}{25} = \frac{8 + 7 + 9}{25} = \frac{24}{25};$

б) $\frac{13}{15} - \left(\frac{8}{15} + \frac{4}{15}\right) = \frac{13}{15} - \frac{8 + 4}{15} = \frac{13}{15} - \frac{12}{15} = \frac{1}{15}$

в) $\left(\frac{17}{100} + \frac{27}{100}\right) - \left(\frac{8}{100} + \frac{3}{100}\right) = \frac{44}{100} - \frac{11}{100} = \frac{33}{100}$

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
$ \frac{8}{25} + \frac{7}{25} + \frac{9}{25} = \frac{8 + 7 + 9}{25} = \frac{24}{25} $
Ответ: $ \frac{24}{25} $

б) Сначала выполним действие в скобках, а затем вычитание. Поскольку знаменатели у дробей одинаковые, складываем и вычитаем только числители.
$ \frac{13}{15} - (\frac{8}{15} + \frac{4}{15}) = \frac{13}{15} - \frac{8+4}{15} = \frac{13}{15} - \frac{12}{15} = \frac{13-12}{15} = \frac{1}{15} $
Ответ: $ \frac{1}{15} $

в) Выполним действия в каждой из скобок по отдельности, а затем найдем разность полученных результатов.
$ (\frac{17}{100} + \frac{27}{100}) - (\frac{8}{100} + \frac{3}{100}) = \frac{17+27}{100} - \frac{8+3}{100} = \frac{44}{100} - \frac{11}{100} = \frac{44-11}{100} = \frac{33}{100} $
Ответ: $ \frac{33}{100} $

5.295 Катер прошёл 19 км по реке и ещё несколько километров по озеру, преодолев в общей сложности 45 км. С какой скоростью двигался катер по озеру, если на путь по нему он затратил 3 ч?

1) $45 - 19 = 26$ (км) - расстояние по озеру

2) $26:3 = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$ (км/ч)

Ответ: $8\frac{2}{3}$ км/ч

Для того чтобы найти скорость движения катера по озеру, необходимо сначала определить расстояние, которое он прошел по озеру, а затем, зная время, вычислить скорость.

1. Найдём расстояние, которое катер прошёл по озеру.

Из условия задачи известно, что общее расстояние ($S_{общ}$), которое преодолел катер, составляет 45 км. Расстояние, пройденное по реке ($S_{реки}$), равно 19 км. Чтобы найти расстояние, которое катер прошёл по озеру ($S_{озера}$), нужно из общего расстояния вычесть расстояние, пройденное по реке.

$S_{озера} = S_{общ} - S_{реки}$

$S_{озера} = 45 \text{ км} - 19 \text{ км} = 26 \text{ км}$

Таким образом, катер прошел по озеру 26 км.

2. Найдём скорость движения катера по озеру.

Мы знаем, что расстояние, пройденное по озеру, составляет $S_{озера} = 26$ км, а время, затраченное на этот путь, равно $t_{озера} = 3$ ч. Скорость ($v$) вычисляется по формуле: $v = \frac{S}{t}$.

Подставим известные значения, чтобы найти скорость катера по озеру ($v_{озера}$):

$v_{озера} = \frac{S_{озера}}{t_{озера}} = \frac{26 \text{ км}}{3 \text{ ч}} = 8 \frac{2}{3} \text{ км/ч}$

Ответ: скорость катера по озеру составляет $8 \frac{2}{3}$ км/ч.

5.296 Улитка ползёт по дереву со скоростью 812 см/мин, а за ней гусеница — со скоростью 1212 см/мин. Сейчас улитка находится впереди гусеницы на 10 см. Какое расстояние будет между ними через 1 мин, 2 мин и 3 мин?

Для решения этой задачи необходимо определить, как изменяется расстояние между улиткой и гусеницей с течением времени. Поскольку они движутся в одном направлении, а гусеница быстрее, она будет догонять улитку. Найдем скорость их сближения.

Скорость улитки: $v_{у} = 8\frac{1}{2}$ см/мин.

Скорость гусеницы: $v_{г} = 12\frac{1}{2}$ см/мин.

Скорость сближения — это разница между скоростью гусеницы и скоростью улитки:

$v_{сбл} = v_{г} - v_{у} = 12\frac{1}{2} - 8\frac{1}{2} = 4$ см/мин.

Это означает, что каждую минуту расстояние между ними сокращается на 4 см. Изначально между ними 10 см.

Через 1 мин

За 1 минуту расстояние между ними сократится на $4 \text{ см/мин} \times 1 \text{ мин} = 4$ см. Чтобы найти новое расстояние, вычтем это значение из начального расстояния:

$10 \text{ см} - 4 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Ответ: 6 см.

Через 2 мин

За 2 минуты расстояние между ними сократится на $4 \text{ см/мин} \times 2 \text{ мин} = 8$ см. Новое расстояние составит:

$10 \text{ см} - 8 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Ответ: 2 см.

Через 3 мин

За 3 минуты гусеница должна была бы сократить расстояние на $4 \text{ см/мин} \times 3 \text{ мин} = 12$ см. Это больше, чем начальное расстояние в 10 см, значит, гусеница не только догонит улитку, но и обгонит её.

Найдем, через какое время гусеница догонит улитку. Для этого разделим начальное расстояние на скорость сближения:

$t_{встречи} = 10 \text{ см} \div 4 \text{ см/мин} = 2,5$ мин.

Через 2,5 минуты расстояние между ними будет равно 0. Нас интересует момент времени через 3 минуты. Оставшееся время после их встречи составляет $3 \text{ мин} - 2,5 \text{ мин} = 0,5$ мин.

За эти 0,5 минуты гусеница, продолжая двигаться быстрее, создаст новое расстояние между собой и улиткой. Это расстояние будет равно произведению скорости сближения на оставшееся время:

$4 \text{ см/мин} \times 0,5 \text{ мин} = 2 \text{ см}$.

Ответ: 2 см.

5.297 В одном направлении движутся бегун со скоростью 7 км/ч и пешеход со скоростью 4 км/ч. Сейчас пешеход находится впереди бегуна на расстоянии 6 км. На каком расстоянии друг от друга они будут через 1 ч, 2 ч и 4 ч?

Для решения этой задачи необходимо определить, как изменяется расстояние между бегуном и пешеходом с течением времени. Поскольку они движутся в одном направлении и скорость бегуна больше, он будет догонять пешехода. Разница в их скоростях называется скоростью сближения.

1. Найдем скорость сближения бегуна и пешехода:

$v_{сбл} = v_{бегуна} - v_{пешехода} = 7 \text{ км/ч} - 4 \text{ км/ч} = 3 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между ними сокращается на 3 км. Изначальное расстояние составляет 6 км.

2. Рассчитаем, на каком расстоянии они будут друг от друга в указанные моменты времени.

Через 1 ч

За 1 час бегун приблизится к пешеходу на расстояние, равное скорости сближения, умноженной на время:

$S_1 = v_{сбл} \times t_1 = 3 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 3 \text{ км}$

Чтобы найти новое расстояние между ними, вычтем это значение из начального расстояния:

$d_1 = 6 \text{ км} - 3 \text{ км} = 3 \text{ км}$

Ответ: через 1 час расстояние между ними будет 3 км.

Через 2 ч

За 2 часа бегун приблизится к пешеходу на:

$S_2 = v_{сбл} \times t_2 = 3 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 6 \text{ км}$

Новое расстояние между ними будет:

$d_2 = 6 \text{ км} - 6 \text{ км} = 0 \text{ км}$

Это значит, что через 2 часа бегун догонит пешехода.

Ответ: через 2 часа расстояние между ними будет 0 км.

Через 4 ч

Мы установили, что встреча произойдет через 2 часа. Следовательно, в течение следующих $4 \text{ ч} - 2 \text{ ч} = 2 \text{ ч}$ бегун будет уже обгонять пешехода. Теперь расстояние между ними будет увеличиваться. Скорость, с которой бегун удаляется от пешехода, равна той же разности скоростей — 3 км/ч (это называется скоростью удаления).

За 2 часа после встречи расстояние между ними станет:

$d_3 = v_{удал} \times (t_3 - t_{встречи}) = 3 \text{ км/ч} \times 2 \text{ ч} = 6 \text{ км}$

Ответ: через 4 часа расстояние между ними будет 6 км.

5.298 1) В 5 «А» классе 27 учеников. Из них 59 изучают английский язык, а остальные — немецкий. Сколько учеников изучают немецкий язык?

2) В 5 «Б» классе 25 учеников. Из них 35 выбрали для дополнительных занятий плавание, а остальные — лёгкую атлетику. Сколько учеников выбрали лёгкую атлетику?

1)

В 5 «А» классе 27 учеников. Известно, что $\frac{5}{9}$ всех учеников изучают английский язык, а остальные — немецкий.

Сначала определим, какая часть класса изучает немецкий язык. Всех учеников в классе примем за 1. Тогда доля учеников, изучающих немецкий, равна:

$1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

Теперь найдем количество учеников, изучающих немецкий язык. Для этого общее число учеников умножим на найденную долю:

$27 \cdot \frac{4}{9} = \frac{27 \cdot 4}{9} = 3 \cdot 4 = 12$ (учеников).

Ответ: 12 учеников.

2)

В 5 «Б» классе 25 учеников. Из них $\frac{3}{5}$ выбрали для дополнительных занятий плавание, а остальные — лёгкую атлетику.

Сначала найдем, какая часть учеников выбрала лёгкую атлетику. Примем всех учеников за 1, тогда доля выбравших лёгкую атлетику будет:

$1 - \frac{3}{5} = \frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$

Теперь рассчитаем, сколько учеников выбрали лёгкую атлетику. Для этого общее число учеников умножим на эту долю:

$25 \cdot \frac{2}{5} = \frac{25 \cdot 2}{5} = 5 \cdot 2 = 10$ (учеников).

Ответ: 10 учеников.