Страница 36, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

1.181 Туристы преодолели 129 км туристического маршрута, после чего им осталось пройти в 3 раза меньшее расстояние. Сколько километров составляет весь туристический маршрут?

1) 129 : 9 = 43 (км) - осталось
2) 129 + 43 = 172 (км) - весь маршрут

Ответ: 172 км.

Для нахождения общей длины туристического маршрута нужно выполнить два действия: сначала определить, какое расстояние осталось пройти туристам, а затем прибавить его к уже пройденному расстоянию.

1. Найдем расстояние, которое осталось пройти туристам.

В условии сказано, что пройденное расстояние составляет 129 км, а оставшееся — в 3 раза меньше. Чтобы найти оставшееся расстояние, разделим пройденный путь на 3.

$129 \div 3 = 43$ (км)

Следовательно, туристам осталось пройти 43 км.

2. Найдем общую длину всего маршрута.

Чтобы узнать общую протяженность маршрута, необходимо сложить расстояние, которое туристы уже преодолели, и расстояние, которое им еще предстоит пройти.

$129 + 43 = 172$ (км)

Ответ: весь туристический маршрут составляет 172 километра.

1.182 Для подготовки к новогоднему празднику 12 учащихся пятого класса запланировали вырезать 288 снежинок за 50 мин, но справились на 10 мин раньше. Сколько снежинок вырезал каждый учащийся за 10 мин, если все работали с одинаковой скоростью?

Сколько снежинок вырезал учащийся за 10 мин?

1) 50 - 10 = 40 (мин) работали учащиеся
2) 288 : 12 = 24 (сн.) - вырезал за 40 мин 1 учащийся

3) 40 : 10 = 4 (р.) по 10 мин
4) 24 : 4 = 6 (сн.) вырезал каждый учащийся за 10 мин

Ответ: 6 снежинок.

1. Найдем фактическое время, затраченное на работу.

Учащиеся планировали вырезать снежинки за 50 минут, но справились на 10 минут раньше. Следовательно, фактическое время работы составило:

$50 - 10 = 40$ (минут)

2. Узнаем, сколько всего снежинок вырезал каждый учащийся.

Всего было 12 учащихся, и они вместе вырезали 288 снежинок. Так как по условию все работали с одинаковой скоростью, то каждый из них вырезал одинаковое количество снежинок. Разделим общее количество снежинок на количество учащихся:

$288 : 12 = 24$ (снежинки)

Таким образом, каждый учащийся вырезал 24 снежинки за 40 минут.

3. Рассчитаем, сколько снежинок вырезал каждый учащийся за 10 минут.

Мы знаем, что за 40 минут один учащийся вырезает 24 снежинки. Чтобы найти, сколько снежинок он вырежет за 10 минут, можно сначала найти его производительность в минуту, а затем умножить на 10. Или можно заметить, что 10 минут в 4 раза меньше, чем 40 минут ($40 : 10 = 4$). Следовательно, за 10 минут каждый учащийся вырежет в 4 раза меньше снежинок, чем за 40 минут.

$24 : 4 = 6$ (снежинок)

Ответ: каждый учащийся за 10 минут вырезал 6 снежинок.

1.183 Расстояние между посёлками Павловка и Надежда равно 24 км.

а) Изобразите дорогу между этими посёлками в виде шкалы, деления которой обозначают 2 км.

б) Покажите на шкале положение пешехода, идущего из Павловки в Надежду через 2 ч; через 3 ч; через 4 ч; через 5 ч. Скорость пешехода 6 км/ч.

6 · 2 = 12 (км)
6 · 3 = 18 (км)
6 · 4 = 24 (км)
6 · 5 = 30 (км)

1.184 Сколько существует способов прочтения слова «плюс» на рисунке 1.38? Сравните решение этой задачи с решением задачи 1.24.

буква «п» - 1 способ
буква «л» - 2 способа
буква «ю» - 3 способа
буква «с» - 4 способа

1 · 2 · 3 · 4 = 24 (сп.)

При решении этой задачи и задачи №1.24 использовались схемы, которые называются «Деревом вариантов».

Ответ: 24 способа.

Сколько существует способов прочтения слова «плюс» на рисунке 1.38?

Для решения этой задачи будем последовательно подсчитывать количество способов, которыми можно дойти до каждой буквы слова «плюс», двигаясь от предыдущей буквы к следующей. Этот метод аналогичен построению треугольника Паскаля.

1. Буква «П»: Существует только одна начальная буква «П», поэтому количество способов добраться до неё равно 1.

2. Буква «Л»: От буквы «П» можно перейти к любой из двух букв «Л». Таким образом, до каждой из двух букв «Л» существует 1 способ дойти.

3. Буква «Ю»:
- до верхней буквы «Ю» можно дойти только от верхней «Л» (1 способ);
- до средней буквы «Ю» можно дойти от верхней «Л» (1 способ) и от нижней «Л» (1 способ), что по правилу сложения дает $1 + 1 = 2$ способа;
- до нижней буквы «Ю» можно дойти только от нижней «Л» (1 способ).

4. Буква «С»:
- до верхней «С» можно дойти только от верхней «Ю» (1 способ);
- до второй «С» можно дойти от верхней «Ю» (1 способ) и средней «Ю» (2 способа), итого $1 + 2 = 3$ способа;
- до третьей «С» можно дойти от средней «Ю» (2 способа) и нижней «Ю» (1 способ), итого $2 + 1 = 3$ способа;
- до нижней «С» можно дойти только от нижней «Ю» (1 способ).

Общее количество способов прочитать слово «плюс» — это сумма способов дойти до каждой из конечных букв «С»: $1 + 3 + 3 + 1 = 8$.

Для слова из $n$ букв, расположенных таким образом, общее число способов прочтения можно найти по формуле $2^{n-1}$. В нашем случае слово «плюс» состоит из $n=4$ букв, поэтому число способов равно $2^{4-1} = 2^3 = 8$.

Ответ: 8.

Сравните решение этой задачи с решением задачи 1.24.

Поскольку условие задачи 1.24 не приведено, можно сделать обоснованное предположение, что это была схожая комбинаторная задача, основанная на том же принципе. В учебниках математики задачи часто группируются по методам решения.

Сходство:
Основной метод решения, скорее всего, был идентичен. Обе задачи решаются с помощью правила сложения в комбинаторике: количество способов достичь определенной точки (буквы) равно сумме количеств способов достичь всех предыдущих точек, из которых в неё ведут пути. Этот алгоритм по своей сути является построением треугольника Паскаля. Математическая модель для таких задач одинакова, и для слова длиной $n$ в подобной треугольной раскладке ответ вычисляется по формуле $2^{n-1}$.

Различие:
Наиболее вероятное различие заключается в конкретных данных задачи: в самом слове и, соответственно, в его длине $n$. Если бы в задаче 1.24 слово было короче или длиннее, итоговый ответ был бы другим (например, $2^{5-1} = 16$ для слова из 5 букв), но сам процесс решения не изменился бы.

Таким образом, решение задачи 1.184 является прямым применением того же комбинаторного подхода, который, по всей видимости, рассматривался в задаче 1.24.

Ответ: Решение этой задачи и, предположительно, задачи 1.24 основано на одном и том же комбинаторном принципе подсчета путей, который сводится к построению треугольника Паскаля. Различие между задачами, скорее всего, заключается только в длине слова, что влияет на конечный численный результат, но не на метод решения.

1.185 Вычислите:

1) 8277 : (3204 : 36);

2) 5238 : (5626 : 58);

3) 3969 : (305 - 158);

4) 8991 : 111 : 3.

$1) 8277 \stackrel{2}{:} (3204 \stackrel{1}{:} 36) = 93$

$2) 5238 \stackrel{2}{:} (5626 \stackrel{1}{:} 58) = 54$

$3) 3969 \stackrel{2}{:} (305 \stackrel{1}{-} 158) = 27$

$4) 8991 \stackrel{1}{:} 111 \stackrel{2}{:} 3 = 27$

1.186 Какая точка лежит правее на координатной прямой:

а) А(11) или O(0);

б) С(101) или Q(111);

в) М(8558) или N(8508);

г) K(5001) или Р(4999)?

а) А(11), б) Q(111), в) M(8558), г) K(5001).

Чтобы определить, какая из двух точек лежит правее на координатной прямой, необходимо сравнить их координаты. Точка с большей координатой всегда лежит правее.

а) Сравниваем координаты точек $A(11)$ и $O(0)$. Число $11$ больше числа $0$, то есть $11 > 0$. Следовательно, точка $A(11)$ лежит правее точки $O(0)$.
Ответ: A(11).

б) Сравниваем координаты точек $C(101)$ и $Q(111)$. Число $111$ больше числа $101$, то есть $111 > 101$. Следовательно, точка $Q(111)$ лежит правее точки $C(101)$.
Ответ: Q(111).

в) Сравниваем координаты точек $M(8558)$ и $N(8508)$. Число $8558$ больше числа $8508$, то есть $8558 > 8508$. Следовательно, точка $M(8558)$ лежит правее точки $N(8508)$.
Ответ: M(8558).

г) Сравниваем координаты точек $K(5001)$ и $P(4999)$. Число $5001$ больше числа $4999$, то есть $5001 > 4999$. Следовательно, точка $K(5001)$ лежит правее точки $P(4999)$.
Ответ: K(5001).

1.187 Какая точка лежит левее на координатной прямой:

а) A(63) или B(60);

б) C(251) или D(249);

в) E(2580) или N(2508);

г) K(9898) или L(9889)?

а) В(60), б) D(249), в) N(2508), г) L(9889).

На координатной прямой точка с меньшей координатой лежит левее. Чтобы определить, какая из двух точек лежит левее, нужно сравнить их координаты. Точка с меньшим числовым значением координаты будет расположена левее.

а) A(63) или B(60)
Сравниваем координаты точек $A$ и $B$: число $63$ и число $60$.
Поскольку $60 < 63$, точка $B$ с координатой $60$ лежит левее точки $A$ с координатой $63$.
Ответ: $B(60)$.

б) C(251) или D(249)
Сравниваем координаты точек $C$ и $D$: число $251$ и число $249$.
Поскольку $249 < 251$, точка $D$ с координатой $249$ лежит левее точки $C$ с координатой $251$.
Ответ: $D(249)$.

в) E(2580) или N(2508)
Сравниваем координаты точек $E$ и $N$: число $2580$ и число $2508$.
Поскольку $2508 < 2580$, точка $N$ с координатой $2508$ лежит левее точки $E$ с координатой $2580$.
Ответ: $N(2508)$.

г) K(9898) или L(9889)
Сравниваем координаты точек $K$ и $L$: число $9898$ и число $9889$.
Поскольку $9889 < 9898$, точка $L$ с координатой $9889$ лежит левее точки $K$ с координатой $9898$.
Ответ: $L(9889)$.

1.188 Запишите число, большее 117, но меньшее 137, которое оканчивается цифрой 7.

117 < 127 < 137

Согласно условию задачи, мы ищем число x, которое удовлетворяет трем условиям:
1. Число больше 117, что можно записать в виде неравенства: $x > 117$.
2. Число меньше 137, что можно записать в виде неравенства: $x < 137$.
3. Последняя цифра числа — это 7.

Объединив первые два условия, получаем, что искомое число находится в интервале $(117, 137)$. Это означает, что мы рассматриваем все целые числа от 118 до 136 включительно.

Теперь применим третье условие: число должно оканчиваться на 7. Выпишем все числа из указанного диапазона, которые оканчиваются на 7.
После 117 первым числом, оканчивающимся на 7, является 127.
Следующим таким числом будет 137, но оно не входит в наш диапазон, так как условие $x < 137$ является строгим.

Проверим число 127 на соответствие всем условиям:
1. $127 > 117$ — верно.
2. $127 < 137$ — верно.
3. Число 127 оканчивается на цифру 7 — верно.

Таким образом, единственное число, удовлетворяющее всем требованиям, — это 127.
Ответ: 127.

1.189 На координатной прямой отметьте все натуральные числа, которые:

а) меньше 6;

б) меньше 2;

в) больше 9 и меньше 14;

г) больше 4 и меньше 9.

1.190 Поставьте вместо знака вопроса знак < или >, чтобы неравенство было верным:

а) 50 107 ? 50 104;

б) 29 001 ? 29 002;

в) 41 597 ? 41 638;

г) 30 000 ? 29 990;

д) 2 085 003 ? 2 086 007;

е) 500 000 002 ? 500 000 001.

а) 50 107 > 50 104;
б) 29 001 < 29 002;
в) 41 597 < 41 638;
г) 30 000 > 29 990;
д) 2 085 003 < 2 086 007;
е) 500 000 002 > 500 000 001.

а) Чтобы сравнить числа $50\;107$ и $50\;104$, будем сравнивать их разряды поразрядно, начиная со старшего (слева направо). Оба числа имеют одинаковое количество разрядов (пятизначные).
1. Разряд десятков тысяч: $5 = 5$.
2. Разряд тысяч: $0 = 0$.
3. Разряд сотен: $1 = 1$.
4. Разряд десятков: $0 = 0$.
5. Разряд единиц: $7$ и $4$.
Поскольку $7 > 4$, то и все число $50\;107$ больше, чем $50\;104$.
Ответ: $50\;107 > 50\;104$

б) Сравниваем числа $29\;001$ и $29\;002$. Оба числа пятизначные. Первые четыре цифры (2, 9, 0, 0) у них совпадают. Сравнение сводится к последнему разряду – разряду единиц. У первого числа это 1, у второго 2. Так как $1 < 2$, то и число $29\;001$ меньше, чем $29\;002$.
Ответ: $29\;001 < 29\;002$

в) Сравниваем числа $41\;597$ и $41\;638$. Оба числа пятизначные. Сравниваем поразрядно слева направо.
1. Разряд десятков тысяч: $4 = 4$.
2. Разряд тысяч: $1 = 1$.
3. Разряд сотен: $5$ и $6$.
Так как $5 < 6$, то сравнение можно остановить. Число, у которого цифра в этом разряде меньше, является меньшим. Значит, $41\;597$ меньше, чем $41\;638$.
Ответ: $41\;597 < 41\;638$

г) Сравниваем числа $30\;000$ и $29\;990$. Оба числа пятизначные. Сравниваем цифры в старшем разряде (десятки тысяч). У первого числа это 3, а у второго 2. Поскольку $3 > 2$, то число $30\;000$ больше, чем $29\;990$.
Ответ: $30\;000 > 29\;990$

д) Сравниваем числа $2\;085\;003$ и $2\;086\;007$. Оба числа семизначные. Сравниваем поразрядно слева направо.
1. Разряд миллионов: $2 = 2$.
2. Разряд сотен тысяч: $0 = 0$.
3. Разряд десятков тысяч: $8 = 8$.
4. Разряд тысяч: $5$ и $6$.
Так как $5 < 6$, то число $2\;085\;003$ меньше, чем $2\;086\;007$.
Ответ: $2\;085\;003 < 2\;086\;007$

е) Сравниваем числа $500\;000\;002$ и $500\;000\;001$. Оба числа девятизначные. Все разряды, кроме последнего (разряда единиц), у этих чисел совпадают. Сравниваем цифры в разряде единиц: у первого числа это 2, у второго 1. Так как $2 > 1$, то число $500\;000\;002$ больше, чем $500\;000\;001$.
Ответ: $500\;000\;002 > 500\;000\;001$

1.191 Запишите пятизначное число, которое:

а) больше 99 982 и оканчивается цифрой 2;

б) меньше 10 012 и оканчивается цифрой 8.

а) 99 992 > 99 982;
б) 10 008 < 10 012.

а) Нам нужно найти пятизначное число, которое больше 99 982 и оканчивается цифрой 2. Обозначим искомое число как $N$. Условия можно записать так:

1. $N$ — пятизначное число, то есть $10000 \le N \le 99999$.
2. $N > 99982$.
3. Последняя цифра числа $N$ — это 2.

Начнем перебирать целые числа, которые больше 99 982: 99 983, 99 984, 99 985, и так далее, пока не найдем первое число, оканчивающееся на 2. Ряд чисел: 99 983, 99 984, 99 985, 99 986, 99 987, 99 988, 99 989, 99 990, 99 991, 99 992. Число 99 992 удовлетворяет всем условиям:

• Оно пятизначное.
• Оно больше 99 982 ($99992 > 99982$).
• Оно оканчивается на 2.

Следующее число, оканчивающееся на 2, будет $99992 + 10 = 100002$, но оно уже шестизначное. Следовательно, 99 992 является единственным решением.
Ответ: 99 992.

б) Нам нужно найти пятизначное число, которое меньше 10 012 и оканчивается цифрой 8. Обозначим искомое число как $N$. Условия можно записать так:

1. $N$ — пятизначное число, то есть $10000 \le N \le 99999$.
2. $N < 10012$.
3. Последняя цифра числа $N$ — это 8.

Объединяя условия 1 и 2, получаем, что искомое число $N$ находится в диапазоне $10000 \le N < 10012$. Теперь будем перебирать числа в этом диапазоне в обратном порядке, начиная с 10 011, чтобы найти первое, которое оканчивается на 8. Ряд чисел: 10 011, 10 010, 10 009, 10 008. Число 10 008 удовлетворяет всем условиям:

• Оно пятизначное ($10000 \le 10008 \le 99999$).
• Оно меньше 10 012 ($10008 < 10012$).
• Оно оканчивается на 8.

Предыдущее число, оканчивающееся на 8, это $10008 - 10 = 9998$, но оно уже четырехзначное. Следовательно, 10 008 является единственным решением.
Ответ: 10 008.

1.192 Запишите координаты точек В, С, Е и F на рисунке 1.39.

0 + 18 = 18; В(18)

18 + 24 = (10 + 8) + (20 + 4) = (10 + 20) + (8 + 4) = 30 + 12 = 42; С(42)

37 + 16 = (30 + 7) + (10 + 6) = (30 + 10) + (7 + 6) = 40 + 13 = 53; Е(53)

53 + 21 = (50 + 3) + (20 + 1) = (50 + 20) + (3 + 1) = 70 + 4 = 74; F(74)

B: Чтобы найти координату точки B, необходимо к координате начальной точки O прибавить число 18. Координата точки O равна 0. Выполним сложение:

$0 + 18 = 18$

Таким образом, координата точки B равна 18.

Ответ: B(18)

C: Чтобы найти координату точки C, необходимо к координате точки B прибавить число 24. Мы уже определили, что координата точки B равна 18. Выполним сложение:

$18 + 24 = 42$

Таким образом, координата точки C равна 42.

Ответ: C(42)

E: Чтобы найти координату точки E, необходимо к координате начальной точки D прибавить число 16. Координата точки D равна 37. Выполним сложение:

$37 + 16 = 53$

Таким образом, координата точки E равна 53.

Ответ: E(53)

F: Чтобы найти координату точки F, необходимо к координате точки E прибавить число 21. Мы уже определили, что координата точки E равна 53. Выполним сложение:

$53 + 21 = 74$

Таким образом, координата точки F равна 74.

Ответ: F(74)

5.209 Развивай мышление. Какое из четырёх чисел не обладает свойством, которым обладают остальные три числа? Сформулируйте это свойство.

а) В данном наборе чисел (36, 64, 169, 65) необходимо найти число, которое не обладает общим свойством с остальными тремя. Проанализируем эти числа. Можно заметить, что три из них являются точными квадратами, то есть квадратами целых чисел:

• $36 = 6^2$
• $64 = 8^2$
• $169 = 13^2$

Число 65 не является точным квадратом. Таким образом, общее свойство для чисел 36, 64 и 169 — это то, что они являются точными квадратами. Число 65 этим свойством не обладает.

Ответ: Лишнее число — 65. Свойство остальных трёх чисел: они являются точными квадратами.

б) В наборе чисел 1, 4, 27, 64 нужно найти "лишнее". Рассмотрим два возможных свойства: быть точным квадратом и быть точным кубом.
Свойство "быть точным квадратом": $1 = 1^2$, $4 = 2^2$, $64 = 8^2$. Число 27 не подходит.
Свойство "быть точным кубом": $1 = 1^3$, $27 = 3^3$, $64 = 4^3$. Число 4 не подходит.
В таких задачах обычно выбирается более специфичное или "красивое" свойство. Если представить числа в виде $n^k$, то мы имеем: $1^3$, $2^2$, $3^3$, $4^3$. Видно, что три числа являются кубами, а одно — нет. Это делает свойство "быть точным кубом" более вероятным ответом.

Ответ: Лишнее число — 4. Свойство остальных трёх чисел: они являются точными кубами.

в) Дан набор чисел: 16, 56, 62, 48. Все эти числа являются чётными. Поищем другое общее свойство. Проверим их делимость на 8.

• $16 \div 8 = 2$
• $56 \div 8 = 7$
• $48 \div 8 = 6$

Числа 16, 56 и 48 делятся на 8 без остатка. Проверим число 62:

$62 \div 8 = 7$ с остатком 6.

Таким образом, число 62 не делится на 8 нацело, в отличие от остальных трёх.

Ответ: Лишнее число — 62. Свойство остальных трёх чисел: они делятся на 8 без остатка.

г) Дан набор чисел: 14, 141, 55, 65. Стандартные свойства (чётность, делимость на 3 или 5, сумма цифр) не позволяют однозначно выделить одно "лишнее" число. Рассмотрим более специфическое свойство: делимость числа на его первую цифру.

• Число 14: первая цифра 1. $14 \div 1 = 14$. Делится.
• Число 141: первая цифра 1. $141 \div 1 = 141$. Делится.
• Число 55: первая цифра 5. $55 \div 5 = 11$. Делится.
• Число 65: первая цифра 6. $65 \div 6$ даёт остаток 5. Не делится нацело.

Следовательно, числа 14, 141 и 55 обладают свойством делимости на свою первую цифру, а число 65 — нет.

Ответ: Лишнее число — 65. Свойство остальных трёх чисел: они делятся нацело на свою первую цифру.

1 Какие из утверждений верны:

а) 55 — неправильная дробь;

б) дробь является правильной, если числитель больше знаменателя;

в) чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же?

а) $\frac{5}{5}$ — неправильная дробь;

По определению, неправильной дробью называется обыкновенная дробь, у которой числитель (число над чертой) больше или равен знаменателю (числу под чертой). В дроби $\frac{5}{5}$ числитель равен 5 и знаменатель равен 5. Так как числитель равен знаменателю ($5 = 5$), условие для неправильной дроби выполняется.

Ответ: утверждение верное.

б) дробь является правильной, если числитель больше знаменателя;

Это утверждение неверно. Правильной дробью называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Например, дробь $\frac{3}{4}$ является правильной, так как $3 < 4$. Условие, при котором числитель больше или равен знаменателю, определяет неправильную дробь.

Ответ: утверждение неверное.

в) чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же?

Это утверждение полностью соответствует правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Если мы складываем дроби $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$, то их сумма находится по формуле: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$. Мы складываем числители, а знаменатель оставляем без изменений.

Ответ: утверждение верное.

2 Выполните сложение:

Обведите неправильные дроби.

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{3}{10} + \frac{4}{10} = \frac{3+4}{10} = \frac{7}{10}$.
Ответ: $\frac{7}{10}$.

б) Складываем числители, так как знаменатели равны.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1+1}{2} = \frac{2}{2}$.
Дробь $\frac{2}{2}$ является неправильной (числитель равен знаменателю) и равна $1$.
Ответ: $\frac{2}{2}$.

в) Знаменатели одинаковые, поэтому складываем числители.
$\frac{3}{7} + \frac{5}{7} = \frac{3+5}{7} = \frac{8}{7}$.
Полученная дробь $\frac{8}{7}$ является неправильной (числитель больше знаменателя). Ее можно представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{7}$.
Ответ: $\frac{8}{7}$.

г) Складываем числители дробей с одинаковым знаменателем.
$\frac{12}{31} + \frac{18}{31} = \frac{12+18}{31} = \frac{30}{31}$.
Ответ: $\frac{30}{31}$.

д) Складываем числители, так как знаменатели одинаковые.
$\frac{2}{3} + \frac{3}{3} = \frac{2+3}{3} = \frac{5}{3}$.
Полученная дробь $\frac{5}{3}$ является неправильной. Ее можно представить в виде смешанного числа $1\frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

е) Складываем числители всех трех дробей с одинаковым знаменателем.
$\frac{4}{5} + \frac{1}{5} + \frac{2}{5} = \frac{4+1+2}{5} = \frac{7}{5}$.
Полученная дробь $\frac{7}{5}$ является неправильной. Ее можно представить в виде смешанного числа $1\frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{7}{5}$.

Обведите неправильные дроби?
Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. По результатам вычислений неправильными являются следующие дроби, полученные в ответах:
из пункта б): $\frac{2}{2}$
из пункта в): $\frac{8}{7}$
из пункта д): $\frac{5}{3}$
из пункта е): $\frac{7}{5}$
Ответ: $\frac{2}{2}, \frac{8}{7}, \frac{5}{3}, \frac{7}{5}$.

3 Для куклы сшили из 1120 м ткани пододеяльник, а из 320 м — наволочки. Сколько метров ткани ушло на пошив пододеяльника и наволочек для куклы?

N 3.

Пододеяльник - $\frac{11}{20}$ м

Наволочки - $\frac{3}{20}$ м

Ответ: $\frac{14}{20}$ м

Чтобы определить общее количество ткани, использованной для пошива пододеяльника и наволочек, нужно сложить количество ткани, затраченное на каждое изделие.

На пододеяльник ушло $ \frac{11}{20} $ м ткани.

На наволочки ушло $ \frac{3}{20} $ м ткани.

Складываем эти два значения, так как у дробей одинаковый знаменатель, складываем их числители:

$ \frac{11}{20} + \frac{3}{20} = \frac{11 + 3}{20} = \frac{14}{20} $ м

Полученную дробь $ \frac{14}{20} $ можно сократить. Для этого разделим числитель и знаменатель на их общий делитель, который равен 2:

$ \frac{14 \div 2}{20 \div 2} = \frac{7}{10} $ м

Ответ: на пошив пододеяльника и наволочек для куклы ушло $ \frac{7}{10} $ м ткани.

1 Вычислите:

а) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним. После этого, если возможно, следует сократить полученную дробь.

$\frac{3}{14} + \frac{7}{14} = \frac{3+7}{14} = \frac{10}{14}$

Сократим дробь $\frac{10}{14}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$\frac{10 \div 2}{14 \div 2} = \frac{5}{7}$

Ответ: $\frac{5}{7}$

б) Аналогично предыдущему пункту, складываем числители.

$\frac{8}{15} + \frac{7}{15} = \frac{8+7}{15} = \frac{15}{15}$

Если числитель равен знаменателю, то дробь равна 1.

$\frac{15}{15} = 1$

Ответ: $1$

в) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним. Затем, если возможно, сократить дробь.

$\frac{7}{14} - \frac{3}{14} = \frac{7-3}{14} = \frac{4}{14}$

Сократим дробь $\frac{4}{14}$, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{4 \div 2}{14 \div 2} = \frac{2}{7}$

Ответ: $\frac{2}{7}$

г) Аналогично предыдущему пункту, вычитаем числители.

$\frac{8}{15} - \frac{7}{15} = \frac{8-7}{15} = \frac{1}{15}$

Дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{1}{15}$

д) Выполняем действия с числителями последовательно слева направо.

$\frac{6}{21} + \frac{10}{21} - \frac{13}{21} = \frac{6+10-13}{21} = \frac{16-13}{21} = \frac{3}{21}$

Сократим полученную дробь $\frac{3}{21}$, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3 \div 3}{21 \div 3} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

е) Выполняем действия с числителями последовательно слева направо.

$\frac{35}{48} - \frac{20}{48} + \frac{1}{48} = \frac{35-20+1}{48} = \frac{15+1}{48} = \frac{16}{48}$

Сократим дробь $\frac{16}{48}$. Наибольший общий делитель для 16 и 48 это 16.

$\frac{16 \div 16}{48 \div 16} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

2 Найдите корень уравнения:

N2

а) $\frac{13}{56} + y = \frac{34}{56}$

$y = \frac{34}{56} - \frac{13}{56}$

$y = \frac{34 - 13}{56}$

$y = \frac{21}{56}$

Ответ: $\frac{21}{56}$

б) $x - \frac{7}{90} = \frac{39}{90}$

$x = \frac{39}{90} + \frac{7}{90}$

$x = \frac{39 + 7}{90}$

$x = \frac{46}{90}$

Ответ: $\frac{46}{90}$

в) $\frac{27}{48} + \frac{15}{48} - a = \frac{17}{48}$

$\frac{27 + 15}{48} - a = \frac{17}{48}$

$\frac{42}{48} - a = \frac{17}{48}$

$a = \frac{42}{48} - \frac{17}{48}$

$a = \frac{42 - 17}{48}$

$a = \frac{25}{48}$

$\begin{array}{r}42\\ - 17\\ \text{\_\_\_}\\ 25\end{array}$

Ответ: $\frac{25}{48}$

г) $b + \frac{14}{23} - \frac{3}{23} = \frac{20}{23}$

$b + \frac{14}{23} = \frac{20}{23} + \frac{3}{23}$

$b + \frac{14}{23} = \frac{20 + 3}{23}$

$b + \frac{14}{23} = \frac{23}{23}$

$b = \frac{23}{23} - \frac{14}{23}$

$b = \frac{23 - 14}{23}$

$b = \frac{9}{23}$

Ответ: $\frac{9}{23}$

а) Дано уравнение: $ \frac{13}{56} + y = \frac{34}{56} $.
Чтобы найти неизвестное слагаемое y, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$ y = \frac{34}{56} - \frac{13}{56} $
Так как знаменатели у дробей одинаковые, вычитаем числители:
$ y = \frac{34 - 13}{56} = \frac{21}{56} $
Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 7:
$ y = \frac{21 \div 7}{56 \div 7} = \frac{3}{8} $
Ответ: $ y = \frac{3}{8} $.

б) Дано уравнение: $ x - \frac{7}{90} = \frac{39}{90} $.
Чтобы найти неизвестное уменьшаемое x, нужно к разности прибавить вычитаемое.
$ x = \frac{39}{90} + \frac{7}{90} $
Так как знаменатели у дробей одинаковые, складываем числители:
$ x = \frac{39 + 7}{90} = \frac{46}{90} $
Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 2:
$ x = \frac{46 \div 2}{90 \div 2} = \frac{23}{45} $
Ответ: $ x = \frac{23}{45} $.

в) Дано уравнение: $ \frac{27}{48} + \frac{15}{48} - a = \frac{17}{48} $.
Сначала упростим левую часть уравнения, сложив дроби:
$ \frac{27 + 15}{48} - a = \frac{17}{48} $
$ \frac{42}{48} - a = \frac{17}{48} $
Теперь, чтобы найти неизвестное вычитаемое a, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$ a = \frac{42}{48} - \frac{17}{48} $
$ a = \frac{42 - 17}{48} = \frac{25}{48} $
Дробь $ \frac{25}{48} $ несократимая.
Ответ: $ a = \frac{25}{48} $.

г) Дано уравнение: $ b + \frac{14}{23} - \frac{3}{23} = \frac{20}{23} $.
Сначала упростим левую часть уравнения, выполнив действия с дробями:
$ b + \frac{14 - 3}{23} = \frac{20}{23} $
$ b + \frac{11}{23} = \frac{20}{23} $
Теперь, чтобы найти неизвестное слагаемое b, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
$ b = \frac{20}{23} - \frac{11}{23} $
$ b = \frac{20 - 11}{23} = \frac{9}{23} $
Дробь $ \frac{9}{23} $ несократимая.
Ответ: $ b = \frac{9}{23} $.

3 Какие из утверждений верны:

а) 12 < 65;

б) чтобы из одной дроби вычесть другую дробь с тем же знаменателем, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить тот же;

в) дробь называется правильной, если числитель меньше знаменателя?

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{6}{5}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 2 и 5 равен 10. Преобразуем дроби: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10}$; $\frac{6}{5} = \frac{6 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{12}{10}$. Теперь сравним полученные дроби: так как числитель 5 меньше числителя 12 ($5 < 12$), то и дробь $\frac{5}{10}$ меньше дроби $\frac{12}{10}$. Следовательно, неравенство $\frac{1}{2} < \frac{6}{5}$ является верным. Другой способ проверки — преобразовать дроби в десятичные: $\frac{1}{2} = 0,5$ и $\frac{6}{5} = 1,2$. Неравенство $0,5 < 1,2$ верно. Ответ: утверждение верно.

б) Утверждение описывает стандартное правило вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями. Действительно, чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить без изменений. В виде формулы это правило выглядит так: $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$. Ответ: утверждение верно.

в) Утверждение представляет собой определение правильной дроби. Согласно математическому определению, дробь называется правильной, если ее числитель (число над чертой) строго меньше ее знаменателя (числа под чертой). Например, дроби $\frac{3}{4}$ и $\frac{9}{10}$ являются правильными. Ответ: утверждение верно.