Страница 44, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

5.245 Представьте сумму в виде смешанного числа: а) 5 + 419; б) 24 + 23100.

а) Чтобы представить сумму целого числа и правильной дроби в виде смешанного числа, нужно записать целое число как целую часть, а правильную дробь — как дробную часть смешанного числа. В данном случае у нас есть сумма целого числа 5 и правильной дроби $\frac{4}{19}$ (дробь правильная, так как ее числитель 4 меньше знаменателя 19).
Таким образом, сумма $5 + \frac{4}{19}$ записывается в виде смешанного числа $5\frac{4}{19}$.
Ответ: $5\frac{4}{19}$

б) Аналогично, рассмотрим сумму $24 + \frac{23}{100}$. Здесь 24 — это целое число, а $\frac{23}{100}$ — правильная дробь (так как числитель 23 меньше знаменателя 100).
Следовательно, сумма целого числа и правильной дроби записывается как смешанное число, где 24 является целой частью, а $\frac{23}{100}$ — дробной.
$24 + \frac{23}{100} = 24\frac{23}{100}$
Ответ: $24\frac{23}{100}$

5.246 Представьте число в виде суммы целой и дробной частей:

а) Смешанное число $4\frac{7}{8}$ по определению является суммой его целой части и дробной части. Целая часть этого числа равна 4, а дробная часть равна $\frac{7}{8}$. Таким образом, мы можем записать это число в виде суммы:

$4\frac{7}{8} = 4 + \frac{7}{8}$

Ответ: $4 + \frac{7}{8}$

б) Аналогично, смешанное число $9\frac{9}{10}$ представляет собой сумму целой и дробной частей. Целая часть равна 9, а дробная часть — $\frac{9}{10}$. Следовательно, сумма выглядит так:

$9\frac{9}{10} = 9 + \frac{9}{10}$

Ответ: $9 + \frac{9}{10}$

в) Смешанное число $35\frac{16}{19}$ также является суммой своей целой и дробной частей. Целая часть здесь — 35, а дробная — $\frac{16}{19}$. Запишем это в виде суммы:

$35\frac{16}{19} = 35 + \frac{16}{19}$

Ответ: $35 + \frac{16}{19}$

г) Дробь $\frac{13}{24}$ является правильной, так как ее числитель (13) меньше знаменателя (24). У правильной дроби целая часть равна 0. Дробная часть равна самой дроби. Таким образом, число можно представить в виде суммы:

$\frac{13}{24} = 0 + \frac{13}{24}$

Ответ: $0 + \frac{13}{24}$

5.247 Представьте в виде смешанного числа:

а) Чтобы представить неправильную дробь $\frac{7}{4}$ в виде смешанного числа, нужно разделить ее числитель на знаменатель с остатком. Делим 7 на 4: $7 \div 4 = 1$ (остаток 3). Неполное частное 1 становится целой частью смешанного числа. Остаток 3 становится числителем дробной части, а знаменатель 4 остается без изменений. Таким образом: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$. Ответ: $1\frac{3}{4}$.

б) Чтобы представить дробь $\frac{19}{9}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 19 на знаменатель 9 с остатком. $19 \div 9 = 2$ (остаток 1). Целая часть равна 2, числитель дробной части равен 1, знаменатель равен 9. Таким образом: $\frac{19}{9} = 2\frac{1}{9}$. Ответ: $2\frac{1}{9}$.

в) Чтобы представить дробь $\frac{96}{13}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 96 на знаменатель 13 с остатком. $96 \div 13 = 7$ (остаток 5), так как $13 \times 7 = 91$ и $96 - 91 = 5$. Целая часть равна 7, числитель дробной части равен 5, знаменатель равен 13. Таким образом: $\frac{96}{13} = 7\frac{5}{13}$. Ответ: $7\frac{5}{13}$.

г) Чтобы представить дробь $\frac{38}{25}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 38 на знаменатель 25 с остатком. $38 \div 25 = 1$ (остаток 13), так как $38 - 25 = 13$. Целая часть равна 1, числитель дробной части равен 13, знаменатель равен 25. Таким образом: $\frac{38}{25} = 1\frac{13}{25}$. Ответ: $1\frac{13}{25}$.

д) Чтобы представить дробь $\frac{93}{11}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 93 на знаменатель 11 с остатком. $93 \div 11 = 8$ (остаток 5), так как $11 \times 8 = 88$ и $93 - 88 = 5$. Целая часть равна 8, числитель дробной части равен 5, знаменатель равен 11. Таким образом: $\frac{93}{11} = 8\frac{5}{11}$. Ответ: $8\frac{5}{11}$.

е) Чтобы представить дробь $\frac{79}{10}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 79 на знаменатель 10 с остатком. $79 \div 10 = 7$ (остаток 9). Целая часть равна 7, числитель дробной части равен 9, знаменатель равен 10. Таким образом: $\frac{79}{10} = 7\frac{9}{10}$. Ответ: $7\frac{9}{10}$.

ж) Чтобы представить дробь $\frac{407}{100}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 407 на знаменатель 100 с остатком. $407 \div 100 = 4$ (остаток 7). Целая часть равна 4, числитель дробной части равен 7, знаменатель равен 100. Таким образом: $\frac{407}{100} = 4\frac{7}{100}$. Ответ: $4\frac{7}{100}$.

з) Чтобы представить дробь $\frac{4706}{1000}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 4706 на знаменатель 1000 с остатком. $4706 \div 1000 = 4$ (остаток 706). Получаем $4\frac{706}{1000}$. Дробную часть можно сократить, так как числитель и знаменатель — четные числа. Разделим их на 2: $\frac{706}{1000} = \frac{706 \div 2}{1000 \div 2} = \frac{353}{500}$. Таким образом: $\frac{4706}{1000} = 4\frac{353}{500}$. Ответ: $4\frac{353}{500}$.

и) Чтобы представить дробь $\frac{16}{5}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 16 на знаменатель 5 с остатком. $16 \div 5 = 3$ (остаток 1). Целая часть равна 3, числитель дробной части равен 1, знаменатель равен 5. Таким образом: $\frac{16}{5} = 3\frac{1}{5}$. Ответ: $3\frac{1}{5}$.

к) Чтобы представить дробь $\frac{36}{13}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 36 на знаменатель 13 с остатком. $36 \div 13 = 2$ (остаток 10), так как $13 \times 2 = 26$ и $36 - 26 = 10$. Целая часть равна 2, числитель дробной части равен 10, знаменатель равен 13. Таким образом: $\frac{36}{13} = 2\frac{10}{13}$. Ответ: $2\frac{10}{13}$.

л) Чтобы представить дробь $\frac{777}{770}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 777 на знаменатель 770 с остатком. $777 \div 770 = 1$ (остаток 7). Получаем $1\frac{7}{770}$. Дробную часть можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на 7: $\frac{7}{770} = \frac{7 \div 7}{770 \div 7} = \frac{1}{110}$. Таким образом: $\frac{777}{770} = 1\frac{1}{110}$. Ответ: $1\frac{1}{110}$.

м) Чтобы представить дробь $\frac{777}{77}$ в виде смешанного числа, разделим числитель 777 на знаменатель 77 с остатком. $777 \div 77 = 10$ (остаток 7), так как $77 \times 10 = 770$ и $777 - 770 = 7$. Получаем $10\frac{7}{77}$. Дробную часть можно сократить. Разделим числитель и знаменатель на 7: $\frac{7}{77} = \frac{7 \div 7}{77 \div 7} = \frac{1}{11}$. Таким образом: $\frac{777}{77} = 10\frac{1}{11}$. Ответ: $10\frac{1}{11}$.

5.248 Запишите частное в виде неправильной дроби и выделите из неё целую часть:

а) 5 : 2;

б) 17 : 6;

в) 40 : 9;

г) 49 : 10;

д) 268 : 33;

е) 499 : 28;

ж) 561 : 100;

з) 1024 : 1000.

а) $5 : 2 = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$, так как$\begin{array}{cccc}\text{—}& 5& |\hfill & 2\\ & 4& |\hfill & 2\\ & \text{—}& & \\ & 1\text{(ост.)}& & \end{array}$

б) $17 : 6 = \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6}$, так как$\begin{array}{cccc}\text{—}& 17& |\hfill & 6\\ & 12& |\hfill & 2\\ & \text{—}& & \\ & 5\text{(ост.)}& & \end{array}$

в) $40 : 9 = \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9}$, так как$\begin{array}{cccc}\text{—}& 40& |\hfill & 9\\ & 36& |\hfill & 4\\ & \text{—}& & \\ & 4\text{(ост.)}& & \end{array}$

г) $49 : 10 = \frac{49}{10} = 4\frac{9}{10}$, так как$\begin{array}{cccc}\text{—}& 49& |\hfill & 10\\ & 40& |\hfill & 4\\ & \text{—}& & \\ & 9\text{(ост.)}& & \end{array}$

д) $268 : 33 = \frac{268}{33} = 8\frac{4}{33}$, так как$\begin{array}{cccc}\text{—}& 268& |\hfill & 33\\ & 264& |\hfill & 8\\ & \text{—}& & \\ & 4\text{(ост.)}& & \end{array}$

е) $499 : 28 = \frac{499}{28} = 17\frac{23}{28}$, так как$\begin{array}{cccc}\text{—}& 499& |\hfill & 28\\ & 28& |\hfill & 17\\ & \text{—}& & \\ \text{—}& 219& & \\ & 196& & \\ & \text{—}& & \\ & 23\text{(ост.)}& & \end{array}$

ж) $561 : 100 = \frac{561}{100} = 5\frac{61}{100}$, так как$\begin{array}{cccc}\text{—}& 561& |\hfill & 100\\ & 500& |\hfill & 5\\ & \text{—}& & \\ & 61\text{(ост.)}& & \end{array}$

з) $1024 : 1000 = \frac{1024}{1000} = 1\frac{24}{1000}$, так как$\begin{array}{cccc}\text{—}& 1024& |\hfill & 1000\\ & 1000& |\hfill & 1\\ & \text{—}& & \\ & 24\text{(ост.)}& & \end{array}$

Для каждого частного вида $a:b$ сначала запишем его в виде неправильной дроби $\frac{a}{b}$. Затем, чтобы выделить целую часть, мы разделим числитель $a$ на знаменатель $b$ с остатком. Результат деления без остатка (неполное частное) станет целой частью, остаток от деления станет новым числителем, а знаменатель останется прежним.

а) 5 : 2

Запишем частное 5 : 2 в виде неправильной дроби: $ \frac{5}{2} $.

Чтобы выделить целую часть, разделим числитель 5 на знаменатель 2 с остатком: $ 5 \div 2 = 2 $ (остаток 1).

Целая часть равна 2, остаток 1 является числителем дробной части, а знаменатель 2 остается без изменений.

Таким образом, $ \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} $.

б) 17 : 6

Запишем частное 17 : 6 в виде неправильной дроби: $ \frac{17}{6} $.

Выделим целую часть, разделив 17 на 6 с остатком: $ 17 \div 6 = 2 $ (остаток 5).

Получаем целую часть 2 и дробную часть $ \frac{5}{6} $.

Таким образом, $ \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} $.

Ответ: $ \frac{17}{6} = 2\frac{5}{6} $.

в) 40 : 9

Запишем частное 40 : 9 в виде неправильной дроби: $ \frac{40}{9} $.

Выделим целую часть, разделив 40 на 9 с остатком: $ 40 \div 9 = 4 $ (остаток 4).

Получаем целую часть 4 и дробную часть $ \frac{4}{9} $.

Таким образом, $ \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} $.

Ответ: $ \frac{40}{9} = 4\frac{4}{9} $.

г) 49 : 10

Запишем частное 49 : 10 в виде неправильной дроби: $ \frac{49}{10} $.

Выделим целую часть, разделив 49 на 10 с остатком: $ 49 \div 10 = 4 $ (остаток 9).

Получаем целую часть 4 и дробную часть $ \frac{9}{10} $.

Таким образом, $ \frac{49}{10} = 4\frac{9}{10} $.

Ответ: $ \frac{49}{10} = 4\frac{9}{10} $.

д) 268 : 33

Запишем частное 268 : 33 в виде неправильной дроби: $ \frac{268}{33} $.

Выделим целую часть, разделив 268 на 33 с остатком. $ 33 \times 8 = 264 $. Остаток: $ 268 - 264 = 4 $.

Неполное частное (целая часть) равно 8, а остаток равен 4.

Таким образом, $ \frac{268}{33} = 8\frac{4}{33} $.

Ответ: $ \frac{268}{33} = 8\frac{4}{33} $.

е) 499 : 28

Запишем частное 499 : 28 в виде неправильной дроби: $ \frac{499}{28} $.

Выделим целую часть, выполнив деление с остатком 499 на 28. $ 499 \div 28 = 17 $ (остаток 23). (Проверка: $ 17 \times 28 + 23 = 476 + 23 = 499 $).

Целая часть равна 17, остаток 23 становится числителем, а знаменатель 28 остается прежним.

Таким образом, $ \frac{499}{28} = 17\frac{23}{28} $.

Ответ: $ \frac{499}{28} = 17\frac{23}{28} $.

ж) 561 : 100

Запишем частное 561 : 100 в виде неправильной дроби: $ \frac{561}{100} $.

Выделим целую часть, разделив 561 на 100 с остатком: $ 561 \div 100 = 5 $ (остаток 61).

Получаем целую часть 5 и дробную часть $ \frac{61}{100} $.

Таким образом, $ \frac{561}{100} = 5\frac{61}{100} $.

Ответ: $ \frac{561}{100} = 5\frac{61}{100} $.

з) 1024 : 1000

Запишем частное 1024 : 1000 в виде неправильной дроби: $ \frac{1024}{1000} $.

Выделим целую часть, разделив 1024 на 1000 с остатком: $ 1024 \div 1000 = 1 $ (остаток 24).

Получаем целую часть 1 и дробную часть $ \frac{24}{1000} $.

Таким образом, $ \frac{1024}{1000} = 1\frac{24}{1000} $.

Ответ: $ \frac{1024}{1000} = 1\frac{24}{1000} $.

5.249 За единичный отрезок примите 12 клеток тетради и отметьте на координатной прямой точки с координатами 2112, 1512, 156 и 114.

Числа $1\frac{1}{4}$; $1\frac{5}{12}$ и $1\frac{5}{6}$ на координатной прямой расположены правее 1 и левее 2. Чтобы их отметить на координатной прямой, нужно 12 клеток разделить на знаменатель и умножить на числитель. Полученное количество клеток отсчитать от 1 в правую сторону и поставить точку.

$1\frac{5}{12}\to 12 : 12·5 = 5 \left(\text{кл.}\right)$

$1\frac{5}{6}\to 12 : 6·5 = 10 \left(\text{кл.}\right)$

$1\frac{1}{4}\to 12 : 4·1 = 3 \left(\text{кл.}\right)$

Чтобы отметить точку с координатой $2\frac{1}{12}$ нужно от 2 отсчитать 1 клетку вправо, так как числитель дробной части показывает, что из 12 клеток нужно взять 1.

Для решения задачи необходимо определить положение каждой точки на координатной прямой, на которой единичный отрезок равен 12 клеткам. Это означает, что каждая клетка соответствует $\frac{1}{12}$ единицы. Рассчитаем положение каждой точки в клетках от начала координат (точки 0).

$2\frac{1}{12}$

Чтобы найти положение точки с координатой $2\frac{1}{12}$, переведем это значение в клетки. Целая часть 2 соответствует $2 \times 12 = 24$ клеткам. Дробная часть $\frac{1}{12}$ соответствует 1 клетке. Таким образом, общее расстояние от нуля составляет $24 + 1 = 25$ клеток.

Ответ: Точку с координатой $2\frac{1}{12}$ следует отметить на расстоянии 25 клеток от начала координат.

$1\frac{5}{12}$

Для точки с координатой $1\frac{5}{12}$ целая часть 1 соответствует $1 \times 12 = 12$ клеткам. Дробная часть $\frac{5}{12}$ соответствует 5 клеткам. Общее расстояние от нуля составляет $12 + 5 = 17$ клеток.

Ответ: Точку с координатой $1\frac{5}{12}$ следует отметить на расстоянии 17 клеток от начала координат.

$1\frac{5}{6}$

Сначала приведем дробную часть к знаменателю 12, чтобы было удобнее считать в клетках: $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 2}{6 \times 2} = \frac{10}{12}$. Координата становится равной $1\frac{10}{12}$. Целая часть 1 равна 12 клеткам, а дробная часть $\frac{10}{12}$ — 10 клеткам. Общее расстояние от нуля составляет $12 + 10 = 22$ клетки.

Ответ: Точку с координатой $1\frac{5}{6}$ следует отметить на расстоянии 22 клеток от начала координат.

$1\frac{1}{4}$

Приведем дробную часть к знаменателю 12: $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$. Координата становится равной $1\frac{3}{12}$. Целая часть 1 равна 12 клеткам, а дробная часть $\frac{3}{12}$ — 3 клеткам. Общее расстояние от нуля составляет $12 + 3 = 15$ клеток.

Ответ: Точку с координатой $1\frac{1}{4}$ следует отметить на расстоянии 15 клеток от начала координат.

5.250 Сколько килограммов картофеля в среднем расходовала столовая за день, если за апрель израсходовано 920 кг картофеля?

Для того чтобы найти средний расход картофеля в день, необходимо общее количество израсходованного картофеля разделить на количество дней в указанном месяце.

1. Узнаем, сколько дней в апреле. Апрель состоит из 30 дней.

2. Согласно условию, за апрель (30 дней) столовая израсходовала 920 кг картофеля.

3. Рассчитаем средний дневной расход, разделив общее количество картофеля на количество дней:
$920 \div 30 = \frac{920}{30} = \frac{92}{3}$

4. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы получить точный ответ:
$\frac{92}{3} = 30 \frac{2}{3}$ кг.

Таким образом, столовая в среднем расходовала $30 \frac{2}{3}$ килограмма картофеля в день.

Ответ: $30 \frac{2}{3}$ кг.

5.251 Шмель пролетел 100 м за 3 мин. С какой скоростью летел шмель?

Решение:
Чтобы найти скорость, необходимо расстояние, которое пролетел объект, разделить на время, затраченное на этот путь.

Дано:
Расстояние (s) = 100 м
Время (t) = 3 мин

Найти:
Скорость (v)

Формула для нахождения скорости:
$v = \frac{s}{t}$

1. Вычислим скорость в метрах в минуту (м/мин).
Подставим данные значения в формулу:
$v = \frac{100 \text{ м}}{3 \text{ мин}} = 33 \frac{1}{3}$ м/мин.

2. Вычислим скорость в более стандартных единицах — километрах в час (км/ч).
Для этого сначала переведем расстояние в километры, а время в часы.
Перевод расстояния:
$s = 100 \text{ м} = \frac{100}{1000} \text{ км} = 0.1 \text{ км}$
Перевод времени:
$t = 3 \text{ мин} = \frac{3}{60} \text{ ч} = \frac{1}{20} \text{ ч} = 0.05 \text{ ч}$

Теперь рассчитаем скорость в км/ч, используя те же данные, но в новых единицах:
$v = \frac{0.1 \text{ км}}{0.05 \text{ ч}} = \frac{10}{5} \text{ км/ч} = 2$ км/ч.

Таким образом, скорость шмеля составляет $33 \frac{1}{3}$ м/мин, что равно 2 км/ч.

Ответ: Скорость шмеля равна 2 км/ч (или $33 \frac{1}{3}$ м/мин).

5.252 Петя и Наташа любят соревноваться в скорости решения цепочек примеров для устного счёта. Пять цепочек примеров Петя решил за 3 мин, а Наташа - за 2 мин. Сколько цепочек примеров решил каждый из них за 1 мин?

1) $5 : 3 = 1\frac{2}{3}\text{(ч.)}$ - решил Петя

2) $5 : 2 = 2\frac{1}{2}\text{(ч.)}$ - решила Наташа

Ответ: $1\frac{2}{3}$ человек и $2\frac{1}{2}$ человек

Чтобы определить, сколько цепочек примеров каждый из них решил за 1 минуту, необходимо найти их производительность (скорость решения). Для этого нужно разделить количество решённых цепочек на время, затраченное на их решение.

Сколько цепочек примеров решил Петя за 1 минуту

Петя решил 5 цепочек примеров за 3 минуты. Чтобы найти его скорость решения, разделим количество цепочек на время:

$5 \div 3 = \frac{5}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

Следовательно, за 1 минуту Петя решает $1\frac{2}{3}$ цепочки примеров.

Ответ: $1\frac{2}{3}$ цепочки примеров.

Сколько цепочек примеров решила Наташа за 1 минуту

Наташа решила 5 цепочек примеров за 2 минуты. Чтобы найти её скорость решения, также разделим количество цепочек на время:

$5 \div 2 = \frac{5}{2}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Следовательно, за 1 минуту Наташа решает $2\frac{1}{2}$ цепочки примеров.

Ответ: $2\frac{1}{2}$ цепочки примеров.

5.253 а) Представьте в виде неправильной дроби числа 812, 634, 559 и 2710.

б) Представьте в виде неправильной дроби со знаменателями 6 и 3 числа 3, 5, 7 и 34.

a) $8\frac{1}{2} = \frac{2·8 + 1}{2} = \frac{16 + 1}{2} = \frac{17}{2}$

$6\frac{3}{4} = \frac{4·6 + 3}{4} = \frac{24 + 3}{4} = \frac{27}{4}$

$5\frac{5}{9} = \frac{9·5 + 5}{9} = \frac{45 + 5}{9} = \frac{50}{9}$

$2\frac{7}{10} = \frac{10·2 + 7}{10} = \frac{20 + 7}{10} = \frac{27}{10}$

б) $3 = \frac{6·3}{6} = \frac{18}{6};3 = \frac{3·3}{3} = \frac{9}{3}$

$5 = \frac{5·6}{6} = \frac{30}{6};5 = \frac{5·3}{3} = \frac{15}{3}$

$7 = \frac{7·6}{6} = \frac{42}{6};7 = \frac{7·3}{3} = \frac{21}{3}$

$34 = \frac{34·6}{6} = \frac{204}{6};34 = \frac{34·3}{3} = \frac{102}{3}$

а) Чтобы преобразовать смешанное число в неправильную дробь, необходимо умножить целую часть числа на знаменатель дробной части, а затем к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Результат этого действия станет числителем новой дроби, а знаменатель останется без изменений.

Выполним преобразование для каждого числа:

• Для числа $8\frac{1}{2}$:

  $8\frac{1}{2} = \frac{8 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{16 + 1}{2} = \frac{17}{2}$

• Для числа $6\frac{3}{4}$:

  $6\frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{24 + 3}{4} = \frac{27}{4}$

• Для числа $5\frac{5}{9}$:

  $5\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{45 + 5}{9} = \frac{50}{9}$

• Для числа $2\frac{7}{10}$:

  $2\frac{7}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 7}{10} = \frac{20 + 7}{10} = \frac{27}{10}$

Ответ: $\frac{17}{2}; \frac{27}{4}; \frac{50}{9}; \frac{27}{10}$.

б) Чтобы представить целое число в виде неправильной дроби с определенным знаменателем, нужно это число умножить на требуемый знаменатель. Полученное произведение будет числителем дроби, а знаменатель будет равен заданному.

Представим числа 3, 5, 7 и 34 в виде дробей со знаменателем 6:

• $3 = \frac{3 \cdot 6}{6} = \frac{18}{6}$

• $5 = \frac{5 \cdot 6}{6} = \frac{30}{6}$

• $7 = \frac{7 \cdot 6}{6} = \frac{42}{6}$

• $34 = \frac{34 \cdot 6}{6} = \frac{204}{6}$

Представим те же числа в виде дробей со знаменателем 3:

• $3 = \frac{3 \cdot 3}{3} = \frac{9}{3}$

• $5 = \frac{5 \cdot 3}{3} = \frac{15}{3}$

• $7 = \frac{7 \cdot 3}{3} = \frac{21}{3}$

• $34 = \frac{34 \cdot 3}{3} = \frac{102}{3}$

Ответ: Со знаменателем 6: $\frac{18}{6}, \frac{30}{6}, \frac{42}{6}, \frac{204}{6}$. Со знаменателем 3: $\frac{9}{3}, \frac{15}{3}, \frac{21}{3}, \frac{102}{3}$.

5.254 Выразите:

Для того чтобы выразить время в минутах, необходимо перевести секунды в доли минуты, используя соотношение $1 \text{ мин} = 60 \text{ с}$, из которого следует, что $1 \text{ с} = \frac{1}{60} \text{ мин}$. Также будем использовать соотношение $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$.

1) Выразим 1 мин 22 с в минутах:
$1 \text{ мин } 22 \text{ с} = 1 \text{ мин} + 22 \text{ с} = 1 \text{ мин} + \frac{22}{60} \text{ мин} = 1 + \frac{11}{30} \text{ мин} = 1\frac{11}{30} \text{ мин}$.

2) Выразим 6 мин 17 с в минутах:
$6 \text{ мин } 17 \text{ с} = 6 \text{ мин} + 17 \text{ с} = 6 + \frac{17}{60} \text{ мин} = 6\frac{17}{60} \text{ мин}$.

3) Выразим 27 с в минутах:
$27 \text{ с} = \frac{27}{60} \text{ мин}$. Сократим дробь на 3: $\frac{27 \div 3}{60 \div 3} = \frac{9}{20}$.
Таким образом, $27 \text{ с} = \frac{9}{20} \text{ мин}$.

4) Выразим 1 ч 8 мин 37 с в минутах:
Сначала переведем все в минуты: $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$; $37 \text{ с} = \frac{37}{60} \text{ мин}$.
Теперь сложим все части: $1 \text{ ч } 8 \text{ мин } 37 \text{ с} = 60 \text{ мин} + 8 \text{ мин} + \frac{37}{60} \text{ мин} = 68 \text{ мин} + \frac{37}{60} \text{ мин} = 68\frac{37}{60} \text{ мин}$.

Ответ: $1\frac{11}{30}$ мин; $6\frac{17}{60}$ мин; $\frac{9}{20}$ мин; $68\frac{37}{60}$ мин.

Для того чтобы выразить длину в метрах, необходимо перевести миллиметры в метры, используя соотношение $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$, из которого следует, что $1 \text{ мм} = \frac{1}{1000} \text{ м} = 0,001 \text{ м}$.

1) Выразим 7 м 450 мм в метрах:
$7 \text{ м } 450 \text{ мм} = 7 \text{ м} + 450 \text{ мм} = 7 \text{ м} + \frac{450}{1000} \text{ м} = 7 \text{ м} + 0,45 \text{ м} = 7,45 \text{ м}$.

2) Выразим 26 м 976 мм в метрах:
$26 \text{ м } 976 \text{ мм} = 26 \text{ м} + 976 \text{ мм} = 26 \text{ м} + \frac{976}{1000} \text{ м} = 26 \text{ м} + 0,976 \text{ м} = 26,976 \text{ м}$.

Ответ: 7,45 м; 26,976 м.

5.255 Площадь квадрата равна 841 мм². Выразите площадь в квадратных сантиметрах в виде:

а) неправильной дроби;

б) смешанного числа.

$\text{Sквадрата} = 841{\text{мм}}^2$

$1\text{см} = 10\text{мм}$

$1{\text{см}}^2 = 100{\text{мм}}^2;1{\text{мм}}^2 = \frac{1}{100}{\text{см}}^2$

а) $841{\text{мм}}^2 = \frac{841}{100}{\text{см}}^2$

б) $841{\text{мм}}^2 = 8\frac{41}{100}{\text{см}}^2$

$\text{-}841\text{|}100800\text{|}8\text{———}41\left(\text{ост.}\right)$

Для того чтобы выразить площадь из квадратных миллиметров ($мм^2$) в квадратные сантиметры ($см^2$), необходимо знать соотношение между этими единицами измерения.

В одном сантиметре содержится 10 миллиметров: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$

Следовательно, в одном квадратном сантиметре содержится $10 \times 10 = 100$ квадратных миллиметров: $1 \text{ см}^2 = 1 \text{ см} \times 1 \text{ см} = 10 \text{ мм} \times 10 \text{ мм} = 100 \text{ мм}^2$

Чтобы перевести площадь из $мм^2$ в $см^2$, нужно данное значение разделить на 100. Площадь квадрата равна $841 \text{ мм}^2$. $841 \text{ мм}^2 = \frac{841}{100} \text{ см}^2$

а) Выразим площадь в виде неправильной дроби.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Полученное выражение $\frac{841}{100}$ уже является неправильной дробью. Эта дробь несократима, так как у числителя (841 = 29 ? 29) и знаменателя (100 = 10 ? 10) нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{841}{100} \text{ см}^2$.

б) Выразим площадь в виде смешанного числа.

Чтобы преобразовать неправильную дробь $\frac{841}{100}$ в смешанное число, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Делим 841 на 100: $841 \div 100 = 8$ (целая часть) и $41$ (остаток). Целая часть становится целой частью смешанного числа, а остаток — числителем дробной части. Знаменатель остается прежним. $\frac{841}{100} = 8\frac{41}{100}$

Ответ: $8\frac{41}{100} \text{ см}^2$.

5.256 Найдите, сколько банок потребуется, чтобы разлить в них 513 кг варенья, если одна банка вмещает 13 кг варенья.

Чтобы определить, сколько банок потребуется, нужно общее количество варенья разделить на количество варенья, которое вмещает одна банка.

Дано:

• Общее количество варенья: $5\frac{1}{3}$ кг.
• Вместимость одной банки: $\frac{1}{3}$ кг.

1. Сначала преобразуем смешанное число $5\frac{1}{3}$ в неправильную дробь. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним:

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{15 + 1}{3} = \frac{16}{3}$

2. Теперь разделим общее количество варенья (в виде неправильной дроби) на вместимость одной банки:

$\frac{16}{3} \div \frac{1}{3}$

3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{16}{3} \times \frac{3}{1} = \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 1} = \frac{48}{3}$

4. Вычислим полученное значение:

$48 \div 3 = 16$

Следовательно, для того чтобы разлить все варенье, потребуется 16 банок.

Ответ: 16 банок.

5.257 Для изготовления кормушек для птиц доску длиной 334 м распилили на части, по 14 м в каждой. Сколько получилось таких частей?

1) $3\frac{3}{4} = \frac{4\bullet 3 + 3}{4} = \frac{12 + 3}{4} = \frac{15}{4}\left(\text{м}\right)$ - длина доски

2) Так как одна часть - $\frac{1}{4}$ м, то

$\frac{1}{4}\bullet n = \frac{15}{4}$, где n - количество частей

$\underset{︵}{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{4}} = \frac{15}{4}$

n раз

$\frac{1 + 1 + 1 + \dots + 1}{4} = \frac{15}{4}$

Чтобы получить в числителе 15, нужно сложить 15 единиц, т.е.

$\underset{︵}{1 + 1 + 1 + \dots + 1} = 15$

15 раз

$1\bullet 15 = 15$

$\frac{1}{4}\bullet 15 = \frac{15}{4}$

Значит, n = 15

Ответ: 15 частей.

Чтобы найти количество частей, на которые распилили доску, нужно общую длину доски разделить на длину одной части.

Общая длина доски составляет $3\frac{3}{4}$ м, а длина одной части — $\frac{1}{4}$ м.

Для выполнения деления сначала представим смешанное число $3\frac{3}{4}$ в виде неправильной дроби. Для этого целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель, а знаменатель оставляем прежним:
$3\frac{3}{4} = \frac{3 \times 4 + 3}{4} = \frac{12 + 3}{4} = \frac{15}{4}$.

Теперь разделим общую длину на длину одной части. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:
$\frac{15}{4} \div \frac{1}{4} = \frac{15}{4} \times \frac{4}{1} = \frac{15 \times 4}{4 \times 1} = \frac{60}{4} = 15$.

Следовательно, получилось 15 частей.

Ответ: 15.

5.258 Вычислите.

а) $27 + 33 = 60$

$60·5 = 300$

$300 + 180 = 480$

$480 : 80 = 6$

б) $15·10 = 150$

$150 + 50 = 200$

$200 : 40 = 5$

$5·70 = 350$

в) $17 + 28 = 17 + (30 - 2) = 17 + 30 - 2 =$

$= 47 - 2 = 45$

$45·2 = (40 + 5)·2 = 40·2 + 5·2 =$

$= 80 + 10 = 90$

$90 - 15 = 90 - (10 + 5) = 90 - 10 - 5 =$

$= 80 - 5 = 75$

$75 : 25 = 3$

г) $10·18 = 180$

$180 + 70 = 180 + (20 + 50) = 180 +$

$+ 20 + 50 = 200 + 50 = 250$

$250 : 5 = 50$

$50·8 = 400$

д) $40·4 = 160$

$160 + 520 = 680$

$680 - 200 = 480$

$480 : 60 = 8$

а) Решим пример по действиям, следуя указанному порядку операций:

1. Первое действие — сложение: $27 + 33 = 60$.
2. Второе действие — умножение: $60 \cdot 5 = 300$.
3. Третье действие — сложение: $300 + 180 = 480$.
4. Четвертое действие — деление: $480 : 80 = 6$.
Ответ: 6

б) Выполним вычисления по шагам:

1. Первое действие — умножение: $15 \cdot 10 = 150$.
2. Второе действие — сложение: $150 + 50 = 200$.
3. Третье действие — деление: $200 : 40 = 5$.
4. Четвертое действие — умножение: $5 \cdot 70 = 350$.
Ответ: 350

в) Вычислим значение выражения по действиям:

1. Первое действие — сложение: $17 + 28 = 45$.
2. Второе действие — умножение: $45 \cdot 2 = 90$.
3. Третье действие — вычитание: $90 - 15 = 75$.
4. Четвертое действие — деление: $75 : 25 = 3$.
Ответ: 3

г) Решим пример по действиям:

1. Первое действие — умножение: $10 \cdot 18 = 180$.
2. Второе действие — сложение: $180 + 70 = 250$.
3. Третье действие — деление: $250 : 5 = 50$.
4. Четвертое действие — умножение: $50 \cdot 8 = 400$.
Ответ: 400

д) Выполним вычисления по шагам:

1. Первое действие — умножение: $40 \cdot 4 = 160$.
2. Второе действие — сложение: $160 + 520 = 680$.
3. Третье действие — вычитание: $680 - 200 = 480$.
4. Четвертое действие — деление: $480 : 60 = 8$.
Ответ: 8