Страница 37, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.193 Справедливо ли равенство:

а) 341 + 569 = 910;

б) 25 • 42 = 10 500;

в) 192 : 32 = 38 - 32;

г) 98 • 57 = 23 790 : 78?

а) 341 + 569 = 910 - верно

б) 25 · 42 = 10500 - неверно

в) 192 : 32 = 38 - 32 - верно

38 - 32 = 6

г) 98 · 57 = 23790 : 78 - неверно

1.194 Какое самое большое и какое самое маленькое число можно получить, если переставить цифры в числе:

а) 349 156;

б) 4 2910 845;

в) 12 900 048?

а) Для числа $349 \ 156$ используются цифры $1, 3, 4, 5, 6, 9$.
Чтобы составить самое большое число из этих цифр, необходимо расположить их в порядке убывания, от самой большой к самой маленькой. Запишем их слева направо: $9, 6, 5, 4, 3, 1$. Получаем число $965 \ 431$.
Чтобы составить самое маленькое число, необходимо расположить эти же цифры в порядке возрастания, от самой маленькой к самой большой. Запишем их слева направо: $1, 3, 4, 5, 6, 9$. Получаем число $134 \ 569$.
Ответ: самое большое число — $965 \ 431$, самое маленькое — $134 \ 569$.

б) Для числа $4 \ 2910 \ 845$ используются цифры $0, 1, 2, 4, 4, 5, 8, 9$.
Самое большое число получится при расположении цифр в порядке убывания: $9, 8, 5, 4, 4, 2, 1, 0$. В результате получаем число $98 \ 544 \ 210$.
Для получения самого маленького числа цифры нужно расположить в порядке возрастания. Однако, число не может начинаться с цифры $0$. Поэтому на первое место мы ставим наименьшую из цифр, отличную от нуля (в данном случае это $1$). После нее ставим $0$, а затем располагаем оставшиеся цифры в порядке возрастания: $2, 4, 4, 5, 8, 9$. В результате получаем число $10 \ 244 \ 589$.
Ответ: самое большое число — $98 \ 544 \ 210$, самое маленькое — $10 \ 244 \ 589$.

в) Для числа $12 \ 900 \ 048$ используются цифры $0, 0, 0, 1, 2, 4, 8, 9$.
Самое большое число получится, если расположить эти цифры в порядке убывания: $9, 8, 4, 2, 1, 0, 0, 0$. В результате получаем число $98 \ 421 \ 000$.
Для получения самого маленького числа расположим цифры в порядке возрастания, но на первое место поставим наименьшую ненулевую цифру ($1$), за ней поставим все нули, а затем остальные цифры в порядке возрастания. Получим последовательность: $1, 0, 0, 0, 2, 4, 8, 9$. В результате получаем число $10 \ 002 \ 489$.
Ответ: самое большое число — $98 \ 421 \ 000$, самое маленькое — $10 \ 002 \ 489$.

1.195 До школы 200 м, и до начала уроков осталось 10 мин. Из них 8 мин уйдёт на переодевание и подготовку к уроку. Успеет ли Петя на урок, если он побежит со скоростью: а) 1 м/с; б) 2 м/с?

а)

200 : 1 = 200 с;
200 с = 180 с + 20 с = 3 мин 20 с;
10 мин - 8 мин = 2 (мин) - на дорогу
3 мин 20 с > 2 мин

Ответ: не успеет.

б)

200 : 2 = 100 с;
100 с = 60 с + 40 с = 1 мин 40 с;
10 мин - 8 мин = 2 (мин) - нужно
1 мин 40 с < 2 мин

Ответ: успеет.

Сначала определим, сколько времени у Пети есть на то, чтобы добежать до школы. Общее время до начала урока составляет $T_{общ} = 10$ минут. Время на переодевание и подготовку к уроку составляет $T_{подг} = 8$ минут. Следовательно, время, которое Петя может потратить на дорогу, равно:

$T_{пути} = T_{общ} - T_{подг} = 10 \text{ мин} - 8 \text{ мин} = 2 \text{ мин}$

Поскольку скорость дана в метрах в секунду (м/с), переведем время в секунды:

$T_{пути} = 2 \text{ мин} \times 60 \frac{\text{с}}{\text{мин}} = 120 \text{ с}$

Таким образом, чтобы успеть на урок, Петя должен добежать до школы не более чем за 120 секунд. Расстояние до школы $S = 200$ м. Теперь рассмотрим каждый случай.

а) Если Петя побежит со скоростью $v_a = 1$ м/с, то время, которое он затратит на дорогу, можно рассчитать по формуле $t = \frac{S}{v}$:

$t_a = \frac{200 \text{ м}}{1 \text{ м/с}} = 200 \text{ с}$

Сравним время в пути с доступным временем: $200 \text{ с} > 120 \text{ с}$. Это означает, что Петя затратит на дорогу больше времени, чем у него есть. Следовательно, он опоздает на урок.

Ответ: не успеет.

б) Если Петя побежит со скоростью $v_б = 2$ м/с, то время, которое он затратит на дорогу, будет равно:

$t_б = \frac{200 \text{ м}}{2 \text{ м/с}} = 100 \text{ с}$

Сравним время в пути с доступным временем: $100 \text{ с} < 120 \text{ с}$. В этом случае Петя добежит до школы быстрее, чем за 120 секунд. У него даже останется в запасе $120 - 100 = 20$ секунд. Следовательно, он успеет на урок.

Ответ: успеет.

1.196 Скоростная автомобильная дорога Москва — Санкт-Петербург «Нева» проходит по территории четырёх областей России: Московской, Тверской, Новгородской и Ленинградской. Длина дороги в Московской области равна 90 км, в Тверской — на 163 км больше, в Новгородской — на 143 км больше, а в Ленинградской — на 15 км меньше, чем в Московской области. Найдите длину дороги в каждой области.

1) 90 + 163 = 253 (км) - в Тверской обл.

2) 90 + 143 = 233 (км) - в Новгородской обл.

3) 90 - 15 = 90 - (10 + 5) = (90 - 10) - 5 = 80 - 5 = 75 (км) - в Ленинградской обл.

Ответ: 253 км, 233 км, 75 км.

Для решения задачи необходимо последовательно рассчитать длину дороги в каждой из четырех областей, используя в качестве исходного значения длину дороги в Московской области.

Московская область

Длина дороги в Московской области указана в условии задачи и составляет 90 км.

Ответ: 90 км.

Тверская область

Согласно условию, протяженность трассы в Тверской области на 163 км больше, чем в Московской. Чтобы найти эту длину, нужно к длине дороги в Московской области прибавить 163 км.

Выполним сложение: $90 \text{ км} + 163 \text{ км} = 253 \text{ км}$.

Ответ: 253 км.

Новгородская область

Протяженность трассы в Новгородской области на 143 км больше, чем в Московской. Рассчитаем эту длину путем сложения:

$90 \text{ км} + 143 \text{ км} = 233 \text{ км}$.

Ответ: 233 км.

Ленинградская область

Протяженность трассы в Ленинградской области на 15 км меньше, чем в Московской. Чтобы найти эту длину, нужно из длины дороги в Московской области вычесть 15 км.

Выполним вычитание: $90 \text{ км} - 15 \text{ км} = 75 \text{ км}$.

Ответ: 75 км.

1.197 Миша пробежал путь по короткой дороге от дома до спортивного зала за 30 мин со скоростью 90 м/мин. За сколько минут он добежит с такой же скоростью от спортивного зала до дома по другой дороге, если она длиннее на 270 м и скорость такая же?

1) 90 · 30 = 2700 (м) - длина короткой дороги

2) 2700 + 270 = 2970 (м) - длина длинной дороги

3) 2970 : 90 = 33 (мин)

Ответ: за 33 мин.

Для того чтобы найти, за сколько минут Миша добежит от спортивного зала до дома по другой дороге, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Вычислим расстояние от дома до спортивного зала по короткой дороге.
Для этого используем формулу расстояния: $S = v \times t$, где $S$ — расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.
По условию, скорость Миши $v = 90$ м/мин, а время в пути $t_1 = 30$ мин.
$S_1 = 90 \, \text{м/мин} \times 30 \, \text{мин} = 2700$ м.

2. Определим длину другой, более длинной дороги.
Из условия известно, что другая дорога на 270 м длиннее короткой.
$S_2 = S_1 + 270 \, \text{м} = 2700 \, \text{м} + 270 \, \text{м} = 2970$ м.

3. Рассчитаем время, которое потребуется Мише на обратный путь.
Скорость Миши остается прежней ($v = 90$ м/мин). Для нахождения времени используем формулу $t = \frac{S}{v}$.
$t_2 = \frac{S_2}{v} = \frac{2970 \, \text{м}}{90 \, \text{м/мин}} = 33$ мин.

Ответ: 33 минуты.

1.198 а) Велосипедист проехал по шоссе 78 км за 6 ч. Сколько времени потратит на этот путь мотоциклист, если его скорость на 26 км/ч больше скорости велосипедиста?

б) Для подготовки реферата Павел скачал 120 мегабайт информации за 3 мин. Сколько времени потратит на скачивание этой информации Полина, если у неё скорость скачивания этого же файла на 10 мегабайт в минуту меньше, чем у Павла?

1) 78 : 6 = 13 (км/ч) - скорость велосипедиста

2) 13 + 26 = 39 (км/ч) - скорость мотоциклиста

3) 78 : 39 = 2 (ч)

Ответ: 2 ч.

1) 120 : 3 = 40 (мбайт/мин) - скорость скачивания Павла

2) 40 - 10 = 30 (мбайт/мин) - скорость скачивания Полины

3) 120 : 30 = 4 (мин)

Ответ: 4 мин.

а)

1. Сначала найдем скорость велосипедиста. Для этого разделим пройденное расстояние на затраченное время:
$v_{велосипедиста} = \frac{S}{t} = \frac{78 \text{ км}}{6 \text{ ч}} = 13 \text{ км/ч}$.

2. Теперь определим скорость мотоциклиста. По условию, она на 26 км/ч больше скорости велосипедиста:
$v_{мотоциклиста} = v_{велосипедиста} + 26 \text{ км/ч} = 13 \text{ км/ч} + 26 \text{ км/ч} = 39 \text{ км/ч}$.

3. Наконец, рассчитаем время, которое потребуется мотоциклисту для преодоления того же расстояния. Для этого разделим расстояние на скорость мотоциклиста:
$t_{мотоциклиста} = \frac{S}{v_{мотоциклиста}} = \frac{78 \text{ км}}{39 \text{ км/ч}} = 2 \text{ ч}$.

Ответ: 2 часа.

б)

1. Сначала найдем скорость скачивания информации у Павла. Для этого разделим объем информации на время скачивания:
$v_{Павла} = \frac{V}{t} = \frac{120 \text{ мегабайт}}{3 \text{ мин}} = 40 \text{ мегабайт/мин}$.

2. Теперь определим скорость скачивания у Полины. По условию, она на 10 мегабайт в минуту меньше, чем у Павла:
$v_{Полины} = v_{Павла} - 10 \text{ мегабайт/мин} = 40 \text{ мегабайт/мин} - 10 \text{ мегабайт/мин} = 30 \text{ мегабайт/мин}$.

3. Наконец, рассчитаем время, которое потребуется Полине для скачивания того же объема информации. Для этого разделим объем информации на скорость скачивания Полины:
$t_{Полины} = \frac{V}{v_{Полины}} = \frac{120 \text{ мегабайт}}{30 \text{ мегабайт/мин}} = 4 \text{ мин}$.

Ответ: 4 минуты.

1.199 Выполните действия:

а) (2928 - 88) : 142;

б) (64 + 37) • 91;

в) (8032 - 595) : 37;

г) 10 486 : (2455 - 2357).

$\mathrm{а}) (2928 \stackrel{1}{-} 88) \stackrel{2}{:} 142 = 20$

1)

2)

$\mathrm{б}) (64 + 37) · 91 = 9191$

1)

2)

$\mathrm{в}) (8032 \stackrel{1}{-} 595) \stackrel{2}{:} 37 = 201$

1)

2)

$\mathrm{г}) 10486 \stackrel{2}{:} (2455 \stackrel{1}{-} 2357) = 107$

1)

2)

1 Назовите самое маленькое натуральное число.

1 - самое маленькое натуральное число.

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов (например, один, два, три...). Они образуют бесконечную последовательность, которая начинается с наименьшего числа и где каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом $N$.

В математике существуют два основных подхода к определению натуральных чисел:

1. Подход, при котором натуральный ряд начинается с числа 1. В этом случае множество натуральных чисел выглядит так: $N = \{1, 2, 3, 4, \ldots\}$. Этот подход является общепринятым в большинстве стран, в том числе в рамках российской школьной программы.

2. Подход, при котором ноль (0) также считается натуральным числом. Тогда множество натуральных чисел записывается как $N = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$. Этот вариант чаще используется в таких разделах математики, как теория множеств, математическая логика и информатика.

Поскольку вопрос задан в общем контексте, следует придерживаться наиболее распространенного определения. Согласно ему, ряд натуральных чисел начинается с единицы, которая и является самым маленьким натуральным числом.

Ответ: 1.

2 Назовите самое большое двузначное число.

99 - самое большое двузначное число.

Двузначным числом называется число, которое состоит из двух цифр. В нашей десятичной системе счисления используются цифры от 0 до 9. Двузначные числа занимают диапазон от 10 до 99.

Чтобы составить самое большое возможное число из двух цифр, необходимо, чтобы каждая цифра в его разрядах была максимально большой.

Разряды в двузначном числе — это разряд десятков и разряд единиц. Самая большая цифра, которую мы можем использовать, — это 9.

• Для разряда десятков (самого старшего разряда) возьмем самую большую цифру: 9.
• Для разряда единиц (младшего разряда) также возьмем самую большую цифру: 9.

Соединив эти цифры, мы получим число 99. Следующее за ним натуральное число, $99 + 1 = 100$, уже является трехзначным, так как для его записи требуется три цифры. Следовательно, 99 — это и есть самое большое двузначное число.

Ответ: 99.

3 Если А(18) и В(14), то какая из точек А и В лежит правее на координатной прямой?

А (18) лежит правее

Для того чтобы определить, какая из двух точек лежит правее на координатной прямой, необходимо сравнить их координаты. На координатной прямой большее число всегда расположено правее меньшего.

Нам даны две точки: точка $A$ с координатой $18$ и точка $B$ с координатой $14$.

Сравним числовые значения координат:

$18 > 14$

Поскольку число $18$ больше числа $14$, точка с координатой $18$ (точка $A$) будет лежать на координатной прямой правее точки с координатой $14$ (точки $B$).

Ответ: точка $A$.

4 Сравните числа 28 190 и 27 999.

28 190 > 27 999

Чтобы сравнить числа 28 190 и 27 999, необходимо сравнить их поразрядно, так как количество цифр в них одинаковое (оба числа пятизначные). Сравнение начинается со старшего разряда (самого левого) и продолжается в сторону младших разрядов (вправо).

1. Сравним цифры в разряде десятков тысяч. В числе 28 190 это 2, в числе 27 999 это тоже 2. Цифры равны, поэтому переходим к следующему разряду.

2. Сравним цифры в разряде тысяч. В числе 28 190 это 8, а в числе 27 999 это 7.

Так как $8 > 7$, то число, у которого цифра в этом разряде больше, является большим. Следовательно, число 28 190 больше числа 27 999. Дальнейшее сравнение младших разрядов (сотен, десятков и единиц) уже не имеет значения.

Таким образом, $28190 > 27999$.

Ответ: $28190 > 27999$.

5 Запишите числа в порядке возрастания: 12; 0; 21; 210; 222; 112; 200; 211; 122; 201.

0; 12; 21; 112; 122; 200; 201; 210; 211, 222.

Чтобы записать числа в порядке возрастания, их нужно отсортировать от наименьшего к наибольшему. Дан следующий набор чисел: 12; 0; 21; 210; 222; 112; 200; 211; 122; 201.

Выполним сортировку по шагам:
1. Находим самое маленькое число. Это 0.
2. Далее ищем двузначные числа и располагаем их по возрастанию. В наборе есть 12 и 21. Поскольку $12 < 21$, их порядок: 12, 21.
3. Теперь сортируем трехзначные числа: 210, 222, 112, 200, 211, 122, 201. Для этого сравниваем их по разрядам, начиная со старшего (сотни).
- Сначала числа, у которых в разряде сотен 1: 112, 122. Сравнивая их, получаем порядок: 112, 122.
- Затем числа, у которых в разряде сотен 2: 210, 222, 200, 211, 201. Сравнивая их по разрядам десятков и единиц, получаем порядок: 200, 201, 210, 211, 222.

4. Объединяем все группы в один ряд, сохраняя порядок возрастания: сначала 0, затем двузначные числа, затем трехзначные.

Ответ: 0; 12; 21; 112; 122; 200; 201; 210; 211; 222.

6 Вычеркните из числа 137 695 три цифры так, чтобы получилось:

а) наибольшее возможное трёхзначное число;

б) наименьшее возможное трёхзначное число.

а) 137 695

Получилось 795.

б) 137 695

Вычеркнув три цифры нельзя получить четырёхзначное число. Возможно, нужно получить наименьшее возможное трёхзначное число. Получилось 135.

а) Исходное число — $137\,695$. Нам нужно вычеркнуть три цифры, чтобы получить наибольшее возможное трёхзначное число.

Чтобы получившееся число было наибольшим, его первая цифра (разряд сотен) должна быть как можно больше. Мы можем выбрать первую цифру из первых четырёх цифр исходного числа ($1, 3, 7, 6$), так как после неё в исходном числе должны остаться как минимум две цифры для разрядов десятков и единиц. Самая большая из этих цифр — $7$. Чтобы $7$ стала первой цифрой итогового числа, мы должны вычеркнуть стоящие перед ней цифры $1$ и $3$.

После вычеркивания цифр $1$ и $3$ у нас остаётся последовательность цифр $7, 6, 9, 5$. Мы уже использовали две из трёх возможностей вычеркнуть цифру. Нам нужно выбрать ещё две цифры из оставшихся $6, 9, 5$, вычеркнув одну.

Чтобы вторая цифра (разряд десятков) была наибольшей, выберем её из цифр $6$ и $9$ (так как нужно оставить ещё одну цифру для разряда единиц). Наибольшая из них — $9$. Для этого вычеркиваем цифру $6$, которая стоит между $7$ и $9$. Это наше третье и последнее вычеркивание.

Остаётся последняя цифра $5$, которую мы и берём в разряд единиц.

Таким образом, вычеркнув цифры $1, 3, 6$, мы получаем число $795$.

Ответ: $795$.

б) В условии пункта б) содержится противоречие: просят вычеркнуть три цифры, чтобы получилось четырёхзначное число. Это невозможно, так как из числа, состоящего из $6$ цифр, после вычеркивания $3$ цифр останется число, состоящее из $3$ цифр ($6 - 3 = 3$). Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и имелось в виду получение наименьшего возможного трёхзначного числа. Решим задачу в такой, наиболее логичной, формулировке.

Нам нужно вычеркнуть три цифры из числа $137\,695$, чтобы получить наименьшее возможное трёхзначное число.

Чтобы число было наименьшим, его первая цифра (разряд сотен) должна быть как можно меньше. Мы можем выбрать её из первых четырёх цифр ($1, 3, 7, 6$). Самая маленькая из них — $1$. Оставляем её, ничего перед ней не вычеркивая.

После выбора $1$ у нас остаётся последовательность $3, 7, 6, 9, 5$. Нам нужно выбрать ещё две цифры из этих пяти, и у нас есть три "свободных" вычеркивания.

Вторая цифра (разряд десятков) также должна быть наименьшей из возможных. Мы можем выбрать её из цифр $3, 7, 6, 9$ (необходимо оставить хотя бы одну цифру для единиц). Наименьшая из них — $3$. Оставляем её, не вычеркивая ничего между $1$ и $3$.

После выбора $3$ у нас остаётся последовательность $7, 6, 9, 5$. Нам нужно выбрать последнюю, третью цифру (разряд единиц). Из оставшихся цифр ($7, 6, 9, 5$) наименьшая — это $5$. Чтобы получить $5$ в качестве последней цифры, мы должны вычеркнуть все цифры, стоящие между $3$ и $5$, то есть $7, 6$ и $9$. Это ровно три вычеркивания.

Таким образом, вычеркнув цифры $7, 6, 9$, мы получаем число $135$.

Ответ: $135$.

7 Сравните величины:

а) 100 см и 1 м;

б) 5 см и 25 дм;

в) 20 дм и 35 см;

г) 1200 м и 2 км;

д) 1 км 20 дм и 1002 м

е) 6 ц 25 кг и 2 т.

а) Для сравнения величин $100 \text{ см}$ и $1 \text{ м}$ необходимо привести их к одной единице измерения. Известно, что в одном метре содержится 100 сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Таким образом, сравниваемые величины равны.
Ответ: $100 \text{ см} = 1 \text{ м}$.

б) Чтобы сравнить $5 \text{ см}$ и $25 \text{ дм}$, переведем дециметры в сантиметры. В одном дециметре 10 сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Следовательно, $25 \text{ дм} = 25 \times 10 \text{ см} = 250 \text{ см}$.
Теперь сравним $5 \text{ см}$ и $250 \text{ см}$. Поскольку $5 < 250$, то $5 \text{ см} < 25 \text{ дм}$.
Ответ: $5 \text{ см} < 25 \text{ дм}$.

в) Чтобы сравнить $20 \text{ дм}$ и $35 \text{ см}$, переведем дециметры в сантиметры. Используем соотношение $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
$20 \text{ дм} = 20 \times 10 \text{ см} = 200 \text{ см}$.
Теперь сравним $200 \text{ см}$ и $35 \text{ см}$. Поскольку $200 > 35$, то $20 \text{ дм} > 35 \text{ см}$.
Ответ: $20 \text{ дм} > 35 \text{ см}$.

г) Для сравнения $1200 \text{ м}$ и $2 \text{ км}$, переведем километры в метры. В одном километре 1000 метров: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Следовательно, $2 \text{ км} = 2 \times 1000 \text{ м} = 2000 \text{ м}$.
Сравним $1200 \text{ м}$ и $2000 \text{ м}$. Так как $1200 < 2000$, то $1200 \text{ м} < 2 \text{ км}$.
Ответ: $1200 \text{ м} < 2 \text{ км}$.

д) Для сравнения $1 \text{ км } 20 \text{ дм}$ и $1002 \text{ м}$, приведем обе величины к метрам.
Во-первых, переведем $1 \text{ км } 20 \text{ дм}$ в метры. Мы знаем, что $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$ и $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$ (или $1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$).
$20 \text{ дм} = 20 \times 0.1 \text{ м} = 2 \text{ м}$.
Значит, $1 \text{ км } 20 \text{ дм} = 1000 \text{ м} + 2 \text{ м} = 1002 \text{ м}$.
Сравнивая $1002 \text{ м}$ и $1002 \text{ м}$, мы видим, что они равны.
Ответ: $1 \text{ км } 20 \text{ дм} = 1002 \text{ м}$.

е) Для сравнения $6 \text{ ц } 25 \text{ кг}$ и $2 \text{ т}$, приведем обе величины к килограммам.
Известно, что 1 центнер (ц) равен 100 кг: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
$6 \text{ ц } 25 \text{ кг} = (6 \times 100) \text{ кг} + 25 \text{ кг} = 600 \text{ кг} + 25 \text{ кг} = 625 \text{ кг}$.
Известно, что 1 тонна (т) равна 1000 кг: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.
$2 \text{ т} = 2 \times 1000 \text{ кг} = 2000 \text{ кг}$.
Теперь сравним $625 \text{ кг}$ и $2000 \text{ кг}$. Так как $625 < 2000$, то $6 \text{ ц } 25 \text{ кг} < 2 \text{ т}$.
Ответ: $6 \text{ ц } 25 \text{ кг} < 2 \text{ т}$.