Страница 41, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.209 Постройте столбчатую диаграмму по следующим данным.

Длины рек: Обь — 3 700 км, Белая — 1400 км, Кама — 1800 км, Амур — 2800 км, Волга — 3500 км (100 км — 1 мм).

100 км = 1 мм

3700 : 100 = 37 (мм) - высота столбика который соответствует длине реки Обь;

1400 : 100 = 14 (мм) - высота столбика который соответствует длине реки Белая;

1800 : 100 = 18 (мм) - высота столбика который соответствует длине реки Кама;

2800 : 100 = 28 (мм) - высота столбика который соответствует длине реки Амур;

3500 : 100 = 35 (мм) - высота столбика который соответствует длине реки Волга.

Для построения столбчатой диаграммы необходимо вычислить высоту каждого столбца, соответствующего длине определённой реки, согласно заданному масштабу: 100 км = 1 мм.

Расчет высоты ($H$) для каждого столбца производится по формуле, где $L$ — это длина реки в километрах:
$H \text{ (в мм)} = \frac{L \text{ (в км)}}{100}$

Выполним расчеты для каждой реки.

Обь

Длина реки составляет 3700 км. Высота столбца на диаграмме будет:
$H = \frac{3700}{100} = 37 \text{ мм}$

Белая

Длина реки составляет 1400 км. Высота столбца на диаграмме будет:
$H = \frac{1400}{100} = 14 \text{ мм}$

Кама

Длина реки составляет 1800 км. Высота столбца на диаграмме будет:
$H = \frac{1800}{100} = 18 \text{ мм}$

Амур

Длина реки составляет 2800 км. Высота столбца на диаграмме будет:
$H = \frac{2800}{100} = 28 \text{ мм}$

Волга

Длина реки составляет 3500 км. Высота столбца на диаграмме будет:
$H = \frac{3500}{100} = 35 \text{ мм}$

Построение диаграммы

1. Начертите горизонтальную и вертикальную оси.
2. На горизонтальной оси отметьте на равных расстояниях названия рек.
3. На вертикальной оси нанесите шкалу, соответствующую длине рек. Например, 1 см на оси может соответствовать 1000 км длины (т.е. 10 мм = 1000 км).
4. Для каждой реки нарисуйте прямоугольный столбец одинаковой ширины, высота которого соответствует вычисленному значению в миллиметрах.

Ответ: Для построения диаграммы необходимо изобразить столбцы следующей высоты: Обь — 37 мм, Белая — 14 мм, Кама — 18 мм, Амур — 28 мм, Волга — 35 мм.

1.210 Миша сказал Оле, что у них растёт в саду шесть слив. «А у нас семь, и, значит, слив мы собрали больше», — ответила Оля. Кто собрал слив больше и на сколько, если у Миши собирали по 20 кг с дерева, а у Оли по 15 кг?

1) 6 · 20 = 120 (кг) слив собрали у Миши
2) 7 · 15 = 105 (кг) слив собрали у Оли
3) 120 - 105 = 15 (кг)

Ответ: у Миши собрали слив больше на 15 кг.

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, нужно выполнить несколько шагов: сначала рассчитать общий вес урожая, который собрал Миша, затем — который собрала Оля, и в конце сравнить эти два значения.

1. Сколько килограммов слив собрал Миша?
У Миши в саду растёт 6 сливовых деревьев. С каждого дерева он собрал по 20 кг слив. Чтобы найти общий вес, нужно умножить количество деревьев на вес урожая с одного дерева:
$6 \text{ деревьев} \times 20 \frac{\text{кг}}{\text{дерево}} = 120 \text{ кг}$
Итак, Миша собрал 120 кг слив.

2. Сколько килограммов слив собрала Оля?
У Оли в саду растёт 7 сливовых деревьев. С каждого дерева она собрала по 15 кг слив. Вычислим общий вес её урожая:
$7 \text{ деревьев} \times 15 \frac{\text{кг}}{\text{дерево}} = 105 \text{ кг}$
Таким образом, Оля собрала 105 кг слив.

3. Кто собрал больше и на сколько?
Теперь сравним количество слив, собранное Мишей (120 кг) и Олей (105 кг).
$120 \text{ кг} > 105 \text{ кг}$
Это означает, что Миша собрал больше слив, чем Оля. Чтобы узнать, на сколько больше, вычтем из большего значения меньшее:
$120 \text{ кг} - 105 \text{ кг} = 15 \text{ кг}$
Миша собрал на 15 кг слив больше, чем Оля.

Ответ: Миша собрал слив больше на 15 кг.

1.211 В вазе было 40 слив. Кирилл съел 7 слив, а Ника не считала, сколько слив съела. Кто съел больше, если в вазе осталось 26 слив?

Было - 40 слив

Осталось - 26 слив

1) 40 - 26 = 14 (слив) - съели
2) 14 - 7 = 7 (слив) - съела Ника

Ответ: Кирилл и Ника съели слив поровну по 7 штук.

Для того чтобы определить, кто съел больше слив, нам нужно сначала выяснить, сколько слив съела Ника. Это можно сделать в несколько шагов.

1. Найдем общее количество съеденных слив.
Для этого из первоначального количества слив в вазе вычтем количество оставшихся слив.
Изначально было 40 слив, а осталось 26.
Выполним вычитание:
$40 - 26 = 14$ (слив) – столько всего съели Кирилл и Ника вместе.

2. Найдем, сколько слив съела Ника.
Мы знаем, что всего было съедено 14 слив, и из них 7 слив съел Кирилл. Чтобы найти, сколько слив съела Ника, нужно из общего числа съеденных слив вычесть те, что съел Кирилл.
Выполним вычитание:
$14 - 7 = 7$ (слив) – столько съела Ника.

3. Сравним количество слив, съеденных Кириллом и Никой.
Кирилл съел 7 слив.
Ника тоже съела 7 слив.
Сравниваем эти два числа: $7 = 7$.
Следовательно, Кирилл и Ника съели одинаковое количество слив.

Ответ: Кирилл и Ника съели слив поровну.

1.212 Самый высокий водопад в мире — Анхель (Южная Америка), его высота 1 км 54 м. Высота Тальникового водопада (Россия) на 454 м меньше высоты Анхеля. Высота водопада Виктория (Африка) — 1200 дм, а Ниагарский водопад (Северная Америка) на 690 дм ниже его. Найдите высоту каждого водопада. Запишите названия водопадов в порядке возрастания их высоты.

1) 1 км 54 м = 1000 м + 54 м = 1054 м

1054 - 454 = 600 (м) - высота Тальниковского водопада

2) 1200 дм = 120 м

690 дм = 69 м

120 - 69 = 51 (м) - высота Ниагарского водопада

51 м, 120 м, 600 м, 1054 м.

Ответ: Ниагарский водопад, водопад Виктория, Тальковский водопад, водопад Анхель.

Для решения задачи необходимо выполнить два шага: сначала найти высоту каждого водопада, приведя все значения к единой единице измерения (метрам), а затем сравнить полученные высоты и расположить названия водопадов в порядке возрастания.

Найдите высоту каждого водопада

1. Водопад Анхель. Высота дана как 1 км 54 м. Переведем километры в метры, зная, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$. Высота водопада: $1000 \text{ м} + 54 \text{ м} = 1054 \text{ м}$.
Ответ: высота водопада Анхель — 1054 м.

2. Тальниковый водопад. Его высота на 454 м меньше высоты водопада Анхель. Высота водопада: $1054 \text{ м} - 454 \text{ м} = 600 \text{ м}$.
Ответ: высота Тальникового водопада — 600 м.

3. Водопад Виктория. Его высота составляет 1200 дм. Переведем дециметры в метры, используя соотношение $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$. Высота водопада: $1200 \text{ дм} \div 10 = 120 \text{ м}$.
Ответ: высота водопада Виктория — 120 м.

4. Ниагарский водопад. Его высота на 690 дм ниже водопада Виктория. Сначала переведем 690 дм в метры: $690 \text{ дм} \div 10 = 69 \text{ м}$. Теперь найдем высоту водопада, вычтя это значение из высоты водопада Виктория: $120 \text{ м} - 69 \text{ м} = 51 \text{ м}$.
Ответ: высота Ниагарского водопада — 51 м.

Запишите названия водопадов в порядке возрастания их высоты

Сравним полученные высоты всех водопадов:
Ниагарский водопад: 51 м.
Водопад Виктория: 120 м.
Тальниковый водопад: 600 м.
Водопад Анхель: 1054 м.
Исходя из сравнения $51 < 120 < 600 < 1054$, расположим названия водопадов в порядке возрастания их высот.
Ответ: Ниагарский водопад, Виктория, Тальниковый водопад, Анхель.

1.213 Верно ли, что:

а) 46 + 789 = 467 + 89;

б) 246 : 6 - 24 < 357 : 7;

в) 34 • 79 > 63 • 42;

г) 12 • 3 + 45 • 6 • 1 > 23 + 4 • 56?

$\mathrm{а}) 46 + 789 = 467 + 89$- неверно

$\mathrm{б}) 246 : 6 - 24 < 357 : 7$- верно

17 < 51 - верно

$\mathrm{в}) 34 · 79 > 63 · 42$ - верно

2686 > 2646

$\mathrm{г}) 12 \stackrel{1}{·} 3 \stackrel{4}{+} 45 \stackrel{2}{·} 6 \stackrel{3}{·} 1 > 23 \stackrel{2}{+} 4 \stackrel{1}{·} 56$ - верно

$12 \stackrel{1}{·} 3 \stackrel{4}{+} 45 \stackrel{2}{·} 6 \stackrel{3}{·} 1=306$

2)

$23 \stackrel{2}{+} 4 \stackrel{1}{·} 56=247$

1)

1)

306 > 247

а) Проверим верность равенства $46 + 789 = 467 + 89$. Для этого вычислим значения левой и правой частей выражения.
Вычисление левой части: $46 + 789 = 835$.
Вычисление правой части: $467 + 89 = 556$.
Сравним полученные значения: $835 \neq 556$.
Следовательно, данное равенство неверно.
Ответ: неверно.

б) Проверим верность неравенства $246 : 6 - 24 < 357 : 7$.
Вычислим значение выражения в левой части, соблюдая порядок действий (сначала деление, затем вычитание):
1) $246 : 6 = 41$
2) $41 - 24 = 17$
Теперь вычислим значение выражения в правой части:
$357 : 7 = 51$
Сравним результаты: $17 < 51$.
Так как 17 меньше 51, данное неравенство верно.
Ответ: верно.

в) Проверим верность неравенства $34 \cdot 79 > 63 \cdot 42$.
Вычислим произведение в левой части: $34 \cdot 79 = 2686$.
Вычислим произведение в правой части: $63 \cdot 42 = 2646$.
Сравним полученные результаты: $2686 > 2646$.
Так как 2686 больше 2646, данное неравенство верно.
Ответ: верно.

г) Проверим верность неравенства $12 \cdot 3 + 45 \cdot 6 \cdot 1 > 23 + 4 \cdot 56$.
Вычислим значение левой части, соблюдая порядок действий (умножение выполняется перед сложением):
1) $12 \cdot 3 = 36$
2) $45 \cdot 6 \cdot 1 = 270$
3) $36 + 270 = 306$
Теперь вычислим значение правой части:
1) $4 \cdot 56 = 224$
2) $23 + 224 = 247$
Сравним результаты левой и правой частей: $306 > 247$.
Так как 306 больше 247, данное неравенство верно.
Ответ: верно.

5.236 Запишите в виде дроби частное:

а) 3 : 8;

б) 9 : 13;

в) 8 : 1;

г) 1 : 5.

Чтобы записать частное в виде дроби, необходимо делимое (первое число) записать в числитель дроби, а делитель (второе число) — в знаменатель. Знак деления (:) заменяется чертой дроби.

а) В частном $3 : 8$ делимое равно 3, а делитель равен 8. Записываем 3 в числитель, а 8 в знаменатель.

$3 : 8 = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$

б) В частном $9 : 13$ делимое равно 9, а делитель равен 13. Записываем 9 в числитель, а 13 в знаменатель.

$9 : 13 = \frac{9}{13}$

Ответ: $\frac{9}{13}$

в) В частном $8 : 1$ делимое равно 8, а делитель равен 1. Записываем 8 в числитель, а 1 в знаменатель. Любая дробь с знаменателем 1 равна своему числителю.

$8 : 1 = \frac{8}{1} = 8$

Ответ: $\frac{8}{1}$

г) В частном $1 : 5$ делимое равно 1, а делитель равен 5. Записываем 1 в числитель, а 5 в знаменатель.

$1 : 5 = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

5.237 Запишите дробь в виде частного:

а) 47;

б) 1711;

в) 127;

г) 237100.

Чтобы представить дробь в виде частного, нужно помнить, что дробная черта является знаком деления. Числитель дроби (число сверху) становится делимым, а знаменатель (число снизу) — делителем.

а) Для дроби $\frac{4}{7}$ числитель равен 4, а знаменатель — 7. Запишем эту дробь в виде частного, заменив дробную черту на знак деления (двоеточие):
$\frac{4}{7} = 4 : 7$
Ответ: $4 : 7$

б) Для дроби $\frac{17}{11}$ числитель равен 17, а знаменатель — 11. Запишем эту дробь в виде частного:
$\frac{17}{11} = 17 : 11$
Ответ: $17 : 11$

в) Для дроби $\frac{12}{7}$ числитель равен 12, а знаменатель — 7. Запишем эту дробь в виде частного:
$\frac{12}{7} = 12 : 7$
Ответ: $12 : 7$

г) Для дроби $\frac{237}{100}$ числитель равен 237, а знаменатель — 100. Запишем эту дробь в виде частного:
$\frac{237}{100} = 237 : 100$
Ответ: $237 : 100$

5.238 Ленту разрезали на 16 равных кусков. Сколько метров ленты в одном куске, если её длина 14 м?

14 : 16 = $\frac{14}{16}$ (м)

Ответ: $\frac{14}{16}$ м

Чтобы найти длину одного куска ленты, необходимо общую длину ленты разделить на количество равных кусков, на которые её разрезали.

По условию, общая длина ленты составляет 14 м, а количество равных кусков — 16.

Вычислим длину одного куска, разделив общую длину на количество кусков: $14 \div 16 = \frac{14}{16}$ м.

Сократим полученную дробь. Для этого разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 2: $\frac{14 \div 2}{16 \div 2} = \frac{7}{8}$ м.

Чтобы представить ответ в виде десятичной дроби, выполним деление: $7 \div 8 = 0,875$ м.

Ответ: 0,875 м.

5.239 В 8 коробок для новогодних подарков разложили поровну 5 кг конфет. Сколько килограммов конфет в каждой коробке?

$5 : 8 = \frac{5}{8}\mathrm{(кг)}$

Ответ: $\frac{5}{8}\mathrm{кг}$

Чтобы определить, сколько килограммов конфет находится в каждой коробке, нужно общую массу конфет разделить на количество коробок, так как конфеты были разложены поровну.

Дано:

• Общая масса конфет = $5$ кг.
• Количество коробок = $8$ шт.

Выполним деление общей массы конфет на количество коробок:

$5 \text{ кг} \div 8 \text{ коробок} = \frac{5}{8} \text{ кг/коробка}$

Результатом деления является дробь $\frac{5}{8}$. Это и есть масса конфет в одной коробке. Можно также перевести эту дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель:

$5 \div 8 = 0.625$

Следовательно, в каждой коробке находится $\frac{5}{8}$ кг, или $0.625$ кг конфет.

Ответ: $\frac{5}{8}$ кг.

5.240 За два месяца работы мини-пекарни предприниматель получил выручку 453 000 р. В первый месяц предприниматель работал 25 дней и получал в день выручку 8000 р. Какую выручку в день получал предприниматель во второй месяц, если он работал 23 дня?

1) $25\bullet 8000 = 200 000\text{р.}$ - выручка за I месяц

2) $453 000-200 000 = 253 000\text{р.}$ - выручка за II месяц

3) $253 000÷23 = 11 000\text{р.}$

Ответ: 11 000 рублей.

Для решения задачи нужно выполнить три действия.

1. Найдём выручку за первый месяц.
Для этого умножим количество рабочих дней в первом месяце на дневную выручку:
$25 \times 8000 = 200000$ р.

2. Найдём выручку за второй месяц.
Для этого из общей выручки за два месяца вычтем выручку за первый месяц:
$453000 - 200000 = 253000$ р.

3. Рассчитаем дневную выручку во второй месяц.
Для этого разделим выручку за второй месяц на количество рабочих дней в этом месяце:
$253000 \div 23 = 11000$ р.

Ответ: во второй месяц предприниматель получал в день 11 000 р.

5.241 Два автобуса отошли от одного автовокзала одновременно в противоположных направлениях. Спустя 4 ч расстояние между автобусами стало 624 км. С какой скоростью двигался каждый автобус, если разность их скоростей равна 12 км/ч?

$V_1\text{км/ч}$$V_2\text{км/ч}$

A

624 км через 4ч

Пусть х км/ч - скорость первого автобуса, тогда (х+12) км/ч - скорость второго автобуса.

х + (х+12) км/ч - скорость удаления

Составим уравнение:

$\left(x + \left(x + 12\right)\right)·4 = 624$

$\left(x + x\right) + 12 = 624 : 4$

 624 | 4 4 | 156 --- 22 20 --- 24 24 ---- 0

$2x + 12 = 156$

$2x = 156 - 12$

 156- 12----- 144

$2x = 144$

$x = 144 : 2$

$x = 72$

72 км/ч - скорость первого автобуса.

$72 + 12 = 84\left(\text{км/ч}\right)$

второго автобуса. Ответ: 72 км/ч; 84 км/ч

Для решения этой задачи мы можем составить систему уравнений. Обозначим скорость первого автобуса как $v_1$ (в км/ч), а скорость второго — как $v_2$ (в км/ч).

1. Нахождение суммарной скорости (скорости удаления)

Автобусы движутся в противоположных направлениях. Это означает, что расстояние между ними увеличивается со скоростью, равной сумме их скоростей. Эта суммарная скорость называется скоростью удаления ($v_{уд}$).
По условию, за время $t = 4$ ч расстояние между автобусами стало $S = 624$ км.
Скорость удаления можно найти по формуле $v = S / t$:
$v_{уд} = v_1 + v_2 = \frac{624}{4} = 156$ км/ч.
Таким образом, мы получили первое уравнение: $v_1 + v_2 = 156$.

2. Использование разности скоростей

В условии сказано, что разность скоростей автобусов равна 12 км/ч. Предположим, что первый автобус движется быстрее. Тогда мы можем записать второе уравнение:
$v_1 - v_2 = 12$.

3. Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} v_1 + v_2 = 156 \\ v_1 - v_2 = 12 \end{cases} $
Сложим два уравнения, чтобы найти $v_1$:
$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 156 + 12$
$2v_1 = 168$
$v_1 = \frac{168}{2} = 84$ км/ч.

Теперь, зная скорость первого автобуса, найдем скорость второго, подставив значение $v_1$ в любое из уравнений. Например, в первое:
$84 + v_2 = 156$
$v_2 = 156 - 84$
$v_2 = 72$ км/ч.

Проверка:

- Разность скоростей: $84 \text{ км/ч} - 72 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$. (Верно)
- Расстояние через 4 часа: $(84 \text{ км/ч} + 72 \text{ км/ч}) \times 4 \text{ ч} = 156 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 624 \text{ км}$. (Верно)

Ответ: скорость одного автобуса равна 84 км/ч, а скорость второго — 72 км/ч.

5.242 Выполните деление с остатком:

а) 832 526 на 204;

б) 895 540 на 773.

а) Выполним деление с остатком числа 832 526 на 204. Для этого воспользуемся методом деления в столбик.

1. Находим первое неполное делимое. Это 832. Делим 832 на 204. Подбираем цифру для частного. $204 \times 4 = 816$. $204 \times 5 = 1020$ (это много). Значит, первая цифра частного – 4. Находим остаток: $832 - 816 = 16$.
2. Сносим следующую цифру делимого (5) к остатку. Получаем 165. Число 165 меньше делителя 204, поэтому в частное записываем 0.
3. Сносим следующую цифру (2). Получаем 1652. Делим 1652 на 204. Подбираем цифру: $204 \times 8 = 1632$. Записываем 8 в частное. Находим остаток: $1652 - 1632 = 20$.
4. Сносим последнюю цифру делимого (6). Получаем 206. Делим 206 на 204. Получаем 1. Записываем 1 в частное. Находим остаток: $206 - 204 = 2$.

В результате деления мы получили неполное частное 4081 и остаток 2.

Для проверки правильности решения умножим неполное частное на делитель и прибавим остаток: $4081 \times 204 + 2 = 832524 + 2 = 832526$. Результат совпадает с делимым, значит, деление выполнено верно.

Ответ: 4081 (ост. 2).

б) Выполним деление с остатком числа 895 540 на 773. Для этого воспользуемся методом деления в столбик.

1. Первое неполное делимое – 895. Делим 895 на 773. Получаем 1. Записываем 1 в частное. Находим остаток: $895 - 773 = 122$.
2. Сносим следующую цифру (5) к остатку. Получаем 1225. Делим 1225 на 773. Снова получаем 1. Записываем 1 в частное. Находим остаток: $1225 - 773 = 452$.
3. Сносим следующую цифру (4). Получаем 4524. Делим 4524 на 773. Подбираем цифру: $773 \times 5 = 3865$. $773 \times 6 = 4638$ (много). Значит, третья цифра частного – 5. Находим остаток: $4524 - 3865 = 659$.
4. Сносим последнюю цифру (0). Получаем 6590. Делим 6590 на 773. Подбираем цифру: $773 \times 8 = 6184$. $773 \times 9 = 6957$ (много). Значит, четвертая цифра частного – 8. Находим остаток: $6590 - 6184 = 406$.

В результате деления мы получили неполное частное 1158 и остаток 406.

Для проверки правильности решения умножим неполное частное на делитель и прибавим остаток: $1158 \times 773 + 406 = 895134 + 406 = 895540$. Результат совпадает с делимым, значит, деление выполнено верно.

Ответ: 1158 (ост. 406).

5.243 Вычислите делимое, если делитель равен 93, неполное частное - 84 и остаток - 13.

 x 93 84 ---- 372+ 744 ---- 7812

 + 7812 13 ---- 7825

Чтобы найти делимое, необходимо воспользоваться формулой деления с остатком, которая связывает делимое, делитель, неполное частное и остаток:

Делимое = (Делитель ? Неполное частное) + Остаток

Согласно условию задачи, у нас есть следующие данные:

• Делитель = 93
• Неполное частное = 84
• Остаток = 13

Подставим эти значения в формулу:

Делимое = $(93 \times 84) + 13$

Выполним вычисления по шагам:

1. Сначала найдем произведение делителя и неполного частного:

$93 \times 84 = 7812$

2. Затем к полученному результату прибавим остаток:

$7812 + 13 = 7825$

Таким образом, искомое делимое равно 7825.

Ответ: 7825

5.244 Развивай логическое мышление. В числе 78 059 342 вычеркните 2 цифры так, чтобы новое число делилось на 18.

Чтобы число было кратно 18, оно должно одновременно делиться на 2 и на 9, так как $18 = 2 \times 9$, а числа 2 и 9 являются взаимно простыми.

1. Делимость на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра чётная. Исходное число 78 059 342 оканчивается на 2. Если вычеркнуть цифру 2, то новое число будет оканчиваться на 4. Обе цифры, 2 и 4, являются чётными. Таким образом, чтобы полученное число делилось на 2, необходимо, чтобы его последняя цифра была чётной, то есть нельзя вычеркивать обе цифры 4 и 2.

2. Делимость на 9

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Найдем сумму цифр в исходном числе 78 059 342:

$S = 7 + 8 + 0 + 5 + 9 + 3 + 4 + 2 = 38$

Нам нужно вычеркнуть две цифры. Пусть сумма вычеркнутых цифр равна $x$. Тогда сумма цифр нового числа будет $38 - x$. Это значение должно быть кратно 9. Рассмотрим возможные варианты.

Ближайшие к 38 числа, которые меньше его и делятся на 9, — это 36, 27, 18 и т.д.

• Если новая сумма цифр равна 36, то сумма вычеркнутых цифр $x = 38 - 36 = 2$.
• Если новая сумма цифр равна 27, то сумма вычеркнутых цифр $x = 38 - 27 = 11$.
• Если новая сумма цифр равна 18, то сумма вычеркнутых цифр $x = 38 - 18 = 20$.

Сумма двух самых больших цифр в исходном числе ($9+8=17$) меньше 20. Значит, вариант $x=20$ невозможен. Следовательно, нам нужно найти в исходном числе две цифры, сумма которых равна 2 или 11.

Поиск пар цифр и решение

Случай 1: Сумма вычеркнутых цифр равна 2.
В числе 78 059 342 есть только одна пара цифр, дающая в сумме 2, — это 0 и 2. Вычеркиваем их.
Исходное число: 78 059 342
Вычеркиваем 0 и 2: 78 059 342
Получаем число: 785934.
Проверим его: оно оканчивается на 4 (чётное), значит, делится на 2. Сумма его цифр $7+8+5+9+3+4=36$, а 36 делится на 9. Следовательно, число 785934 делится на 18.

Случай 2: Сумма вычеркнутых цифр равна 11.
Найдем пары цифр в числе 78 059 342, которые в сумме дают 11:

• 8 и 3. Вычеркиваем их из 78 059 342 и получаем 705942. Число чётное, сумма цифр $7+0+5+9+4+2=27$ (делится на 9). Число делится на 18.
• 9 и 2. Вычеркиваем их из 78 059 342 и получаем 780534. Число чётное, сумма цифр $7+8+0+5+3+4=27$ (делится на 9). Число делится на 18.
• 7 и 4. Вычеркиваем их из 78 059 342 и получаем 805932. Число чётное, сумма цифр $8+0+5+9+3+2=27$ (делится на 9). Число делится на 18.

Задача имеет несколько решений. Любое из найденных чисел является верным ответом.

Ответ: можно вычеркнуть цифры 7 и 4. Получится число 805 932, которое делится на 18. ($805932 / 18 = 44774$).

1 Запишите:

а) дробь, у которой числитель равен 2, а знаменатель равен 3;

б) в виде дроби частное чисел 5 и 7;

в) в виде дроби со знаменателем 5 число 7;

г) в виде дроби со знаменателем 7 число 5.

а) Дробь состоит из числителя (число, которое стоит над чертой дроби) и знаменателя (число, которое стоит под чертой дроби). По условию, числитель равен 2, а знаменатель равен 3. Таким образом, искомая дробь записывается как $ \frac{2}{3} $.
Ответ: $ \frac{2}{3} $

б) Частное двух чисел – это результат деления одного числа на другое. Частное чисел 5 и 7 можно записать как $ 5 \div 7 $. Любое деление можно представить в виде дроби, где делимое (первое число) является числителем, а делитель (второе число) – знаменателем.
Ответ: $ \frac{5}{7} $

в) Чтобы представить целое число в виде дроби с заданным знаменателем, нужно умножить это число на заданный знаменатель, и полученный результат записать в числитель. В данном случае нужно представить число 7 в виде дроби со знаменателем 5. Найдем числитель: $ 7 \times 5 = 35 $. Таким образом, получаем дробь $ \frac{35}{5} $. Проверим: $ 35 \div 5 = 7 $.
Ответ: $ \frac{35}{5} $

г) Аналогично предыдущему пункту, представим число 5 в виде дроби со знаменателем 7. Для этого найдем числитель, умножив число 5 на знаменатель 7: $ 5 \times 7 = 35 $. Полученная дробь – $ \frac{35}{7} $. Проверим: $ 35 \div 7 = 5 $.
Ответ: $ \frac{35}{7} $

2 Запишите:

а) наибольшую правильную дробь со знаменателем 7;

б) наименьшую неправильную дробь со знаменателем 4.

Правильная дробь — это такая дробь, у которой числитель меньше знаменателя. По условию, знаменатель дроби равен 7. Обозначим числитель буквой $n$. Тогда дробь будет иметь вид $\frac{n}{7}$.

Для того чтобы дробь была правильной, должно выполняться неравенство: $n < 7$. Поскольку числитель должен быть натуральным числом, возможные значения для $n$ это 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Чтобы найти наибольшую правильную дробь, нам нужно выбрать самое большое из возможных значений для числителя $n$. Наибольшее натуральное число, которое меньше 7, это 6.

Следовательно, искомая дробь — $\frac{6}{7}$.

Ответ: $\frac{6}{7}$.

Неправильная дробь — это такая дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. По условию, знаменатель дроби равен 4. Обозначим числитель буквой $m$. Тогда дробь будет иметь вид $\frac{m}{4}$.

Для того чтобы дробь была неправильной, должно выполняться неравенство: $m \ge 4$. Возможные натуральные значения для числителя $m$ это 4, 5, 6, 7, и так далее до бесконечности.

Чтобы найти наименьшую неправильную дробь, нам нужно выбрать самое маленькое из возможных значений для числителя $m$. Наименьшее натуральное число, которое удовлетворяет условию $m \ge 4$, это 4.

Следовательно, искомая дробь — $\frac{4}{4}$.

Ответ: $\frac{4}{4}$.

3 Уменьшится или увеличится дробь, если:

а) к числителю дроби прибавить единицу;

б) к знаменателю дроби прибавить единицу?

а) к числителю дроби прибавить единицу;

Пусть дана произвольная дробь $\frac{a}{b}$, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель ($b \ne 0$).

Если к числителю прибавить единицу, мы получим новую дробь $\frac{a+1}{b}$.

Чтобы понять, как изменилась дробь, найдем разность между новой и исходной дробью:

$\frac{a+1}{b} - \frac{a}{b} = \frac{(a+1) - a}{b} = \frac{1}{b}$

Знак этой разности определяет, увеличилась или уменьшилась дробь. Это, в свою очередь, зависит от знака знаменателя $b$.

• Если знаменатель $b$ — положительное число ($b > 0$), то разность $\frac{1}{b}$ будет положительной. Это означает, что новая дробь больше исходной, то есть дробь увеличится. Например, для дроби $\frac{5}{8}$ новая дробь будет $\frac{5+1}{8} = \frac{6}{8}$, и $\frac{6}{8} > \frac{5}{8}$.
• Если знаменатель $b$ — отрицательное число ($b < 0$), то разность $\frac{1}{b}$ будет отрицательной. Это означает, что новая дробь меньше исходной, то есть дробь уменьшится. Например, для дроби $\frac{5}{-8}$ новая дробь будет $\frac{5+1}{-8} = \frac{6}{-8}$, и $\frac{6}{-8} < \frac{5}{-8}$ (так как $-0.75 < -0.625$).

Обычно в школьном курсе рассматриваются дроби с положительными знаменателями, поэтому в таком контексте дробь всегда увеличивается.

Ответ: Если знаменатель дроби положителен, то дробь увеличится. Если знаменатель отрицателен, дробь уменьшится.

б) к знаменателю дроби прибавить единицу?

Пусть дана дробь $\frac{a}{b}$ (при условии, что $b \ne 0$ и $b \ne -1$, чтобы новый знаменатель не был равен нулю).

Если к знаменателю прибавить единицу, мы получим новую дробь $\frac{a}{b+1}$.

Сравним новую дробь с исходной, найдя их разность:

$\frac{a}{b+1} - \frac{a}{b}$

Чтобы выполнить вычитание, приведем дроби к общему знаменателю $b(b+1)$:

$\frac{a \cdot b}{b(b+1)} - \frac{a \cdot (b+1)}{b(b+1)} = \frac{ab - a(b+1)}{b(b+1)} = \frac{ab - ab - a}{b(b+1)} = \frac{-a}{b(b+1)}$

Знак этой разности, а следовательно и результат сравнения, зависит от знаков числителя $a$ и знаменателя $b$.

• Рассмотрим самый частый случай: положительная дробь ($a > 0$ и $b > 0$). В этом случае числитель разности ($-a$) будет отрицательным. Знаменатель разности ($b(b+1)$) будет положительным (как произведение двух положительных чисел). Таким образом, вся разность $\frac{-a}{b(b+1)}$ будет отрицательной. Это значит, что новая дробь меньше исходной, то есть дробь уменьшится. Например, для дроби $\frac{5}{8}$ новая дробь будет $\frac{5}{8+1} = \frac{5}{9}$, и $\frac{5}{9} < \frac{5}{8}$. Интуитивно это можно понять так: мы делим то же количество ($a$) на большее число частей ($b+1$), поэтому каждая часть становится меньше.
• Рассмотрим случай, когда числитель отрицателен, а знаменатель положителен ($a < 0$ и $b > 0$). В этом случае числитель разности ($-a$) будет положительным. Знаменатель разности ($b(b+1)$) также будет положительным. Значит, вся разность будет положительной, и дробь увеличится. Например, для дроби $\frac{-5}{8}$ новая дробь будет $\frac{-5}{8+1} = \frac{-5}{9}$. Поскольку $-0.555... > -0.625$, то $\frac{-5}{9} > \frac{-5}{8}$, и дробь увеличилась.

В других случаях (например, с отрицательным знаменателем) результат также будет зависеть от знаков $a$ и $b$.

Ответ: Если дробь положительная (и числитель, и знаменатель положительны), она уменьшится. Если числитель отрицательный, а знаменатель положительный, дробь увеличится. В общем случае результат зависит от знаков числителя и знаменателя.

4 Решите уравнение:

а) $\frac{56}{x}=28;$

б) $\frac{y}{16}=5;$

в) $\frac{d-4}{5}=12;$

г) $\frac{24+t}{7}=16.$

а) В данном уравнении $\frac{56}{x} = 28$ переменная $x$ является неизвестным делителем. Чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое (56) разделить на частное (28).
$x = \frac{56}{28}$
$x = 2$
Проверка: $\frac{56}{2} = 28$. Равенство верно.
Ответ: 2.

б) В уравнении $\frac{y}{16} = 5$ переменная $y$ является неизвестным делимым. Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное (5) умножить на делитель (16).
$y = 5 \cdot 16$
$y = 80$
Проверка: $\frac{80}{16} = 5$. Равенство верно.
Ответ: 80.

в) В уравнении $\frac{d - 4}{5} = 12$ выражение $(d - 4)$ является неизвестным делимым. Найдем его, умножив частное (12) на делитель (5).
$d - 4 = 12 \cdot 5$
$d - 4 = 60$
Теперь мы имеем дело с простым уравнением, где $d$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности (60) прибавить вычитаемое (4).
$d = 60 + 4$
$d = 64$
Проверка: $\frac{64 - 4}{5} = \frac{60}{5} = 12$. Равенство верно.
Ответ: 64.

г) В уравнении $\frac{24 + t}{7} = 16$ выражение $(24 + t)$ является неизвестным делимым. Найдем его, умножив частное (16) на делитель (7).
$24 + t = 16 \cdot 7$
$24 + t = 112$
Теперь перед нами простое уравнение, где $t$ — неизвестное слагаемое. Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы (112) вычесть известное слагаемое (24).
$t = 112 - 24$
$t = 88$
Проверка: $\frac{24 + 88}{7} = \frac{112}{7} = 16$. Равенство верно.
Ответ: 88.

5 Поле занимает площадь 5 га. Оно разбито на 6 равных участков. Сколько гектаров занимает каждый участок?

Для того чтобы определить площадь одного участка, необходимо общую площадь поля разделить на количество равных участков, на которые оно было разбито.

Общая площадь поля составляет 5 гектаров (га).

Количество равных участков — 6.

Вычислим площадь одного участка, разделив общую площадь на количество участков:

$5 \div 6 = \frac{5}{6}$ га

Таким образом, площадь каждого участка составляет $\frac{5}{6}$ гектара.

Ответ: $\frac{5}{6}$ га.