Страница 117, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.332 С двух станций, расстояние между которыми 120 км, одновременно в противоположных направлениях вышли два поезда, удаляясь друг от друга. Скорость одного из них 85 км/ч, а скорость другого на 10 км/ч меньше. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 3 ч?

1) $85 - 10 = 75$ (км/ч) - скорость второго поезда

2) $85 + 75 = 160$ (км/ч) - скорость удаления

3) $160 · 3 = 480$ (км) - прошли оба поезда за 3 ч

4) $480 + 120 = 600$ (км)

Ответ: 600 км.

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найдем скорость второго поезда.

Из условия известно, что скорость первого поезда составляет $v_1 = 85$ км/ч. Скорость второго поезда на 10 км/ч меньше. Чтобы найти скорость второго поезда $v_2$, нужно из скорости первого вычесть 10 км/ч:

$v_2 = 85 \text{ км/ч} - 10 \text{ км/ч} = 75 \text{ км/ч}$

2. Найдем скорость удаления поездов.

Поезда движутся в противоположных направлениях, поэтому расстояние между ними увеличивается. Скорость, с которой они удаляются друг от друга, называется скоростью удаления. Она равна сумме их скоростей:

$v_{уд} = v_1 + v_2 = 85 \text{ км/ч} + 75 \text{ км/ч} = 160 \text{ км/ч}$

Это означает, что каждый час расстояние между поездами увеличивается на 160 км.

3. Рассчитаем, на какое расстояние поезда удалятся за 3 часа.

Чтобы найти, на сколько увеличится расстояние между поездами за 3 часа, нужно скорость удаления умножить на время в пути:

$S_{уд} = v_{уд} \times t = 160 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 480 \text{ км}$

4. Найдем итоговое расстояние между поездами.

Изначально между поездами было расстояние в 120 км. За 3 часа они удалились друг от друга еще на 480 км. Чтобы найти итоговое расстояние, нужно сложить начальное расстояние и расстояние, на которое они удалились:

$S_{общ} = S_{нач} + S_{уд} = 120 \text{ км} + 480 \text{ км} = 600 \text{ км}$

Ответ: через 3 ч поезда будут на расстоянии 600 км друг от друга.

3.333 Для нахождения значения выражения 67 488 : (2603 - 2507) + 25 632 : 801 составьте алгоритм вычислений. Изобразите алгоритм схемой и найдите значение выражения.

$67488 \stackrel{2}{:} (2603 \stackrel{1}{-} 2507) \stackrel{4}{+} 25632 \stackrel{3}{:} 801 = 735$

1. Число 2507 вычесть из числа 2603

2. Число 67 488 разделить на результатом выполнения команды 1.

3. Разделить число 25 632 на число 801

4. Сложить результат выполнения команды 2 с результатам выполнения команды 3.

1)	2)
3)	4)

Алгоритм вычислений

Для нахождения значения выражения $67488 : (2603 - 2507) + 25632 : 801$ необходимо определить правильный порядок арифметических действий. Согласно правилам, сначала выполняются действия в скобках, затем деление и умножение (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).

Таким образом, алгоритм вычислений будет следующим:

1. Выполнить вычитание в скобках: $2603 - 2507$.
2. Выполнить первое деление: результат деления числа $67488$ на результат, полученный в первом действии.
3. Выполнить второе деление: $25632 : 801$.
4. Выполнить сложение: сложить результаты второго и третьего действий.

Ответ: Порядок действий: 1) вычитание в скобках, 2) первое деление, 3) второе деление, 4) сложение.

Схема алгоритма

Схематически данный алгоритм можно представить в виде дерева вычислений, которое показывает зависимость операций друг от друга. Вычисления начинаются с нижних уровней дерева ("листьев") и движутся к "корню".

• Итоговое сложение (Действие 4)
  • Первое деление (Действие 2)
    • Делимое: $67488$
    • Делитель (результат Действия 1):
      • Вычитание (Действие 1)
        • Уменьшаемое: $2603$
        • Вычитаемое: $2507$
  • Второе деление (Действие 3)
    • Делимое: $25632$
    • Делитель: $801$

Ответ: Схема алгоритма представлена выше в виде иерархического списка, отражающего порядок и зависимость вычислений.

Нахождение значения выражения

Выполним вычисления по действиям в соответствии с составленным алгоритмом.

1. $2603 - 2507 = 96$
2. $67488 : 96 = 703$
3. $25632 : 801 = 32$
4. $703 + 32 = 735$

Таким образом, значение исходного выражения равно $735$.

Ответ: $735$.

3.334 Вычислите: 12 • (2800 • 26 - 296 100 : 47).

$12 \stackrel{4}{·} (2800 \stackrel{1}{·} 26 \stackrel{3}{-} 296100 \stackrel{2}{:} 47) = 798000$

1)

2)

3)

4)

Для вычисления значения выражения $12 \cdot (2800 \cdot 26 - 296100 : 47)$ необходимо выполнить действия в правильном порядке. Сначала выполняются действия в скобках (умножение и деление слева направо, затем вычитание), а после этого — умножение на число за скобками.

1. Первое действие — умножение в скобках:

Вычислим произведение $2800$ и $26$.

$2800 \cdot 26 = 72800$

2. Второе действие — деление в скобках:

Вычислим частное от деления $296100$ на $47$.

$296100 : 47 = 6300$

3. Третье действие — вычитание в скобках:

Из результата первого действия вычтем результат второго.

$72800 - 6300 = 66500$

4. Четвертое действие — умножение:

Результат, полученный в скобках, умножим на $12$.

$12 \cdot 66500 = 798000$

Таким образом, значение исходного выражения равно $798000$.

Ответ: $798000$.

1 Найдите значения выражений и заполните таблицу.

Запишите эти выражения в порядке возрастания их значений.

$0^5$, $1^{10}$, $2^3$, $3^2$, ${10}^1$, $2^2 + 3^2$, ${\left(2 + 3\right)}^2$, $5^3$, ${15}^2$.

$2^3 = 2 · 2 · 2 = 8$
$3^2 = 3 · 3 = 9$
$1^{10} = \underset{10 \mathrm{раз}}{\underbrace{1 · 1 · 1 · \dots · 1}}$
${15}^2 = 15 · 15 = 225$

$0^5 = 0 · 0 · 0 · 0 · 0$
$$\begin{gathered} 2^2 + 3^2 = 2 · 2 + 3 · 3 = \\ = 4 + 9 = 13 \end{gathered}$$
${\left(2 + 3\right)}^2 = 5^2 = 5 · 5 = 25$

Найдите значения выражений и заполните таблицу.

Для заполнения таблицы необходимо вычислить значение каждого математического выражения:

• $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$
• $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$
• $1^{10} = 1$
• $10^1 = 10$
• $15^2 = 15 \cdot 15 = 225$
• $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
• $0^5 = 0$
• $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$
• $(2 + 3)^2 = 5^2 = 25$

Ответ: Заполненная таблица выглядит следующим образом:

Запишите эти выражения в порядке возрастания их значений.

Сравним вычисленные значения и расположим их в порядке увеличения: $0 < 1 < 8 < 9 < 10 < 13 < 25 < 125 < 225$.

Теперь запишем исходные выражения в том же порядке, в котором расположены их значения.

Ответ: $0^5$, $1^{10}$, $2^3$, $3^2$, $10^1$, $2^2 + 3^2$, $(2 + 3)^2$, $5^3$, $15^2$.

2 Представьте в виде суммы разрядных слагаемых числа:

20 002;

12 100;

1 000 001;

50 280 745.

$$\begin{gathered} 20002 = 2·10000 + 2 = \\ = 2·{10}^4 + 2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 12100 = 1·10000 + 2·1000 + 1·100 = \\ {10}^4 + 2·{10}^3 + {10}^2 \end{gathered}$$

$1000001 = 1·1000000 + 1 = {10}^6 + 1$

$$\begin{gathered} 50280745 = 5·10000000 + \\ + 2·100000 + 8·10000 + \\ + 7·100 + 4·10 + 5 = \\ = 5·{10}^7 + 2·{10}^5 + 8·{10}^4 + \\ + 7·{10}^2 + 4·10 + 5 \end{gathered}$$

Представление числа в виде суммы разрядных слагаемых означает, что мы записываем его как сумму значений каждой его цифры в зависимости от её позиции (разряда). Каждый разряд (единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д.) представляет собой степень числа 10.

20 002

В данном числе цифра 2 стоит в разряде десятков тысяч (её значение $2 \cdot 10 \ 000 = 20 \ 000$) и в разряде единиц (её значение $2 \cdot 1 = 2$). Остальные разряды (тысячи, сотни, десятки) содержат нули и в сумму не включаются.

Ответ: $20 \ 002 = 20 \ 000 + 2$.

12 100

Разложим число по разрядам:
Цифра 1 в разряде десятков тысяч: $1 \cdot 10 \ 000 = 10 \ 000$.
Цифра 2 в разряде тысяч: $2 \cdot 1 \ 000 = 2 \ 000$.
Цифра 1 в разряде сотен: $1 \cdot 100 = 100$.
В разрядах десятков и единиц стоят нули, поэтому их не записываем.

Ответ: $12 \ 100 = 10 \ 000 + 2 \ 000 + 100$.

1 000 001

В этом числе есть только две ненулевые цифры:
Цифра 1 в разряде миллионов: $1 \cdot 1 \ 000 \ 000 = 1 \ 000 \ 000$.
Цифра 1 в разряде единиц: $1 \cdot 1 = 1$.
Все промежуточные разряды равны нулю.

Ответ: $1 \ 000 \ 001 = 1 \ 000 \ 000 + 1$.

50 280 745

Проанализируем каждую ненулевую цифру в числе:
Цифра 5 в разряде десятков миллионов: $5 \cdot 10 \ 000 \ 000 = 50 \ 000 \ 000$.
Цифра 2 в разряде сотен тысяч: $2 \cdot 100 \ 000 = 200 \ 000$.
Цифра 8 в разряде десятков тысяч: $8 \cdot 10 \ 000 = 80 \ 000$.
Цифра 7 в разряде сотен: $7 \cdot 100 = 700$.
Цифра 4 в разряде десятков: $4 \cdot 10 = 40$.
Цифра 5 в разряде единиц: $5 \cdot 1 = 5$.
Сложив эти значения, получим искомую сумму.

Ответ: $50 \ 280 \ 745 = 50 \ 000 \ 000 + 200 \ 000 + 80 \ 000 + 700 + 40 + 5$.

3 Представьте в виде произведения степень:

а) (1 + a)³;

б) (x - 5)⁴;

в) (2c - 3)⁵;

г) (4 + 5b)².

а)
${(1 + a)}^3 = (1 + a)·(1 + a)·(1 + a)$

б)
$$\begin{gathered} {(x - 5)}^4 = (x - 5)·(x - 5) · \\ · (x - 5)·(x - 5) \end{gathered}$$

в)
$$\begin{gathered} {(2c - 3)}^5 = (2c - 3)·(2c - 3) · \\ · (2c - 3)·(2c - 3)·(2c - 5) \end{gathered}$$

г)
${(4 + 5б)}^2 = (4 + 5б)·(4 + 5б)$

а)

Чтобы представить степень $ (1 + a)^3 $ в виде произведения, нужно воспользоваться определением степени. Степень выражения с натуральным показателем $n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен этому выражению.

В данном случае основание степени равно $ (1 + a) $, а показатель степени равен 3. Следовательно, нам нужно перемножить выражение $ (1 + a) $ само на себя 3 раза:

$ (1 + a)^3 = (1 + a)(1 + a)(1 + a) $

Ответ: $ (1 + a)(1 + a)(1 + a) $.

б)

Аналогично предыдущему пункту, представим степень $ (x - 5)^4 $ в виде произведения.

Основание степени здесь — это $ (x - 5) $, а показатель степени — 4. Это означает, что мы должны записать произведение из четырех множителей, каждый из которых равен $ (x - 5) $.

$ (x - 5)^4 = (x - 5)(x - 5)(x - 5)(x - 5) $

Ответ: $ (x - 5)(x - 5)(x - 5)(x - 5) $.

в)

Рассмотрим степень $ (2c - 3)^5 $.

Основанием степени является выражение $ (2c - 3) $, а показателем — число 5. Чтобы представить эту степень в виде произведения, нужно умножить основание само на себя 5 раз.

$ (2c - 3)^5 = (2c - 3)(2c - 3)(2c - 3)(2c - 3)(2c - 3) $

Ответ: $ (2c - 3)(2c - 3)(2c - 3)(2c - 3)(2c - 3) $.

г)

Представим степень $ (4 + 5b)^2 $ в виде произведения.

В этом выражении основание степени — это $ (4 + 5b) $, а показатель степени — 2. Степень с показателем 2 также называют квадратом выражения. Чтобы записать это в виде произведения, нужно перемножить основание само на себя 2 раза.

$ (4 + 5b)^2 = (4 + 5b)(4 + 5b) $

Ответ: $ (4 + 5b)(4 + 5b) $.

3 Скорость света равна 299 792 км/с. Свет от Солнца до Земли идёт 8 мин 19 с. Найдите расстояние от Земли до Солнца и округлите его до тысяч километров.

Для решения задачи воспользуемся формулой для нахождения расстояния: $S = v \times t$, где $S$ — это расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

Из условия нам известны скорость света $v = 299 792$ км/с и время, за которое свет доходит от Солнца до Земли, $t = 8$ мин $19$ с.

Первым делом необходимо привести время к единой единице измерения — секундам, так как скорость выражена в км/с. В одной минуте 60 секунд, поэтому:
$t = (8 \times 60) + 19 = 480 + 19 = 499$ секунд.

Теперь мы можем рассчитать точное расстояние, умножив скорость на время:
$S = 299 792 \text{ км/с} \times 499 \text{ с} = 149 596 208$ км.

Последним шагом, согласно условию, нужно округлить полученное расстояние до тысяч километров. В числе 149 596 208 цифра, стоящая в разряде тысяч, — это 6, а следующая за ней цифра в разряде сотен — 2. Поскольку 2 меньше 5, округление производится в меньшую сторону (разряд тысяч не меняется, а все последующие обнуляются).
Таким образом, округленное значение равно 149 596 000 км.

Ответ: 149 596 000 км.

4 Собственная скорость катера 17,3 км/ч, а скорость против течения реки 15,7 км/ч. Сможет ли катер за 3 ч проплыть 60 км, двигаясь по течению?

Для того чтобы ответить на вопрос, необходимо сначала определить скорость течения реки, затем скорость катера по течению и, наконец, расстояние, которое катер пройдет за 3 часа с этой скоростью.

1. Найдем скорость течения реки ($V_{теч}$). Скорость катера против течения ($V_{против}$) вычисляется как разность собственной скорости катера ($V_{соб}$) и скорости течения.

$V_{против} = V_{соб} - V_{теч}$

Из этой формулы выразим скорость течения:

$V_{теч} = V_{соб} - V_{против}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$V_{теч} = 17,3 \text{ км/ч} - 15,7 \text{ км/ч} = 1,6 \text{ км/ч}$

2. Теперь найдем скорость катера по течению ($V_{по}$). Она равна сумме собственной скорости катера и скорости течения.

$V_{по} = V_{соб} + V_{теч}$

Подставим вычисленное и известное значения:

$V_{по} = 17,3 \text{ км/ч} + 1,6 \text{ км/ч} = 18,9 \text{ км/ч}$

3. Рассчитаем расстояние ($S$), которое катер сможет проплыть за 3 часа ($t = 3 \text{ ч}$), двигаясь по течению.

$S = V_{по} \times t$

$S = 18,9 \text{ км/ч} \times 3 \text{ ч} = 56,7 \text{ км}$

4. Сравним полученное расстояние с заданным в вопросе (60 км).

$56,7 \text{ км} < 60 \text{ км}$

Поскольку расстояние, которое катер пройдет за 3 часа (56,7 км), меньше 60 км, он не сможет проплыть требуемое расстояние за указанное время.

Ответ: нет, не сможет.

5 Вычислите, результат округлите до целых:

а) 4,87 + 2,987 - 6,0023;

б) 3,086 + 65,374 + 90,3011.

а) $4,87 + 2,987 - 6,0023$

Для решения данного примера выполним действия по порядку.

1. Сначала выполним сложение:

$4,87 + 2,987 = 7,857$

2. Затем из полученного результата вычтем третье число:

$7,857 - 6,0023 = 1,8547$

3. Теперь округлим результат до целых. Для этого смотрим на цифру в разряде десятых (первая цифра после запятой). В числе $1,8547$ это цифра 8. Поскольку $8 \ge 5$, мы увеличиваем целую часть числа на 1.

$1,8547 \approx 2$

Ответ: 2.

б) $3,086 + 65,374 + 90,3011$

1. Выполним сложение всех трёх чисел:

$3,086 + 65,374 + 90,3011 = 158,7611$

2. Теперь округлим полученный результат до целых. Смотрим на цифру в разряде десятых. В числе $158,7611$ это цифра 7. Так как $7 \ge 5$, мы увеличиваем целую часть числа на 1.

$158,7611 \approx 159$

Ответ: 159.

6 а) Запишите приближения десятичных дробей до единиц с избытком; с недостатком: 2,3; 3,7; 6,3; 1,9.

б)* Оцените сумму, записав ответ в виде двойного неравенства:2,3 + 3,7 + 6,3 + 1,9.

a)

Приближение десятичной дроби до единиц (до целого числа) с недостатком означает округление в меньшую сторону. Для этого достаточно отбросить дробную часть числа.

Приближение до единиц с избытком означает округление в большую сторону, то есть до ближайшего целого числа, которое больше исходного.

Найдем приближения для заданных чисел:
Для 2,3: приближение с недостатком равно 2, с избытком – 3.
Для 3,7: приближение с недостатком равно 3, с избытком – 4.
Для 6,3: приближение с недостатком равно 6, с избытком – 7.
Для 1,9: приближение с недостатком равно 1, с избытком – 2.

Ответ: Приближения с недостатком: 2; 3; 6; 1. Приближения с избытком: 3; 4; 7; 2.

б)?

Чтобы оценить сумму и записать результат в виде двойного неравенства, нужно найти ее нижнюю и верхнюю границы. Нижняя граница суммы находится сложением приближений всех слагаемых с недостатком. Верхняя граница – сложением приближений с избытком.

Обозначим сумму $S = 2,3 + 3,7 + 6,3 + 1,9$.

1. Найдем нижнюю границу (оценку снизу). Для этого сложим приближения слагаемых с недостатком из пункта а):

$2 + 3 + 6 + 1 = 12$

Так как каждое из приближений с недостатком меньше соответствующего слагаемого в исходной сумме, то и их сумма будет строго меньше исходной: $12 < S$.

2. Найдем верхнюю границу (оценку сверху). Для этого сложим приближения слагаемых с избытком из пункта а):

$3 + 4 + 7 + 2 = 16$

Так как каждое из приближений с избытком больше соответствующего слагаемого в исходной сумме, то и их сумма будет строго больше исходной: $S < 16$.

3. Объединим оценки в двойное неравенство:

$12 < 2,3 + 3,7 + 6,3 + 1,9 < 16$

Ответ: $12 < 2,3 + 3,7 + 6,3 + 1,9 < 16$.