Страница 122, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.363 а) Запишите все делители числа 24 и все делители числа 36. Выпишите в порядке убывания одинаковые делители этих чисел.

б) Найдите все простые числа, меньшие 50.

а) Делители 24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24.

Делители 36: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36.

Общие делители в порядке убывания: 12; 6; 4; 3; 2; 1.

б) Простые числа, меньшие 50: 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47.

а) Чтобы найти общие делители чисел 24 и 36, сначала выпишем все делители для каждого из этих чисел.

Делители числа 24 – это натуральные числа, на которые 24 делится без остатка.
$24 \div 1 = 24$
$24 \div 2 = 12$
$24 \div 3 = 8$
$24 \div 4 = 6$
Полный список делителей числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Делители числа 36 – это натуральные числа, на которые 36 делится без остатка.
$36 \div 1 = 36$
$36 \div 2 = 18$
$36 \div 3 = 12$
$36 \div 4 = 9$
$36 \div 6 = 6$
Полный список делителей числа 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Теперь найдем одинаковые (общие) делители в обоих списках. Это числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Запишем эти общие делители в порядке убывания (от наибольшего к наименьшему).

Ответ: 12, 6, 4, 3, 2, 1.

б) Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Необходимо найти все такие числа, которые меньше 50.

Выпишем все простые числа до 50 в порядке возрастания:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Ответ: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

3.364 Выпишите из чисел 21, 27, 33, 35, 44, 63, 68, 73, 75 те, которые:

а) кратны 7;

б) кратны 9;

в) не кратны 4;

г) не кратны 3.

а) кратны 7: 21; 35; 63.

б) кратны 9: 27; 63.

в) не кратны 4: 21; 27; 33; 35; 63; 73; 75.

г) не кратны 3: 35; 44; 68; 73.

Для решения этой задачи необходимо проанализировать данный ряд чисел: 21, 27, 33, 35, 44, 63, 68, 73, 75. Мы последовательно проверим каждое число на соответствие условиям в каждом подпункте.

а) кратны 7

Число кратно 7, если оно делится на 7 без остатка. Проверим каждое число из списка:
$21 \div 7 = 3$ — кратно;
$27 \div 7 = 3$ (остаток 6) — не кратно;
$33 \div 7 = 4$ (остаток 5) — не кратно;
$35 \div 7 = 5$ — кратно;
$44 \div 7 = 6$ (остаток 2) — не кратно;
$63 \div 7 = 9$ — кратно;
$68 \div 7 = 9$ (остаток 5) — не кратно;
$73 \div 7 = 10$ (остаток 3) — не кратно;
$75 \div 7 = 10$ (остаток 5) — не кратно.
Таким образом, из данного набора чисел кратны 7 следующие: 21, 35, 63.
Ответ: 21, 35, 63.

б) кратны 9

Число кратно 9, если оно делится на 9 без остатка. Можно использовать признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.
21: $2+1=3$ (не делится на 9);
27: $2+7=9$ (делится на 9, т.к. $27 \div 9 = 3$) — кратно;
33: $3+3=6$ (не делится на 9);
35: $3+5=8$ (не делится на 9);
44: $4+4=8$ (не делится на 9);
63: $6+3=9$ (делится на 9, т.к. $63 \div 9 = 7$) — кратно;
68: $6+8=14$ (не делится на 9);
73: $7+3=10$ (не делится на 9);
75: $7+5=12$ (не делится на 9).
Таким образом, из данного набора чисел кратны 9 следующие: 27, 63.
Ответ: 27, 63.

в) не кратны 4

Число не кратно 4, если оно не делится на 4 без остатка.
$21 \div 4 = 5$ (остаток 1) — не кратно;
$27 \div 4 = 6$ (остаток 3) — не кратно;
$33 \div 4 = 8$ (остаток 1) — не кратно;
$35 \div 4 = 8$ (остаток 3) — не кратно;
$44 \div 4 = 11$ — кратно;
$63 \div 4 = 15$ (остаток 3) — не кратно;
$68 \div 4 = 17$ — кратно;
$73 \div 4 = 18$ (остаток 1) — не кратно;
$75 \div 4 = 18$ (остаток 3) — не кратно.
Таким образом, числа, которые не кратны 4: 21, 27, 33, 35, 63, 73, 75.
Ответ: 21, 27, 33, 35, 63, 73, 75.

г) не кратны 3

Число не кратно 3, если оно не делится на 3 без остатка. Используем признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Мы ищем числа, у которых сумма цифр не делится на 3.
21: $2+1=3$ (делится на 3) — кратно;
27: $2+7=9$ (делится на 3) — кратно;
33: $3+3=6$ (делится на 3) — кратно;
35: $3+5=8$ (не делится на 3) — не кратно;
44: $4+4=8$ (не делится на 3) — не кратно;
63: $6+3=9$ (делится на 3) — кратно;
68: $6+8=14$ (не делится на 3) — не кратно;
73: $7+3=10$ (не делится на 3) — не кратно;
75: $7+5=12$ (делится на 3) — кратно.
Таким образом, числа, которые не кратны 3: 35, 44, 68, 73.
Ответ: 35, 44, 68, 73.

3.365 Найдите наименьшее число, которое кратно каждому из трёх чисел:

а) 2, 5 и 15;

б) 2, 4 и 5;

в) 3, 6 и 12;

г) 2, 7 и 5.

а) 30 кратно 2; 5 и 15.

б) 20 кратно 2; 4 и 5.

в) 12 кратно 3; 6 и 10.

г) 70 кратно 2; 7 и 5.

а) Задача заключается в нахождении наименьшего общего кратного (НОК) для чисел 2, 5 и 15. Чтобы найти НОК, можно разложить числа на простые множители.

• Число 2 — простое.
• Число 5 — простое.
• $15 = 3 \cdot 5$

НОК формируется из произведения всех уникальных простых множителей, взятых в наибольшей степени, в которой они встречаются в разложениях. Уникальные множители: 2, 3, 5. Все они встречаются в первой степени.
НОК(2, 5, 15) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Другой способ: так как 15 кратно 5, любое число, кратное 15, будет также кратно 5. Следовательно, достаточно найти НОК для чисел 2 и 15. Поскольку 2 и 15 взаимно простые (не имеют общих делителей, кроме 1), их НОК равен их произведению: $2 \cdot 15 = 30$.
Ответ: 30

б) Необходимо найти наименьшее число, которое кратно 2, 4 и 5. Это наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. Разложим числа на простые множители:

• $2 = 2^1$
• $4 = 2^2$
• $5 = 5^1$

Для нахождения НОК берем каждый простой множитель с наибольшим показателем степени из разложений. Для множителя 2 это $2^2$, а для множителя 5 это $5^1$.
НОК(2, 4, 5) = $2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$.
Также можно заметить, что 4 кратно 2, поэтому задача сводится к поиску НОК для 4 и 5. Так как 4 и 5 взаимно простые, их НОК равен их произведению: $4 \cdot 5 = 20$.
Ответ: 20

в) Найдем наименьшее общее кратное для чисел 3, 6 и 12. Разложим их на простые множители:

• $3 = 3^1$
• $6 = 2 \cdot 3$
• $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

Берем простые множители 2 и 3 в их наибольших степенях из разложений: $2^2$ и $3^1$.
НОК(3, 6, 12) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.
В этом случае можно было заметить, что 12 делится нацело и на 3 ($12:3=4$), и на 6 ($12:6=2$). Следовательно, наименьшее число, кратное всем трем, — это само число 12.
Ответ: 12

г) Найдем наименьшее общее кратное для чисел 2, 7 и 5. Все три числа являются простыми. По определению, простые числа взаимно просты друг с другом (их наибольший общий делитель равен 1). Наименьшее общее кратное для взаимно простых чисел равно их произведению.
НОК(2, 7, 5) = $2 \cdot 7 \cdot 5 = 14 \cdot 5 = 70$.
Ответ: 70

3.366 Выполните деление с остатком:

а) 468 : 16;

б) 597 : 13;

в) 4920 : 40.

а) $468 : 16 = 29 (\mathrm{ост}. 4)$

б) $\mathrm{597 : 13 = 45 (}\mathrm{ост}. 12)$

в) $\mathrm{4920 : 40 = 123 (}\mathrm{ост}. 0)$

а) Чтобы выполнить деление с остатком для выражения $468 : 16$, разделим эти числа столбиком.
1. Находим первое неполное делимое. Это $46$.
2. Определяем, сколько раз $16$ содержится в $46$. Ближайшее произведение, не превышающее $46$, это $16 \cdot 2 = 32$. Записываем $2$ в частное.
3. Находим остаток от деления: $46 - 32 = 14$.
4. Сносим следующую цифру делимого, $8$, и получаем новое неполное делимое $148$.
5. Определяем, сколько раз $16$ содержится в $148$. Ближайшее произведение, не превышающее $148$, это $16 \cdot 9 = 144$. Записываем $9$ в частное.
6. Находим остаток: $148 - 144 = 4$.
Так как $4 < 16$, деление целой части окончено. Получили неполное частное $29$ и остаток $4$.
Проверим результат: $29 \cdot 16 + 4 = 464 + 4 = 468$. Всё верно.
Ответ: $29$ (ост. $4$).

б) Чтобы выполнить деление с остатком для выражения $597 : 18$, разделим эти числа столбиком.
1. Находим первое неполное делимое. Это $59$.
2. Определяем, сколько раз $18$ содержится в $59$. Ближайшее произведение, не превышающее $59$, это $18 \cdot 3 = 54$. Записываем $3$ в частное.
3. Находим остаток от деления: $59 - 54 = 5$.
4. Сносим следующую цифру делимого, $7$, и получаем новое неполное делимое $57$.
5. Определяем, сколько раз $18$ содержится в $57$. Ближайшее произведение, не превышающее $57$, это $18 \cdot 3 = 54$. Записываем $3$ в частное.
6. Находим остаток: $57 - 54 = 3$.
Так как $3 < 18$, деление целой части окончено. Получили неполное частное $33$ и остаток $3$.
Проверим результат: $33 \cdot 18 + 3 = 594 + 3 = 597$. Всё верно.
Ответ: $33$ (ост. $3$).

в) Чтобы выполнить деление с остатком для выражения $4920 : 40$, разделим эти числа столбиком.
1. Находим первое неполное делимое. Это $49$.
2. Определяем, сколько раз $40$ содержится в $49$. $40 \cdot 1 = 40$. Записываем $1$ в частное.
3. Находим остаток от деления: $49 - 40 = 9$.
4. Сносим следующую цифру делимого, $2$, и получаем новое неполное делимое $92$.
5. Определяем, сколько раз $40$ содержится в $92$. $40 \cdot 2 = 80$. Записываем $2$ в частное.
6. Находим остаток: $92 - 80 = 12$.
7. Сносим следующую цифру делимого, $0$, и получаем новое неполное делимое $120$.
8. Делим $120$ на $40$. $120 : 40 = 3$. Записываем $3$ в частное.
9. Находим остаток: $120 - 120 = 0$.
Деление выполнено без остатка. Частное равно $123$, остаток равен $0$.
Проверим результат: $123 \cdot 40 + 0 = 4920$. Всё верно.
Ответ: $123$ (ост. $0$).

3.367 Площадь поля 273 а. Площадь луга на 48 а меньше площади поля, а площадь леса в 3 раза больше площади луга. Чему равна площадь поля, луга и леса вместе?

1) $273 - 48 = 225 \left(\mathrm{а}\right)$ - площадь луга

2) $225 · 3 = 675 \left(\mathrm{а}\right)$- площадь леса

3)

 $$\begin{gathered} 273 + 225 + 675 = \\ = 273 + (225 + 675) = \\ = 273 + 900 = 1173 \left(\mathrm{а}\right) \end{gathered}$$

Ответ: 1173 а.

Для решения задачи выполним последовательные вычисления.

1. Найдем площадь луга.

В условии сказано, что площадь поля равна 273 а, а площадь луга на 48 а меньше. Чтобы найти площадь луга, нужно из площади поля вычесть 48 а.

$273 - 48 = 225$ (а).

Таким образом, площадь луга составляет 225 а.

2. Найдем площадь леса.

Известно, что площадь леса в 3 раза больше площади луга. Умножим найденную площадь луга на 3:

$225 * 3 = 675$ (а).

Следовательно, площадь леса равна 675 а.

3. Найдем общую площадь поля, луга и леса.

Чтобы найти общую площадь, необходимо сложить площади всех трех участков: поля (273 а), луга (225 а) и леса (675 а).

$273 + 225 + 675 = 1173$ (а).

Ответ: площадь поля, луга и леса вместе равна 1173 а.

3.368 Найдите значение выражения:

$\mathrm{a}) 49 \stackrel{1}{·} 64 \stackrel{3}{+} 5280 \stackrel{2}{:} 80 = 3202$

1)	2)
3)

$\mathrm{б}) 305 \stackrel{1}{·} 86 \stackrel{3}{-} 93100 \stackrel{2}{:} 38 = 23780$

1)	2)
3)

$\mathrm{в}) (564 \stackrel{1}{:} 47 \stackrel{3}{+} 2592 \stackrel{2}{:} 72) \stackrel{4}{·} 250 \stackrel{5}{-} 200 = 11800$

1)	2)
3)	4)
5)

$\mathrm{г}) (9095 \stackrel{1}{:} 85 \stackrel{2}{+} 33) \stackrel{5}{·} (7344 \stackrel{3}{:} 36 \stackrel{4}{-} 144) = 8400$

1)	2)
3)	4)
5)

а)

Для нахождения значения выражения $49 \cdot 64 + 5280 : 80$ выполним действия в соответствии с их приоритетом: сначала умножение и деление, затем сложение.
1) $49 \cdot 64 = 3136$
2) $5280 : 80 = 66$
3) $3136 + 66 = 3202$

Ответ: 3202.

б)

Для нахождения значения выражения $305 \cdot 86 - 93100 : 38$ выполним действия в соответствии с их приоритетом: сначала умножение и деление, затем вычитание.
1) $305 \cdot 86 = 26230$
2) $93100 : 38 = 2450$
3) $26230 - 2450 = 23780$

Ответ: 23780.

в)

Для нахождения значения выражения $(564 : 47 + 2592 : 72) \cdot 250 - 200$ сначала выполняем действия в скобках, затем умножение и вычитание.
1) $564 : 47 = 12$
2) $2592 : 72 = 36$
3) $12 + 36 = 48$
4) $48 \cdot 250 = 12000$
5) $12000 - 200 = 11800$

Ответ: 11800.

г)

Для нахождения значения выражения $(9095 : 85 + 33) \cdot (7344 : 36 - 144)$ сначала вычисляем значения в каждой из скобок, а затем перемножаем полученные результаты.
1) Вычисляем первую скобку: $9095 : 85 = 107$.
2) $107 + 33 = 140$.
3) Вычисляем вторую скобку: $7344 : 36 = 204$.
4) $204 - 144 = 60$.
5) Перемножаем результаты: $140 \cdot 60 = 8400$.

Ответ: 8400.

3.369 Попробуйте сформулировать, какое свойство открыл шестилетний А. Н. Колмогоров. Проверьте, выполняется ли оно для квадратов нескольких следующих чисел.

Квадрат любого натурального числа равен сумме первых нечётных чисел, количество слагаемых которой равно данному натуральному числу

$1^2 = 1$ так как $1 = 1$

$2^2 = 1 + 3$ так как $4 = 4$

$3^2 = 1 + 3 + 5$ так как $9 = 9$

$4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$ так как $16 = 16$

$5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$ так как $25 = 25$

$6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ так как $36 = 36$

$7^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13$ так как $49 = 49$...

Попробуйте сформулировать, какое свойство открыл шестилетний А. Н. Колмогоров.

Согласно известной истории, шестилетний Андрей Николаевич Колмогоров обнаружил следующую закономерность: квадрат любого натурального числа $n$ равен сумме первых $n$ нечётных натуральных чисел.

Математически это свойство можно записать в виде формулы:
$n^2 = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)$

Или, используя знак суммы:
$n^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1)$

Ответ: Квадрат натурального числа $n$ равен сумме первых $n$ нечётных натуральных чисел.

Проверьте, выполняется ли оно для квадратов нескольких следующих чисел.

Проверим справедливость этого свойства для нескольких первых натуральных чисел.

Для $n=1$:
Квадрат числа: $1^2 = 1$.
Сумма первого нечётного числа: $1$.
Равенство $1=1$ выполняется.

Для $n=2$:
Квадрат числа: $2^2 = 4$.
Сумма первых двух нечётных чисел: $1 + 3 = 4$.
Равенство $4=4$ выполняется.

Для $n=3$:
Квадрат числа: $3^2 = 9$.
Сумма первых трех нечётных чисел: $1 + 3 + 5 = 9$.
Равенство $9=9$ выполняется.

Для $n=4$:
Квадрат числа: $4^2 = 16$.
Сумма первых четырёх нечётных чисел: $1 + 3 + 5 + 7 = 16$.
Равенство $16=16$ выполняется.

Для $n=5$:
Квадрат числа: $5^2 = 25$.
Сумма первых пяти нечётных чисел: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$.
Равенство $25=25$ выполняется.

Свойство верно для любого натурального числа. Это можно доказать, рассмотрев сумму первых $n$ нечётных чисел как сумму членов арифметической прогрессии. Первый член этой прогрессии $a_1=1$, а разность $d=2$. $n$-й член прогрессии равен $a_n = a_1 + d(n-1) = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$. Сумма первых $n$ членов вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставив значения, получим:
$S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$.
Таким образом, сумма первых $n$ нечётных чисел всегда равна $n^2$.

Ответ: Свойство выполняется. Проверка для $n=1, 2, 3, 4, 5$ и последующих чисел подтверждает это. Например, для $n=5$: $5^2 = 25 = 1+3+5+7+9$.

Выпишите номера верных утверждений:

1 Число 2 является делителем числа 8.

2 Число 8 является делителем числа 2.

3 Число 2 кратно числу 8.

4 Число 8 кратно числу 2.

5 Число 16 кратно числам 2 и 8.

6 Числа 2 и 8 не являются делителями 16.

7 Среди чисел 2, 8 и 16 нет простых чисел.

8 Любое натуральное число имеет бесконечное число делителей.

Проверочная работа

1. Число 2 – делитель числа 8;
4. Число 8 – кратно числу 2;
5. Число 16 кратно числам 2 и 8.

Проанализируем каждое утверждение:

Делителем числа называется число, на которое оно делится без остатка. Проверим: $8 \div 2 = 4$. Деление происходит без остатка, значит, утверждение верное.

Ответ: верно.

Проверим, делится ли число 2 на 8 без остатка: $2 \div 8 = 0.25$. Результат не является целым числом, следовательно, 8 не является делителем 2. Утверждение неверное.

Ответ: неверно.

Число $a$ кратно числу $b$, если число $a$ делится на $b$ без остатка. В данном случае 2 не делится на 8 нацело. Утверждение неверное.

Ответ: неверно.

Проверим, делится ли 8 на 2 без остатка: $8 \div 2 = 4$. Деление происходит нацело, значит, 8 кратно 2. Утверждение верное.

Ответ: верно.

Чтобы утверждение было верным, число 16 должно делиться без остатка и на 2, и на 8. Проверим оба условия: $16 \div 2 = 8$ и $16 \div 8 = 2$. Оба деления выполняются нацело, значит, утверждение верное.

Ответ: верно.

Как мы установили в предыдущем пункте, и 2, и 8 являются делителями числа 16, так как $16$ делится на них без остатка. Следовательно, данное утверждение неверное.

Ответ: неверно.

Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Число 2 — простое (делители 1 и 2). Числа 8 (делители 1, 2, 4, 8) и 16 (делители 1, 2, 4, 8, 16) являются составными. Поскольку в списке есть простое число 2, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

Любой делитель натурального числа $n$ не может быть больше самого этого числа. Поэтому множество делителей любого натурального числа конечно. Например, у числа 10 делители: 1, 2, 5, 10. Их всего четыре. Утверждение неверное.

Ответ: неверно.

Таким образом, верными являются утверждения под номерами 1, 4 и 5.

Номера верных утверждений: 1, 4, 5.

6.203 Велосипедист ехал 35 мин по шоссе со скоростью 0,28 км/мин и 24 мин по лесной дороге со скоростью 0,18 км/мин. Сколько километров он проехал?

1) $\mathrm{0,28} · 35 = \mathrm{9,8}\left(\text{км}\right)$ - по шоссе

2) $\mathrm{0,18} · 24 = \mathrm{4,32}\left(\text{км}\right)$ - по лесной дороге

3) $\mathrm{9,8} + \mathrm{4,32} = \mathrm{14,12}\left(\text{км}\right)$

Ответ: 14, 12 км

Чтобы найти общее расстояние, которое проехал велосипедист, необходимо сложить расстояния, пройденные на каждом из участков пути (по шоссе и по лесной дороге). Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ — это расстояние, $v$ — скорость, а $t$ — время.

1. Расстояние, пройденное по шоссе.

Сначала вычислим расстояние, которое велосипедист проехал по шоссе. Его скорость на этом участке составляла $v_1 = 0,28$ км/мин, а время в пути $t_1 = 35$ мин.

$S_1 = v_1 \cdot t_1 = 0,28 \text{ км/мин} \cdot 35 \text{ мин} = 9,8 \text{ км}$.

2. Расстояние, пройденное по лесной дороге.

Далее вычислим расстояние, которое он проехал по лесной дороге. Его скорость на этом участке была $v_2 = 0,18$ км/мин, а время в пути $t_2 = 24$ мин.

$S_2 = v_2 \cdot t_2 = 0,18 \text{ км/мин} \cdot 24 \text{ мин} = 4,32 \text{ км}$.

3. Общее расстояние.

Теперь, чтобы найти общее расстояние $S_{общ}$, сложим расстояния, пройденные на обоих участках:

$S_{общ} = S_1 + S_2 = 9,8 \text{ км} + 4,32 \text{ км} = 14,12 \text{ км}$.

Ответ: всего велосипедист проехал 14,12 км.

6.204 Два самосвала доставляли песок из песчаного карьера на строительную площадку. Самосвал грузоподъёмностью 4,8 т сделал 8 рейсов, а самосвал грузоподъёмностью 7,2 т — 5 рейсов. На сколько тонн песка больше перевёз один самосвал, чем другой?

Для решения задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Найдем, сколько всего песка перевёз первый самосвал.

Для этого нужно умножить его грузоподъёмность на количество сделанных рейсов. Грузоподъёмность первого самосвала — 4,8 т, количество рейсов — 8.

$4,8 \times 8 = 38,4$ тонны

Таким образом, первый самосвал перевёз 38,4 тонны песка.

2. Найдем, сколько всего песка перевёз второй самосвал.

Аналогично, умножим его грузоподъёмность на количество рейсов. Грузоподъёмность второго самосвала — 7,2 т, количество рейсов — 5.

$7,2 \times 5 = 36$ тонн

Второй самосвал перевёз 36 тонн песка.

3. Сравним количество перевезённого песка и найдем разницу.

Первый самосвал перевёз 38,4 тонны, а второй — 36 тонн. Чтобы узнать, на сколько тонн песка больше перевёз один самосвал, чем другой, необходимо из большей массы вычесть меньшую.

$38,4 - 36 = 2,4$ тонны

Ответ: один самосвал перевёз на 2,4 тонны песка больше, чем другой.

6.205 Цена сезонных яблок в 2021 г. была 84 р. за 1 кг. Найдите стоимость 2 кг, 1,2 кг, 0,75 кг и 35 кг яблок.

Для того чтобы найти стоимость яблок для каждого случая, необходимо умножить цену за 1 кг (84 рубля) на требуемое количество килограммов.

2 кг
Стоимость 2 кг яблок рассчитывается как произведение цены за килограмм на массу:
$84 \text{ р.} \cdot 2 = 168 \text{ р.}$
Ответ: 168 р.

1,2 кг
Стоимость 1,2 кг яблок:
$84 \text{ р.} \cdot 1,2 = 100,8 \text{ р.}$
Ответ: 100,8 р.

0,75 кг
Стоимость 0,75 кг яблок. Можно представить 0,75 в виде обыкновенной дроби $\frac{3}{4}$ для удобства вычислений:
$84 \text{ р.} \cdot 0,75 = 84 \cdot \frac{3}{4} = \frac{84 \cdot 3}{4} = 21 \cdot 3 = 63 \text{ р.}$
Ответ: 63 р.

$\frac{3}{5}$ кг
Стоимость $\frac{3}{5}$ кг яблок. Представим дробь $\frac{3}{5}$ в виде десятичной: $\frac{3}{5} = 0,6$.
$84 \text{ р.} \cdot \frac{3}{5} = 84 \cdot 0,6 = 50,4 \text{ р.}$
Ответ: 50,4 р.

6.206 На уроке кулинарии девочки готовили пиццу. Чему равна масса 4 пицц, если масса одной пиццы 400 г? Чему равна масса половины пиццы; 34 пиццы; 0,4 пиццы; 1,25 пиццы?

Масса 4 пицц
Чтобы найти массу четырёх пицц, необходимо массу одной пиццы (400 г) умножить на их количество (4).
$4 \times 400 \text{ г} = 1600 \text{ г}$.
Так как $1000 \text{ г} = 1 \text{ кг}$, то $1600 \text{ г} = 1,6 \text{ кг}$.
Ответ: 1600 г.

Масса половины пиццы
Половина пиццы — это $\frac{1}{2}$ или $0,5$ от целой. Чтобы найти массу этой части, нужно массу одной пиццы умножить на $\frac{1}{2}$.
$400 \text{ г} \times \frac{1}{2} = \frac{400}{2} \text{ г} = 200 \text{ г}$.
Ответ: 200 г.

Масса $\frac{3}{4}$ пиццы
Чтобы найти массу $\frac{3}{4}$ пиццы, нужно умножить массу одной пиццы на дробь $\frac{3}{4}$.
$400 \text{ г} \times \frac{3}{4} = 3 \times \frac{400}{4} \text{ г} = 3 \times 100 \text{ г} = 300 \text{ г}$.
Ответ: 300 г.

Масса 0,4 пиццы
Чтобы найти массу 0,4 пиццы, умножим массу одной пиццы на десятичную дробь 0,4.
$400 \text{ г} \times 0,4 = 160 \text{ г}$.
Ответ: 160 г.

Масса 1,25 пиццы
Чтобы найти массу 1,25 пиццы, необходимо умножить массу одной пиццы на 1,25.
$400 \text{ г} \times 1,25 = 400 \text{ г} \times (1 + 0,25) = 400 \text{ г} \times 1 + 400 \text{ г} \times 0,25 = 400 \text{ г} + 100 \text{ г} = 500 \text{ г}$.
Ответ: 500 г.

6.207 Какие цифры заменены прямоугольниками?

a) $\begin{array}{r}\times 564\\ 31\\ 564\\ + 1692\phantom{0}\\ 17484\end{array}$

б) $\begin{array}{r}\times 416\\ 405\\ 2080\\ 1664\phantom{0}\\ 168480\end{array}$ Опечатка

N6.208

a) Ответ: б), в)

б) Ответ: а), в)

а)

В данном примере выполняется умножение трехзначного числа `5¦4` на двузначное число `3¦`.

Обозначим неизвестные цифры переменными. Пусть первый множитель равен $5A4$, а второй – $3B$.

При умножении в столбик сначала $5A4$ умножается на цифру единиц второго множителя, то есть на $B$. Результатом является первое неполное произведение, которое в задании выглядит как `¦64`. $$ 5A4 \times B = ¦64 $$ Последняя цифра этого произведения равна 4. Она получается умножением последней цифры первого множителя (4) на $B$. Значит, произведение $4 \times B$ должно оканчиваться на 4. Перебирая варианты для $B$ от 0 до 9, находим, что это возможно, если $B=1$ ($4 \times 1 = 4$) или $B=6$ ($4 \times 6 = 24$).

Рассмотрим оба случая:

1. Если $B=6$, то первое неполное произведение будет $5A4 \times 6$. Самое меньшее значение этого произведения будет при $A=0$: $504 \times 6 = 3024$. Это четырехзначное число. Однако в условии первое неполное произведение `¦64` — трехзначное. Следовательно, вариант $B=6$ не подходит.
2. Если $B=1$, то первое неполное произведение равно $5A4 \times 1 = 5A4$. По условию это произведение равно `¦64`. Сравнивая $5A4$ и `¦64`, мы видим, что цифра десятков $A$ должна быть равна 6, а первая цифра произведения равна 5.

Таким образом, мы определили, что первый множитель — это 564, а второй — 31. Проверим, выполнив умножение полностью:

Первое неполное произведение: $564 \times 1 = 564$. Это соответствует `¦64` (первая цифра 5).

Второе неполное произведение: $564 \times 3 = 1692$. Это соответствует `¦¦¦¦`.

Сложим неполные произведения для получения окончательного ответа:

 564? 31------ 564+1692------ 17484

Все сходится с шаблоном в задании. Замененные цифры найдены.

Ответ: Исходный пример выглядит так:

 564? 31------ 564 1692------ 17484

б)

В этом примере трехзначное число 416 умножается на другое трехзначное число `¦¦¦`.

Обозначим неизвестный множитель как $XYZ$.

Первое неполное произведение равно $416 \times Z = ¦¦80$. Произведение оканчивается на 0. Это возможно, если произведение $6 \times Z$ оканчивается на 0. Следовательно, $Z=5$ (так как $Z=0$ дало бы результат 0, а не `¦¦80`). Проверяем: $416 \times 5 = 2080$. Это четырехзначное число, соответствующее шаблону `¦¦80`.

Второе неполное произведение равно $416 \times Y = ¦64$. В условии оно представлено как трехзначное число. Найдем, при каких $Y$ произведение $6 \times Y$ оканчивается на 4. Это возможно при $Y=4$ ($6 \times 4 = 24$) или $Y=9$ ($6 \times 9 = 54$). Рассчитаем произведения: $416 \times 4 = 1664$ $416 \times 9 = 3744$ Оба результата — четырехзначные числа. Однако в условии второе неполное произведение `¦64` — трехзначное. Это указывает на ошибку в условии задачи, так как произведение 416 на любую ненулевую цифру не может быть трехзначным числом (минимальное $416 \times 1 = 416$, которое не оканчивается на 4).

Предположим, что в условии допущена опечатка, и неполные произведения `¦64` на самом деле должны быть четырехзначными: `¦¦64`. С этим предположением продолжим решение.

Нам нужно, чтобы $416 \times Y$ было числом вида `¦¦64`.

• При $Y=4$, произведение равно $1664$. Цифра в разряде десятков равна 6, что совпадает с шаблоном `¦¦64`.
• При $Y=9$, произведение равно $3744$. Цифра в разряде десятков равна 4, что не совпадает с шаблоном `¦¦64`.

Следовательно, единственно возможный вариант — это $Y=4$.

Третье неполное произведение $416 \times X$ также имеет вид `¦64`. Повторяя те же рассуждения, приходим к выводу, что $X=4$.

Таким образом, неизвестный множитель — это 445. Выполним полную проверку умножения $416 \times 445$:

 416? 445------ 2080 (416 ? 5) 1664 (416 ? 4)+1664 (416 ? 4)------ 185120

Полученный результат — шестизначное число, что соответствует шаблону `¦¦¦¦¦¦`. Решение, основанное на исправлении опечатки, является последовательным.

Ответ: В условии, вероятно, допущена опечатка. Исправленный и решенный пример выглядит так:

 416? 445------ 2080 16641664------ 185120

6.208 а) Найдите на рисунке 6.20 развёртки прямоугольного параллелепипеда.

б) Найдите на рисунке 6.21 развёртки куба.

а)

Развёртка прямоугольного параллелепипеда — это плоская фигура, состоящая из шести прямоугольников (граней), которую можно сложить, чтобы получить объёмный параллелепипед. У прямоугольного параллелепипеда противолежащие грани равны, поэтому в развёртке должно быть три пары одинаковых прямоугольников. Куб является частным случаем прямоугольного параллелепипеда, у которого все шесть граней — равные квадраты.

Рассмотрим фигуры на рисунке 6.20:

• Фигура а (фиолетовая): Состоит из шести одинаковых квадратов. Такая фигура могла бы быть развёрткой куба. Однако при мысленном складывании этой фигуры две боковые грани наложатся друг на друга, в то время как одна из сторон останется открытой. Следовательно, фигура а не является развёрткой.

• Фигура б (жёлтая): Эта фигура имеет сложную форму. Если попытаться разбить её на 6 прямоугольных граней, необходимых для построения параллелепипеда, то не удаётся найти подходящий набор граней, которые бы при складывании образовывали замкнутую фигуру. Например, если предположить, что она является развёрткой параллелепипеда с размерами $1 \times 2 \times 2$, чья площадь поверхности равна 16 клеткам (как и у фигуры), то её невозможно правильно сложить. Таким образом, фигура б не является развёрткой прямоугольного параллелепипеда в представленном виде.

• Фигура в (красная): Состоит из шести одинаковых квадратов, расположенных в форме креста. Это одна из классических развёрток куба. Если выбрать центральный квадрат за основание, то четыре соседних квадрата при сгибании образуют боковые стенки, а оставшийся квадрат становится верхней гранью. Фигура правильно складывается в куб. Так как куб — это прямоугольный параллелепипед, то фигура в является искомой развёрткой.

Ответ: в.

б)

Развёртка куба — это плоская фигура (гексомино), состоящая из шести одинаковых квадратов, которую можно сложить в куб. Необходимо проверить, можно ли из предложенных фигур сложить куб без наложений и пустых граней.

Рассмотрим фигуры на рисунке 6.21:

• Фигура а (зелёная): При попытке сложить эту фигуру в куб происходит наложение двух граней, в то время как одна грань остаётся незакрытой. Следовательно, фигура а не является развёрткой куба.

• Фигура б (оранжевая): Эта фигура является развёрткой куба. Можно мысленно её сложить. Например, если взять за основание второй квадрат в вертикальном ряду из четырёх квадратов, то нижние два квадрата станут передней и нижней гранями, а верхний квадрат — задней гранью. Два квадрата, примыкающие сбоку к задней грани, станут левой и правой боковыми гранями. Таким образом, фигура б складывается в куб.

• Фигура в (голубая): Эта фигура, как и фигура в из предыдущего задания, представляет собой классическую крестообразную развёртку куба и, следовательно, является правильным ответом.

Ответ: б, в.

1 Выполните умножение:

а) 0,32 • 4;

б) 12,01 • 15;

в) 3,152 • 41;

г) 1,002 • 52;

д) 40,201 • 20.

а) 0,32 · 4

Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, мы сначала умножаем их, не обращая внимания на запятую. Затем в полученном произведении отделяем запятой столько цифр справа, сколько их было в десятичной дроби.

1. Умножим целые числа: $32 \cdot 4 = 128$.

2. В десятичной дроби $0,32$ две цифры после запятой. Поэтому в результате $128$ нужно отделить две цифры справа, поставив запятую. Получаем $1,28$.

Ответ: $1,28$

б) 12,01 · 15

1. Умножаем числа $1201$ и $15$, игнорируя запятую:

$1201 \cdot 15 = 1201 \cdot (10 + 5) = 12010 + 6005 = 18015$.

2. В дроби $12,01$ две цифры после запятой. Отделяем две цифры справа в числе $18015$.

Получаем $180,15$.

Ответ: $180,15$

в) 3,152 · 41

1. Умножаем числа $3152$ и $41$:

$3152 \cdot 41 = 3152 \cdot (40 + 1) = 126080 + 3152 = 129232$.

2. В дроби $3,152$ три цифры после запятой. Отделяем три цифры справа в числе $129232$.

Получаем $129,232$.

Ответ: $129,232$

г) 1,002 · 52

1. Умножаем числа $1002$ и $52$:

$1002 \cdot 52 = 1002 \cdot (50 + 2) = 50100 + 2004 = 52104$.

2. В дроби $1,002$ три цифры после запятой. Отделяем три цифры справа в числе $52104$.

Получаем $52,104$.

Ответ: $52,104$

д) 40,201 · 20

1. Умножаем числа $40201$ и $20$:

$40201 \cdot 20 = 804020$.

2. В дроби $40,201$ три цифры после запятой. Отделяем три цифры справа в числе $804020$.

Получаем $804,020$. Конечный ноль в дробной части можно отбросить.

Результат: $804,02$.

Ответ: $804,02$

2 Вычислите:

а) 53,31 • 10;

б) 54,289 • 100;

в) 2,01011 • 10 • 10;

г) 0,0065 • 10 • 100.

а) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, нужно перенести запятую в этой дроби на один знак вправо.
$53,31 \cdot 10 = 533,1$
Ответ: 533,1

б) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, нужно перенести запятую в этой дроби на два знака вправо.
$54,289 \cdot 100 = 5428,9$
Ответ: 5428,9

в) Сначала упростим выражение: $10 \cdot 10 = 100$. Теперь нужно умножить исходное число на 100. Для этого перенесем запятую на два знака вправо.
$2,01011 \cdot 10 \cdot 10 = 2,01011 \cdot 100 = 201,011$
Ответ: 201,011

г) Сначала упростим выражение: $10 \cdot 100 = 1000$. Теперь нужно умножить исходное число на 1000. Для этого перенесем запятую на три знака вправо.
$0,0065 \cdot 10 \cdot 100 = 0,0065 \cdot 1000 = 6,5$
Ответ: 6,5

3 Запишите числа, большие данных:

а) 10; 345; 0,21; 1,012; 524,54 в 100 раз;

б) 2,432; 0,3; 12,765; 345,062 в 1000 раз.

а) Чтобы найти числа, которые в 100 раз больше данных, необходимо каждое из чисел умножить на 100. Правило умножения десятичной дроби на 100 гласит, что нужно перенести запятую вправо на два знака. Если знаков после запятой не хватает, справа дописываются нули.

• Для числа 10: $10 \cdot 100 = 1000$

• Для числа 345: $345 \cdot 100 = 34500$

• Для числа 0,21: $0,21 \cdot 100 = 21$

• Для числа 1,012: $1,012 \cdot 100 = 101,2$

• Для числа 524,54: $524,54 \cdot 100 = 52454$

Ответ: 1000; 34500; 21; 101,2; 52454.

б) Чтобы найти числа, которые в 1000 раз больше данных, необходимо каждое из чисел умножить на 1000. Правило умножения десятичной дроби на 1000 гласит, что нужно перенести запятую вправо на три знака. Если знаков после запятой не хватает, справа дописываются нули.

• Для числа 2,432: $2,432 \cdot 1000 = 2432$

• Для числа 0,3: $0,3 \cdot 1000 = 300$

• Для числа 12,765: $12,765 \cdot 1000 = 12765$

• Для числа 345,062: $345,062 \cdot 1000 = 345062$

Ответ: 2432; 300; 12765; 345062.

4 Найдите, сколько:

а) метров в 3,2 км; 0,432 км; 73,018 км;

б) минут в 0,5 ч; 1,5 ч; 3,4 ч.

а) Чтобы перевести километры (км) в метры (м), нужно знать, что в одном километре содержится 1000 метров. Таким образом, для перевода необходимо умножить количество километров на 1000.

Выполним преобразование для каждого значения:

Для 3,2 км: $3,2 \text{ км} = 3,2 \times 1000 \text{ м} = 3200 \text{ м}$.

Для 0,432 км: $0,432 \text{ км} = 0,432 \times 1000 \text{ м} = 432 \text{ м}$.

Для 73,018 км: $73,018 \text{ км} = 73,018 \times 1000 \text{ м} = 73018 \text{ м}$.

Ответ: 3200 м; 432 м; 73018 м.

б) Чтобы перевести часы (ч) в минуты (мин), нужно знать, что в одном часе содержится 60 минут. Таким образом, для перевода необходимо умножить количество часов на 60.

Выполним преобразование для каждого значения:

Для 0,5 ч: $0,5 \text{ ч} = 0,5 \times 60 \text{ мин} = 30 \text{ мин}$.

Для 1,5 ч: $1,5 \text{ ч} = 1,5 \times 60 \text{ мин} = 90 \text{ мин}$.

Для 3,4 ч: $3,4 \text{ ч} = 3,4 \times 60 \text{ мин} = 204 \text{ мин}$.

Ответ: 30 мин; 90 мин; 204 мин.