Страница 47, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.16 Установите, какие цифры закрашены в примере.

2.17 В таблице указана стоимость проданной электронной техники за октябрь, ноябрь и декабрь. Заполните пустые клетки таблицы.

1) 16578 + 17491 + 16856 = 50925 (тыс. р.) - стоимость всех ноутбуков

2) 28305 + 29160 + 27990 = 28305 + (29160 + 27990) = 85455 (тыс. р.) - стоимость всех планшетов

3) 15482 + 13572 + 14830 = 43884 (тыс. р.) - стоимость всех смартфонов

4) 16578 + 28305 + 15482 = (16578 + 15482) + 28305 = 60365 (тыс. р.) - стоимость за октябрь

5) 17491 + 29160 + 13572 = (17491 + 13572) + 29160 = 60 223 (тыс. р.) - стоимость за ноябрь

6) 16856 + 27990 + 14830 = 16856 + (27990 + 14830) = 59676 (тыс. р.) - стоимость за декабрь

7) 50925 + 85455 + 43884 = 180264 (тыс. р.) - стоимость всей техники

8) 60365 + 60223 + 59676 = 180264 (тыс. р.) - стоимость за все месяцы

Чтобы заполнить пустые клетки таблицы, необходимо рассчитать суммы по каждой строке (общая стоимость каждого вида техники за три месяца) и по каждому столбцу (общая стоимость всей техники за каждый месяц), а также общий итог.

Всего по ноутбукам

Складываем стоимость проданных ноутбуков за октябрь, ноябрь и декабрь, чтобы найти итоговую стоимость за три месяца.

$16578 + 17491 + 16856 = 50925$

Ответ: 50 925 тыс. р.

Всего по планшетам

Складываем стоимость проданных планшетов за октябрь, ноябрь и декабрь.

$28305 + 29160 + 27990 = 85455$

Ответ: 85 455 тыс. р.

Всего по смартфонам

Складываем стоимость проданных смартфонов за октябрь, ноябрь и декабрь.

$15482 + 13572 + 14830 = 43884$

Ответ: 43 884 тыс. р.

Итого за октябрь

Складываем стоимость всей техники, проданной в октябре.

$16578 + 28305 + 15482 = 60365$

Ответ: 60 365 тыс. р.

Итого за ноябрь

Складываем стоимость всей техники, проданной в ноябре.

$17491 + 29160 + 13572 = 60223$

Ответ: 60 223 тыс. р.

Итого за декабрь

Складываем стоимость всей техники, проданной в декабре.

$16856 + 27990 + 14830 = 59676$

Ответ: 59 676 тыс. р.

Общий итог (Итого, Всего)

Для нахождения общего итога можно сложить все суммы в столбце «Всего» или в строке «Итого». Результат должен быть одинаковым.

Суммирование столбца «Всего»: $50925 + 85455 + 43884 = 180264$

Суммирование строки «Итого»: $60365 + 60223 + 59676 = 180264$

Ответ: 180 264 тыс. р.

Итоговая заполненная таблица:

2.18 Заполните таблицу полностью и постройте столбчатые диаграммы:

а) по цвету многоугольников;

б) по виду многоугольников.

$1) 30 - (4 \stackrel{25}{+} 21) = 30 - 25 =5$ - красных четырёхугольников;

$2) 81 - (26 \stackrel{42}{+} 16) = 81 - 42 = 39$ - жёлтых пятиугольников;

$3) 66 - (4 \stackrel{30}{+} 26) = 66 - 30 = 36$ - синих шестиугольников;

4) 36 + 7 + 32 = (36 + 32) +7 = 68 + 7 = 75 - всего шестиугольников;

5) 5 + 16 + 7 = (5 + 7) + 16 = 12 + 16 = 28 - красных многоугольников;

6) 21 + 39 + 32 = 92 - жёлтых многоугольников;

7) 30 + 81 + 75 = 186 - всего многоугольников;

$8) 66 + 28 + 92 =$ $66 + (28 \stackrel{120}{+} 92) = 186$

а) столбчатая диаграмма по цвету многоугольников;

б) столбчатая диаграмма по виду многоугольников.

Для решения задачи необходимо сначала полностью заполнить таблицу, вычислив недостающие значения, а затем построить две столбчатые диаграммы на основе полученных данных.

Заполнение таблицы

Вычислим недостающие значения в таблице шаг за шагом.

1. Количество красных четырёхугольников:
   В строке "Четырёхугольники" известно общее количество (30), а также количество синих (4) и жёлтых (21). Недостающее значение — количество красных.
   $ \text{Красные} = \text{Всего} - (\text{Синие} + \text{Жёлтые}) = 30 - (4 + 21) = 30 - 25 = 5 $
2. Количество жёлтых пятиугольников:
   В строке "Пятиугольники" известно общее количество (81), а также количество синих (26) и красных (16).
   $ \text{Жёлтые} = \text{Всего} - (\text{Синие} + \text{Красные}) = 81 - (26 + 16) = 81 - 42 = 39 $
3. Количество синих шестиугольников:
   В столбце "Синий" известно итоговое количество (66), а также количество синих четырёхугольников (4) и пятиугольников (26).
   $ \text{Синие шестиугольники} = \text{Итого синих} - (\text{Синие четырёх.} + \text{Синие пятиуг.}) = 66 - (4 + 26) = 66 - 30 = 36 $
4. Итоговые значения:
   Теперь можно рассчитать оставшиеся итоговые суммы.
   • Всего красных: $5 + 16 + 7 = 28$
   • Всего жёлтых: $21 + 39 + 32 = 92$
   • Всего шестиугольников: $36 + 7 + 32 = 75$
   • Всего многоугольников (общий итог): $30 + 81 + 75 = 186$ (сумма по строкам) или $66 + 28 + 92 = 186$ (сумма по столбцам).

Итоговая заполненная таблица:

Построение столбчатых диаграмм

а) по цвету многоугольников

Для этой диаграммы используем итоговые данные по каждому цвету из последней строки таблицы: Синий (66), Красный (28), Жёлтый (92).

Ответ: На диаграмме видно, что жёлтых многоугольников больше всего (92), далее идут синие (66), и меньше всего красных (28).

б) по виду многоугольников

Для этой диаграммы используем итоговые данные по каждому виду многоугольников из последнего столбца таблицы: Четырёхугольники (30), Пятиугольники (81), Шестиугольники (75).

Ответ: На диаграмме видно, что пятиугольников больше всего (81), шестиугольников немного меньше (75), а меньше всего четырёхугольников (30).

2.19 Сравните суммы: а) 14 + 42 и 14 + 53; б) 89 + 32 и 92 + 48. Как изменяется сумма при увеличении слагаемых; при уменьшении слагаемых?

а) Так как 42 < 53, то 14 + 42 < 14 + 53.

б) Так как 89 < 92 и 32 < 48, то 89 + 32 < 92 + 48

или

Так как 56 < 67, то 14 + 42 < 14 + 53

б)

Так как 121 < 140, то 89 + 32 < 92 + 48

При увеличении слагаемых сумма увеличивается; при уменьшении слагаемых сумма уменьшается.

а) Сравним две суммы: $14 + 42$ и $14 + 53$.

Можно решить эту задачу двумя способами.

Способ 1: Прямое вычисление.

Вычислим значение каждой суммы:

$14 + 42 = 56$

$14 + 53 = 67$

Теперь сравним результаты: $56 < 67$.

Таким образом, $14 + 42 < 14 + 53$.

Способ 2: Сравнение слагаемых.

В обеих суммах первое слагаемое одинаково и равно 14. Сравним вторые слагаемые: $42 < 53$. Поскольку одно из слагаемых второй суммы больше, а другое такое же, как в первой, то и вся вторая сумма будет больше первой.

Ответ: $14 + 42 < 14 + 53$.

б) Сравним две суммы: $89 + 32$ и $92 + 48$.

Способ 1: Прямое вычисление.

Вычислим значение каждой суммы:

$89 + 32 = 121$

$92 + 48 = 140$

Сравниваем результаты: $121 < 140$.

Следовательно, $89 + 32 < 92 + 48$.

Способ 2: Сравнение слагаемых.

Сравним попарно слагаемые из обеих сумм: $89 < 92$ и $32 < 48$. Так как каждое слагаемое второй суммы больше соответствующего слагаемого первой суммы, то и вторая сумма будет больше первой.

Ответ: $89 + 32 < 92 + 48$.

Как изменяется сумма при увеличении слагаемых; при уменьшении слагаемых?

На основе решенных примеров можно сделать следующий вывод о свойстве сложения:

1. При увеличении слагаемых сумма увеличивается. Если хотя бы одно из слагаемых увеличить, а остальные оставить без изменения или тоже увеличить, то сумма станет больше. В общем виде: если $a > c$ и $b \geq d$, то $a+b > c+d$.

2. При уменьшении слагаемых сумма уменьшается. Если хотя бы одно из слагаемых уменьшить, а остальные оставить без изменения или тоже уменьшить, то сумма станет меньше. В общем виде: если $a < c$ и $b \leq d$, то $a+b < c+d$.

Ответ: При увеличении слагаемых сумма увеличивается, а при уменьшении слагаемых — уменьшается.

2.20 Сравните суммы 506 + 961 и 459 + 883.

Так как 1467 > 1342, то 506 + 961 > 459 +883 или так как 506 > 459 и 961 > 883, то 506 + 961 > 459 + 883.

Для того чтобы сравнить суммы $506 + 961$ и $459 + 883$, можно пойти двумя путями: вычислить обе суммы и сравнить результаты, либо сравнить их, не прибегая к полным вычислениям.

Способ 1: Прямое вычисление

1. Вычислим первую сумму:

$506 + 961 = 1467$

2. Вычислим вторую сумму:

$459 + 883 = 1342$

3. Теперь сравним полученные значения:

$1467 > 1342$

Из этого следует, что первая сумма больше второй.

Способ 2: Сравнение без полного вычисления

Этот метод основан на сравнении соответствующих слагаемых в каждой сумме.

1. Сравним первые слагаемые: $506$ и $459$.

$506 > 459$

2. Сравним вторые слагаемые: $961$ и $883$.

$961 > 883$

Поскольку каждое слагаемое в первой сумме ($506$ и $961$) больше соответствующего слагаемого во второй сумме ($459$ и $883$), то и вся первая сумма будет больше второй.

Для проверки можно найти разность сумм:

$(506 + 961) - (459 + 883) = (506 - 459) + (961 - 883) = 47 + 78 = 125$.

Так как разность является положительным числом, это подтверждает, что первая сумма больше второй.

Ответ: $506 + 961 > 459 + 883$.

2.21 Назовите суммы в порядке убывания:

а) 75 + 62;

б) 75 + 44;

в) 139 + 62;

г) 36 + 44;

д) 139 + 83.

а)

б)

в)

г)

д)

222, 201, 137, 119, 80.

Порядок убывания сумм:

д) 139 + 83;
в) 139 + 62;
а) 75 + 62;
б) 75 + 44;
г) 36 + 44.

Ответ: д), в), а), б), г).

Для того чтобы расположить суммы в порядке убывания, необходимо сначала вычислить значение каждой из них.

а) $75 + 62 = 137$

б) $75 + 44 = 119$

в) $139 + 62 = 201$

г) $36 + 44 = 80$

д) $139 + 83 = 222$

Мы получили следующие значения для сумм: 222 (д), 201 (в), 137 (а), 119 (б), 80 (г).

Теперь расположим эти значения в порядке убывания, то есть от самого большого к самому маленькому:

$222 > 201 > 137 > 119 > 80$

Соответственно, исходные суммы в порядке убывания будут выглядеть так:

$139 + 83$ (д); $139 + 62$ (в); $75 + 62$ (а); $75 + 44$ (б); $36 + 44$ (г).

Ответ: $139 + 83$; $139 + 62$; $75 + 62$; $75 + 44$; $36 + 44$.

2.22 Докажите, что:

а) Так как 6000 < 6299 < 7000 и 8000 < 8909 < 9000, то 6000 + 8000 < 6299 + 8909 < 7000 + 9000;

или

6000 + 8000 = 14000

7000 + 9000 = 16000

14000 < 15208 < 16000

Значит, 6000 + 8000 < 6299 + 8909 < 7000 + 9000.

б)

2900 < 29340 < 31000

Значит, 29000 < 7602 + 21738 < 31000.

а) Чтобы доказать двойное неравенство $6000 + 8000 < 6299 + 8909 < 7000 + 9000$, мы можем вычислить значение каждой из трех его частей.

1. Вычислим значение левой части:
$6000 + 8000 = 14000$.

2. Вычислим значение средней части:
$6299 + 8909 = 15208$.

3. Вычислим значение правой части:
$7000 + 9000 = 16000$.

Теперь подставим полученные значения обратно в неравенство:
$14000 < 15208 < 16000$.

Это двойное неравенство является верным, так как оба условия выполняются: $14000$ меньше, чем $15208$, и $15208$ меньше, чем $16000$. Следовательно, исходное неравенство доказано.
Ответ: Доказано.

б) Чтобы доказать двойное неравенство $29000 < 7602 + 21738 < 31000$, вычислим сумму в его средней части.

1. Вычислим значение средней части:
$7602 + 21738 = 29340$.

2. Теперь подставим полученное значение в неравенство:
$29000 < 29340 < 31000$.

Это двойное неравенство является верным, так как оба условия выполняются: $29000$ меньше, чем $29340$, и $29340$ меньше, чем $31000$. Следовательно, исходное неравенство доказано.
Ответ: Доказано.

5.272 Используя образец, представьте в виде неправильной дроби смешанные числа:

a) $9\frac{1}{4} = \frac{9 · 4 + 1}{4} = \frac{36 + 1}{4} = \frac{37}{4}$

б) $5\frac{6}{7} = \frac{5 · 7 + 6}{7} = \frac{35 + 6}{7} = \frac{41}{7}$

в) $2\frac{3}{10} = \frac{2 · 10 + 3}{10} = \frac{20 + 3}{10} = \frac{23}{10}$

г) $8\frac{12}{17} = \frac{8 · 17 + 12}{17} = \frac{136 + 12}{17} = \frac{148}{17}$

$\begin{array}{cc}& 17\\ \times & 8\\ & 136\end{array}$

д) $11\frac{5}{6} = \frac{11 · 6 + 5}{6} = \frac{66 + 5}{6} = \frac{71}{6}$

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части. Полученный результат будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.

Общая формула: $A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$

а) Для числа $9\frac{1}{4}$ целая часть равна 9, числитель – 1, знаменатель – 4. Выполняем преобразование:

$9\frac{1}{4} = \frac{9 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{36 + 1}{4} = \frac{37}{4}$

Ответ: $\frac{37}{4}$

б) Для числа $5\frac{6}{7}$ целая часть равна 5, числитель – 6, знаменатель – 7. Выполняем преобразование по тому же правилу:

$5\frac{6}{7} = \frac{5 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{35 + 6}{7} = \frac{41}{7}$

Ответ: $\frac{41}{7}$

в) Для числа $2\frac{3}{10}$ целая часть равна 2, числитель – 3, знаменатель – 10. Выполняем преобразование:

$2\frac{3}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{20 + 3}{10} = \frac{23}{10}$

Ответ: $\frac{23}{10}$

г) Для числа $8\frac{12}{17}$ целая часть равна 8, числитель – 12, знаменатель – 17. Выполняем преобразование:

$8\frac{12}{17} = \frac{8 \cdot 17 + 12}{17} = \frac{136 + 12}{17} = \frac{148}{17}$

Ответ: $\frac{148}{17}$

д) Для числа $11\frac{5}{6}$ целая часть равна 11, числитель – 5, знаменатель – 6. Выполняем преобразование:

$11\frac{5}{6} = \frac{11 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{66 + 5}{6} = \frac{71}{6}$

Ответ: $\frac{71}{6}$

5.273 а) В бензобаке машины было 4 л бензина. В него вылили весь бензин из двух канистр, и он оказался полным. Найдите, сколько литров бензина было в каждой канистре, если ёмкость бензобака равна 60 л, а в одной канистре бензина было в 6 раз меньше, чем в другой.

б) Хватит ли этого бензина, чтобы проехать 650 км, если расход бензина на 100 км равен 9 л?

а)

1. Сначала найдем, сколько всего литров бензина было вылито в бензобак из двух канистр. Поскольку полный бензобак имеет емкость 60 л, а в нем уже было 4 л, то количество долитого бензина равно разности этих значений.

$60 - 4 = 56$ (л) – столько бензина было в двух канистрах вместе.

2. Пусть в одной канистре, где было меньше бензина, находилось $x$ литров. Тогда в другой канистре, согласно условию, было в 6 раз больше, то есть $6x$ литров.

3. Суммарный объем бензина в двух канистрах равен 56 литров. Составим и решим уравнение:

$x + 6x = 56$

$7x = 56$

$x = 56 \div 7$

$x = 8$ (л) – было в меньшей канистре.

4. Теперь найдем, сколько бензина было во второй, большей канистре:

$6 \cdot 8 = 48$ (л) – было в большей канистре.

Проверим: $8 + 48 = 56$ л, что соответствует количеству бензина, долитого в бак.

Ответ: в одной канистре было 8 литров бензина, а в другой 48 литров.

б)

1. В полном бензобаке находится 60 литров бензина. Нам нужно определить, хватит ли этого количества, чтобы проехать 650 км.

2. Рассчитаем, сколько бензина потребуется на 650 км, если расход на 100 км составляет 9 литров. Для этого можно составить пропорцию или сначала найти расход на 1 км.

Расход на 1 км: $9 \div 100 = 0,09$ л/км.

Теперь рассчитаем, сколько бензина нужно на 650 км:

$650 \text{ км} \cdot 0,09 \text{ л/км} = 58,5$ (л).

3. Сравним необходимое количество бензина с имеющимся в баке:

$58,5 \text{ л} < 60 \text{ л}$

Поскольку бензина для поездки требуется меньше, чем есть в баке, то его хватит.

Ответ: да, этого бензина хватит.

5.274 Из посёлка вышел пешеход и отправился в город со скоростью 90 м/мин. Через 20 мин вслед за ним из этого же посёлка выехал велосипедист и через 15 мин после своего выезда обогнал пешехода на 450 м. С какой скоростью двигался велосипедист?

? 90м/мин

B П B

3 150м 450м

1) $20 + 15 = 35$ (мин) был в пути пешеход

2) $90·35 = 3150$ (м) - прошёл пешеход

$\begin{array}{rr}\text{x}& 35\\ & 90\\ \text{—}& \text{—}\\ & 3150\end{array}$

3) $3150 + 450 = 3600$ (м) - проехал велосипедист за 15 мин

4) $3600 : 15 = 240$ (м/мин) - скорость велосипедиста

$\begin{array}{ccc}\hfill \text{–}3600& & 15\hfill \\ \hfill \phantom{\text{–}}30& & \text{—}\hfill \\ \hfill \text{—}& & 240\hfill \\ \hfill \text{–}\phantom{3}60& & \\ \hfill \phantom{\text{–}}\phantom{3}60& & \\ \hfill \text{—}& & \\ \hfill \phantom{\text{–}3}0& & \end{array}$

Ответ: 240 м/мин

Данная задача решается в несколько действий. Сначала найдем, какое расстояние успел пройти пешеход до того, как его обогнал велосипедист, и за какое время.

1. Определим общее время, которое пешеход находился в пути. Он вышел на 20 минут раньше велосипедиста, а велосипедист догнал и обогнал его через 15 минут после своего выезда. Таким образом, общее время движения пешехода составляет:
$t_{пеш} = 20 \text{ мин} + 15 \text{ мин} = 35 \text{ мин}$

2. Теперь вычислим расстояние, которое прошел пешеход за это время. Его скорость по условию равна 90 м/мин.
$S_{пеш} = v_{пеш} \cdot t_{пеш} = 90 \text{ м/мин} \cdot 35 \text{ мин} = 3150 \text{ м}$

3. В момент, когда велосипедист обогнал пешехода, он оказался впереди на 450 м. Это означает, что расстояние, которое проехал велосипедист от посёлка, было на 450 м больше, чем у пешехода.
$S_{вел} = S_{пеш} + 450 \text{ м} = 3150 \text{ м} + 450 \text{ м} = 3600 \text{ м}$

4. Велосипедист проехал это расстояние за 15 минут. Зная расстояние и время, можем найти его скорость.
$v_{вел} = \frac{S_{вел}}{t_{вел}} = \frac{3600 \text{ м}}{15 \text{ мин}} = 240 \text{ м/мин}$

Ответ: скорость велосипедиста составляла 240 м/мин.

5.275 Составьте алгоритм вычисления выражения 713 152 : 176 + 14 835 • 61 и найдите его значение.

Составьте алгоритм вычисления выражения

Для вычисления значения выражения $713152 : 176 + 14885 \cdot 61$ необходимо придерживаться правильного порядка выполнения арифметических действий. В выражениях без скобок сначала выполняются умножение и деление (в порядке их следования слева направо), а затем — сложение и вычитание.

Алгоритм вычисления будет состоять из следующих шагов:

1. Выполнить деление чисел: $713152 : 176$.
2. Выполнить умножение чисел: $14885 \cdot 61$.
3. Сложить результаты, полученные на первом и втором шагах.

Найдите его значение

Выполним вычисления по действиям в соответствии с составленным алгоритмом.

1) Первое действие — деление. Выполним деление в столбик:

_713152|176 704 |---- --- |4052 _915 880 --- _352 352 --- 0

Таким образом, $713152 : 176 = 4052$.

2) Второе действие — умножение. Выполним умножение в столбик:

 14885 ? 61 ------ 14885+ 89310 ------ 907985

Таким образом, $14885 \cdot 61 = 907985$.

3) Третье действие — сложение. Сложим результаты первых двух действий:

 907985+ 4052-------- 912037

Таким образом, $4052 + 907985 = 912037$.

Значение исходного выражения равно $912037$.

Ответ: $912037$.

1 Представьте в виде суммы целой и дробной частей смешанное число:

а) $5\frac{1}{3};$

б) $2\frac{3}{4};$

в) $1\frac{1}{10};$

г) $3\frac{10}{15}.$

а) Смешанное число $5\frac{1}{3}$ по определению является суммой его целой части $5$ и дробной части $\frac{1}{3}$. Таким образом, мы можем записать его в виде суммы:
$5\frac{1}{3} = 5 + \frac{1}{3}$.
Ответ: $5 + \frac{1}{3}$.

б) Смешанное число $2\frac{3}{4}$ представляет собой сумму целой части $2$ и дробной части $\frac{3}{4}$. Запишем его в виде суммы:
$2\frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4}$.
Ответ: $2 + \frac{3}{4}$.

в) Смешанное число $1\frac{1}{10}$ состоит из целой части $1$ и дробной части $\frac{1}{10}$. Представим его в виде суммы:
$1\frac{1}{10} = 1 + \frac{1}{10}$.
Ответ: $1 + \frac{1}{10}$.

г) Смешанное число $3\frac{10}{15}$ представляется в виде суммы целой части $3$ и дробной части $\frac{10}{15}$:
$3\frac{10}{15} = 3 + \frac{10}{15}$.
Дробную часть $\frac{10}{15}$ можно и нужно сократить, так как числитель 10 и знаменатель 15 имеют общий делитель 5. Выполним сокращение дроби:
$\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$.
Таким образом, окончательная запись в виде суммы с несократимой дробью:
$3 + \frac{2}{3}$.
Ответ: $3 + \frac{2}{3}$.

2 Представьте в виде неправильной дроби со знаменателем 7 число: 2; 3; 4; 5; 6; 7.

Чтобы представить целое число в виде неправильной дроби с заданным знаменателем, необходимо умножить это число на знаменатель, а полученное произведение записать в числитель новой дроби. Знаменатель при этом остается прежним.

В данном задании нужно представить числа в виде дроби со знаменателем 7.

2

Чтобы представить число 2 в виде дроби со знаменателем 7, умножим 2 на 7:

$2 = \frac{2 \cdot 7}{7} = \frac{14}{7}$

Ответ: $\frac{14}{7}$

3

Чтобы представить число 3 в виде дроби со знаменателем 7, умножим 3 на 7:

$3 = \frac{3 \cdot 7}{7} = \frac{21}{7}$

Ответ: $\frac{21}{7}$

4

Чтобы представить число 4 в виде дроби со знаменателем 7, умножим 4 на 7:

$4 = \frac{4 \cdot 7}{7} = \frac{28}{7}$

Ответ: $\frac{28}{7}$

5

Чтобы представить число 5 в виде дроби со знаменателем 7, умножим 5 на 7:

$5 = \frac{5 \cdot 7}{7} = \frac{35}{7}$

Ответ: $\frac{35}{7}$

6

Чтобы представить число 6 в виде дроби со знаменателем 7, умножим 6 на 7:

$6 = \frac{6 \cdot 7}{7} = \frac{42}{7}$

Ответ: $\frac{42}{7}$

7

Чтобы представить число 7 в виде дроби со знаменателем 7, умножим 7 на 7:

$7 = \frac{7 \cdot 7}{7} = \frac{49}{7}$

Ответ: $\frac{49}{7}$

3 Представьте в виде смешанного числа дробь: $\frac{3}{2};$$\frac{7}{3};$$\frac{14}{5};$$\frac{117}{15};$$\frac{222}{22};$$\frac{136}{56};$$\frac{1589}{754}.$

N3

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2},\text{т.к.}32121\text{(ост.)}$

$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3},\text{т.к.}73261\text{(ост.)}$

$\frac{14}{5} = 2\frac{4}{5},\text{т.к.}1452104\text{(ост.)}$

$\frac{117}{15} = 7\frac{12}{15},\text{т.к.}11715710512\text{(ост.)}$

$\frac{222}{22} = 10\frac{2}{22},\text{т.к.}2222210 - 2202 - 02\text{(ост.)}$

$\frac{136}{56} = 2\frac{24}{56},\text{т.к.}136562 - 11224\text{(ост.)}$

$\frac{1589}{754} = 2\frac{81}{754},\text{т.к.}15897542 - 150881$

Для того чтобы представить неправильную дробь в виде смешанного числа, необходимо выполнить деление числителя на знаменатель с остатком. Неполное частное от деления станет целой частью смешанного числа, остаток от деления — числителем дробной части, а знаменатель останется без изменений. Если дробная часть является сократимой дробью, ее необходимо сократить.

$ \frac{3}{2} $

Разделим числитель 3 на знаменатель 2: $ 3 \div 2 = 1 $ (остаток 1).
Целая часть равна 1, числитель дробной части — 1, знаменатель — 2.
Таким образом, получаем смешанное число $ 1\frac{1}{2} $.
Ответ: $ 1\frac{1}{2} $

$ \frac{7}{3} $

Разделим числитель 7 на знаменатель 3: $ 7 \div 3 = 2 $ (остаток 1).
Целая часть равна 2, числитель дробной части — 1, знаменатель — 3.
Таким образом, получаем смешанное число $ 2\frac{1}{3} $.
Ответ: $ 2\frac{1}{3} $

$ \frac{14}{5} $

Разделим числитель 14 на знаменатель 5: $ 14 \div 5 = 2 $ (остаток 4).
Целая часть равна 2, числитель дробной части — 4, знаменатель — 5.
Таким образом, получаем смешанное число $ 2\frac{4}{5} $.
Ответ: $ 2\frac{4}{5} $

$ \frac{117}{15} $

Разделим числитель 117 на знаменатель 15: $ 117 \div 15 = 7 $ (остаток 12).
Получаем смешанное число $ 7\frac{12}{15} $.
Дробную часть $ \frac{12}{15} $ можно сократить на 3, так как и числитель, и знаменатель делятся на 3.
$ \frac{12}{15} = \frac{12 \div 3}{15 \div 3} = \frac{4}{5} $.
Таким образом, итоговое смешанное число равно $ 7\frac{4}{5} $.
Ответ: $ 7\frac{4}{5} $

$ \frac{222}{22} $

Разделим числитель 222 на знаменатель 22: $ 222 \div 22 = 10 $ (остаток 2).
Получаем смешанное число $ 10\frac{2}{22} $.
Дробную часть $ \frac{2}{22} $ можно сократить на 2.
$ \frac{2}{22} = \frac{2 \div 2}{22 \div 2} = \frac{1}{11} $.
Таким образом, итоговое смешанное число равно $ 10\frac{1}{11} $.
Ответ: $ 10\frac{1}{11} $

$ \frac{136}{56} $

Разделим числитель 136 на знаменатель 56: $ 136 \div 56 = 2 $ (остаток 24).
Получаем смешанное число $ 2\frac{24}{56} $.
Дробную часть $ \frac{24}{56} $ можно сократить. Наибольший общий делитель для 24 и 56 равен 8.
$ \frac{24}{56} = \frac{24 \div 8}{56 \div 8} = \frac{3}{7} $.
Таким образом, итоговое смешанное число равно $ 2\frac{3}{7} $.
Ответ: $ 2\frac{3}{7} $

$ \frac{1589}{754} $

Разделим числитель 1589 на знаменатель 754: $ 1589 \div 754 = 2 $ (остаток 81).
Целая часть равна 2, числитель дробной части — 81, знаменатель — 754.
Получаем смешанное число $ 2\frac{81}{754} $. Дробь $ \frac{81}{754} $ является несократимой.
Ответ: $ 2\frac{81}{754} $

4 Два мальчика поймали 7 кг рыбы и разделили улов поровну. Сколько килограммов рыбы досталось каждому мальчику?

Для того чтобы найти, сколько килограммов рыбы досталось каждому мальчику, необходимо общий вес улова разделить на количество мальчиков.

По условию задачи, общий вес рыбы составляет 7 кг, а мальчиков было двое. Выполним деление:
$7 \text{ кг} \div 2 = 3.5 \text{ кг}$

Таким образом, каждому мальчику досталось по 3.5 килограмма рыбы. Это значение также можно записать в виде смешанной дроби $3\frac{1}{2}$ кг или как 3 килограмма 500 граммов.

Ответ: 3.5 кг.

1 Представьте в виде неправильной дроби смешанное число: $2\frac{1}{2};$$4\frac{3}{7};$$5\frac{6}{13};$$1\frac{2}{10};$$10\frac{3}{5}.$

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, необходимо выполнить следующие действия:
1. Умножить целую часть числа на знаменатель его дробной части.
2. К полученному произведению прибавить числитель дробной части.
3. Полученную сумму записать в числитель новой дроби.
4. Знаменатель новой дроби оставить таким же, как у дробной части исходного смешанного числа.
Общая формула: $A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$.

$2\frac{1}{2}$
Умножаем целую часть 2 на знаменатель 2 и прибавляем числитель 1: $2 \cdot 2 + 1 = 5$.
Полученное число 5 записываем в числитель, а знаменатель 2 оставляем без изменений.
$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.
Ответ: $\frac{5}{2}$.

$4\frac{3}{7}$
Умножаем целую часть 4 на знаменатель 7 и прибавляем числитель 3: $4 \cdot 7 + 3 = 28 + 3 = 31$.
Полученное число 31 записываем в числитель, а знаменатель 7 оставляем без изменений.
$4\frac{3}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{31}{7}$.
Ответ: $\frac{31}{7}$.

$5\frac{6}{13}$
Умножаем целую часть 5 на знаменатель 13 и прибавляем числитель 6: $5 \cdot 13 + 6 = 65 + 6 = 71$.
Полученное число 71 записываем в числитель, а знаменатель 13 оставляем без изменений.
$5\frac{6}{13} = \frac{5 \cdot 13 + 6}{13} = \frac{71}{13}$.
Ответ: $\frac{71}{13}$.

$1\frac{2}{10}$
Умножаем целую часть 1 на знаменатель 10 и прибавляем числитель 2: $1 \cdot 10 + 2 = 12$.
Полученное число 12 записываем в числитель, а знаменатель 10 оставляем без изменений.
$1\frac{2}{10} = \frac{1 \cdot 10 + 2}{10} = \frac{12}{10}$.
Данную дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{12 \div 2}{10 \div 2} = \frac{6}{5}$. Однако, $\frac{12}{10}$ также является верным представлением в виде неправильной дроби.
Ответ: $\frac{12}{10}$.

$10\frac{3}{5}$
Умножаем целую часть 10 на знаменатель 5 и прибавляем числитель 3: $10 \cdot 5 + 3 = 50 + 3 = 53$.
Полученное число 53 записываем в числитель, а знаменатель 5 оставляем без изменений.
$10\frac{3}{5} = \frac{10 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{53}{5}$.
Ответ: $\frac{53}{5}$.

2 Представьте в виде смешанного числа и переведите в неправильную дробь сумму:

а) $2+\frac{4}{7};$

б) $10+\frac{20}{30};$

в) $34+\frac{46}{67}.$

а)

Сумма целого числа и правильной дроби по определению является смешанным числом. В данном случае $2$ — это целая часть, а $\frac{4}{7}$ — дробная.

Представление в виде смешанного числа: $2 + \frac{4}{7} = 2\frac{4}{7}$.

Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель, прибавить к результату числитель, а знаменатель оставить прежним.

Перевод в неправильную дробь: $2\frac{4}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 4}{7} = \frac{14 + 4}{7} = \frac{18}{7}$.

Ответ: $2\frac{4}{7}$ и $\frac{18}{7}$.

б)

Сначала упростим дробь $\frac{20}{30}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 10.

$\frac{20}{30} = \frac{20 \div 10}{30 \div 10} = \frac{2}{3}$.

Теперь исходная сумма имеет вид $10 + \frac{2}{3}$.

Представление в виде смешанного числа: $10 + \frac{2}{3} = 10\frac{2}{3}$.

Переведем полученное смешанное число в неправильную дробь:

$10\frac{2}{3} = \frac{10 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{30 + 2}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $10\frac{2}{3}$ и $\frac{32}{3}$.

в)

Дробь $\frac{46}{67}$ является правильной (так как $46 < 67$) и несократимой (так как 67 — простое число).

Представление в виде смешанного числа: $34 + \frac{46}{67} = 34\frac{46}{67}$.

Переведем это смешанное число в неправильную дробь, умножив целую часть на знаменатель и прибавив числитель:

$34\frac{46}{67} = \frac{34 \cdot 67 + 46}{67}$.

Выполним вычисления в числителе: $34 \cdot 67 = 2278$.

$2278 + 46 = 2324$.

Таким образом, неправильная дробь равна $\frac{2324}{67}$.

Ответ: $34\frac{46}{67}$ и $\frac{2324}{67}$.

3 Сложите и выразите в метрах: $\frac{2}{15}\text{км+}\frac{12}{15}\text{км}+\frac{1}{15}\text{км.}$

N3

$\frac{2}{15}\mathrm{км} + \frac{12}{15}\mathrm{км} + \frac{1}{15}\mathrm{км} = \frac{2 + 12 + 1}{15}\mathrm{км}$

$= \frac{15}{15}\mathrm{км} = 1\mathrm{км}$

$1\mathrm{км} = 1000м$

Для решения данной задачи необходимо выполнить два шага: сначала сложить указанные величины, а затем перевести результат из километров в метры.

Первый шаг — сложение дробей. Все три слагаемых выражены в километрах и имеют одинаковый знаменатель, равный 15. Это позволяет нам просто сложить их числители, оставив знаменатель без изменений:

$\frac{2}{15} \text{ км} + \frac{12}{15} \text{ км} + \frac{1}{15} \text{ км} = \frac{2 + 12 + 1}{15} \text{ км} = \frac{15}{15} \text{ км}$

Полученная дробь $\frac{15}{15}$ равна единице. Таким образом, сумма расстояний составляет 1 км.

Второй шаг — перевод результата в метры. В одном километре содержится 1000 метров. Следовательно, для перевода километров в метры нужно умножить полученное значение на 1000:

$1 \text{ км} = 1 \times 1000 \text{ м} = 1000 \text{ м}$

Ответ: 1000 м.