Страница 57, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

2.93 Найдите число в конце цепочки.

а) 40 + 20 = 60 ⇢ 60 : 20 = 3 ⇢ 3 · 9 = 27 ⇢ 27 + 13 = 40;

б) 50 + 40 = 90 ⇢ 90 : 3 = 30 ⇢ 30 + 24 = 54 ⇢ 54 · 9 = 486;

в) 100 - 70 = 30 ⇢ 30 ·8 = 240 ⇢ 240 : 20 = 12 ⇢ 12 + 28 = 40;

г) 90 - 60 = 30 ⇢ 30 : 15 = 2 ⇢ 2 + 14 = 16 ⇢ 16 · 5 =80.

а) В данной цепочке вычислений мы начинаем с числа 40 и последовательно выполняем указанные операции.
1. Сначала к 40 прибавляем 20: $40 + 20 = 60$.
2. Затем полученный результат делим на 20: $60 : 20 = 3$.
3. Далее результат умножаем на 9: $3 \cdot 9 = 27$.
4. В последнем шаге к результату прибавляем 13, чтобы найти искомое число в конце цепочки: $27 + 13 = 40$.
Ответ: 40

б) Начальное число в этой цепочке — 50. Проследим по шагам:
1. Прибавляем 40 к 50: $50 + 40 = 90$.
2. Делим результат на 3: $90 : 3 = 30$.
3. К полученному числу прибавляем 24: $30 + 24 = 54$.
4. Наконец, умножаем результат на 9, чтобы получить конечное число: $54 \cdot 9 = 486$.
Ответ: 486

в) Вычисления начинаются с числа 100. Выполним действия по порядку:
1. Из 100 вычитаем 70: $100 - 70 = 30$.
2. Полученный результат умножаем на 8: $30 \cdot 8 = 240$.
3. Затем делим результат на 20: $240 : 20 = 12$.
4. К полученному числу прибавляем 28, чтобы найти число в конце цепочки: $12 + 28 = 40$.
Ответ: 40

г) В этой цепочке стартовое число — 90. Выполним последовательно все операции:
1. Вычитаем 60 из 90: $90 - 60 = 30$.
2. Делим результат на 15: $30 : 15 = 2$.
3. К полученному числу прибавляем 14: $2 + 14 = 16$.
4. Умножаем результат на 5, чтобы найти искомое конечное число: $16 \cdot 5 = 80$.
Ответ: 80

2.94 На сколько единичных отрезков отрезок ON короче отрезка ОМ, если O(0), М(21), М(8)?

21 - 8 = 13 (ед. отрезков)

Ответ: на 13 единичных отрезков

Для решения задачи необходимо найти длины отрезков $OM$ и $ON$, а затем вычислить их разность. Длина отрезка на координатной прямой, один из концов которого находится в начале координат $O(0)$, равна координате другого конца этого отрезка.

1. Определим длину отрезка $OM$. Координаты точек $O(0)$ и $M(21)$. Длина отрезка $OM$ равна разности координат его конечной и начальной точек: $|21 - 0| = 21$. Таким образом, длина отрезка $OM$ составляет 21 единичный отрезок.

2. Определим длину отрезка $ON$. Координаты точек $O(0)$ и $N(8)$. Длина отрезка $ON$ равна: $|8 - 0| = 8$. Таким образом, длина отрезка $ON$ составляет 8 единичных отрезков.

3. Найдем, на сколько единичных отрезков отрезок $ON$ короче отрезка $OM$. Для этого вычтем из длины большего отрезка ($OM$) длину меньшего ($ON$): $21 - 8 = 13$.

Ответ: на 13 единичных отрезков.

2.95 Объясните значения слов «отрезок», «прямая», «луч».

Прямая — это линия, которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны.

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону.

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть имеет начало и конец.

Отрезок

В геометрии отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок включает в себя обе эти конечные точки и все точки прямой, лежащие между ними. В отличие от прямой, которая бесконечна, отрезок имеет конечную, измеримую длину. Например, если у нас есть две точки $A$ и $B$, то отрезок $AB$ — это все точки на прямой между $A$ и $B$, включая сами точки $A$ и $B$.
Ответ: Отрезок — это часть прямой, ограниченная двумя точками, которые называются его концами.

Прямая

Прямая — это одно из основных, фундаментальных понятий геометрии. Её можно представить как идеально ровную, бесконечную линию, которая не имеет толщины и не изгибается. Прямая не имеет ни начала, ни конца, она продолжается в обе стороны до бесконечности. Важное свойство прямой заключается в том, что через любые две различные точки можно провести одну и только одну прямую.
Ответ: Прямая — это линия, которая не имеет ни начала, ни конца и продолжается бесконечно в обе стороны.

Луч

Луч, который также называют полупрямой, — это часть прямой, имеющая начальную точку, но не имеющая конечной. Он начинается в одной точке (называемой началом луча или вершиной) и простирается бесконечно только в одном направлении. Можно представить, что любая точка на прямой, например точка $O$, делит эту прямую на два луча, которые выходят из этой точки и направлены в противоположные стороны.
Ответ: Луч — это часть прямой, которая имеет начальную точку и простирается бесконечно только в одном направлении.

2.96 Установите правило, по которому можно найти число, стоящее в первой клетке первой строки. Используя это правило, назовите число в пустой клетке второй строки.

а) Чтобы найти число, стоящие в первой клетке первой строки, нужно от числа, стоящего в третьей клетке первой строки вычесть число, стоящее во второй клетке первой строки, то есть 41 - 26 = 15. Но, используя данное правило, найти число в пустой клетке второй строки, невозможно, так как 13 - 18 вычислить нельзя (пока ещё). Вероятнее всего, здесь допущена ошибка.

б) Чтобы найти чсло, стоящее в первой клетке строки, нужно от числа, стоящего во второй клетке первой строки вычесть число, стоящее в третьей клетке первой строки, то есть 37 - 18 = 19. Используя это правило, найдём число в пустой клетке второй строки: 45 - 27 = 18. Ответ: 18.

в) Чтобы найти число, стоящее в первой клетке первой строки, нужно число, стоящее во второй и третьей клетке первой строки перемножить, то есть 18 · 3 = 54. Ислользуя это правило, найдём число в пустой клетке второй строки: 95 · 2 = 190. Ответ: 190.

2.97 Предложите разные способы нахождения периметров прямоугольника и квадрата. Какие из этих способов лучше?

Пусть а и в - длина и ширина прямоугольника, тогда

Р = а + в + а + в или P = 2 · a + 2 · в
P = (a + в) · 2

Третий способ лучше, так как выполняется меньше действий.

Пусть а - длина стороны квадрата, тогда Р = а + а + а + а или Р = 4а. Второй способ лучше, так как выполняется меньше действий. Напомним, что периметр - это сумма длин сторон многоугольника. Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Способы нахождения периметра прямоугольника

Периметр — это сумма длин всех сторон фигуры. Пусть у прямоугольника длина одной стороны равна $a$, а смежной с ней стороны (ширины) — $b$. У прямоугольника противоположные стороны равны.

1. Сложение длин всех четырех сторон.
Это базовый способ, следующий напрямую из определения периметра. Мы последовательно складываем длины всех его сторон:
$P = a + b + a + b$

2. Сложение удвоенных длин смежных сторон.
Можно сгруппировать одинаковые стороны: найти сумму двух длин и двух ширин.
$P = (a + a) + (b + b) = 2 \cdot a + 2 \cdot b$

3. Удвоенная сумма длины и ширины.
Это самый распространенный и рациональный способ. Мы складываем длины двух смежных сторон (длины и ширины) и умножаем результат на 2, так как таких пар сторон в прямоугольнике две.
$P = 2 \cdot (a + b)$

Ответ: Возможные способы: $P = a + b + a + b$; $P = 2 \cdot a + 2 \cdot b$; $P = 2 \cdot (a + b)$.

Способы нахождения периметра квадрата

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Обозначим длину стороны квадрата как $a$.

1. Сложение длин всех четырех сторон.
Аналогично прямоугольнику, можно просто сложить длины всех сторон.
$P = a + a + a + a$

2. Умножение длины стороны на четыре.
Поскольку все 4 стороны квадрата равны, достаточно умножить длину одной стороны на 4. Это самый простой и быстрый способ.
$P = 4 \cdot a$

Ответ: Возможные способы: $P = a + a + a + a$ и $P = 4 \cdot a$.

Какие из этих способов лучше?

Выбор "лучшего" способа зависит от того, что мы понимаем под этим словом. Обычно "лучший" или "рациональный" способ — тот, который требует наименьшего количества вычислений, что экономит время и снижает вероятность ошибки.

• Для прямоугольника лучшим способом считается формула $P = 2 \cdot (a + b)$. Она требует всего двух действий: одно сложение и одно умножение. Формула $P = 2 \cdot a + 2 \cdot b$ требует уже три действия (два умножения и одно сложение), а $P = a + b + a + b$ — три сложения.
• Для квадрата однозначно лучшим способом является формула $P = 4 \cdot a$. Она требует всего одного вычислительного действия (умножение), в то время как сложение всех сторон ($P = a + a + a + a$) требует трех действий.

Ответ: Наиболее рациональными (лучшими) являются формулы, требующие наименьшего количества вычислений: $P = 2 \cdot (a + b)$ для прямоугольника и $P = 4 \cdot a$ для квадрата. Эти формулы являются стандартными в математике.

2.98 В порту на первом сухогрузе было 40 контейнеров, на третьем — на 14 контейнеров больше, чем на первом. Сколько всего контейнеров было на трёх сухогрузах, если на первом было на 17 контейнеров меньше, чем на втором?

1) 40 + 17 = 57 (к.) – на II сухогрузе

2) 40 + 14 = 54 (к.) – на III сухогрузе

3) 40 + 57 + 54 = 40 + 111 = 151 (к.)

Ответ: 151 контейнер.

Для решения задачи нужно последовательно найти количество контейнеров на каждом сухогрузе, а затем сложить полученные значения.

1. Найдем количество контейнеров на третьем сухогрузе.

Из условия известно, что на первом сухогрузе было 40 контейнеров, а на третьем — на 14 контейнеров больше. Чтобы найти количество контейнеров на третьем сухогрузе, прибавим 14 к количеству на первом:

$40 + 14 = 54$ (контейнера) — было на третьем сухогрузе.

2. Найдем количество контейнеров на втором сухогрузе.

В условии сказано, что на первом сухогрузе было на 17 контейнеров меньше, чем на втором. Это означает, что на втором сухогрузе было на 17 контейнеров больше, чем на первом. Найдем количество контейнеров на втором судне:

$40 + 17 = 57$ (контейнеров) — было на втором сухогрузе.

3. Найдем общее количество контейнеров на трёх сухогрузах.

Теперь, зная количество контейнеров на каждом из трёх судов, мы можем найти их общее количество, сложив эти значения:

$40 (на первом) + 57 (на втором) + 54 (на третьем) = 151$ (контейнер).

Ответ: 151 контейнер.

2.99 Найдите сумму:

а) 39 495 + 48 015;

б) 9 000 284 + 1 678 678;

в) 28 000 999 123 + 39 789 001 789;

г) 1 567 234 980 + 8 432 765 107.

а) Найдем сумму чисел $39\,495$ и $48\,015$. Выполним сложение поразрядно справа налево:
1. Разряд единиц: $5 + 5 = 10$. Пишем $0$, $1$ переходит в следующий разряд.
2. Разряд десятков: $9 + 1 + 1$ (из переноса) $= 11$. Пишем $1$, $1$ переходит в следующий разряд.
3. Разряд сотен: $4 + 0 + 1$ (из переноса) $= 5$.
4. Разряд тысяч: $9 + 8 = 17$. Пишем $7$, $1$ переходит в следующий разряд.
5. Разряд десятков тысяч: $3 + 4 + 1$ (из переноса) $= 8$.
В результате получаем $87\,510$.
$39\,495 + 48\,015 = 87\,510$.
Ответ: $87\,510$.

б) Найдем сумму чисел $9\,000\,284$ и $1\,678\,678$. Выполним сложение поразрядно справа налево:
1. Разряд единиц: $4 + 8 = 12$. Пишем $2$, $1$ переходит в следующий разряд.
2. Разряд десятков: $8 + 7 + 1$ (из переноса) $= 16$. Пишем $6$, $1$ переходит в следующий разряд.
3. Разряд сотен: $2 + 6 + 1$ (из переноса) $= 9$.
4. Разряд тысяч: $0 + 8 = 8$.
5. Разряд десятков тысяч: $0 + 7 = 7$.
6. Разряд сотен тысяч: $0 + 6 = 6$.
7. Разряд миллионов: $9 + 1 = 10$.
В результате получаем $10\,678\,962$.
$9\,000\,284 + 1\,678\,678 = 10\,678\,962$.
Ответ: $10\,678\,962$.

в) Найдем сумму чисел $28\,000\,999\,123$ и $39\,789\,001\,789$. Выполним сложение поразрядно справа налево:
1. Разряд единиц: $3 + 9 = 12$. Пишем $2$, $1$ переходит в следующий разряд.
2. Разряд десятков: $2 + 8 + 1$ (из переноса) $= 11$. Пишем $1$, $1$ переходит в следующий разряд.
3. Разряд сотен: $1 + 7 + 1$ (из переноса) $= 9$.
4. Разряд тысяч: $9 + 1 = 10$. Пишем $0$, $1$ переходит в следующий разряд.
5. Разряд десятков тысяч: $9 + 0 + 1$ (из переноса) $= 10$. Пишем $0$, $1$ переходит в следующий разряд.
6. Разряд сотен тысяч: $9 + 0 + 1$ (из переноса) $= 10$. Пишем $0$, $1$ переходит в следующий разряд.
7. Разряд миллионов: $0 + 9 + 1$ (из переноса) $= 10$. Пишем $0$, $1$ переходит в следующий разряд.
8. Разряд десятков миллионов: $0 + 8 + 1$ (из переноса) $= 9$.
9. Разряд сотен миллионов: $0 + 7 = 7$.
10. Разряд миллиардов: $8 + 9 = 17$. Пишем $7$, $1$ переходит в следующий разряд.
11. Разряд десятков миллиардов: $2 + 3 + 1$ (из переноса) $= 6$.
В результате получаем $67\,790\,000\,912$.
$28\,000\,999\,123 + 39\,789\,001\,789 = 67\,790\,000\,912$.
Ответ: $67\,790\,000\,912$.

г) Найдем сумму чисел $1\,567\,234\,980$ и $8\,432\,765\,107$. Выполним сложение поразрядно справа налево:
1. Разряд единиц: $0 + 7 = 7$.
2. Разряд десятков: $8 + 0 = 8$.
3. Разряд сотен: $9 + 1 = 10$. Пишем $0$, $1$ переходит в следующий разряд.
4. Разряд тысяч: $4 + 5 + 1$ (из переноса) $= 10$. Пишем $0$, $1$ переходит в следующий разряд.
5. Разряд десятков тысяч: $3 + 6 + 1$ (из переноса) $= 10$. Пишем $0$, $1$ переходит в следующий разряд.
6. Разряд сотен тысяч: $2 + 7 + 1$ (из переноса) $= 10$. Пишем $0$, $1$ переходит в следующий разряд.
7. Разряд миллионов: $7 + 2 + 1$ (из переноса) $= 10$. Пишем $0$, $1$ переходит в следующий разряд.
8. Разряд десятков миллионов: $6 + 3 + 1$ (из переноса) $= 10$. Пишем $0$, $1$ переходит в следующий разряд.
9. Разряд сотен миллионов: $5 + 4 + 1$ (из переноса) $= 10$. Пишем $0$, $1$ переходит в следующий разряд.
10. Разряд миллиардов: $1 + 8 + 1$ (из переноса) $= 10$.
В результате получаем $10\,000\,000\,087$.
$1\,567\,234\,980 + 8\,432\,765\,107 = 10\,000\,000\,087$.
Ответ: $10\,000\,000\,087$.

2.100 Что меньше:

а) 7601 + 8939 или 17 000;

б) 31 654 + 39 819 или 35 987 + 37 289?

а) 7601 + 8939 < 17000

16540 < 17000

Узнать, что меньше, можно, не вычисляя сумму.

7601 + 8939 < 8000 + 9000

7601 < 8000 и 8939 < 9000

Ответ: меньше 7601 + 8939.

б) 31654 + 39819 < 35987 + 37289

71473 < 73276

Ответ: меньше 31654 + 39819.

а) Чтобы сравнить сумму $7601 + 8939$ и число $17 000$, сначала необходимо вычислить значение суммы.

Выполним сложение:

$7601 + 8939 = 16 540$

Теперь сравним полученный результат с числом $17 000$:

$16 540 < 17 000$

Таким образом, сумма $7601 + 8939$ меньше, чем $17 000$.

Ответ: $7601 + 8939$.

б) Чтобы определить, какая из сумм меньше, $31 654 + 39 819$ или $35 987 + 37 289$, вычислим обе суммы и сравним результаты.

Вычисляем первую сумму:

$31 654 + 39 819 = 71 473$

Вычисляем вторую сумму:

$35 987 + 37 289 = 73 276$

Теперь сравним полученные значения:

$71 473 < 73 276$

Следовательно, первая сумма $31 654 + 39 819$ меньше второй.

Ответ: $31 654 + 39 819$.

2.101 В числах цифры заменены знаками вопроса. Сравните эти числа:

а) 8???? и 79???;

б) 71??? и 19???;

в) ????? и ???;

г) ?7??? и 98???.

а) В записи чисел одинаковое количество цифр, а цифра разряда десятков тысяч (8) у первого числа больше, чем у второго числа (7), 8 > 7. Значит 8????>79???

б) В записи чисел одинаковое количество цифр, а цифра разряда десятков тысяч (7) у первого числа больше, чем у второго числа (2), 7 > 1. Значит, 71???>19???

в) В записи чисел разное количество цифр. Значит, больше то число, у которого больше цифр. Следовательно, пятизначное число больше, чем трёхзначное: ?????>???

г) В записи чисел одинаковое количество цифр. Цифра разряда десятков тысяч (9) во тором числе наибольшая. Если цифра разряда десятков тысяч у первого числа меньше, чем 9, то и всё первое число меньше второго. Если цифра разряда десятков тысяч у первого числа 9, то сравнивали цифры разряда единиц тысяч: 7 < 8. Значит, ?7???<98???

а) Сравниваем числа 8???? и 79???. Оба числа являются пятизначными. При сравнении чисел с одинаковым количеством цифр смотрят на цифры в старших разрядах (самые левые). У первого числа первая цифра — 8, а у второго — 7. Так как $8 > 7$, первое число всегда будет больше второго, вне зависимости от того, какие цифры заменены знаками вопроса. Наименьшее возможное значение для 8???? — это 80000, а наибольшее для 79??? — это 79999. Очевидно, что $80000 > 79999$.
Ответ: $8???? > 79???$.

б) Сравниваем числа 71??? и 19???. Оба числа пятизначные. Начинаем сравнение со старших разрядов. Первая цифра у первого числа — 7, а у второго — 1. Поскольку $7 > 1$, первое число больше второго. Дальнейшее сравнение цифр не требуется.
Ответ: $71??? > 19???$.

в) Сравниваем числа ????? и ???. Первое число, ?????, состоит из пяти цифр, то есть оно пятизначное. Второе число, ???, состоит из трех цифр, то есть оно трехзначное. При сравнении натуральных чисел число, у которого больше разрядов (цифр), всегда больше. Самое маленькое пятизначное число (10000) больше самого большого трехзначного числа (999).
Ответ: $????? > ???$.

г) Сравниваем числа ?7??? и 98???. Оба числа являются пятизначными. Сравним их поразрядно слева направо.
Первая цифра второго числа — это 9.
Первая цифра первого числа скрыта под знаком вопроса. Рассмотрим два случая:
1. Если первая цифра первого числа меньше 9 (то есть любая цифра от 1 до 8), то первое число однозначно меньше второго. Например, $87999 < 98000$.
2. Если первая цифра первого числа равна 9, то число имеет вид 97???. Теперь сравним его с числом 98???. Первые цифры у них одинаковы. Сравниваем вторые цифры: у первого числа это 7, а у второго — 8. Так как $7 < 8$, первое число меньше второго ($97??? < 98???$).
В любом возможном случае первое число оказывается меньше второго.
Ответ: $?7??? < 98???$.

2.102 Из цифр 3, 2, 1 и 0 составили двузначные числа, в записи которых цифры не повторялись. Запишите все эти числа в порядке убывания.

Построим дерево вариантов. 0 первой цифрой быть не может.

Запишем двузначное числа в порядке убывания.

32, 31, 30, 23, 21, 20, 13, 12, 10.

Чтобы решить эту задачу, нужно составить все возможные двузначные числа из предложенных цифр (3, 2, 1, 0) с учетом двух условий:

1. Число должно быть двузначным. Это значит, что оно не может начинаться с цифры 0.
2. Цифры в записи числа не должны повторяться.

Будем составлять числа, systematically перебирая варианты для первой цифры (разряда десятков).

• Пусть первая цифра 3.
  Тогда вторая цифра (разряд единиц) может быть любой из оставшихся: 2, 1 или 0.
  Получаем числа: 32, 31, 30.
• Пусть первая цифра 2.
  Тогда вторая цифра может быть любой из оставшихся: 3, 1 или 0.
  Получаем числа: 23, 21, 20.
• Пусть первая цифра 1.
  Тогда вторая цифра может быть любой из оставшихся: 3, 2 или 0.
  Получаем числа: 13, 12, 10.

Мы перебрали все возможные варианты. Цифра 0 не может быть первой, так как в этом случае число будет однозначным (например, 01 - это 1).

В итоге у нас получился следующий список чисел: 32, 31, 30, 23, 21, 20, 13, 12, 10.

Теперь, согласно условию, нужно записать все эти числа в порядке убывания (от самого большого к самому маленькому).

32 > 31 > 30 > 23 > 21 > 20 > 13 > 12 > 10

Ответ: 32, 31, 30, 23, 21, 20, 13, 12, 10.

2.103 1) Периметр четырёхугольника 84 см, а одна из сторон в 3 раза меньше. На сколько сантиметров периметр четырёхугольника больше этой его стороны?

2) Сторона треугольника 36 см, а периметр треугольника в 4 раза больше. На сколько сантиметров эта сторона треугольника меньше его периметра?

1) 84 : 3 = 28 (см) – одна из сторон четырёхугольника;

84 - 28 = 56 (см)

Ответ: на 56 см.

2) 36 · 4 = 144 (см) – периметр треугольника;

144 - 36 = 108 (см)

Ответ: на 108 см.

1)

По условию задачи, периметр четырёхугольника равен 84 см, а одна из его сторон в 3 раза меньше. Чтобы найти, на сколько сантиметров периметр больше этой стороны, нужно выполнить два действия.

1. Сначала найдём длину этой стороны. Так как она в 3 раза меньше периметра, необходимо значение периметра разделить на 3:
$84 \text{ см} \div 3 = 28 \text{ см}$.
Таким образом, длина неизвестной стороны составляет 28 см.

2. Теперь, чтобы определить, на сколько периметр больше этой стороны, найдём их разность. Для этого из значения периметра вычтем найденную длину стороны:
$84 \text{ см} - 28 \text{ см} = 56 \text{ см}$.

Ответ: периметр четырёхугольника больше этой его стороны на 56 сантиметров.

2)

По условию задачи, сторона треугольника равна 36 см, а его периметр в 4 раза больше этой стороны. Чтобы найти, на сколько сантиметров эта сторона меньше периметра, нужно также выполнить два действия.

1. Сначала найдём периметр треугольника. Так как он в 4 раза больше известной стороны, необходимо длину этой стороны умножить на 4:
$36 \text{ см} \times 4 = 144 \text{ см}$.
Таким образом, периметр треугольника равен 144 см.

2. Теперь, чтобы определить, на сколько эта сторона меньше периметра, найдём их разность. Для этого из значения периметра вычтем длину стороны:
$144 \text{ см} - 36 \text{ см} = 108 \text{ см}$.

Ответ: эта сторона треугольника меньше его периметра на 108 сантиметров.

2.104 Вычислите:

1) 256 + 44 • (135 - 86);

2) 344 + 56 • (153 - 95);

3) (1239 + 601) • (1521 - 1481);

4) (1203 - 1143) • (1176 + 394).

$1) 256 \stackrel{3}{+} 44 \stackrel{2}{·} (135 \stackrel{1}{-} 86) = 2412$

$2) 344 \stackrel{3}{+} 56 \stackrel{2}{·} (153 \stackrel{1}{-} 95) = 3592$

$3) (1239 \stackrel{1}{+} 601) \stackrel{3}{·} (1521 \stackrel{2}{-} 1481) = 73600$

$4) (1203 \stackrel{1}{-} 1143) \stackrel{3}{·} (1176 \stackrel{2}{+} 394) = 94200$

1) Для решения выражения $256 + 44 \cdot (135 - 86)$ необходимо соблюдать порядок действий. Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение и в конце сложение.
1. Выполним вычитание в скобках: $135 - 86 = 49$.
2. Теперь выполним умножение: $44 \cdot 49 = 2156$.
3. И, наконец, выполним сложение: $256 + 2156 = 2412$.
Ответ: 2412

2) В выражении $344 + 56 \cdot (153 - 95)$ сначала выполняем действие в скобках, потом умножение, а затем сложение.
1. Выполним вычитание в скобках: $153 - 95 = 58$.
2. Выполним умножение: $56 \cdot 58 = 3248$.
3. Выполним сложение: $344 + 3248 = 3592$.
Ответ: 3592

3) В выражении $(1239 + 601) \cdot (1521 - 1481)$ сначала выполняем действия в каждой из скобок, а затем перемножаем полученные результаты.
1. Выполним сложение в первой скобке: $1239 + 601 = 1840$.
2. Выполним вычитание во второй скобке: $1521 - 1481 = 40$.
3. Выполним умножение: $1840 \cdot 40 = 73600$.
Ответ: 73600

4) В выражении $(1203 - 1143) \cdot (1176 + 394)$ сначала выполняем действия в скобках, а потом умножение.
1. Выполним вычитание в первой скобке: $1203 - 1143 = 60$.
2. Выполним сложение во второй скобке: $1176 + 394 = 1570$.
3. Выполним умножение: $60 \cdot 1570 = 94200$.
Ответ: 94200

1 Верно ли равенство:

а)

Чтобы проверить, верно ли равенство $\frac{2}{3} = \frac{3}{9}$, можно использовать основное свойство пропорции (перекрестное умножение). Равенство верно, если произведение числителя первой дроби на знаменатель второй равно произведению знаменателя первой дроби на числитель второй.
Проверим, выполняется ли равенство $2 \cdot 9 = 3 \cdot 3$.
Вычисляем левую часть: $2 \cdot 9 = 18$.
Вычисляем правую часть: $3 \cdot 3 = 9$.
Поскольку $18 \neq 9$, равенство неверно.

Ответ: неверно.

б)

Чтобы проверить, верно ли равенство $\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$, приведем дроби к простейшему виду, сократив их. Дробь $\frac{1}{4}$ уже является несократимой.
Сократим дробь $\frac{2}{8}$. Наибольший общий делитель числителя 2 и знаменателя 8 равен 2. $\frac{2}{8} = \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4}$.
Теперь сравним полученные дроби: $\frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.
Равенство верно.

Ответ: верно.

в)

Проверим равенство $\frac{3}{5} = \frac{15}{25}$. Воспользуемся основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Посмотрим, можно ли из дроби $\frac{3}{5}$ получить дробь $\frac{15}{25}$.
Чтобы из знаменателя 5 получить 25, нужно 5 умножить на 5, так как $25 \div 5 = 5$.
Умножим числитель 3 на это же число: $3 \cdot 5 = 15$.
Таким образом, мы получили, что $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{15}{25}$.
Равенство верно.

Ответ: верно.

г)

Проверим, верно ли равенство $\frac{4}{6} = \frac{20}{42}$. Снова используем перекрестное умножение. Равенство будет верным, если $4 \cdot 42 = 6 \cdot 20$.
Вычисляем произведение левого числителя и правого знаменателя: $4 \cdot 42 = 168$.
Вычисляем произведение левого знаменателя и правого числителя: $6 \cdot 20 = 120$.
Поскольку $168 \neq 120$, равенство неверно.

Ответ: неверно.

2 Какое число можно записать вместо х, чтобы верным стало равенство:

Чтобы найти неизвестное число $x$ в каждом равенстве, необходимо решить пропорцию. Для этого можно использовать основное свойство пропорции, которое гласит, что произведение крайних членов равно произведению средних членов. Для пропорции вида $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ это свойство записывается как $a \cdot d = b \cdot c$.

а)

Дано равенство $\frac{1}{3} = \frac{3}{x}$.
Применим основное свойство пропорции: $1 \cdot x = 3 \cdot 3$.
Вычисляем произведение и находим $x$:
$x = 9$
Проверка: подставим найденное значение в исходное равенство $\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$. Сократив правую часть на 3, получим $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. Равенство верно.

Ответ: 9

б)

Дано равенство $\frac{2}{6} = \frac{x}{18}$.
Применим основное свойство пропорции: $2 \cdot 18 = 6 \cdot x$.
Вычисляем произведение: $36 = 6x$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 6:
$x = \frac{36}{6}$
$x = 6$
Проверка: подставим найденное значение в исходное равенство $\frac{2}{6} = \frac{6}{18}$. Сократим обе дроби: левую на 2, правую на 6. Получим $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. Равенство верно.

Ответ: 6

в)

Дано равенство $\frac{3}{5} = \frac{9}{x}$.
Применим основное свойство пропорции: $3 \cdot x = 5 \cdot 9$.
Вычисляем произведение: $3x = 45$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 3:
$x = \frac{45}{3}$
$x = 15$
Проверка: подставим найденное значение в исходное равенство $\frac{3}{5} = \frac{9}{15}$. Сократив правую часть на 3, получим $\frac{3}{5} = \frac{3}{5}$. Равенство верно.

Ответ: 15

г)

Дано равенство $\frac{10}{30} = \frac{x}{60}$.
Применим основное свойство пропорции: $10 \cdot 60 = 30 \cdot x$.
Вычисляем произведение: $600 = 30x$.
Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 30:
$x = \frac{600}{30}$
$x = 20$
Проверка: подставим найденное значение в исходное равенство $\frac{10}{30} = \frac{20}{60}$. Сократим обе дроби: левую на 10, правую на 20. Получим $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$. Равенство верно.

Ответ: 20

3 Напишите три дроби, каждая из которых равна:

Чтобы найти дроби, равные данным, нужно воспользоваться основным свойством дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. В каждом пункте мы последовательно умножим числитель и знаменатель на 2, 3 и 4, чтобы получить три новые равные дроби. Стоит отметить, что можно использовать любые другие натуральные числа в качестве множителей.

а) Для дроби $ \frac{2}{3} $:
$ \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} $
$ \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{6}{9} $
$ \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $
Ответ: $ \frac{4}{6}, \frac{6}{9}, \frac{8}{12} $.

б) Для дроби $ \frac{4}{5} $:
$ \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{8}{10} $
$ \frac{4 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{12}{15} $
$ \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{16}{20} $
Ответ: $ \frac{8}{10}, \frac{12}{15}, \frac{16}{20} $.

в) Для дроби $ \frac{6}{7} $:
$ \frac{6 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{12}{14} $
$ \frac{6 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{18}{21} $
$ \frac{6 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{24}{28} $
Ответ: $ \frac{12}{14}, \frac{18}{21}, \frac{24}{28} $.

г) Для дроби $ \frac{8}{9} $:
$ \frac{8 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{16}{18} $
$ \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{24}{27} $
$ \frac{8 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{32}{36} $
Ответ: $ \frac{16}{18}, \frac{24}{27}, \frac{32}{36} $.

4 Сколько восемнадцатых долей в 13, 29, 46?

Чтобы найти, сколько восемнадцатых долей содержится в каждой дроби, нужно каждую из них представить в виде дроби со знаменателем 18. Числитель полученной дроби и будет искомым количеством долей.

$\frac{1}{3}$

Приведем дробь $\frac{1}{3}$ к знаменателю 18. Для этого найдем дополнительный множитель, разделив 18 на 3. Он равен 6. Умножим числитель и знаменатель исходной дроби на 6:
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 6}{3 \times 6} = \frac{6}{18}$
Таким образом, в дроби $\frac{1}{3}$ содержится 6 восемнадцатых долей.
Ответ: 6.

$\frac{2}{9}$

Приведем дробь $\frac{2}{9}$ к знаменателю 18. Дополнительный множитель равен $18 \div 9 = 2$. Умножим числитель и знаменатель на 2:
$\frac{2}{9} = \frac{2 \times 2}{9 \times 2} = \frac{4}{18}$
Следовательно, в дроби $\frac{2}{9}$ содержится 4 восемнадцатых доли.
Ответ: 4.

$\frac{4}{6}$

Приведем дробь $\frac{4}{6}$ к знаменателю 18. Дополнительный множитель равен $18 \div 6 = 3$. Умножим числитель и знаменатель на 3:
$\frac{4}{6} = \frac{4 \times 3}{6 \times 3} = \frac{12}{18}$
Значит, в дроби $\frac{4}{6}$ содержится 12 восемнадцатых долей.
Ответ: 12.