Страница 40, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.204 Выполните сравнение чисел:

а) 376 и 382;

б) 123 и 106;

в) 4189 и 4198.

а) 376 < 382;
б) 123 > 106;
в) 4189 < 4198.

а) Чтобы сравнить числа 376 и 382, необходимо сравнить их поразрядно, начиная со старшего разряда (слева направо). Оба числа являются трехзначными.
1. Сравниваем цифры в разряде сотен: у обоих чисел это 3. Они равны.
2. Сравниваем цифры в разряде десятков: у числа 376 это 7, а у числа 382 — 8.
Поскольку $7 < 8$, то и число 376 меньше числа 382.
Ответ: $376 < 382$.

б) Сравниваем числа 123 и 106. Оба числа трехзначные.
1. Сравниваем цифры в разряде сотен: у обоих чисел это 1. Они равны.
2. Сравниваем цифры в разряде десятков: у числа 123 это 2, а у числа 106 — 0.
Поскольку $2 > 0$, то число 123 больше числа 106.
Ответ: $123 > 106$.

в) Сравниваем числа 4189 и 4198. Оба числа четырехзначные.
1. Сравниваем цифры в разряде тысяч: у обоих чисел это 4. Они равны.
2. Сравниваем цифры в разряде сотен: у обоих чисел это 1. Они равны.
3. Сравниваем цифры в разряде десятков: у числа 4189 это 8, а у числа 4198 — 9.
Поскольку $8 < 9$, то число 4189 меньше числа 4198.
Ответ: $4189 < 4198$.

1.205 Выразите в центнерах:

а) 4000 кг;

б) 1 200 000 г;

в) 7 т.

а) 4 000 кг = 40 ц;
б) 1 200 000 г = 1 200 кг = 12 ц;
в) 7 т = 70 ц.

Для решения этой задачи необходимо знать, как соотносятся между собой различные единицы массы: центнер (ц), килограмм (кг), грамм (г) и тонна (т).
Основные соотношения:
1 центнер = 100 килограммов.
1 тонна = 1000 килограммов = 10 центнеров.
1 килограмм = 1000 граммов.

а) Чтобы перевести килограммы в центнеры, нужно разделить количество килограммов на 100, так как в одном центнере 100 кг.

$4000 \text{ кг} \div 100 = 40 \text{ ц}$

Ответ: 40 ц.

б) Сначала переведем граммы в килограммы. В одном килограмме 1000 граммов, поэтому разделим заданное число на 1000.

$1 \, 200 \, 000 \text{ г} \div 1000 = 1200 \text{ кг}$

Теперь переведем полученные 1200 кг в центнеры, разделив на 100.

$1200 \text{ кг} \div 100 = 12 \text{ ц}$

Ответ: 12 ц.

в) Чтобы перевести тонны в центнеры, нужно умножить количество тонн на 10, так как в одной тонне 10 центнеров.

$7 \text{ т} \times 10 = 70 \text{ ц}$

Ответ: 70 ц.

1.206 Проведите прямую. Постройте на ней отрезок HG, равный 6 см, и отрезок HS, равный 4 см. Найдите длину отрезка GS. Сколько решений может быть у задачи?

HG = 6 см;
HS = 4 см.
GS = HG + HS = 6 + 4 = 10 (см)

или

HG = 6 см;
HS = 4 см.
GS = HG - HS = 6 - 4 = 2 (см)

Ответ: два решения, 2 см или 10 см.

Эта задача имеет два решения, так как положение точки S относительно точки H на прямой не задано однозначно. Отрезок HS можно построить по обе стороны от точки H на прямой, где уже построен отрезок HG. Рассмотрим оба возможных случая.

Случай 1: Точка S расположена между точками H и G.

В этом случае отрезки HG и HS откладываются от точки H в одном и том же направлении. Поскольку длина отрезка HG (6 см) больше длины отрезка HS (4 см), точка S окажется на отрезке HG. Чтобы найти длину отрезка GS, необходимо из длины отрезка HG вычесть длину отрезка HS.
$GS = HG - HS = 6 \text{ см} - 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Ответ: 2 см.

Случай 2: Точка H расположена между точками S и G.

В этом случае отрезки HG и HS откладываются от точки H в противоположных направлениях. Длина искомого отрезка GS будет равна сумме длин отрезков HG и HS.
$GS = HG + HS = 6 \text{ см} + 4 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

Ответ: 10 см.

Сколько решений может быть у задачи?

Поскольку существует два возможных варианта расположения точек, которые приводят к разным значениям длины отрезка GS, задача имеет два решения.

Ответ: 2.

1.207 Найдите число в конце цепочки.

а) Чтобы найти число в конце этой цепочки, нужно последовательно выполнить все указанные арифметические действия, начиная с числа 60.
1. Сложение: $60 + 40 = 100$.
2. Деление: $100 : 2 = 50$.
3. Вычитание: $50 - 30 = 20$.
4. Деление: $20 : 5 = 4$.
5. Умножение: $4 \cdot 9 = 36$.
Ответ: 36

б) Аналогично, для второй цепочки, начиная с числа 70, выполним все действия по порядку.
1. Вычитание: $70 - 50 = 20$.
2. Умножение: $20 \cdot 5 = 100$.
3. Деление: $100 : 20 = 5$.
4. Сложение: $5 + 55 = 60$.
5. Деление: $60 : 30 = 2$.
Ответ: 2

1.208 Разбираемся в решении. Трое друзей Андрей, Николай и Ярослав собрались в поход на лодках. До пристани можно добраться утром на автобусе двумя рейсами.

а) Сколькими вариантами можно доехать до реки?

Решение. Составим таблицу возможных вариантов:

Видим, что получилось 8 вариантов.

б) Составьте таблицу для задачи, если можно использовать три рейса автобуса.

а)

Ответ: 8 вариантов.

б)

Ответ: 27 вариантов.

а) В задаче трое друзей: Андрей (А), Николай (Н) и Ярослав (Я). Им нужно добраться до пристани, и они могут воспользоваться одним из двух утренних рейсов автобуса. Каждый из друзей делает свой выбор независимо от других.

Таким образом, для каждого друга существует 2 возможных варианта:

• Андрей может поехать 1-м или 2-м рейсом (2 варианта).
• Николай может поехать 1-м или 2-м рейсом (2 варианта).
• Ярослав может поехать 1-м или 2-м рейсом (2 варианта)

Эти 8 вариантов и перечислены в таблице, приведённой в условии задачи.

Ответ: 8 вариантов.

б) Если можно использовать три рейса автобуса, то у каждого из трёх друзей появляется 3 независимых варианта выбора. Каждый может выбрать 1-й, 2-й или 3-й рейс.

Составим таблицу, в которой будут показаны все 27 возможных вариантов распределения друзей (А — Андрей, Н — Николай, Я — Ярослав) по трём рейсам. Для наглядности сгруппируем варианты: все едут на одном рейсе; двое на одном, один на другом; все на разных рейсах.

Ответ: Всего существует 27 вариантов. Таблица, представляющая все эти варианты, приведена выше.

5.229 Найдите, сколько:

а) килограммов в 15 т, 25 т, 14 т, 12 т и 725 т;

б) секунд в 15 мин, 35 мин, 23 мин, 46 мин и 512 мин;

в) квадратных метров в 14 а, 25 а, 18 а и 38 а;

г) кубических дециметров в 14 м³, 110 м³, 310 м³ и 38 м³.

а) килограммов в $\frac{1}{5}$ т, $\frac{2}{5}$ т, $\frac{1}{4}$ т, $\frac{1}{2}$ т и $\frac{7}{25}$ т;

Для перевода тонн в килограммы воспользуемся соотношением: 1 тонна = 1000 килограммов. Чтобы найти, сколько килограммов в указанных долях тонны, нужно умножить каждую дробь на 1000.

$\frac{1}{5}$ т = $\frac{1}{5} \times 1000$ кг = $200$ кг

$\frac{2}{5}$ т = $\frac{2}{5} \times 1000$ кг = $2 \times 200$ кг = $400$ кг

$\frac{1}{4}$ т = $\frac{1}{4} \times 1000$ кг = $250$ кг

$\frac{1}{2}$ т = $\frac{1}{2} \times 1000$ кг = $500$ кг

$\frac{7}{25}$ т = $\frac{7}{25} \times 1000$ кг = $7 \times 40$ кг = $280$ кг

Ответ: 200 кг, 400 кг, 250 кг, 500 кг, 280 кг.

б) секунд в $\frac{1}{5}$ мин, $\frac{3}{5}$ мин, $\frac{2}{3}$ мин, $\frac{4}{6}$ мин и $\frac{5}{12}$ мин;

Для перевода минут в секунды воспользуемся соотношением: 1 минута = 60 секунд. Чтобы найти, сколько секунд в указанных долях минуты, нужно умножить каждую дробь на 60.

$\frac{1}{5}$ мин = $\frac{1}{5} \times 60$ с = $12$ с

$\frac{3}{5}$ мин = $\frac{3}{5} \times 60$ с = $3 \times 12$ с = $36$ с

$\frac{2}{3}$ мин = $\frac{2}{3} \times 60$ с = $2 \times 20$ с = $40$ с

$\frac{4}{6}$ мин = $\frac{2}{3}$ мин = $\frac{2}{3} \times 60$ с = $40$ с

$\frac{5}{12}$ мин = $\frac{5}{12} \times 60$ с = $5 \times 5$ с = $25$ с

Ответ: 12 с, 36 с, 40 с, 40 с, 25 с.

в) квадратных метров в $\frac{1}{4}$ а, $\frac{2}{5}$ а, $\frac{1}{8}$ а и $\frac{3}{8}$ а;

Для перевода аров в квадратные метры воспользуемся соотношением: 1 ар (сотка) = 100 квадратных метров (м?). Чтобы найти, сколько квадратных метров в указанных долях ара, нужно умножить каждую дробь на 100.

$\frac{1}{4}$ а = $\frac{1}{4} \times 100$ м? = $25$ м?

$\frac{2}{5}$ а = $\frac{2}{5} \times 100$ м? = $2 \times 20$ м? = $40$ м?

$\frac{1}{8}$ а = $\frac{1}{8} \times 100$ м? = $\frac{100}{8}$ м? = $12,5$ м?

$\frac{3}{8}$ а = $\frac{3}{8} \times 100$ м? = $3 \times 12,5$ м? = $37,5$ м?

Ответ: 25 м?, 40 м?, 12,5 м?, 37,5 м?.

г) кубических дециметров в $\frac{1}{4}$ м?, $\frac{1}{10}$ м?, $\frac{3}{10}$ м? и $\frac{3}{8}$ м?.

Для перевода кубических метров в кубические дециметры воспользуемся соотношением: 1 метр = 10 дециметров, следовательно, 1 кубический метр (м?) = $10^3$ = 1000 кубических дециметров (дм?). Чтобы найти, сколько кубических дециметров в указанных долях кубического метра, нужно умножить каждую дробь на 1000.

$\frac{1}{4}$ м? = $\frac{1}{4} \times 1000$ дм? = $250$ дм?

$\frac{1}{10}$ м? = $\frac{1}{10} \times 1000$ дм? = $100$ дм?

$\frac{3}{10}$ м? = $\frac{3}{10} \times 1000$ дм? = $300$ дм?

$\frac{3}{8}$ м? = $\frac{3}{8} \times 1000$ дм? = $3 \times 125$ дм? = $375$ дм?

Ответ: 250 дм?, 100 дм?, 300 дм?, 375 дм?.

5.230 В магазин отправили 15 ящиков помидоров, а остальные 25 ящиков - на склад. Какую часть помидоров отправили в магазин, а какую - на склад?

В магазин - 15 ящиков

На склад - 25 ящиков

1) 15 + 25 = 40 (ящ.) всего отправили в магазин и на склад

2) 15 : 40 = $\frac{15}{40}$ помидоров отправили в магазин

3) 25 : 40 = $\frac{25}{40}$ помидоров отправили на склад

Знаменатель дробей $\frac{15}{40}$ и $\frac{25}{40}$ показывает, сколько всего было ящиков.

Числитель - сколько из них отправили в магазин и на склад соответственно.

Ответ: $\frac{15}{40}$ помидоров и $\frac{25}{40}$ помидоров.

Для того чтобы найти, какую часть помидоров отправили в магазин, а какую — на склад, сначала необходимо вычислить общее количество ящиков.

1. Находим общее количество ящиков:

$15 \text{ (в магазин)} + 25 \text{ (на склад)} = 40$ (ящиков) — всего.

Теперь, зная общее количество, мы можем найти долю для каждой части.

Какую часть помидоров отправили в магазин

Чтобы найти эту часть, нужно разделить количество ящиков, отправленных в магазин, на общее количество ящиков и сократить полученную дробь.

$\frac{15}{40} = \frac{15 \div 5}{40 \div 5} = \frac{3}{8}$

Ответ: в магазин отправили $\frac{3}{8}$ часть всех помидоров.

Какую часть помидоров отправили на склад

Аналогично, чтобы найти эту часть, нужно разделить количество ящиков, отправленных на склад, на общее количество ящиков и сократить дробь.

$\frac{25}{40} = \frac{25 \div 5}{40 \div 5} = \frac{5}{8}$

Ответ: на склад отправили $\frac{5}{8}$ часть всех помидоров.

5.231 По формуле деления с остатком а = bq + r найдите:

Данная задача решается с использованием формулы деления с остатком: $a = bq + r$, где a — делимое, b — делитель, q — неполное частное, а r — остаток.

а) найти a, если b = 23, q = 69 и r = 48

Чтобы найти a, подставим известные значения b, q и r в формулу:

$a = 23 \cdot 69 + 48$

Сначала выполним умножение:

$23 \cdot 69 = 1587$

Затем к полученному результату прибавим остаток:

$a = 1587 + 48 = 1635$

Примечание: по правилам деления с остатком, остаток должен быть меньше делителя ($r < b$). В данном случае $48 > 23$, что является нестандартной ситуацией. Однако, так как задача требует найти значение по формуле, мы просто выполняем вычисления.

Ответ: 1635.

б) найти b, если a = 419, q = 34 и r = 11

Чтобы найти b, нам нужно выразить его из основной формулы $a = bq + r$.

Сначала вычтем r из обеих частей уравнения:

$a - r = bq$

Затем разделим обе части на q:

$b = \frac{a - r}{q}$

Теперь подставим известные значения a, r и q:

$b = \frac{419 - 11}{34} = \frac{408}{34}$

Выполним деление:

$b = 12$

Ответ: 12.

в) найти q, если a = 375, b = 28 и r = 11

Чтобы найти q, выразим его из формулы $a = bq + r$.

Вычтем r из обеих частей:

$a - r = bq$

Разделим обе части на b:

$q = \frac{a - r}{b}$

Подставим известные значения a, b и r:

$q = \frac{375 - 11}{28} = \frac{364}{28}$

Выполним деление:

$q = 13$

Ответ: 13.

г) найти r, если a = 123, b = 20 и q = 6

Чтобы найти r, выразим его из формулы $a = bq + r$.

Для этого вычтем произведение bq из a:

$r = a - bq$

Подставим известные значения a, b и q:

$r = 123 - 20 \cdot 6$

Сначала выполним умножение:

$r = 123 - 120$

Затем выполним вычитание:

$r = 3$

Ответ: 3.

5.232 Сколькими способами четверо детей могут выбрать себе одно яблоко из четырёх: красное, жёлтое, зелёное и полосатое?

Эта задача на нахождение числа перестановок, так как у нас есть 4 различных ребенка и 4 различных яблока, и каждому ребенку нужно дать ровно по одному яблоку. Мы должны найти, сколькими способами можно сопоставить каждому ребенку одно уникальное яблоко.

Давайте рассуждать последовательно:

1. Первый ребенок подходит к столу, на котором лежат 4 яблока (красное, жёлтое, зелёное, полосатое). У него есть 4 варианта выбора.

2. После того как первый ребенок взял одно яблоко, на столе осталось 3 яблока. Второй ребенок может выбрать любое из этих 3 оставшихся яблок. У него есть 3 варианта выбора.

3. Теперь на столе лежит 2 яблока. Третий ребенок может выбрать одно из двух. У него есть 2 варианта.

4. Последнему, четвертому ребенку, остается только одно яблоко. У него всего 1 вариант выбора.

Чтобы найти общее количество способов, нужно перемножить число вариантов для каждого ребенка. Это следует из основного правила комбинаторики (правила умножения).

Общее количество способов равно произведению числа выборов на каждом шаге: $N = 4 \times 3 \times 2 \times 1$

Это произведение называется факториалом числа 4 и обозначается как $4!$.

Вычислим результат: $4! = 24$

Следовательно, существует 24 способа, которыми четверо детей могут выбрать себе по одному яблоку.

Ответ: 24.

5.233 1) Время, которое подводная лодка двигалась под водой, в 30 раз больше времени движения на поверхности воды. Сколько часов лодка находилась на поверхности воды, если это время на 87 ч меньше времени движения под водой?

2) Расстояние, которое прошла подводная лодка на поверхности воды, в 15 раз меньше, чем расстояние, пройденное под водой. Сколько километров прошла лодка на поверхности воды, если под водой она прошла на 280 км больше?

1)

Пусть время, которое подводная лодка находилась на поверхности воды, равно $x$ часов. Исходя из условия, время, которое подводная лодка двигалась под водой, в 30 раз больше, то есть оно равно $30x$ часов.

Также известно, что время на поверхности ($x$) на 87 часов меньше времени движения под водой ($30x$). Составим уравнение на основе этой разницы:

$30x - x = 87$

Решим это уравнение:

$29x = 87$

$x = \frac{87}{29}$

$x = 3$

Таким образом, время, которое лодка находилась на поверхности воды, составляет 3 часа.

Проверка:
Время на поверхности: 3 ч.
Время под водой: $30 \cdot 3 = 90$ ч.
Разница: $90 \text{ ч} - 3 \text{ ч} = 87 \text{ ч}$. Условие выполнено.

Ответ: лодка находилась на поверхности воды 3 часа.

2)

Пусть расстояние, которое подводная лодка прошла на поверхности воды, равно $y$ километров. Из условия следует, что расстояние, пройденное под водой, в 15 раз больше. Значит, оно составляет $15y$ километров.

По условию, под водой лодка прошла на 280 км больше, чем на поверхности. Составим уравнение, отражающее эту разницу:

$15y - y = 280$

Решим полученное уравнение:

$14y = 280$

$y = \frac{280}{14}$

$y = 20$

Следовательно, расстояние, которое лодка прошла на поверхности воды, равно 20 км.

Проверка:
Расстояние на поверхности: 20 км.
Расстояние под водой: $15 \cdot 20 = 300$ км.
Разница: $300 \text{ км} - 20 \text{ км} = 280 \text{ км}$. Условие выполнено.

Ответ: лодка прошла на поверхности воды 20 километров.

5.234 Выполните деление с остатком:

1) 4738 на 225;

2) 3051 на 104.

1) $4738 : 225 = 21\text{(ост.}13\text{)}$

$\begin{array}{ll}\overline{)4738}& 225\\ - 450& \overline{21}\\ \phantom{-}238& \\ - 225& \\ \phantom{-}13& \end{array}$

2) $3051 : 104 = 29\text{(ост.}35\text{)}$

$\begin{array}{ll}\overline{)3051}& 104\\ - 208& \overline{29}\\ \phantom{-}971& \\ - 936& \\ \phantom{-}35& \end{array}$

1) Чтобы выполнить деление с остатком числа 4738 на 225, воспользуемся методом деления в столбик.

Сначала определим, сколько раз 225 помещается в 473.
$225 \times 1 = 225$
$225 \times 2 = 450$
$225 \times 3 = 675$ (это больше, чем 473).
Значит, первая цифра частного — 2.
Находим остаток: $473 - 450 = 23$.

Сносим следующую цифру делимого (8) и получаем число 238.
Теперь определим, сколько раз 225 помещается в 238.
$225 \times 1 = 225$
$225 \times 2 = 450$ (это больше, чем 238).
Значит, вторая цифра частного — 1.
Находим остаток: $238 - 225 = 13$.

Так как 13 меньше 225 и больше цифр в делимом нет, то деление завершено.
Неполное частное равно 21, а остаток равен 13.
Проверим результат: $21 \times 225 + 13 = 4725 + 13 = 4738$. Результат верный.

Ответ: 4738 : 225 = 21 (ост. 13).

2) Выполним деление с остатком числа 3051 на 104.

Сначала определим, сколько раз 104 помещается в 305.
$104 \times 1 = 104$
$104 \times 2 = 208$
$104 \times 3 = 312$ (это больше, чем 305).
Первая цифра частного — 2.
Находим остаток: $305 - 208 = 97$.

Сносим следующую цифру делимого (1) и получаем число 971.
Теперь определим, сколько раз 104 помещается в 971.
Прикинем: $104 \times 9 = 936$.
$104 \times 10 = 1040$ (это больше, чем 971).
Вторая цифра частного — 9.
Находим остаток: $971 - 936 = 35$.

Так как 35 меньше 104 и больше цифр в делимом нет, деление завершено.
Неполное частное равно 29, а остаток равен 35.
Проверим результат: $29 \times 104 + 35 = 3016 + 35 = 3051$. Результат верный.

Ответ: 3051 : 104 = 29 (ост. 35).

5.235 Развивай воображение. Для освещения детской площадки установлены одинаковые столбы с четырьмя светильниками (рис. 5.45). Как можно протянуть по две праздничные гирлянды от столба М к столбу E и от столба N к столбу D так, чтобы гирлянды не касались друг друга? Найдите несколько способов. Гирлянды крепятся к основаниям светильников.

Задача состоит в том, чтобы проложить две гирлянды (от столба M к столбу E и от столба N к столбу D) так, чтобы они не касались друг друга. Если представить столбы как вершины прямоугольника на плоскости, то гирлянды будут его диагоналями, которые пересекаются. Чтобы избежать пересечения, нужно использовать третье измерение (высоту) или проложить гирлянды не по прямой линии. Ниже представлено несколько способов решения этой задачи.

Способ 1: Разнесение по высоте

Самый простой способ — разместить гирлянды на разной высоте. Одну гирлянду, например от столба M к столбу E, можно закрепить на некоторой высоте $h$ на обоих столбах. Вторую гирлянду, от столба N к столбу D, можно закрепить у самых оснований столбов (на уровне земли). Таким образом, гирлянды будут находиться в параллельных горизонтальных плоскостях, и одна пройдет строго над другой, не соприкасаясь.

Ответ: Одну гирлянду (M-E) закрепить на столбах на одинаковой высоте от земли, а вторую (N-D) — у оснований столбов.

Способ 2: Обход препятствия

Можно оставить обе гирлянды на земле, но проложить их не по прямой. В центре площадки находится игровое оборудование, которое является естественным препятствием. Гирлянду M-E можно проложить по земле, огибая игровую конструкцию с одной стороны (например, со стороны песочницы), а гирлянду N-D — с другой стороны (со стороны горки). В этом случае траектории гирлянд не пересекутся.

Ответ: Проложить гирлянды по земле так, чтобы они огибали центральную игровую конструкцию с противоположных сторон.

Способ 3: Асимметричное крепление

Можно использовать асимметричное крепление по высоте. Например, гирлянду M-E закрепить с наклоном: один конец у основания столба M, а другой — на некоторой высоте $h$ на столбе E. Вторую гирлянду N-D при этом можно проложить по земле, соединив основания столбов N и D. В этом случае одна гирлянда будет наклонной, а вторая — горизонтальной, и они гарантированно не пересекутся в пространстве. Математически, для пересечения отрезков в данном случае должно выполняться условие равенства сумм высот их концов: $z_M + z_E = z_N + z_D$. В предложенном способе мы имеем $0 + h \neq 0 + 0$, поэтому пересечения не будет.

Ответ: Одну гирлянду закрепить с наклоном (у основания одного столба и на некоторой высоте у другого), а вторую гирлянду проложить по земле.