Страница 46, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.1 Чему равна сумма:

а) 9999 + 1;

б) 99 099 + 1;

в) 9 999 999 + 1?

а) 9 999 + 1 = 10 000;
б) 99 099 + 1 = 99 100;
в) 9 999 999 + 1 = 10 000 000.

Прибавив к натуральному числу единицу, мы получили следующие за ним число.

а) Чтобы найти сумму $9999 + 1$, мы выполняем простое сложение. Когда мы к числу, оканчивающемуся на 9, прибавляем 1, разряд единиц становится равен 0, а в старший разряд переносится единица. Этот процесс повторяется для всех девяток. В итоге мы получаем следующее круглое число.

$9999 + 1 = 10000$

Ответ: 10 000

б) Чтобы найти сумму $99099 + 1$, мы также прибавляем 1 к разряду единиц. $9+1=10$, поэтому в разряде единиц будет 0, а 1 переносится в разряд десятков. В разряде десятков стоит 9; с учетом переноса получаем $9+1=10$. Значит, в разряде десятков будет 0, а 1 переносится в разряд сотен. В разряде сотен стоит 0; с учетом переноса получаем $0+1=1$. Старшие разряды не меняются.

$99099 + 1 = 99100$

Ответ: 99 100

в) Чтобы найти сумму $9999999 + 1$, мы поступаем аналогично первому примеру. Прибавление единицы к числу, состоящему из одних девяток, дает следующее за ним круглое число, которое на единицу больше и является степенью числа 10.

$9999999 + 1 = 10000000$

Ответ: 10 000 000

2.2 Вычислите сумму 967 + 33. Сколько единиц надо прибавить к числу 967, чтобы получить 1000?

Чтобы получить 1000, нужно к числу 967 прибавить 33 единицы.

Вычислите сумму 967 + 33.

Для вычисления данной суммы сложим числа поразрядно, начиная с единиц.

1. Сложение единиц: $7 + 3 = 10$. Мы записываем 0 в разряд единиц и переносим 1 в разряд десятков.

2. Сложение десятков: $6 + 3 + 1$ (перенесенный десяток) $= 10$. Мы записываем 0 в разряд десятков и переносим 1 в разряд сотен.

3. Сложение сотен: $9 + 1$ (перенесенная сотня) $= 10$. Записываем 10.

Таким образом, сумма чисел 967 и 33 равна 1000.

$967 + 33 = 1000$

Ответ: 1000.

Сколько единиц надо прибавить к числу 967, чтобы получить 1000?

Чтобы найти, сколько единиц необходимо прибавить к числу 967 для получения 1000, нужно найти их разность. Для этого из 1000 вычтем 967.

Пусть искомое число — это $x$. Тогда можно составить уравнение:

$967 + x = 1000$

Найдем $x$ из уравнения:

$x = 1000 - 967$

Выполним вычитание:

$x = 33$

Для проверки можно выполнить сложение: $967 + 33 = 1000$. Равенство верное.

Следовательно, к числу 967 надо прибавить 33 единицы, чтобы получить 1000.

Ответ: 33.

2.3 С фермы отгрузили в магазин 80 кг кабачков, 60 кг огурцов, 40 кг яблок, 50 кг помидоров, 70 кг груш, 40 кг абрикосов. Сколько килограммов овощей и сколько килограммов фруктов отгрузили в магазин?

К овощам мы отнесём: кабачки, огурцы и помидоры. К фруктам отнесём: яблоки, груши и абрикосы.

1) 80 + 60 + 50 = 190 (кг) - овощей

2) 40 + 70 + 40 = 150 (кг) - фруктов

Ответ: 190 кг овощей и 150 кг фруктов

Для решения задачи необходимо разделить все продукты на две категории: овощи и фрукты, а затем найти общую массу продуктов в каждой категории.

Сколько килограммов овощей отгрузили в магазин

К овощам из списка относятся кабачки, огурцы и помидоры. Чтобы найти их общую массу, нужно сложить массу каждого вида овощей.

Масса кабачков: 80 кг.

Масса огурцов: 60 кг.

Масса помидоров: 50 кг.

Складываем эти значения:

$80 + 60 + 50 = 190$ кг.

Ответ: в магазин отгрузили 190 кг овощей.

Сколько килограммов фруктов отгрузили в магазин

К фруктам из списка относятся яблоки, груши и абрикосы. Чтобы найти их общую массу, нужно сложить массу каждого вида фруктов.

Масса яблок: 40 кг.

Масса груш: 70 кг.

Масса абрикосов: 40 кг.

Складываем эти значения:

$40 + 70 + 40 = 150$ кг.

Ответ: в магазин отгрузили 150 кг фруктов.

2.4 Бабушка с внучкой собирали землянику на солнечной поляне. Сколько граммов ягод они собрали вместе, если внучка собрала 1 кг 450 г земляники, а бабушка — на 800 г больше?

2) 1450 + 2250 = 3700 (г) - собрали вместе

Ответ: 3700 г.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Определим, сколько граммов земляники собрала внучка.

В условии сказано, что внучка собрала 1 кг 450 г. Чтобы было удобнее считать, переведем все в граммы. Мы знаем, что в одном килограмме содержится 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).

Следовательно, масса ягод, собранных внучкой, составляет:

$1 \text{ кг } 450 \text{ г} = 1 \times 1000 \text{ г} + 450 \text{ г} = 1450 \text{ г}$.

Итак, внучка собрала 1450 г земляники.

2. Вычислим, сколько граммов земляники собрала бабушка.

Известно, что бабушка собрала на 800 г больше, чем внучка. Чтобы найти эту величину, прибавим 800 г к массе ягод, которые собрала внучка.

$1450 \text{ г} + 800 \text{ г} = 2250 \text{ г}$.

Таким образом, бабушка собрала 2250 г земляники.

3. Найдем, сколько всего граммов ягод они собрали вместе.

Для этого сложим массу ягод, собранных внучкой, и массу ягод, собранных бабушкой.

$1450 \text{ г} + 2250 \text{ г} = 3700 \text{ г}$.

Вместе они собрали 3700 г ягод. Можно также выразить этот вес в килограммах и граммах:

$3700 \text{ г} = 3000 \text{ г} + 700 \text{ г} = 3 \text{ кг } 700 \text{ г}$.

Ответ: Вместе бабушка с внучкой собрали 3700 граммов ягод.

2.5 В понедельник пятиклассники взяли в библиотеке 34 книги, что на 7 книг больше, чем во вторник, и на 9 книг меньше, чем в среду. Сколько всего книг взяли пятиклассники?

1) 34 - 7 = 27 (км) - взяли во вторник

2) 34 + 9 = 43 (км) - взяли в среду

3) 34 + 27 + 43 = 34 + (27 + 43) = 34 + 70 = 104 (км) - взяли всего

Ответ: 104 книги.

Для решения задачи нам нужно последовательно найти количество книг, взятых во вторник и среду, а затем сложить все значения, чтобы получить итоговое количество.

1. Найдём, сколько книг пятиклассники взяли во вторник.

По условию, в понедельник было взято 34 книги, что на 7 книг больше, чем во вторник. Чтобы найти количество книг, взятых во вторник, нужно из количества книг за понедельник вычесть 7.

Выполним вычитание:

$34 - 7 = 27$ (книг)

Ответ: во вторник взяли 27 книг.

2. Найдём, сколько книг пятиклассники взяли в среду.

Также по условию, количество книг, взятых в понедельник (34), на 9 книг меньше, чем в среду. Это означает, что в среду взяли на 9 книг больше, чем в понедельник. Чтобы найти количество книг за среду, нужно к количеству книг за понедельник прибавить 9.

Выполним сложение:

$34 + 9 = 43$ (книги)

Ответ: в среду взяли 43 книги.

3. Найдём, сколько всего книг взяли пятиклассники.

Чтобы найти общее количество книг, нужно сложить количество книг, взятых в каждый из трёх дней: в понедельник (34), во вторник (27) и в среду (43).

Выполним сложение:

$34 + 27 + 43 = 61 + 43 = 104$ (книги)

Ответ: всего пятиклассники взяли 104 книги.

2.6 С элеватора в первый день отправили 136 т зерна, что на 23 т меньше, чем во второй день, а в третий день отправили на 56 т больше, чем во второй день. Сколько тонн зерна отправили с элеватора за три дня?

1) 136 + 23 = 159 (т) - отправили в 2-й день;

2) 159 + 56 = 215 (т) - отправили в 3-й день;

3) 136 + 159 + 215 = 295 + 215 = 510 (т) - отправили за три дня.

Ответ: 510 т.

Для решения задачи необходимо выполнить вычисления в несколько шагов.

1. Найдём, сколько тонн зерна отправили во второй день.

В первый день отправили 136 т зерна, что по условию на 23 т меньше, чем во второй день. Следовательно, во второй день отправили на 23 т больше.

$136 + 23 = 159$ (т)

Ответ: во второй день отправили 159 тонн зерна.

2. Найдём, сколько тонн зерна отправили в третий день.

В третий день отправили на 56 т больше, чем во второй. Зная, что во второй день отправили 159 т, мы можем вычислить количество зерна за третий день.

$159 + 56 = 215$ (т)

Ответ: в третий день отправили 215 тонн зерна.

3. Найдём, сколько всего тонн зерна отправили с элеватора за три дня.

Чтобы найти общее количество, необходимо сложить массу зерна, отправленную в каждый из трёх дней.

$136 \text{ (первый день)} + 159 \text{ (второй день)} + 215 \text{ (третий день)} = 510$ (т)

Ответ: за три дня с элеватора отправили 510 тонн зерна.

2.7 Отметьте на координатной прямой точку А(7), отложите от неё вправо 6 единичных отрезков и отметьте точку В. Запишите координату точки В.

Ответ: В(13).

Для решения задачи необходимо определить положение точки $B$ на координатной прямой относительно точки $A$.

1. Исходная точка — это точка $A$ с координатой 7. Записывается как $A(7)$.

2. Условие гласит, что от точки $A$ нужно отложить 6 единичных отрезков вправо. Движение по координатной прямой вправо соответствует увеличению координаты (сложению).

3. Чтобы найти координату точки $B$, мы должны к координате точки $A$ прибавить 6.

Произведем вычисление:
Координата точки $B$ = Координата точки $A$ + 6
$7 + 6 = 13$

Таким образом, координата точки $B$ равна 13. На координатной прямой точка $B$ будет расположена на отметке 13.

Ответ: Координата точки $B$ равна 13, то есть $B(13)$.

2.8 Отметьте на координатной прямой S(8) и М(11). Сколько надо отложить единичных отрезков от точки S и в какую сторону, чтобы попасть в точку М?

11 - 8 = 3 (единичных отрезков)

Ответ: нужно отложить от точки S три единичных отрезка вправо, чтобы попасть в точку М.

Отметьте на координатной прямой S(8) и M(11).

Сначала начертим координатную прямую. Это прямая линия со стрелкой, указывающей положительное направление (обычно вправо), на которой отмечены начало отсчета и единичный отрезок. Затем на этой прямой найдем и отметим точки S и M, соответствующие числовым значениям 8 и 11.

На представленной координатной прямой точка S отмечена над числом 8, а точка M — над числом 11.

Сколько надо отложить единичных отрезков от точки S и в какую сторону, чтобы попасть в точку M?

Чтобы найти количество единичных отрезков, которые нужно отложить для перехода от точки S к точке M, необходимо вычислить расстояние между ними. На координатной прямой расстояние находится как разность координат конечной и начальной точек.

Координата начальной точки S равна 8.
Координата конечной точки M равна 11.

Вычисляем разность координат: $11 - 8 = 3$

Таким образом, от точки S до точки M нужно отложить 3 единичных отрезка.

Далее определим направление. Так как координата точки M (11) больше координаты точки S (8), то есть $11 > 8$, движение от S к M происходит в сторону увеличения чисел на координатной прямой. Это направление — вправо (положительное направление оси).

Ответ: чтобы попасть из точки S в точку M, надо отложить 3 единичных отрезка вправо.

2.9 На координатной прямой покажите сложение чисел:

а) 7 + 5;

б) 7 + 7;

в) 7 + 9;

г) 9 + 7.

7 + 5 = 12

7 + 7 = 14

7 + 9 = 16

9 + 7= 16

Сложение чисел на координатной прямой можно представить как движение по ней. Первое слагаемое — это наша начальная точка. Второе слагаемое показывает, на сколько единичных отрезков и в каком направлении нужно сдвинуться. Так как мы складываем положительные числа, движение всегда будет вправо (в сторону увеличения чисел).

Чтобы найти сумму $7 + 5$, мы находим на координатной прямой точку 7. От этой точки мы должны переместиться на 5 единиц вправо.

Начав движение из точки 7 и сдвинувшись на 5 единиц вправо, мы попадаем в точку 12. Следовательно, $7 + 5 = 12$.
Ответ: 12

Для суммы $7 + 7$ мы также начинаем с точки 7, но сдвигаемся вправо на 7 единичных отрезков.

Переместившись из точки 7 на 7 единиц вправо, мы оказываемся в точке 14. Таким образом, $7 + 7 = 14$.
Ответ: 14

Для вычисления $7 + 9$ мы начинаем с точки 7 и сдвигаемся на 9 единичных отрезков вправо.

Движение из точки 7 на 9 единиц вправо приводит нас в точку 16. Значит, $7 + 9 = 16$.
Ответ: 16

Чтобы найти сумму $9 + 7$, мы начинаем движение с точки 9 на координатной прямой и сдвигаемся на 7 единичных отрезков вправо.

Начав движение из точки 9 и сдвинувшись на 7 единиц вправо, мы попадаем в точку 16. Следовательно, $9 + 7 = 16$.
Этот пример вместе с предыдущим иллюстрирует переместительное свойство сложения: от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a + b = b + a$). Результат такой же, как и в пункте в), но на координатной прямой мы начинаем с другой точки и делаем сдвиг на другое расстояние.
Ответ: 16

2.10 Найдите сумму наиболее удобным способом:

а) (397 + 614) + 386;

б) 544 + (56 + 1437).

а) Используем сочетательное свойство сложения.

(397 + 614) + 386 = 397 + (614 + 386) = 397 + 1000 = 1397

б) Используем сочетательное свойство сложения.

544 + (56 + 1437) = (544 + 56) + 1437 = 600 + 1437 = 2037

а) Чтобы найти сумму наиболее удобным способом, воспользуемся сочетательным свойством сложения, которое гласит, что результат сложения трёх и более чисел не зависит от того, как они сгруппированы: $(a+b)+c = a+(b+c)$.
В выражении $(397 + 614) + 386$ мы можем перегруппировать слагаемые. Удобнее сначала сложить $614$ и $386$, так как их сумма является круглым числом (заканчивается на 0).
$ (397 + 614) + 386 = 397 + (614 + 386) $
Выполним действия по шагам:
1. $614 + 386 = 1000$
2. $397 + 1000 = 1397$
Таким образом, $397 + (614 + 386) = 397 + 1000 = 1397$.
Ответ: 1397

б) В выражении $544 + (56 + 1437)$ также применим сочетательное свойство сложения $a+(b+c) = (a+b)+c$.
Перегруппируем слагаемые так, чтобы упростить вычисления. Удобнее сначала сложить $544$ и $56$.
$ 544 + (56 + 1437) = (544 + 56) + 1437 $
Выполним действия по шагам:
1. $544 + 56 = 600$
2. $600 + 1437 = 2037$
Таким образом, $(544 + 56) + 1437 = 600 + 1437 = 2037$.
Ответ: 2037

2.11 Найдите сумму:

а) 475 + 676 + 525;

б) 272 + 464 + 336.

$\mathrm{а})47\underline{5}+676+52\underline{5}=$$(475\stackrel{1000}{+}525)+676=$$1000+676=1676$

$\mathrm{б}) 272 +46\underline{4} + 33\underline{6} =$$272 + (464 \stackrel{800}{+} 336) =$$272 + 800 = 1072$

а) Чтобы найти сумму $475 + 676 + 525$, удобнее сначала сложить числа, которые в сумме дают круглое число. Воспользуемся переместительным свойством сложения и сгруппируем $475$ и $525$.

$475 + 676 + 525 = (475 + 525) + 676$

1. Найдем сумму в скобках:

$475 + 525 = 1000$

2. Теперь к полученному результату прибавим оставшееся число:

$1000 + 676 = 1676$

Ответ: $1676$

б) Чтобы найти сумму $272 + 464 + 336$, также сгруппируем слагаемые для удобства вычислений. Сложим $464$ и $336$.

$272 + 464 + 336 = 272 + (464 + 336)$

1. Вычислим сумму в скобках:

$464 + 336 = 800$

2. Теперь прибавим к результату первое слагаемое:

$272 + 800 = 1072$

Ответ: $1072$

2.12 Выполните сложение:

а) 437 + 333 + 63 + 67;

б) 575 + 402 + 1425 + 298;

в) 321 + 329 + 235 + 615 + 87;

г) 21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29.

$\mathrm{а}) 43\underline{7} + 33\underline{3} + 6\underline{3} + 6\underline{7} =$$(437 \stackrel{500}{+} 63) + (333 \stackrel{400}{+} 67) =$$500 + 400 = 900$

Для того чтобы найти сумму наиболее удобным способом, нужно сложить трёхзначное и двухзначное число так, чтобы в разряде единиц в сумме получилась цифра 0.

$\mathrm{б}) 57\underline{5} + 40\underset{=}{2} +142\underline{5} + 29\underset{=}{8} =$$\left(575\stackrel{2000}{+}1425\right) + (402 \stackrel{700}{+} 298) =$$2000 + 700 = 2700$

Для того чтобы найти сумму наиболее удобным способом, нужно сначала сложить такие числа, у которых в сумме в разряде единиц получится 0.

$\mathrm{в}) 32\underline{1} + 32\underline{9} + 23\underset{=}{5} + 61\underset{=}{5} + 87 =$$(321 \stackrel{650}{+ }329) + (235 \stackrel{850}{+} 615) + 87 =$$650 + 850 + 87 =$$(650 \stackrel{1500}{+} 850) + 87 =$$1500 + 87 = 1587$

Для того чтобы найти сумму пяти слагаемых наиболее удобным способом, нужно сложить попарно такие числа, которые в сумме в разряде единиц дадут цифру 0.

$\mathrm{г}) 21 + 22 + 23 + 24 +$$25 + 26 + 27 + 28 + 29 =$$(21 \stackrel{50}{+} 29) + (22 \stackrel{50}{+} 28) +$$(23 \stackrel{50}{+} 27) + (24 \stackrel{50}{+}26) + 25 =$$50 + 50 + 50 + 50 +25 =$$(50 \stackrel{100}{+} 50) + (50 \stackrel{100}{+}50) + 25 =$$100 + 100 + 25 =$$(100 \stackrel{200}{+} 100) + 25 =$$200 +25 = 225$

Можно заменить, что первое и последнее слагаемые, второе и предпоследнее слагаемые, третье и седьмое слагаемые, четвёртые и шестые слагаемые в сумме в разряде единиц дают цифру 0.

а) $437 + 333 + 63 + 67$

Для удобства вычисления сгруппируем слагаемые. Сложение является коммутативной и ассоциативной операцией, поэтому мы можем менять слагаемые местами и группировать их в любом порядке. Сгруппируем числа так, чтобы их суммы оканчивались на ноль:

$(437 + 63) + (333 + 67)$

Выполним сложение в каждой группе:

$437 + 63 = 500$

$333 + 67 = 400$

Теперь сложим полученные результаты:

$500 + 400 = 900$

Ответ: $900$

б) $575 + 402 + 1425 + 298$

Сгруппируем слагаемые для упрощения расчетов:

$(575 + 1425) + (402 + 298)$

Выполним сложение в каждой группе:

$575 + 1425 = 2000$

$402 + 298 = 700$

Сложим полученные суммы:

$2000 + 700 = 2700$

Ответ: $2700$

в) $321 + 329 + 235 + 615 + 87$

Сгруппируем слагаемые, которые в сумме дают удобные для счета числа:

$(321 + 329) + (235 + 615) + 87$

Выполним сложение в группах:

$321 + 329 = 650$

$235 + 615 = 850$

Теперь сложим все полученные значения:

$650 + 850 + 87 = 1500 + 87 = 1587$

Ответ: $1587$

г) $21 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29$

Данный ряд чисел представляет собой арифметическую прогрессию. Можно найти сумму, сгруппировав первое и последнее число, второе и предпоследнее, и так далее:

$(21 + 29) + (22 + 28) + (23 + 27) + (24 + 26) + 25$

Вычислим суммы в скобках:

$21 + 29 = 50$

$22 + 28 = 50$

$23 + 27 = 50$

$24 + 26 = 50$

Теперь сложим все полученные суммы и оставшееся число:

$50 + 50 + 50 + 50 + 25 = 4 \times 50 + 25 = 200 + 25 = 225$

Ответ: $225$

2.13 Разложите по разрядным слагаемым число:

а) 84;

б) 207;

в) 38 407;

г) 882 735;

д) 5 021 020;

е) 607 975 019 427.

а) Число 84 содержит 8 десятков и 4 единицы. Это можно записать так:

84 = 80 + 4 = 8 · 10 + 4 · 1 = 8 · 10 + 4.

б) Число 207 содержит 2 сотни, 0 десятков и 7 единиц. Это можно записать так:

207 = 200 + 7 = 2 · 100 + 0 · 10 + 7 · 1 = 2 · 100 + 7.

в) Число 38 407 содержит 3 десятка тысяч, 8 единиц тысяч, 4 сотни, 0 десятков и 7 единиц. Это можно записать так:

38 407 = 30 000 + 8 000 + 400 + 0 · 10 + 7 · 1 = 3 · 10000 + 8 · 1000 + 4 · 100 + 0 · 10 + 7 · 1 = 3 · 10 000 + 8 · 1 000 + 4 · 100 + 7.

г) Число 888 735 содержит 8 сотен тысяч, 8 десятков тысяч, 2 единицы тысяч, 7 сотен, 3 десятка и 5 единиц. Это можно записать так:

882 735 = 800 000 + 80 000 + 2 000 + 700 + 30 + 5 = 8 · 100 000 + 8 · 10 000 + 2 · 1000 + 7 · 100 + 3 · 10 + 5 · 1 = 8 · 100 000 + 8 · 10 000 + 2 · 1 000 + 7 · 100 + 3 · 10 + 5.

д) Число 5 021 020 содержит 5 единиц миллионов, 0 сотен тысяч, 2 десятка тысяч, 1 единицу тысяч, 0 сотен, 2 десятка и 0 единиц. Это можно записать так:

5 021 020 = 5 000 000 + 20 000 + 1 000 + 20 + 0 = 5 · 1 000 000 + 0 · 100 000 + 2 · 10 000 + 1 · 1 000 + 0 · 100 + 2 · 10 + 0 · 1 = 5 · 1 000 000 + 2 · 10 000 + 1 · 1 000 + 2 · 10.

е) Число 607 975 019 427 содержит 6 сотен миллиардов, 0 десятков миллиардов, 7 единиц миллиардов, 9 сотен миллионов, 7 десятков миллионов, 5 единиц миллионов, 0 сотен тысяч, 1 десяток тысяч, 9 единиц тысяч, 4 сотни, 2 десятка и 7 единиц. Это можно записать так:

607 975 019 427 = 6 · 100 000 000 000 + 0 · 10 000 000 000 + 7 · 1 000 000 000 + 9 · 100 000 000 + 7 · 10 000 000 + 5 · 1 000 000 + 0 · 100 000 + 1 · 10 000 + 9 · 1 000 + 4 · 100 + 2 · 10 + 7 · 1 = 6 · 100 000 000 000 + 7 · 1 000 000 000 + 9 · 100 000 000 + 7 · 10 000 000 + 5 · 1 000 000 + 1 · 10 000 + 9 · 1 000 + 4 · 100 + 2 · 10 + 7.

Разложить число по разрядным слагаемым — это значит представить его в виде суммы, где каждое слагаемое является произведением цифры на значение её разряда (1, 10, 100, 1000 и т.д.). Ниже представлено разложение каждого числа.

а) В числе 84 цифра 8 находится в разряде десятков, а цифра 4 — в разряде единиц. Таким образом, разложение выглядит так: $8 \cdot 10 + 4 \cdot 1 = 80 + 4$.
Ответ: $84 = 80 + 4$.

б) В числе 207 цифра 2 стоит в разряде сотен, 0 — в разряде десятков и 7 — в разряде единиц. Слагаемые, соответствующие разрядам с цифрой 0, в сумму не записываются.
Разложение: $2 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 7 \cdot 1 = 200 + 7$.
Ответ: $207 = 200 + 7$.

в) Число 38 407 состоит из 3 десятков тысяч, 8 тысяч, 4 сотен и 7 единиц.
Разложение: $3 \cdot 10\;000 + 8 \cdot 1\;000 + 4 \cdot 100 + 7 \cdot 1 = 30\;000 + 8\;000 + 400 + 7$.
Ответ: $38\;407 = 30\;000 + 8\;000 + 400 + 7$.

г) Число 882 735 состоит из 8 сотен тысяч, 8 десятков тысяч, 2 тысяч, 7 сотен, 3 десятков и 5 единиц.
Разложение: $8 \cdot 100\;000 + 8 \cdot 10\;000 + 2 \cdot 1\;000 + 7 \cdot 100 + 3 \cdot 10 + 5 \cdot 1 = 800\;000 + 80\;000 + 2\;000 + 700 + 30 + 5$.
Ответ: $882\;735 = 800\;000 + 80\;000 + 2\;000 + 700 + 30 + 5$.

д) В числе 5 021 020 значащие цифры: 5 в разряде миллионов, 2 в разряде десятков тысяч, 1 в разряде тысяч и 2 в разряде десятков.
Разложение: $5 \cdot 1\;000\;000 + 2 \cdot 10\;000 + 1 \cdot 1\;000 + 2 \cdot 10 = 5\;000\;000 + 20\;000 + 1\;000 + 20$.
Ответ: $5\;021\;020 = 5\;000\;000 + 20\;000 + 1\;000 + 20$.

е) Разложим число 607 975 019 427 по разрядам, начиная со старшего. В этом числе 12 разрядов.
$6 \cdot 100\;000\;000\;000 = 600\;000\;000\;000$ (6 сотен миллиардов)
$7 \cdot 1\;000\;000\;000 = 7\;000\;000\;000$ (7 миллиардов)
$9 \cdot 100\;000\;000 = 900\;000\;000$ (9 сотен миллионов)
$7 \cdot 10\;000\;000 = 70\;000\;000$ (7 десятков миллионов)
$5 \cdot 1\;000\;000 = 5\;000\;000$ (5 миллионов)
$1 \cdot 10\;000 = 10\;000$ (1 десяток тысяч)
$9 \cdot 1\;000 = 9\;000$ (9 тысяч)
$4 \cdot 100 = 400$ (4 сотни)
$2 \cdot 10 = 20$ (2 десятка)
$7 \cdot 1 = 7$ (7 единиц)
Сложив все эти значения, получим итоговую сумму разрядных слагаемых.
Ответ: $607\;975\;019\;427 = 600\;000\;000\;000 + 7\;000\;000\;000 + 900\;000\;000 + 70\;000\;000 + 5\;000\;000 + 10\;000 + 9\;000 + 400 + 20 + 7$.

2.14 Запишите число, которое разложили по разрядным слагаемым так:

а) 3 · 1 000 000 + 4 · 100 000 + 5 · 10 000 + 6 · 1 000 + 7 · 100 + 8 · 10 + 9 = 3 000 000 + 400 000 + 50 000 + 6 000 + 700 + 80 + 9 = 3 456 789;

б) 3 · 10 000 000 000 + 7 · 1 000 000 + 4 = 30 000 000 000 + 7 000 000 + 4 = 30 007 000 004.

а) Чтобы найти исходное число, нужно сложить все разрядные слагаемые. Каждое слагаемое представляет собой произведение цифры на её разрядное значение.

Дано выражение: $3 \cdot 1\;000\;000 + 4 \cdot 100\;000 + 5 \cdot 10\;000 + 6 \cdot 1\;000 + 7 \cdot 100 + 8 \cdot 10 + 9$.

Вычислим каждое слагаемое:

$3 \cdot 1\;000\;000 = 3\;000\;000$ (3 миллиона)
$4 \cdot 100\;000 = 400\;000$ (4 сотни тысяч)
$5 \cdot 10\;000 = 50\;000$ (5 десятков тысяч)
$6 \cdot 1\;000 = 6\;000$ (6 тысяч)
$7 \cdot 100 = 700$ (7 сотен)
$8 \cdot 10 = 80$ (8 десятков)
$9$ (9 единиц)

Теперь сложим все полученные значения:

$3\;000\;000 + 400\;000 + 50\;000 + 6\;000 + 700 + 80 + 9 = 3\;456\;789$

Также можно просто записать цифры, соответствующие каждому разряду, по порядку их следования от старшего к младшему. В данном случае это цифры 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, что и составляет искомое число.

Ответ: 3 456 789.

б) Аналогично, рассмотрим второе выражение:

$3 \cdot 10\;000\;000\;000 + 7 \cdot 1\;000\;000 + 4$

Вычислим каждое слагаемое:

$3 \cdot 10\;000\;000\;000 = 30\;000\;000\;000$ (3 десятка миллиардов)
$7 \cdot 1\;000\;000 = 7\;000\;000$ (7 миллионов)
$4$ (4 единицы)

В этом разложении некоторые разряды пропущены. Это означает, что в итоговом числе на их месте будут стоять нули. Составим число, располагая цифры в соответствующих разрядах:

Разряд десятков миллиардов: 3
Разряд миллиардов: 0
Разряд сотен миллионов: 0
Разряд десятков миллионов: 0
Разряд миллионов: 7
Разряд сотен тысяч: 0
Разряд десятков тысяч: 0
Разряд тысяч: 0
Разряд сотен: 0
Разряд десятков: 0
Разряд единиц: 4

Собрав все цифры вместе, получаем число $30\;007\;000\;004$.

Проверим сложением:

$30\;000\;000\;000 + 7\;000\;000 + 4 = 30\;007\;000\;004$

Ответ: 30 007 000 004.

2.15 Найдите сумму:

а)

б)

в)

г)

а) Для того чтобы найти сумму чисел $11\;087\;845\;099$ и $3\;419\;609\;311$, выполним сложение в столбик. Запишем числа одно под другим, выравнивая их по правому краю (по разрядам), и сложим их поразрядно, начиная справа:

 11 087 845 099+ 3 419 609 311------------------ 14 507 454 410

Ответ: $14\;507\;454\;410$.

б) Для того чтобы найти сумму чисел $94\;029\;684\;513$ и $8\;997\;547\;608$, выполним сложение в столбик:

 94 029 684 513+ 8 997 547 608------------------ 103 027 232 121

Ответ: $103\;027\;232\;121$.

в) Для того чтобы найти сумму чисел $39\;000\;124\;569$ и $51\;637\;008$, выполним сложение в столбик, аккуратно выравнивая разряды:

 39 000 124 569+ 51 637 008------------------ 39 051 761 577

Ответ: $39\;051\;761\;577$.

г) Для того чтобы найти сумму чисел $3\;976\;233\;754$ и $188\;245\;983\;467$, выполним сложение в столбик. Для удобства расположим число с большим количеством разрядов сверху:

 188 245 983 467+ 3 976 233 754------------------- 192 222 217 221

Ответ: $192\;222\;217\;221$.

5.261 Ответьте на вопросы:

а) Сколько полушек в полтиннике?

б) Сколько грошей в гривеннике?

в) Как четвертак разменять на алтыны и полушки?

г) Сколько гривенников в полтиннике?

д) Какой будет сдача при покупке товара стоимостью в четвертак и полушку, если заплачен полтинник?

a) $1к. - \frac{1}{4}$ полушка, т.к. $1$ полушка $= \frac{1}{4}$ к.

$1к. = 4$ полушки

полтинник - $50$ к.

$50·4 = 200$ полушек в полтиннике

б) $1к. - \frac{1}{2}$ грош, т.к. $1$ грош $= \frac{1}{2}$ к.

$1к. = 2$ гроша

гривенник - $10$ к.

$10·2 = 20$ грошей в гривеннике

в) четвертак - $25$ к.

алтын - $3$ к.

полушка - $\frac{1}{4}$ к. , $1к. - 4$ полушки

четвертак $= 24к. + 1к. = (24 : 3)$ алтынов $+ 4$ полушки $= 8$ алтынов $+ 4$ полушки

г) гривенник - $10$ к.

полтинник - $50$ к.

полтинник $= (50 : 10)$ гривенников $= 5$ гривенников

д) Заплачен - полтинник,

Стоимость - четвертак и полушка

Сдача - ?

полтинник - $50$ к.

четвертак - $25$ к.

полушка - $\frac{1}{4}$ к.

1) $25 + \frac{1}{4} = 25\frac{1}{4} = \frac{4·25 + 1}{4} = \frac{100 + 1}{4} = \frac{101}{4}(к.)$ - стоимость товара

2) $50 = \frac{50·4}{4} = \frac{200}{4}(к.)$ - заплачено

3) $\frac{200}{4} - \frac{101}{4} = \frac{99}{4} = 24\frac{3}{4}(к.)$ - сдача

Ответ: $24\frac{3}{4}$ к.

Для решения этих задач воспользуемся соотношениями старинных русских денежных единиц, выраженными в копейках:

• 1 полтинник = 50 копеек
• 1 четвертак = 25 копеек
• 1 гривенник = 10 копеек
• 1 алтын = 3 копейки
• 1 грош = 2 копейки
• 1 копейка = 2 деньги = 4 полушки (следовательно, 1 полушка = 0,25 копейки)

а) Сколько полушек в полтиннике?

В одном полтиннике 50 копеек. В одной копейке 4 полушки. Чтобы найти общее количество полушек в полтиннике, умножим количество копеек на количество полушек в одной копейке.

Расчет: $50 \text{ копеек} \times 4 \text{ полушки/копейка} = 200 \text{ полушек}$.

Ответ: 200 полушек.

б) Сколько грошей в гривеннике?

В одном гривеннике 10 копеек. Один грош равен 2 копейкам. Чтобы найти количество грошей в гривеннике, разделим стоимость гривенника в копейках на стоимость гроша в копейках.

Расчет: $10 \text{ копеек} \div 2 \text{ копейки/грош} = 5 \text{ грошей}$.

Ответ: 5 грошей.

в) Как четвертак разменять на алтыны и полушки?

Четвертак — это 25 копеек. Алтын — 3 копейки, полушка — 0,25 копейки. Пусть $x$ — это количество алтынов, а $y$ — количество полушек. Составим уравнение: $3x + 0.25y = 25$.

Для удобства вычислений умножим обе части уравнения на 4: $12x + y = 100$.

Выразим $y$: $y = 100 - 12x$. Так как $x$ и $y$ должны быть целыми положительными числами (поскольку нужно разменять на оба вида монет), $x$ может принимать значения от 1 до 8. Это дает нам несколько возможных вариантов размена:

• 1 алтын и 88 полушек ($3 \times 1 + 0.25 \times 88 = 3 + 22 = 25$)
• 2 алтына и 76 полушек ($3 \times 2 + 0.25 \times 76 = 6 + 19 = 25$)
• 3 алтына и 64 полушки ($3 \times 3 + 0.25 \times 64 = 9 + 16 = 25$)
• 4 алтына и 52 полушки ($3 \times 4 + 0.25 \times 52 = 12 + 13 = 25$)
• 5 алтынов и 40 полушек ($3 \times 5 + 0.25 \times 40 = 15 + 10 = 25$)
• 6 алтынов и 28 полушек ($3 \times 6 + 0.25 \times 28 = 18 + 7 = 25$)
• 7 алтынов и 16 полушек ($3 \times 7 + 0.25 \times 16 = 21 + 4 = 25$)
• 8 алтынов и 4 полушки ($3 \times 8 + 0.25 \times 4 = 24 + 1 = 25$)

Ответ: Существует 8 способов, например, можно взять 8 алтынов и 4 полушки.

г) Сколько гривенников в полтиннике?

Полтинник равен 50 копейкам, а гривенник — 10 копейкам. Чтобы найти, сколько гривенников в полтиннике, разделим стоимость полтинника на стоимость гривенника.

Расчет: $50 \text{ копеек} \div 10 \text{ копеек/гривенник} = 5 \text{ гривенников}$.

Ответ: 5 гривенников.

д) Какой будет сдача при покупке товара стоимостью в четвертак и полушку, если заплачен полтинник?

Сначала определим все суммы в копейках. Заплачено — полтинник, то есть 50 копеек. Стоимость товара — четвертак и полушка, то есть $25 \text{ копеек} + 0.25 \text{ копейки} = 25.25 \text{ копейки}$.

Теперь вычислим сдачу, вычтя из уплаченной суммы стоимость товара.

Расчет сдачи: $50 - 25.25 = 24.75 \text{ копейки}$.

Сдачу в 24,75 копейки можно представить в старинных монетах. Например, 24 копейки — это 8 алтынов ($8 \times 3 = 24$), а 0,75 копейки — это 3 полушки ($3 \times 0.25 = 0.75$).

Ответ: Сдача составит 24,75 копейки, что можно выдать, например, 8 алтынами и 3 полушками.

5.262 По рисунку 5.48 определите, какую часть отрезка АВ составляет каждый отрезок.

AB = 9 клеток

MN = 5 клеток

Отрезок MN составляет $\frac{5}{9}$ отрезка AB

XY = 8 клеток

Отрезок XY составляет $\frac{8}{9}$ отрезка AB

CD = 7 клеток

Отрезок CD составляет $\frac{7}{9}$ отрезка AB

RN = 11 клеток

Отрезок RN составляет $\frac{11}{9} = 1\frac{2}{9}$ отрезка AB,

т.к.
$\begin{array}{rcl}11& |& 9\\ \underset{\_}{9}& |& 1\\ 2\text{(ост.)}& & \end{array}$

ZK = 9 клеток

Отрезок ZK составляет $\frac{9}{9} = 1$ отрезка AB,

т.е. ZK = AB

Для того чтобы определить, какую часть от отрезка AB составляет каждый из остальных отрезков, примем длину одной клетки на рисунке за единицу измерения.

Посчитаем длину отрезка AB. Он простирается на 5 клеток, следовательно, его длина равна 5 единицам. Теперь найдем отношение длины каждого из указанных отрезков к длине отрезка AB.

CO

Длина отрезка CO равна 5 клеткам, то есть 5 единицам. Чтобы найти, какую часть он составляет от отрезка AB, разделим длину CO на длину AB:

$ \frac{5}{5} = 1 $

Ответ: 1.

MN

Длина отрезка MN равна 3 клеткам, то есть 3 единицам. Отношение длины MN к длине AB составляет:

$ \frac{3}{5} $

Ответ: $ \frac{3}{5} $.

RN

Длина отрезка RN равна 6 клеткам, то есть 6 единицам. Отношение длины RN к длине AB составляет:

$ \frac{6}{5} $

Эту неправильную дробь можно также представить в виде смешанного числа $ 1\frac{1}{5} $.

Ответ: $ \frac{6}{5} $.

XY

Длина отрезка XY равна 5 клеткам, то есть 5 единицам. Отношение длины XY к длине AB составляет:

$ \frac{5}{5} = 1 $

Ответ: 1.

ZK

Длина отрезка ZK равна 5 клеткам, то есть 5 единицам. Отношение длины ZK к длине AB составляет:

$ \frac{5}{5} = 1 $

Ответ: 1.

5.263 У обыкновенной дроби поменяли местами числитель и знаменатель. Как изменится дробь, если она:

а) правильная;

б) неправильная?

a) Пусть $\frac{3}{7}$ - правильная дробь (числитель 3 меньше знаменателя 7).
Если поменять местами числитель и знаменатель, то дробь станет $\frac{7}{3}$, т.е. неправильной (числитель 7 больше знаменателя 3).
Если поменять местами числитель и знаменатель, то правильная дробь станет неправильной и увеличится.

б) Пусть $\frac{5}{3}$ - неправильная дробь (числитель 5 больше знаменателя 3). Если поменять местами числитель и знаменатель, то дробь станет $\frac{3}{5}$, т.е. правильной (числитель 3 меньше знаменателя 5).
Пусть $\frac{3}{3}$ - неправильная дробь (числитель равен знаменателю). Если поменять местами числитель и знаменатель, то дробь не изменится.
Если поменять местами числитель и знаменатель неправильной дроби, у которой числитель больше знаменателя, то дробь станет правильной и уменьшится.
Если поменять местами числитель и знаменатель неправильной дроби, у которой числитель равен знаменателю, то дробь останется неправильной, т.е. не изменится.

а) Пусть дана правильная обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$. По определению правильной дроби, ее числитель меньше знаменателя, то есть $a < b$. Значение такой дроби всегда меньше 1 (при условии, что $a$ и $b$ — натуральные числа).
Когда мы меняем местами числитель и знаменатель, мы получаем новую дробь $\frac{b}{a}$.
Поскольку исходно было $a < b$, то в новой дроби числитель $b$ стал больше знаменателя $a$. Дробь, у которой числитель больше знаменателя, называется неправильной. Значение такой дроби больше 1.
Например, возьмем правильную дробь $\frac{2}{7}$. Ее значение меньше 1. Поменяв местами числитель и знаменатель, получим дробь $\frac{7}{2}$. Это неправильная дробь, и ее значение (3.5) больше 1.
Таким образом, правильная дробь превратится в неправильную и ее значение увеличится.
Ответ: правильная дробь станет неправильной.

б) Пусть дана неправильная обыкновенная дробь $\frac{a}{b}$. По определению неправильной дроби, ее числитель больше или равен знаменателю, то есть $a \geq b$. Значение такой дроби всегда больше или равно 1.
Рассмотрим два случая.
1. Числитель строго больше знаменателя: $a > b$.
В этом случае после перестановки мы получим дробь $\frac{b}{a}$. Так как $a > b$, в новой дроби числитель $b$ стал меньше знаменателя $a$. Такая дробь является правильной, и ее значение меньше 1.
Например, неправильная дробь $\frac{9}{4}$ станет дробью $\frac{4}{9}$, которая является правильной.
2. Числитель равен знаменателю: $a = b$.
В этом случае дробь имеет вид $\frac{a}{a}$, и ее значение равно 1. После перестановки числителя и знаменателя мы снова получим дробь $\frac{a}{a}$, которая также равна 1 и по определению является неправильной (поскольку числитель не меньше знаменателя).
Например, дробь $\frac{5}{5}$ после перестановки останется дробью $\frac{5}{5}$.
Таким образом, неправильная дробь, у которой числитель больше знаменателя, станет правильной. Если же у неправильной дроби числитель равен знаменателю, она останется неправильной.
Ответ: неправильная дробь станет правильной, за исключением случая, когда числитель равен знаменателю (дробь равна 1) — в этом случае она останется неправильной.

5.264 а) Представьте в виде дробей частные 1 : 19, 5 : 3, 33 : 13 и 6 : 1.

б) Представьте в виде частных дроби 2937, 137, 99 и 284.

а) Чтобы представить частное в виде дроби, необходимо делимое записать в числитель дроби, а делитель — в её знаменатель. Общее правило выглядит так: $a : b = \frac{a}{b}$.

Применим это правило для каждого из данных частных:

• Частное $1 : 19$ равно дроби $\frac{1}{19}$.
• Частное $5 : 3$ равно дроби $\frac{5}{3}$.
• Частное $33 : 13$ равно дроби $\frac{33}{13}$.
• Частное $6 : 1$ равно дроби $\frac{6}{1}$.

Ответ: $\frac{1}{19}$, $\frac{5}{3}$, $\frac{33}{13}$, $\frac{6}{1}$.

б) Чтобы представить дробь в виде частного, необходимо числитель дроби записать как делимое, а знаменатель — как делитель. Общее правило выглядит так: $\frac{a}{b} = a : b$.

Применим это правило для каждой из данных дробей:

• Дробь $\frac{29}{37}$ равна частному $29 : 37$.
• Дробь $\frac{13}{7}$ равна частному $13 : 7$.
• Дробь $\frac{9}{9}$ равна частному $9 : 9$.
• Дробь $\frac{28}{4}$ равна частному $28 : 4$.

Ответ: $29 : 37$, $13 : 7$, $9 : 9$, $28 : 4$.

5.265 Спортивный зал в школе имеет форму прямоугольника длиной 24 м и шириной 12 м. Для проведения тренировки по дзюдо 718 площади зала застелили татами. Какую площадь зала застелили татами?

1) $24·12 = 288{\text{м}}^2$ – площадь прямоугольника

2) Дробь $\frac{7}{18}$ показывает, что всю площадь разделили на 18 частей и взяли из них 7

$288 : 18 = 16{\text{м}}^2$ – в 1 части

3) $16·7 = 112{\text{м}}^2$ - застелили татами

Ответ: $112{\text{м}}^2$

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо выполнить два последовательных действия: сначала найти общую площадь спортивного зала, а затем вычислить, какая часть этой площади покрыта татами.

1. Найдем общую площадь спортивного зала.
Спортивный зал имеет форму прямоугольника. Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется как произведение его длины ($a$) на ширину ($b$): $ S = a \cdot b $
Согласно условию, длина зала $a = 24$ м, а ширина $b = 12$ м.
Вычислим площадь зала: $ S_{зала} = 24 \text{ м} \cdot 12 \text{ м} = 288 \text{ м}^2 $.

2. Найдем площадь, застеленную татами.
Из условия известно, что для тренировки по дзюдо татами застелили $ \frac{7}{18} $ площади зала. Чтобы найти дробь от числа, нужно это число умножить на дробь. $ S_{татами} = S_{зала} \cdot \frac{7}{18} $
Подставим значение общей площади зала: $ S_{татами} = 288 \cdot \frac{7}{18} $
Для удобства вычислений сначала разделим 288 на 18: $ 288 \div 18 = 16 $
Теперь умножим полученный результат на числитель дроби: $ 16 \cdot 7 = 112 $
Таким образом, площадь, застеленная татами, составляет 112 м?.

Ответ: 112 м?.

5.266 Песочное тесто разложили в три контейнера. Во второй контейнер вошло в 4 раза меньше, чем в первый, а в третий — 700 г теста. Найдите массу теста в каждом из первых двух контейнеров, если масса всего теста 4 кг 200 г.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Переведем общую массу теста в граммы. В 1 килограмме 1000 граммов, следовательно:

$4 \text{ кг } 200 \text{ г} = 4 \times 1000 \text{ г} + 200 \text{ г} = 4200 \text{ г}$.

2. Найдем общую массу теста в первом и втором контейнерах. Для этого вычтем из общей массы массу теста в третьем контейнере (700 г):

$4200 \text{ г} - 700 \text{ г} = 3500 \text{ г}$.

3. Обозначим массу теста во втором контейнере через $x$. По условию, во второй контейнер вошло в 4 раза меньше теста, чем в первый. Это значит, что масса теста в первом контейнере в 4 раза больше и равна $4x$.

4. Сумма масс теста в первом и втором контейнерах равна $x + 4x = 5x$. Мы знаем, что эта сумма составляет 3500 г. Составим и решим уравнение:

$5x = 3500$

$x = \frac{3500}{5}$

$x = 700 \text{ г}$.

Теперь, зная значение $x$, мы можем найти массу теста в каждом из первых двух контейнеров.

Масса теста во втором контейнере равна $x$.

Ответ: $700 \text{ г}$.

Масса теста в первом контейнере равна $4x$. Подставим найденное значение $x$:

$4 \times 700 \text{ г} = 2800 \text{ г}$.

Эту массу можно также выразить как $2 \text{ кг } 800 \text{ г}$.

Ответ: $2800 \text{ г}$ (или $2 \text{ кг } 800 \text{ г}$).

5.267 Два байкера выехали на мотоциклах из двух городов, расположенных на расстоянии 624 км друг от друга. При этом первый байкер выехал раньше второго и встретился с ним, проехав 336 км. Скорость движения первого байкера была 84 км/ч, а второго — 96 км/ч. На сколько часов второй байкер выехал позже первого?

Для решения этой задачи нам необходимо определить время, которое каждый байкер провел в пути до момента их встречи, а затем найти разницу в этом времени.

1. Определяем время в пути первого байкера.

Из условия известно, что первый байкер проехал до встречи $336$ км, а его скорость составляла $84$ км/ч. Время в пути ($t_1$) можно найти, разделив расстояние ($s_1$) на скорость ($v_1$).

$s_1 = 336 \text{ км}$

$v_1 = 84 \text{ км/ч}$

$t_1 = \frac{s_1}{v_1} = \frac{336}{84} = 4$ часа.

Таким образом, первый байкер был в пути 4 часа.

2. Определяем расстояние, которое проехал второй байкер.

Общее расстояние между городами — $624$ км. Если первый байкер проехал до встречи $336$ км, то второй проехал оставшуюся часть пути ($s_2$).

$S_{общ} = 624 \text{ км}$

$s_2 = S_{общ} - s_1 = 624 - 336 = 288$ км.

Таким образом, второй байкер проехал до встречи 288 км.

3. Определяем время в пути второго байкера.

Второй байкер проехал $288$ км со скоростью $96$ км/ч. Найдем время, которое он затратил на этот путь ($t_2$).

$s_2 = 288 \text{ км}$

$v_2 = 96 \text{ км/ч}$

$t_2 = \frac{s_2}{v_2} = \frac{288}{96} = 3$ часа.

Таким образом, второй байкер был в пути 3 часа.

4. Находим разницу во времени выезда.

Поскольку первый байкер был в пути 4 часа, а второй — 3 часа до момента их одновременной встречи, это означает, что первый байкер выехал раньше. Разница во времени их движения и будет ответом на вопрос задачи.

$\Delta t = t_1 - t_2 = 4 \text{ часа} - 3 \text{ часа} = 1$ час.

Ответ: второй байкер выехал позже первого на 1 час.

5.268 Решите уравнение:

1) (654x - 10 590) : 57 = 778;

2) (54x + 22) • 315 = 23 940.

1) $(654x - 10590) : 57 = 778$

В этом уравнении выражение в скобках $(654x - 10590)$ является делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное (778) умножить на делитель (57).

$654x - 10590 = 778 \cdot 57$

$654x - 10590 = 44346$

Теперь мы имеем более простое уравнение, где $654x$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности (44346) прибавить вычитаемое (10590).

$654x = 44346 + 10590$

$654x = 54936$

Осталось найти $x$, который является неизвестным множителем. Для этого разделим произведение (54936) на известный множитель (654).

$x = 54936 : 654$

$x = 84$

Проверка: $(654 \cdot 84 - 10590) : 57 = (54936 - 10590) : 57 = 44346 : 57 = 778$. Верно.

Ответ: $84$

2) $(54x + 22) \cdot 315 = 23940$

В этом уравнении выражение в скобках $(54x + 22)$ является неизвестным множителем. Чтобы найти его, нужно произведение (23940) разделить на известный множитель (315).

$54x + 22 = 23940 : 315$

$54x + 22 = 76$

Теперь $54x$ — это неизвестное слагаемое. Чтобы найти его, нужно из суммы (76) вычесть известное слагаемое (22).

$54x = 76 - 22$

$54x = 54$

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение (54) на известный множитель (54).

$x = 54 : 54$

$x = 1$

Проверка: $(54 \cdot 1 + 22) \cdot 315 = (54 + 22) \cdot 315 = 76 \cdot 315 = 23940$. Верно.

Ответ: $1$

5.269 Выполните действия:

1) (38 • 35 - 35) : 259;

2) (43 • 21 + 1671) : 429.

1) $(38 \cdot 35 - 35) : 259$

Для решения этого примера будем следовать порядку выполнения действий. Сначала выполняем действия в скобках (умножение, затем вычитание), а потом деление. Выражение в скобках можно упростить, вынеся общий множитель $35$ за скобки, используя распределительный закон умножения относительно вычитания $a \cdot c - b \cdot c = (a-b) \cdot c$. В данном случае $38 \cdot 35 - 35$ можно записать как $38 \cdot 35 - 1 \cdot 35$.

1. Выносим общий множитель $35$ за скобки:

$(38 - 1) \cdot 35 = 37 \cdot 35$

2. Вычисляем произведение:

$37 \cdot 35 = 1295$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$1295 : 259$

3. Выполним деление:

$1295 : 259 = 5$

Ответ: $5$

2) $(43 \cdot 21 + 1671) : 429$

Решаем пример, соблюдая порядок действий: сначала действия в скобках (умножение, затем сложение), после этого — деление.

1. Первым действием выполним умножение в скобках:

$43 \cdot 21 = 903$

2. Вторым действием выполним сложение в скобках:

$903 + 1671 = 2574$

Теперь выражение выглядит так:

$2574 : 429$

3. Выполним деление:

$2574 : 429 = 6$

Ответ: $6$

5.270 Представьте неправильную дробь в виде смешанного числа:

а) $\frac{29}{7};$

б) $\frac{78}{10};$

в) $\frac{96}{19};$

г) $\frac{891}{22}.$

Чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо разделить числитель дроби на ее знаменатель с остатком. Полученное неполное частное будет целой частью смешанного числа, остаток от деления — числителем его дробной части, а знаменатель останется прежним.

а) Представим дробь $ \frac{29}{7} $ в виде смешанного числа.

1. Разделим числитель 29 на знаменатель 7: $ 29 \div 7 = 4 $ (неполное частное).

2. Найдем остаток от деления: $ 29 - 4 \times 7 = 29 - 28 = 1 $.

3. Целая часть равна 4, числитель дробной части — 1, знаменатель — 7.

В результате получаем смешанное число: $ 4 \frac{1}{7} $.

Ответ: $ 4 \frac{1}{7} $

б) Представим дробь $ \frac{78}{10} $ в виде смешанного числа.

1. Разделим числитель 78 на знаменатель 10: $ 78 \div 10 = 7 $ (неполное частное).

2. Найдем остаток от деления: $ 78 - 7 \times 10 = 78 - 70 = 8 $.

3. Получаем смешанное число $ 7 \frac{8}{10} $. Дробную часть $ \frac{8}{10} $ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2: $ \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5} $.

В результате получаем смешанное число: $ 7 \frac{4}{5} $.

Ответ: $ 7 \frac{4}{5} $

в) Представим дробь $ \frac{96}{19} $ в виде смешанного числа.

1. Разделим числитель 96 на знаменатель 19: $ 96 \div 19 = 5 $ (неполное частное), так как $ 19 \times 5 = 95 $.

2. Найдем остаток от деления: $ 96 - 5 \times 19 = 96 - 95 = 1 $.

3. Целая часть равна 5, числитель дробной части — 1, знаменатель — 19.

В результате получаем смешанное число: $ 5 \frac{1}{19} $.

Ответ: $ 5 \frac{1}{19} $

г) Представим дробь $ \frac{891}{22} $ в виде смешанного числа.

1. Разделим числитель 891 на знаменатель 22: $ 891 \div 22 = 40 $ (неполное частное).

2. Найдем остаток от деления: $ 891 - 40 \times 22 = 891 - 880 = 11 $.

3. Получаем смешанное число $ 40 \frac{11}{22} $. Дробную часть $ \frac{11}{22} $ можно сократить на 11: $ \frac{11 \div 11}{22 \div 11} = \frac{1}{2} $.

В результате получаем смешанное число: $ 40 \frac{1}{2} $.

Ответ: $ 40 \frac{1}{2} $

5.271 Используя образец, представьте в виде неправильной дроби:

а) со знаменателем 7 числа 3, 4 и 7;

б) со знаменателем 6 числа 9, 12 и 125.

Чтобы представить целое число в виде неправильной дроби с заданным знаменателем, нужно умножить это число на заданный знаменатель. Полученное произведение станет числителем дроби, а знаменатель останется без изменений. Общая формула для представления числа $N$ в виде дроби со знаменателем $d$ выглядит так: $N = \frac{N \cdot d}{d}$.

а) со знаменателем 7 числа 3, 4 и 7;

Для числа 3: необходимо умножить 3 на знаменатель 7, чтобы найти числитель.
$3 = \frac{3 \cdot 7}{7} = \frac{21}{7}$

Для числа 4: необходимо умножить 4 на знаменатель 7.
$4 = \frac{4 \cdot 7}{7} = \frac{28}{7}$

Для числа 7: необходимо умножить 7 на знаменатель 7.
$7 = \frac{7 \cdot 7}{7} = \frac{49}{7}$

Ответ: $\frac{21}{7}; \frac{28}{7}; \frac{49}{7}$.

б) со знаменателем 6 числа 9, 12 и 125.

Для числа 9: необходимо умножить 9 на знаменатель 6.
$9 = \frac{9 \cdot 6}{6} = \frac{54}{6}$

Для числа 12: необходимо умножить 12 на знаменатель 6.
$12 = \frac{12 \cdot 6}{6} = \frac{72}{6}$

Для числа 125: необходимо умножить 125 на знаменатель 6.
$125 = \frac{125 \cdot 6}{6} = \frac{750}{6}$

Ответ: $\frac{54}{6}; \frac{72}{6}; \frac{750}{6}$.