Страница 44, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

5.245 Представьте сумму в виде смешанного числа: а) 5 + 419; б) 24 + 23100.

а) Чтобы представить сумму целого числа и правильной дроби в виде смешанного числа, нужно записать целое число как целую часть, а правильную дробь — как дробную часть смешанного числа. В данном случае у нас есть сумма целого числа 5 и правильной дроби $\frac{4}{19}$ (дробь правильная, так как ее числитель 4 меньше знаменателя 19).
Таким образом, сумма $5 + \frac{4}{19}$ записывается в виде смешанного числа $5\frac{4}{19}$.
Ответ: $5\frac{4}{19}$

б) Аналогично, рассмотрим сумму $24 + \frac{23}{100}$. Здесь 24 — это целое число, а $\frac{23}{100}$ — правильная дробь (так как числитель 23 меньше знаменателя 100).
Следовательно, сумма целого числа и правильной дроби записывается как смешанное число, где 24 является целой частью, а $\frac{23}{100}$ — дробной.
$24 + \frac{23}{100} = 24\frac{23}{100}$
Ответ: $24\frac{23}{100}$

5.246 Представьте число в виде суммы целой и дробной частей:

а) Смешанное число $4\frac{7}{8}$ по определению является суммой его целой части и дробной части. Целая часть этого числа равна 4, а дробная часть равна $\frac{7}{8}$. Таким образом, мы можем записать это число в виде суммы:

$4\frac{7}{8} = 4 + \frac{7}{8}$

Ответ: $4 + \frac{7}{8}$

б) Аналогично, смешанное число $9\frac{9}{10}$ представляет собой сумму целой и дробной частей. Целая часть равна 9, а дробная часть — $\frac{9}{10}$. Следовательно, сумма выглядит так:

$9\frac{9}{10} = 9 + \frac{9}{10}$

Ответ: $9 + \frac{9}{10}$

в) Смешанное число $35\frac{16}{19}$ также является суммой своей целой и дробной частей. Целая часть здесь — 35, а дробная — $\frac{16}{19}$. Запишем это в виде суммы:

$35\frac{16}{19} = 35 + \frac{16}{19}$

Ответ: $35 + \frac{16}{19}$

г) Дробь $\frac{13}{24}$ является правильной, так как ее числитель (13) меньше знаменателя (24). У правильной дроби целая часть равна 0. Дробная часть равна самой дроби. Таким образом, число можно представить в виде суммы:

$\frac{13}{24} = 0 + \frac{13}{24}$

Ответ: $0 + \frac{13}{24}$

5.247 Представьте в виде смешанного числа:

а) Чтобы представить неправильную дробь $\frac{7}{4}$ в виде смешанного числа, нужно разделить ее числитель на знаменатель с остатком. Делим 7 на 4: $7 \div 4 = 1$ (остаток 3). Неполное частное 1 становится целой частью смешанного числа. Остаток 3 становится числителем дробной части, а знаменатель 4 остается без изменений. Таким образом: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$. Ответ: $1\frac{3}{4}$.

б) Чтобы представить дробь $\frac{19}{9}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 19 на знаменатель 9 с остатком. $19 \div 9 = 2$ (остаток 1). Целая часть равна 2, числитель дробной части равен 1, знаменатель равен 9. Таким образом: $\frac{19}{9} = 2\frac{1}{9}$. Ответ: $2\frac{1}{9}$.

в) Чтобы представить дробь $\frac{96}{13}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 96 на знаменатель 13 с остатком. $96 \div 13 = 7$ (остаток 5), так как $13 \times 7 = 91$ и $96 - 91 = 5$. Целая часть равна 7, числитель дробной части равен 5, знаменатель равен 13. Таким образом: $\frac{96}{13} = 7\frac{5}{13}$. Ответ: $7\frac{5}{13}$.

г) Чтобы представить дробь $\frac{38}{25}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 38 на знаменатель 25 с остатком. $38 \div 25 = 1$ (остаток 13), так как $38 - 25 = 13$. Целая часть равна 1, числитель дробной части равен 13, знаменатель равен 25. Таким образом: $\frac{38}{25} = 1\frac{13}{25}$. Ответ: $1\frac{13}{25}$.

д) Чтобы представить дробь $\frac{93}{11}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 93 на знаменатель 11 с остатком. $93 \div 11 = 8$ (остаток 5), так как $11 \times 8 = 88$ и $93 - 88 = 5$. Целая часть равна 8, числитель дробной части равен 5, знаменатель равен 11. Таким образом: $\frac{93}{11} = 8\frac{5}{11}$. Ответ: $8\frac{5}{11}$.

е) Чтобы представить дробь $\frac{79}{10}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 79 на знаменатель 10 с остатком. $79 \div 10 = 7$ (остаток 9). Целая часть равна 7, числитель дробной части равен 9, знаменатель равен 10. Таким образом: $\frac{79}{10} = 7\frac{9}{10}$. Ответ: $7\frac{9}{10}$.

ж) Чтобы представить дробь $\frac{407}{100}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 407 на знаменатель 100 с остатком. $407 \div 100 = 4$ (остаток 7). Целая часть равна 4, числитель дробной части равен 7, знаменатель равен 100. Таким образом: $\frac{407}{100} = 4\frac{7}{100}$. Ответ: $4\frac{7}{100}$.

з) Чтобы представить дробь $\frac{4706}{1000}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 4706 на знаменатель 1000 с остатком. $4706 \div 1000 = 4$ (остаток 706). Получаем $4\frac{706}{1000}$. Дробную часть можно сократить, так как числитель и знаменатель — четные числа. Разделим их на 2: $\frac{706}{1000} = \frac{706 \div 2}{1000 \div 2} = \frac{353}{500}$. Таким образом: $\frac{4706}{1000} = 4\frac{353}{500}$. Ответ: $4\frac{353}{500}$.

и) Чтобы представить дробь $\frac{16}{5}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 16 на знаменатель 5 с остатком. $16 \div 5 = 3$ (остаток 1). Целая часть равна 3, числитель дробной части равен 1, знаменатель равен 5. Таким образом: $\frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$. Ответ: $3\frac{1}{5}$.

к) Чтобы представить дробь $\frac{36}{13}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 36 на знаменатель 13 с остатком. $36 \div 13 = 2$ (остаток 10), так как $13 \times 2 = 26$ и $36 - 26 = 10$. Целая часть равна 2, числитель дробной части равен 10, знаменатель равен 13. Таким образом: $\frac{36}{13} = 2\frac{10}{13}$. Ответ: $2\frac{10}{13}$.

л) Чтобы представить дробь $\frac{777}{770}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 777 на знаменатель 770 с остатком. $777 \div 770 = 1$ (остаток 7). Получаем $1\frac{7}{770}$. Дробную часть можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на 7: $\frac{7}{770} = \frac{7 \div 7}{770 \div 7} = \frac{1}{110}$. Таким образом: $\frac{777}{770} = 1\frac{1}{110}$. Ответ: $1\frac{1}{110}$.

м) Чтобы представить дробь $\frac{777}{77}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 777 на знаменатель 77 с остатком. $777 \div 77 = 10$ (остаток 7), так как $77 \times 10 = 770$ и $777 - 770 = 7$. Получаем $10\frac{7}{77}$. Дробную часть можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на 7: $\frac{7}{77} = \frac{7 \div 7}{77 \div 7} = \frac{1}{11}$. Таким образом: $\frac{777}{77} = 10\frac{1}{11}$. Ответ: $10\frac{1}{11}$.

5.248 Запишите частное в виде неправильной дроби и выделите из неё целую часть:

а) 5 : 2;

б) 17 : 6;

в) 40 : 9;

г) 49 : 10;

д) 268 : 33;

е) 499 : 28;

ж) 561 : 100;

з) 1024 : 1000.

Для каждого частного вида $a:b$ сначала запишем его в виде неправильной дроби $\frac{a}{b}$. Затем, чтобы выделить целую часть, мы разделим числитель $a$ на знаменатель $b$ с остатком. Результат деления без остатка (неполное частное) станет целой частью, остаток от деления станет новым числителем, а знаменатель останется прежним.

а) 5 : 2

Запишем частное 5 : 2 в виде неправильной дроби: $ \frac{5}{2} $.

Чтобы выделить целую часть, разделим числитель 5 на знаменатель 2 с остатком: $ 5 \div 2 = 2 $ (остаток 1).

Целая часть равна 2, остаток 1 является числителем дробной части, а знаменатель 2 остается без изменений.

Таким образом, $ \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} $.

б) 17 : 6

Запишем частное 17 : 6 в виде неправильной дроби: $ \frac{17}{6} $.

Выделим целую часть, разделив 17 на 6 с остатком: $ 17 \div 6 = 2 $ (остаток 5).

Получаем целую часть 2 и дробную часть $ \frac{5}{6} $.

Таким образом, $ \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} $.

Ответ: $ \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} $.

в) 40 : 9

Запишем частное 40 : 9 в виде неправильной дроби: $ \frac{40}{9} $.

Выделим целую часть, разделив 40 на 9 с остатком: $ 40 \div 9 = 4 $ (остаток 4).

Получаем целую часть 4 и дробную часть $ \frac{4}{9} $.

Таким образом, $ \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} $.

Ответ: $ \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} $.

г) 49 : 10

Запишем частное 49 : 10 в виде неправильной дроби: $ \frac{49}{10} $.

Выделим целую часть, разделив 49 на 10 с остатком: $ 49 \div 10 = 4 $ (остаток 9).

Получаем целую часть 4 и дробную часть $ \frac{9}{10} $.

Таким образом, $ \frac{49}{10} = 4\frac{9}{10} $.

Ответ: $ \frac{49}{10} = 4\frac{9}{10} $.

д) 268 : 33

Запишем частное 268 : 33 в виде неправильной дроби: $ \frac{268}{33} $.

Выделим целую часть, разделив 268 на 33 с остатком. $ 33 \times 8 = 264 $. Остаток: $ 268 - 264 = 4 $.

Неполное частное (целая часть) равно 8, а остаток равен 4.

Таким образом, $ \frac{268}{33} = 8\frac{4}{33} $.

Ответ: $ \frac{268}{33} = 8\frac{4}{33} $.

е) 499 : 28

Запишем частное 499 : 28 в виде неправильной дроби: $ \frac{499}{28} $.

Выделим целую часть, выполнив деление с остатком 499 на 28. $ 499 \div 28 = 17 $ (остаток 23). (Проверка: $ 17 \times 28 + 23 = 476 + 23 = 499 $).

Целая часть равна 17, остаток 23 становится числителем, а знаменатель 28 остается прежним.

Таким образом, $ \frac{499}{28} = 17\frac{23}{28} $.

Ответ: $ \frac{499}{28} = 17\frac{23}{28} $.

ж) 561 : 100

Запишем частное 561 : 100 в виде неправильной дроби: $ \frac{561}{100} $.

Выделим целую часть, разделив 561 на 100 с остатком: $ 561 \div 100 = 5 $ (остаток 61).

Получаем целую часть 5 и дробную часть $ \frac{61}{100} $.

Таким образом, $ \frac{561}{100} = 5\frac{61}{100} $.

Ответ: $ \frac{561}{100} = 5\frac{61}{100} $.

з) 1024 : 1000

Запишем частное 1024 : 1000 в виде неправильной дроби: $ \frac{1024}{1000} $.

Выделим целую часть, разделив 1024 на 1000 с остатком: $ 1024 \div 1000 = 1 $ (остаток 24).

Получаем целую часть 1 и дробную часть $ \frac{24}{1000} $.

Таким образом, $ \frac{1024}{1000} = 1\frac{24}{1000} $.

Ответ: $ \frac{1024}{1000} = 1\frac{24}{1000} $.

5.249 За единичный отрезок примите 12 клеток тетради и отметьте на координатной прямой точки с координатами 2112, 1512, 156 и 114.

Для решения задачи необходимо определить положение каждой точки на координатной прямой, на которой единичный отрезок равен 12 клеткам. Это означает, что каждая клетка соответствует $\frac{1}{12}$ единицы. Рассчитаем положение каждой точки в клетках от начала координат (точки 0).

$2\frac{1}{12}$

Чтобы найти положение точки с координатой $2\frac{1}{12}$, переведем это значение в клетки. Целая часть 2 соответствует $2 \times 12 = 24$ клеткам. Дробная часть $\frac{1}{12}$ соответствует 1 клетке. Таким образом, общее расстояние от нуля составляет $24 + 1 = 25$ клеток.

Ответ: Точку с координатой $2\frac{1}{12}$ следует отметить на расстоянии 25 клеток от начала координат.

$1\frac{5}{12}$

Для точки с координатой $1\frac{5}{12}$ целая часть 1 соответствует $1 \times 12 = 12$ клеткам. Дробная часть $\frac{5}{12}$ соответствует 5 клеткам. Общее расстояние от нуля составляет $12 + 5 = 17$ клеток.

Ответ: Точку с координатой $1\frac{5}{12}$ следует отметить на расстоянии 17 клеток от начала координат.

$1\frac{5}{6}$

Сначала приведем дробную часть к знаменателю 12, чтобы было удобнее считать в клетках: $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$. Координата становится равной $1\frac{10}{12}$. Целая часть 1 равна 12 клеткам, а дробная часть $\frac{10}{12}$ — 10 клеткам. Общее расстояние от нуля составляет $12 + 10 = 22$ клетки.

Ответ: Точку с координатой $1\frac{5}{6}$ следует отметить на расстоянии 22 клеток от начала координат.

$1\frac{1}{4}$

Приведем дробную часть к знаменателю 12: $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$. Координата становится равной $1\frac{3}{12}$. Целая часть 1 равна 12 клеткам, а дробная часть $\frac{3}{12}$ — 3 клеткам. Общее расстояние от нуля составляет $12 + 3 = 15$ клеток.

Ответ: Точку с координатой $1\frac{1}{4}$ следует отметить на расстоянии 15 клеток от начала координат.

5.250 Сколько килограммов картофеля в среднем расходовала столовая за день, если за апрель израсходовано 920 кг картофеля?

Для того чтобы найти средний расход картофеля в день, необходимо общее количество израсходованного картофеля разделить на количество дней в указанном месяце.

1. Узнаем, сколько дней в апреле. Апрель состоит из 30 дней.

2. Согласно условию, за апрель (30 дней) столовая израсходовала 920 кг картофеля.

3. Рассчитаем средний дневной расход, разделив общее количество картофеля на количество дней:
$920 \div 30 = \frac{920}{30} = \frac{92}{3}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы получить точный ответ:
$\frac{92}{3} = 30 \frac{2}{3}$ кг.

Таким образом, столовая в среднем расходовала $30 \frac{2}{3}$ килограмма картофеля в день.

Ответ: $30 \frac{2}{3}$ кг.

5.251 Шмель пролетел 100 м за 3 мин. С какой скоростью летел шмель?

Решение:
Чтобы найти скорость, необходимо расстояние, которое пролетел объект, разделить на время, затраченное на этот путь.

Дано:
Расстояние (s) = 100 м
Время (t) = 3 мин

Найти:
Скорость (v)

Формула для нахождения скорости:
$v = \frac{s}{t}$

1. Вычислим скорость в метрах в минуту (м/мин).
Подставим данные значения в формулу:
$v = \frac{100 \text{ м}}{3 \text{ мин}} = 33 \frac{1}{3}$ м/мин.

2. Вычислим скорость в более стандартных единицах — километрах в час (км/ч).
Для этого сначала переведем расстояние в километры, а время в часы.
Перевод расстояния:
$s = 100 \text{ м} = \frac{100}{1000} \text{ км} = 0.1 \text{ км}$
Перевод времени:
$t = 3 \text{ мин} = \frac{3}{60} \text{ ч} = \frac{1}{20} \text{ ч} = 0.05 \text{ ч}$

Теперь рассчитаем скорость в км/ч, используя те же данные, но в новых единицах:
$v = \frac{0.1 \text{ км}}{0.05 \text{ ч}} = \frac{10}{5} \text{ км/ч} = 2$ км/ч.

Таким образом, скорость шмеля составляет $33 \frac{1}{3}$ м/мин, что равно 2 км/ч.

Ответ: Скорость шмеля равна 2 км/ч (или $33 \frac{1}{3}$ м/мин).

5.252 Петя и Наташа любят соревноваться в скорости решения цепочек примеров для устного счёта. Пять цепочек примеров Петя решил за 3 мин, а Наташа - за 2 мин. Сколько цепочек примеров решил каждый из них за 1 мин?

Чтобы определить, сколько цепочек примеров каждый из них решил за 1 минуту, необходимо найти их производительность (скорость решения). Для этого нужно разделить количество решённых цепочек на время, затраченное на их решение.

Сколько цепочек примеров решил Петя за 1 минуту

Петя решил 5 цепочек примеров за 3 минуты. Чтобы найти его скорость решения, разделим количество цепочек на время:

$5 \div 3 = \frac{5}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Следовательно, за 1 минуту Петя решает $1\frac{2}{3}$ цепочки примеров.

Ответ: $1\frac{2}{3}$ цепочки примеров.

Сколько цепочек примеров решила Наташа за 1 минуту

Наташа решила 5 цепочек примеров за 2 минуты. Чтобы найти её скорость решения, также разделим количество цепочек на время:

$5 \div 2 = \frac{5}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Следовательно, за 1 минуту Наташа решает $2\frac{1}{2}$ цепочки примеров.

Ответ: $2\frac{1}{2}$ цепочки примеров.

5.253 а) Представьте в виде неправильной дроби числа 812, 634, 559 и 2710.

б) Представьте в виде неправильной дроби со знаменателями 6 и 3 числа 3, 5, 7 и 34.

а) Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, необходимо умножить целую часть числа на знаменатель дробной части, а затем к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Результат этого действия станет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.

Выполним преобразование для каждого числа:

• Для числа $8\frac{1}{2}$:

  $8\frac{1}{2} = \frac{8 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{16 + 1}{2} = \frac{17}{2}$

• Для числа $6\frac{3}{4}$:

  $6\frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{24 + 3}{4} = \frac{27}{4}$

• Для числа $5\frac{5}{9}$:

  $5\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{45 + 5}{9} = \frac{50}{9}$

• Для числа $2\frac{7}{10}$:

  $2\frac{7}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{20 + 7}{10} = \frac{27}{10}$

Ответ: $\frac{17}{2}; \frac{27}{4}; \frac{50}{9}; \frac{27}{10}$.

б) Чтобы представить целое число в виде неправильной дроби с определенным знаменателем, нужно это число умножить на требуемый знаменатель. Полученное произведение будет числителем дроби, а знаменатель будет равен заданному.

Представим числа 3, 5, 7 и 34 в виде дробей со знаменателем 6:

• $3 = \frac{3 \cdot 6}{6} = \frac{18}{6}$

• $5 = \frac{5 \cdot 6}{6} = \frac{30}{6}$

• $7 = \frac{7 \cdot 6}{6} = \frac{42}{6}$

• $34 = \frac{34 \cdot 6}{6} = \frac{204}{6}$

Представим те же числа в виде дробей со знаменателем 3:

• $3 = \frac{3 \cdot 3}{3} = \frac{9}{3}$

• $5 = \frac{5 \cdot 3}{3} = \frac{15}{3}$

• $7 = \frac{7 \cdot 3}{3} = \frac{21}{3}$

• $34 = \frac{34 \cdot 3}{3} = \frac{102}{3}$

Ответ: Со знаменателем 6: $\frac{18}{6}, \frac{30}{6}, \frac{42}{6}, \frac{204}{6}$. Со знаменателем 3: $\frac{9}{3}, \frac{15}{3}, \frac{21}{3}, \frac{102}{3}$.

5.254 Выразите:

Для того чтобы выразить время в минутах, необходимо перевести секунды в доли минуты, используя соотношение $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$, из которого следует, что $1 \text{ с} = \frac{1}{60} \text{ мин}$. Также будем использовать соотношение $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.

1) Выразим 1 мин 22 с в минутах:
$1 \text{ мин } 22 \text{ с} = 1 \text{ мин} + 22 \text{ с} = 1 \text{ мин} + \frac{22}{60} \text{ мин} = 1 + \frac{11}{30} \text{ мин} = 1\frac{11}{30} \text{ мин}$.

2) Выразим 6 мин 17 с в минутах:
$6 \text{ мин } 17 \text{ с} = 6 \text{ мин} + 17 \text{ с} = 6 + \frac{17}{60} \text{ мин} = 6\frac{17}{60} \text{ мин}$.

3) Выразим 27 с в минутах:
$27 \text{ с} = \frac{27}{60} \text{ мин}$. Сократим дробь на 3: $\frac{27 \div 3}{60 \div 3} = \frac{9}{20}$.
Таким образом, $27 \text{ с} = \frac{9}{20} \text{ мин}$.

4) Выразим 1 ч 8 мин 37 с в минутах:
Сначала переведем все в минуты: $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$; $37 \text{ с} = \frac{37}{60} \text{ мин}$.
Теперь сложим все части: $1 \text{ ч } 8 \text{ мин } 37 \text{ с} = 60 \text{ мин} + 8 \text{ мин} + \frac{37}{60} \text{ мин} = 68 \text{ мин} + \frac{37}{60} \text{ мин} = 68\frac{37}{60} \text{ мин}$.

Ответ: $1\frac{11}{30}$ мин; $6\frac{17}{60}$ мин; $\frac{9}{20}$ мин; $68\frac{37}{60}$ мин.

Для того чтобы выразить длину в метрах, необходимо перевести миллиметры в метры, используя соотношение $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$, из которого следует, что $1 \text{ мм} = \frac{1}{1000} \text{ м} = 0,001 \text{ м}$.

1) Выразим 7 м 450 мм в метрах:
$7 \text{ м } 450 \text{ мм} = 7 \text{ м} + 450 \text{ мм} = 7 \text{ м} + \frac{450}{1000} \text{ м} = 7 \text{ м} + 0,45 \text{ м} = 7,45 \text{ м}$.

2) Выразим 26 м 976 мм в метрах:
$26 \text{ м } 976 \text{ мм} = 26 \text{ м} + 976 \text{ мм} = 26 \text{ м} + \frac{976}{1000} \text{ м} = 26 \text{ м} + 0,976 \text{ м} = 26,976 \text{ м}$.

Ответ: 7,45 м; 26,976 м.

5.255 Площадь квадрата равна 841 мм². Выразите площадь в квадратных сантиметрах в виде:

а) неправильной дроби;

б) смешанного числа.

Для того чтобы выразить площадь из квадратных миллиметров ($мм^2$) в квадратные сантиметры ($см^2$), необходимо знать соотношение между этими единицами измерения.

В одном сантиметре содержится 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$

Следовательно, в одном квадратном сантиметре содержится $10 \times 10 = 100$ квадратных миллиметров: $1 \text{ см}^2 = 1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}^2$

Чтобы перевести площадь из $мм^2$ в $см^2$, нужно данное значение разделить на 100. Площадь квадрата равна $841 \text{ мм}^2$. $841 \text{ мм}^2 = \frac{841}{100} \text{ см}^2$

а) Выразим площадь в виде неправильной дроби.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Полученное выражение $\frac{841}{100}$ уже является неправильной дробью. Эта дробь несократима, так как у числителя (841 = 29 ? 29) и знаменателя (100 = 10 ? 10) нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{841}{100} \text{ см}^2$.

б) Выразим площадь в виде смешанного числа.

Чтобы преобразовать неправильную дробь $\frac{841}{100}$ в смешанное число, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Делим 841 на 100: $841 \div 100 = 8$ (целая часть) и $41$ (остаток). Целая часть становится целой частью смешанного числа, а остаток — числителем дробной части. Знаменатель остается прежним. $\frac{841}{100} = 8\frac{41}{100}$

Ответ: $8\frac{41}{100} \text{ см}^2$.

5.256 Найдите, сколько банок потребуется, чтобы разлить в них 513 кг варенья, если одна банка вмещает 13 кг варенья.

Чтобы определить, сколько банок потребуется, нужно общее количество варенья разделить на количество варенья, которое вмещает одна банка.

Дано:

• Общее количество варенья: $5\frac{1}{3}$ кг.
• Вместимость одной банки: $\frac{1}{3}$ кг.

1. Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{1}{3}$ в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним:

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{15 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

2. Теперь разделим общее количество варенья (в виде неправильной дроби) на вместимость одной банки:

$\frac{16}{3} \div \frac{1}{3}$

3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{16}{3} \times \frac{3}{1} = \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 1} = \frac{48}{3}$

4. Вычислим полученное значение:

$48 \div 3 = 16$

Следовательно, для того чтобы разлить все варенье, потребуется 16 банок.

Ответ: 16 банок.

5.257 Для изготовления кормушек для птиц доску длиной 334 м распилили на части, по 14 м в каждой. Сколько получилось таких частей?

Чтобы найти количество частей, на которые распилили доску, нужно общую длину доски разделить на длину одной части.

Общая длина доски составляет $3\frac{3}{4}$ м, а длина одной части — $\frac{1}{4}$ м.

Для выполнения деления сначала представим смешанное число $3\frac{3}{4}$ в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, а знаменатель оставляем прежним:
$3\frac{3}{4} = \frac{3 \times 4 + 3}{4} = \frac{12 + 3}{4} = \frac{15}{4}$.

Теперь разделим общую длину на длину одной части. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{15}{4} \div \frac{1}{4} = \frac{15}{4} \times \frac{4}{1} = \frac{15 \times 4}{4 \times 1} = \frac{60}{4} = 15$.

Следовательно, получилось 15 частей.

Ответ: 15.

5.258 Вычислите.

а) Решим пример по действиям, следуя указанному порядку операций:

1. Первое действие — сложение: $27 + 33 = 60$.
2. Второе действие — умножение: $60 \cdot 5 = 300$.
3. Третье действие — сложение: $300 + 180 = 480$.
4. Четвертое действие — деление: $480 : 80 = 6$.
Ответ: 6

б) Выполним вычисления по шагам:

1. Первое действие — умножение: $15 \cdot 10 = 150$.
2. Второе действие — сложение: $150 + 50 = 200$.
3. Третье действие — деление: $200 : 40 = 5$.
4. Четвертое действие — умножение: $5 \cdot 70 = 350$.
Ответ: 350

в) Вычислим значение выражения по действиям:

1. Первое действие — сложение: $17 + 28 = 45$.
2. Второе действие — умножение: $45 \cdot 2 = 90$.
3. Третье действие — вычитание: $90 - 15 = 75$.
4. Четвертое действие — деление: $75 : 25 = 3$.
Ответ: 3

г) Решим пример по действиям:

1. Первое действие — умножение: $10 \cdot 18 = 180$.
2. Второе действие — сложение: $180 + 70 = 250$.
3. Третье действие — деление: $250 : 5 = 50$.
4. Четвертое действие — умножение: $50 \cdot 8 = 400$.
Ответ: 400

д) Выполним вычисления по шагам:

1. Первое действие — умножение: $40 \cdot 4 = 160$.
2. Второе действие — сложение: $160 + 520 = 680$.
3. Третье действие — вычитание: $680 - 200 = 480$.
4. Четвертое действие — деление: $480 : 60 = 8$.
Ответ: 8