Страница 126, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.383 Напишите два числа:

а) содержащих только цифру 2, которые делятся на 3;

б) содержащих только цифру 6, которые делятся на 9.

a) 222; 222222;

б) 666; 666666.

а) Для того чтобы число делилось на 3, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 3. Мы ищем числа, состоящие только из цифры 2. Пусть такое число состоит из $n$ цифр. Тогда сумма его цифр будет равна $2 \times n$. Эта сумма должна быть кратна 3. Поскольку 2 и 3 — взаимно простые числа, $n$ должно быть кратно 3. То есть, количество двоек в числе должно делиться на 3.

Возьмем два простейших случая, когда количество цифр $n$ кратно 3:

1. Пусть $n=3$. Число будет 222. Сумма его цифр равна $2 + 2 + 2 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и число 222 делится на 3. Проверка: $222 \div 3 = 74$.

2. Пусть $n=6$. Число будет 222222. Сумма его цифр равна $2 \times 6 = 12$. Так как 12 делится на 3, то и число 222222 делится на 3. Проверка: $222222 \div 3 = 74074$.

Ответ: 222, 222222.

б) Для того чтобы число делилось на 9, необходимо, чтобы сумма его цифр делилась на 9. Мы ищем числа, состоящие только из цифры 6. Пусть такое число состоит из $m$ цифр. Тогда сумма его цифр будет равна $6 \times m$. Эта сумма должна быть кратна 9.

Запишем условие делимости: $(6 \times m) \div 9$. Разложим на множители: $(2 \times 3 \times m) \div (3 \times 3)$. Для того чтобы выражение делилось на 9, необходимо, чтобы $m$ было кратно 3. То есть, количество шестерок в числе должно делиться на 3.

Возьмем два простейших случая, когда количество цифр $m$ кратно 3:

1. Пусть $m=3$. Число будет 666. Сумма его цифр равна $6 + 6 + 6 = 18$. Так как 18 делится на 9, то и число 666 делится на 9. Проверка: $666 \div 9 = 74$.

2. Пусть $m=9$. Число будет 666666666. Сумма его цифр равна $6 \times 9 = 54$. Так как 54 делится на 9, то и число 666666666 делится на 9. Проверка: $666666666 \div 9 = 74074074$.

Ответ: 666, 666666666.

3.384 Всегда ли верно:

а) любое число, у которого 3 единицы в разряде единиц, делится на 3;

б) если число делится на 3, то оно делится и на 9?

а) неверно, например, 553 не делится на 3;

б) неверно, например, 21 делится на 3, но не делится на 9.

а)

Это утверждение неверно.

Для проверки делимости числа на 3 используется признак делимости на 3: число делится на 3 без остатка в том и только в том случае, если сумма его цифр делится на 3.

То, что последняя цифра числа (цифра в разряде единиц) равна 3, не гарантирует, что сумма всех его цифр будет кратна 3. Чтобы доказать, что утверждение неверно, достаточно привести хотя бы один контрпример.

Рассмотрим число 13.
Последняя цифра этого числа — 3.
Найдем сумму его цифр: $1 + 3 = 4$.
Число 4 не делится на 3 нацело, следовательно, и число 13 не делится на 3.
$13 \div 3 = 4$ (остаток 1).

Ответ: нет, неверно.

б)

Это утверждение неверно.

Признак делимости на 9 гласит: число делится на 9 без остатка тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Если число делится на 3, это означает, что сумма его цифр делится на 3. Но это не означает, что сумма его цифр обязательно будет делиться и на 9. Приведем контрпример.

Рассмотрим число 6.
Число 6 делится на 3: $6 \div 3 = 2$.
Однако число 6 не делится на 9.

Другой пример: число 15.
Оно делится на 3, так как сумма его цифр $1 + 5 = 6$ делится на 3.
Но 15 не делится на 9, так как сумма его цифр (6) не делится на 9.

Ответ: нет, неверно.

3.385 Можно ли разделить на три одинаковые команды: 37 ребят; 76 ребят; 36 ребят?

Число 37 не делится на 3; 76 не делится на 3; 36 делится на 3.

Значит, 37 и 76 ребят разрешить не три одинаковые команды нельзя, а 36 ребят можно разделить на три одинаковые команды.

37 ребят
Чтобы разделить 37 ребят на 3 одинаковые команды, необходимо, чтобы общее количество ребят делилось на 3 без остатка. Проверим, делится ли число 37 на 3. Для этого можно использовать признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.
Сумма цифр числа 37 равна $3 + 7 = 10$.
Число 10 не делится на 3 нацело, следовательно, и 37 не делится на 3. Если выполнить деление с остатком, получим: $37 \div 3 = 12$ (остаток 1). Это означает, что можно сформировать 3 команды по 12 человек, но 1 человек останется без команды. Таким образом, создать три одинаковые команды невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

76 ребят
Аналогично проверим, можно ли разделить 76 ребят на 3 одинаковые команды. Для этого число 76 должно делиться на 3 без остатка.
Проверим по признаку делимости на 3. Сумма цифр числа 76 равна $7 + 6 = 13$.
Число 13 не делится на 3 нацело, значит, и 76 не делится на 3. Деление с остатком дает: $76 \div 3 = 25$ (остаток 1). Это означает, что при попытке разделения на 3 команды в каждой будет по 25 человек, и 1 человек останется лишним. Следовательно, создать три одинаковые команды невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

36 ребят
Рассмотрим возможность разделения 36 ребят на 3 одинаковые команды. Проверим, делится ли число 36 на 3 без остатка.
Сумма цифр числа 36 равна $3 + 6 = 9$.
Число 9 делится на 3 нацело ($9 \div 3 = 3$), поэтому и число 36 делится на 3. Найдем, сколько человек будет в каждой команде, выполнив деление: $36 \div 3 = 12$.
Таким образом, можно сформировать 3 одинаковые команды по 12 человек в каждой.
Ответ: да, можно.

3.386 Для экскурсии заказано 9 автобусов. Можно ли разделить 267 экскурсантов; 369 экскурсантов так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое количество человек?

Число 267 не делится на 9, так как $2 + 6 + 7 = 15$ не делится на 9.

Число 369 делится на 9, так как $3 + 6 + 9 = 18$ делится на 9.

Значит, 267 экскурсантов нельзя разделить так, чтобы в каждом из 9 автобусов было одинаковое количество человек, а 369 экскурсантов можно разделить так, чтобы в каждом автобусе было одинаковое количество человек.

Для того чтобы разделить экскурсантов на 9 автобусов так, чтобы в каждом было одинаковое количество человек, необходимо, чтобы общее число экскурсантов делилось на 9 без остатка. Проверим это для каждого случая, используя признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

267 экскурсантов

Проверим, делится ли число 267 на 9. Найдем сумму его цифр: $2 + 6 + 7 = 15$ Поскольку 15 не делится на 9 нацело ($15 \div 9 = 1$ с остатком 6), то и число 267 не делится на 9. Таким образом, разделить 267 экскурсантов на 9 автобусов поровну нельзя.

Ответ: нет.

369 экскурсантов

Проверим, делится ли число 369 на 9. Найдем сумму его цифр: $3 + 6 + 9 = 18$ Поскольку 18 делится на 9 нацело ($18 \div 9 = 2$), то и число 369 делится на 9. Выполним деление, чтобы найти количество человек в каждом автобусе: $369 \div 9 = 41$ Таким образом, разделить 369 экскурсантов на 9 автобусов поровну можно. В каждом автобусе будет по 41 человеку.

Ответ: да.

3.387 Из 100 кг золота выплавили 9 одинаковых слитков. Могло ли остаться: 750 г золота; 270 г золота?

100 кг = 100000 г

1) $100000 - 750 = 99250 \left(\mathrm{г}\right)$ использовали, чтобы выплавить 9 одинаковых слитков.

99 250 на 9 не делится, так как $9 + 9 + 2 + 5 + 0 = 25$  не делится на 9. Значит, 750 г золота остаться не могло.

2) $\mathrm{100\; 000} - 270 = \mathrm{99\; 730} \left(\mathrm{г}\right)$ - использовали, чтобы выплавить 9 одинаковых слитков.

99 730 на 9 не делится, так как $9 + 9 + 7 + 3 + 0 = 28$ не делится на 9. Значит, 270 г золота остаться не могло.

Для решения этой задачи необходимо использовать признак делимости на 9. Поскольку из золота выплавили 9 одинаковых слитков, общая масса золота, пошедшая на их изготовление, должна делиться на 9 без остатка. Сначала переведем общую массу золота в граммы, чтобы все единицы были одинаковыми.

Общая масса золота: $100 \text{ кг} = 100 \times 1000 \text{ г} = 100000 \text{ г}$.

Предположим, что после выплавки слитков осталось 750 г золота. Тогда масса золота, которая пошла на изготовление 9 слитков, составляет:

$100000 \text{ г} - 750 \text{ г} = 99250 \text{ г}$.

Теперь проверим, делится ли число 99250 на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Сумма цифр числа 99250:

$9 + 9 + 2 + 5 + 0 = 25$.

Число 25 не делится на 9 нацело ($25 \div 9 = 2$ с остатком 7). Следовательно, 99250 г золота нельзя разделить на 9 одинаковых слитков. Значит, остаться 750 г золота не могло.

Ответ: нет, не могло.

Предположим, что после выплавки слитков осталось 270 г золота. Тогда масса золота, которая пошла на изготовление 9 слитков, составляет:

$100000 \text{ г} - 270 \text{ г} = 99730 \text{ г}$.

Проверим, делится ли число 99730 на 9, найдя сумму его цифр:

$9 + 9 + 7 + 3 + 0 = 28$.

Число 28 не делится на 9 нацело ($28 \div 9 = 3$ с остатком 1). Следовательно, 99730 г золота также нельзя разделить на 9 одинаковых слитков. Значит, остаться 270 г золота тоже не могло.

Ответ: нет, не могло.

3.388 Какую цифру можно записать вместо знака вопроса, чтобы полученное число делилось на 9:

а) 111 ?22 145;

б) ?73 104 560;

в) 478 92? 324;

г) 39 708 36??

а) 111 122 145 делится на 9, таккак $1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 4 + 5 = 18$ делится на 9.

б) 173 104 560 делится на 9, таккак $1 + 7 + 3 + 1 + 0 + 4 + 5 + 6 + 0 = 27$ делится на 9.

в) 478 926 324 делится на 9, таккак $4 + 7 + 8 + 9 + 2 + 6 + 3 + 2 + 4 = 45$ делится на 9.

г) 39 708 360 или 39 708 369 делятся на 9, так как $3 + 9 + 7 + 0 + 8 + 3 + 6 + 0 = 36$ делится на 9 или$3 + 9 + 7 + 0 + 8 + 3 + 6 + 9 = 45$ делится на 9.

Ответ: а) 1; б) 1; в) 6; г) 0 или 9.

Для того чтобы число делилось на 9 без остатка, необходимо и достаточно, чтобы сумма всех его цифр делилась на 9. Мы будем использовать это правило для нахождения неизвестной цифры в каждом из предложенных чисел.

а) Рассмотрим число 111 ? 22 145. Обозначим неизвестную цифру через $x$. Найдем сумму известных цифр: $1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 1 + 4 + 5 = 17$. Сумма всех цифр числа равна $17 + x$. Эта сумма должна быть кратна 9. Ближайшее к 17 число, которое делится на 9, — это 18. Из уравнения $17 + x = 18$ находим $x = 1$. Следующее кратное 9 число (27) потребовало бы $x = 10$, что не является цифрой. Таким образом, единственная подходящая цифра — 1.
Ответ: 1

б) Рассмотрим число ? 78 104 560. Обозначим неизвестную цифру через $x$. Сумма известных цифр: $7 + 8 + 1 + 0 + 4 + 5 + 6 + 0 = 31$. Сумма всех цифр — $31 + x$. Эта сумма должна быть кратна 9. Ближайшее к 31 число, которое делится на 9, — это 36. Из уравнения $31 + x = 36$ находим $x = 5$. Эта цифра может стоять в начале числа. Следующее кратное 9 число (45) потребовало бы $x = 14$, что не является цифрой. Таким образом, единственная подходящая цифра — 5.
Ответ: 5

в) Рассмотрим число 478 92? 824. Обозначим неизвестную цифру через $x$. Сумма известных цифр: $4 + 7 + 8 + 9 + 2 + 8 + 2 + 4 = 44$. Сумма всех цифр равна $44 + x$. Эта сумма должна быть кратна 9. Ближайшее к 44 число, кратное 9, — это 45. Из уравнения $44 + x = 45$ находим $x = 1$. Следующее кратное 9 число (54) потребовало бы $x = 10$, что не является цифрой. Таким образом, единственная подходящая цифра — 1.
Ответ: 1

г) Рассмотрим число 39 708 36?. Обозначим неизвестную цифру через $x$. Сумма известных цифр: $3 + 9 + 7 + 0 + 8 + 3 + 6 = 36$. Сумма всех цифр равна $36 + x$. Эта сумма должна быть кратна 9. Так как 36 уже делится на 9, то из свойств делимости следует, что $x$ также должен быть кратен 9, чтобы сумма $36+x$ делилась на 9. Среди цифр от 0 до 9, кратными 9 являются 0 и 9. Обе цифры подходят.
Ответ: 0 или 9

3.389 Выпишите все натуральные числа, меньшие 100, которые делятся на 6. Проверьте, делятся ли эти числа на 2; на 3. Сформулируйте признак делимости на 6.

Делится на 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96.

Все эти числа делятся на 2, так как оканчиваются чётной цифрой.

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Проверим сумму цифр каждого из них.

6 делится на 3

12: $1 + 2 = 3$ делится на 3

18: $1 + 8 = 9$ делится на 3

24: $2 + 4 = 6$ делится на 3

30: $3 + 0 = 3$ делится на 3

36: $3 + 6 = 9$ делится на 3

42: $4 + 2 = 6$ делится на 3

48: $4 + 8 = 12$ делится на 3

54: $5 + 4 = 9$ делится на 3

60: $6 + 0 = 6$ делится на 3

66: $6 + 6 = 12$ делится на 3

72: $7 + 2 = 9$ делится на 3

78: $7 + 8 = 15$ делится на 3

84: $8 + 4 = 12$ делится на 3

90: $9 + 0 = 9$ делится на 3

96: $9 + 6 = 15$ делится на 3

Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 одновременно.

Выпишите все натуральные числа, меньшие 100, которые делятся на 6.

Чтобы найти все натуральные числа, меньшие 100, которые делятся на 6, необходимо найти все произведения числа 6 на натуральные числа $k = 1, 2, 3, \dots$, при условии, что результат будет меньше 100.

Это означает, что мы ищем числа вида $6 \cdot k$, где $k$ — натуральное число и выполняется неравенство $6 \cdot k < 100$.

Для нахождения максимального значения $k$ решим неравенство: $k < 100/6$, что составляет примерно $16.67$. Следовательно, $k$ может принимать целые значения от 1 до 16.

Перечислим все такие числа:

• $6 \cdot 1 = 6$
• $6 \cdot 2 = 12$
• $6 \cdot 3 = 18$
• $6 \cdot 4 = 24$
• $6 \cdot 5 = 30$
• $6 \cdot 6 = 36$
• $6 \cdot 7 = 42$
• $6 \cdot 8 = 48$
• $6 \cdot 9 = 54$
• $6 \cdot 10 = 60$
• $6 \cdot 11 = 66$
• $6 \cdot 12 = 72$
• $6 \cdot 13 = 78$
• $6 \cdot 14 = 84$
• $6 \cdot 15 = 90$
• $6 \cdot 16 = 96$

Ответ: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96.

Проверьте, делятся ли эти числа на 2; на 3.

Проверка делимости на 2:
Согласно признаку делимости на 2, число делится на 2, если оно является четным, то есть его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Все числа в списке (6, 12, 18, ..., 96) являются четными, так как их последняя цифра соответствует этому правилу. Следовательно, все эти числа делятся на 2. Это также следует из того, что $6 = 2 \cdot 3$, поэтому любое число, кратное 6, также кратно 2.

Проверка делимости на 3:
Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Проверим все числа из списка:

• 6: сумма цифр 6 (делится на 3).
• 12: $1+2=3$ (делится на 3).
• 18: $1+8=9$ (делится на 3).
• 24: $2+4=6$ (делится на 3).
• 30: $3+0=3$ (делится на 3).
• 36: $3+6=9$ (делится на 3).
• 42: $4+2=6$ (делится на 3).
• 48: $4+8=12$ (делится на 3).
• 54: $5+4=9$ (делится на 3).
• 60: $6+0=6$ (делится на 3).
• 66: $6+6=12$ (делится на 3).
• 72: $7+2=9$ (делится на 3).
• 78: $7+8=15$ (делится на 3).
• 84: $8+4=12$ (делится на 3).
• 90: $9+0=9$ (делится на 3).
• 96: $9+6=15$ (делится на 3).

Сумма цифр каждого числа в списке делится на 3, значит, все эти числа делятся на 3. Это также следует из того, что $6 = 3 \cdot 2$, поэтому любое число, кратное 6, также кратно 3.

Ответ: Да, все эти числа делятся и на 2, и на 3.

Сформулируйте признак делимости на 6.

На основе предыдущей проверки можно сделать вывод. Мы установили, что любое число, делящееся на 6, также делится и на 2, и на 3. Это связано с тем, что число 6 можно разложить на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$. Числа 2 и 3 являются взаимно простыми (их единственный общий положительный делитель — это 1).

Общее правило гласит: если число делится на два взаимно простых числа, то оно делится и на их произведение. Следовательно, для того чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3.

Объединив признаки делимости на 2 (число должно быть четным) и на 3 (сумма цифр числа должна делиться на 3), мы можем сформулировать признак делимости на 6.

Ответ: Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 2 и на 3. Другими словами, число должно быть четным, а сумма его цифр должна быть кратна 3.

3.390 а) Какое наименьшее натуральное число, записанное только с помощью цифры 2, делится на 6?

б) Существует ли натуральное число, записанное только с помощью цифры 3, которое делится на 6? Ответ обоснуйте.

а) 222 - наименьшее натуральное число, записанное только с помощью цифры 2, делится на 6, так как оно делится на 2 (оканчивается цифрой 2) и на 3 (сумма цифр $2 + 2 + 2 = 6$ делится на 3).

б) Число, которое делится на 6, делится на 2 и на 3, то есть является чётным (признак делимости на 2). Натуральное число, записанное только с помощью цифры 3, нечётное, так как оканчивается цифрой 3. Значит, натурального числа, записанного только с помощью цифры 3, которое делится на 6, не существует.

а) Чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3. Это следует из разложения $6 = 2 \times 3$.

1. Признак делимости на 2: число должно быть четным, то есть оканчиваться на четную цифру. Все числа, записанные только с помощью цифры 2 (например, 2, 22, 222 и т.д.), оканчиваются на 2, поэтому они все четные и делятся на 2.

2. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Будем перебирать числа, состоящие из двоек, в порядке возрастания и проверять сумму их цифр:

• Число 2: сумма цифр равна 2. 2 не делится на 3.
• Число 22: сумма цифр равна $2+2=4$. 4 не делится на 3.
• Число 222: сумма цифр равна $2+2+2=6$. 6 делится на 3.

Таким образом, число 222 является наименьшим числом, записанным только с помощью цифр 2, которое делится и на 2, и на 3. Следовательно, оно делится на 6. Проверим: $222 \div 6 = 37$.

Ответ: 222

б) Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и на 3.

Рассмотрим натуральное число, записанное только с помощью цифры 3 (например, 3, 33, 333 и т.д.).

Проверим делимость на 2. Число делится на 2, если оно четное. Любое число, состоящее только из цифр 3, будет оканчиваться на 3. Так как 3 — нечетная цифра, то и само число будет нечетным.

Поскольку ни одно из таких чисел не является четным, ни одно из них не может делиться на 2. А если число не делится на 2, оно не может делиться и на 6.

Ответ: Нет, не существует. Обоснование: любое натуральное число, записанное только с помощью цифры 3, является нечетным, а чтобы число делилось на 6, оно должно быть четным.

3.391 Какие цифры можно записать вместо знака вопроса, чтобы полученное число делилось на 6:

а) 407 932 27?;

б) 44 59? 116;

в) ?27 864 112;

г) 9? 573 248?

Чтобы полученные числа делились на 6, нужно, чтобы они были чётными (признак делимости на 2) и делились на 3.

а) 407 932 272 или 407 932 278, так как $4+ 0 + 7 + 9 + 3 + 2 + 2 + 7 + ? = 34 + ?$

$$\begin{gathered} 34+ ? = 36 \\ ? = 36 - 34 \\ ? = 2 \end{gathered}$$

или

$$\begin{gathered} 34+ ? = 42 \\ ? = 42- 34 \\ ? = 8 \end{gathered}$$

Ответ: 2 или 8.

б) 44 590 116; 44 593 116; 44 596 116; 44 599 116, так как $4+4+5+9+?+1+1+6=30+?$

$30 + 0= 30$ делится на 3

$30 + 3= 33$ делится на 3

$30 + 6= 36$ делится на 3

$30 + 9= 39$ делится на 3

Ответ: 0; 3; 6 и 9.

в) 227 864 112; 527 864 112;827 864 112, так как $?+2+7+8+6+4+1+1+2=?+31$

$31 + 2= 33$ делится на 3

$31 + 5= 36$ делится на 3

$31 + 8= 39$ делится на 3

Ответ: 2; 5 и 8.

г) 911 573 248; 941 573 248; 971 573 248, так как $9+?+5+7+3+2+4+8=38+?$

$38 + 1= 39$ делится на 3

$38 + 4= 42$ делится на 3

$38 + 7= 45$ делится на 3

Ответ: 1; 4 и 7.

Для того чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3. Вспомним признаки делимости:

• Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8).
• Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Применим эти правила для каждого случая.

а) 407 932 27?

Пусть неизвестная цифра — это $x$. Число имеет вид $40793227x$.

1. Проверка делимости на 2.
Последняя цифра числа — $x$. Чтобы число делилось на 2, $x$ должна быть четной цифрой.
Возможные значения для $x$: {0, 2, 4, 6, 8}.

2. Проверка делимости на 3.
Найдем сумму известных цифр числа:
$4 + 0 + 7 + 9 + 3 + 2 + 2 + 7 = 34$.
Сумма всех цифр числа равна $34 + x$. Эта сумма должна делиться на 3. Проверим наши возможные значения $x$:

• Если $x = 0$, сумма $34 + 0 = 34$. 34 не делится на 3.
• Если $x = 2$, сумма $34 + 2 = 36$. 36 делится на 3 ($36 \div 3 = 12$). Подходит.
• Если $x = 4$, сумма $34 + 4 = 38$. 38 не делится на 3.
• Если $x = 6$, сумма $34 + 6 = 40$. 40 не делится на 3.
• Если $x = 8$, сумма $34 + 8 = 42$. 42 делится на 3 ($42 \div 3 = 14$). Подходит.

Таким образом, вместо знака вопроса можно записать цифры 2 или 8.
Ответ: 2, 8.

б) 44 59?116

Пусть неизвестная цифра — это $x$. Число имеет вид $4459x116$.

1. Проверка делимости на 2.
Последняя цифра числа — 6. Это четная цифра, значит, число делится на 2 при любом значении $x$.

2. Проверка делимости на 3.
Найдем сумму известных цифр числа:
$4 + 4 + 5 + 9 + 1 + 1 + 6 = 30$.
Сумма всех цифр числа равна $30 + x$. Эта сумма должна делиться на 3. Так как 30 уже делится на 3, то и $x$ должна быть цифрой, которая делится на 3.
Возможные значения для $x$: {0, 3, 6, 9}.

• Если $x = 0$, сумма $30 + 0 = 30$. 30 делится на 3. Подходит.
• Если $x = 3$, сумма $30 + 3 = 33$. 33 делится на 3. Подходит.
• Если $x = 6$, сумма $30 + 6 = 36$. 36 делится на 3. Подходит.
• Если $x = 9$, сумма $30 + 9 = 39$. 39 делится на 3. Подходит.

Таким образом, вместо знака вопроса можно записать цифры 0, 3, 6 или 9.
Ответ: 0, 3, 6, 9.

в) ?27 864 112

Пусть неизвестная цифра — это $x$. Число имеет вид $x27864112$. Так как $x$ — первая цифра числа, она не может быть равна 0.

1. Проверка делимости на 2.
Последняя цифра числа — 2. Это четная цифра, значит, число делится на 2 при любом значении $x$.

2. Проверка делимости на 3.
Найдем сумму известных цифр числа:
$2 + 7 + 8 + 6 + 4 + 1 + 1 + 2 = 31$.
Сумма всех цифр числа равна $31 + x$. Эта сумма должна делиться на 3. Проверим возможные значения $x$ от 1 до 9:

• Если $x = 1$, сумма $31 + 1 = 32$. 32 не делится на 3.
• Если $x = 2$, сумма $31 + 2 = 33$. 33 делится на 3. Подходит.
• Если $x = 3$, сумма $31 + 3 = 34$. 34 не делится на 3.
• Если $x = 4$, сумма $31 + 4 = 35$. 35 не делится на 3.
• Если $x = 5$, сумма $31 + 5 = 36$. 36 делится на 3. Подходит.
• Если $x = 6$, сумма $31 + 6 = 37$. 37 не делится на 3.
• Если $x = 7$, сумма $31 + 7 = 38$. 38 не делится на 3.
• Если $x = 8$, сумма $31 + 8 = 39$. 39 делится на 3. Подходит.
• Если $x = 9$, сумма $31 + 9 = 40$. 40 не делится на 3.

Таким образом, вместо знака вопроса можно записать цифры 2, 5 или 8.
Ответ: 2, 5, 8.

г) 9?573 248

Пусть неизвестная цифра — это $x$. Число имеет вид $9x573248$.

1. Проверка делимости на 2.
Последняя цифра числа — 8. Это четная цифра, значит, число делится на 2 при любом значении $x$.

2. Проверка делимости на 3.
Найдем сумму известных цифр числа:
$9 + 5 + 7 + 3 + 2 + 4 + 8 = 38$.
Сумма всех цифр числа равна $38 + x$. Эта сумма должна делиться на 3. Проверим все возможные значения $x$ от 0 до 9:

• Если $x = 0$, сумма $38 + 0 = 38$. 38 не делится на 3.
• Если $x = 1$, сумма $38 + 1 = 39$. 39 делится на 3. Подходит.
• Если $x = 2$, сумма $38 + 2 = 40$. 40 не делится на 3.
• Если $x = 3$, сумма $38 + 3 = 41$. 41 не делится на 3.
• Если $x = 4$, сумма $38 + 4 = 42$. 42 делится на 3. Подходит.
• Если $x = 5$, сумма $38 + 5 = 43$. 43 не делится на 3.
• Если $x = 6$, сумма $38 + 6 = 44$. 44 не делится на 3.
• Если $x = 7$, сумма $38 + 7 = 45$. 45 делится на 3. Подходит.
• Если $x = 8$, сумма $38 + 8 = 46$. 46 не делится на 3.
• Если $x = 9$, сумма $38 + 9 = 47$. 47 не делится на 3.

Таким образом, вместо знака вопроса можно записать цифры 1, 4 или 7.
Ответ: 1, 4, 7.

3.392 Из числа 73 264 871 вычеркните три цифры так, чтобы получилось число, кратное:

а) 9;

б) 6;

в) 3.

73 264 871

$7 + 3 + 2 + 6 + 4 + 8 + 7 + 1 = 38$

а) Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

1) 36 - это ближайшая сумма цифр, которая делится на 9: $38 - 36 = 2$. Значит, нужно вычеркнуть только одну цифру, но по условию нужно вычеркнуть три цифры.

2) 27 - сумма цифр, которая делится на 9:

$38 - 27 = 11$
$11 = 7 + 3 + 1$ или
$11 = 6 + 4 + 1$ или
$11 = 2 + 8 + 1$ или
$11 = 3 + 2 + 6$

73264871; 26487 делится на 9

73264871; 73287 делится на 9

73264871; 73647 делится на 9

73264871; 74871 делится на 9

б) Число делится на 6, если оноделится на 2 и 3. Если оно делится на 2, значит оно должно быть чётным.

Значит, обязательно нужно вычеркнуть две последние цифры 7 и 1

$38 - (7 + 1) = 30$

$30 - 3 = 27$ делится на 3

$30 - 6 = 24$ делится на 3

73264871; 72648 делится на 6

73264871; 73648 делится на 6

в) Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

$38 - 2 = 36$ делится на 3, нопо условию нужно вычеркнуть трицифры.

$38 - 5 = 33$ делится на 3, но никакие три цифры не дают в сумме 5.

$38 - 8 = 30$ делится на 3

$8 = 3 + 4 + 1$$38 - 11 = 27$ делится на 3

$11 = 7 + 3 + 1$
$11 = 6 + 4 + 1$
$11 = 2 + 8 + 1$
$11 = 3 + 2 + 6$

$38 - 14 = 24$ делится на 3

$14 = 7 + 3 + 4$
$14 = 2 + 4 + 8$
$14 = 6 + 7 + 1$

$38 - 17 = 21$ делится на 3

$17 = 2 + 8 + 7$
$17 = 7 + 4 + 6$
$17 = 7 + 3 + 7$
$17 = 3 + 6 + 8$

73264871; 72687делится на 3

73264871; 26487 делится на 3

73264871; 73287 делится на 3

73264871; 73647 делится на 3

73264871; 74871 делится на 3

73264871; 26871 делится на 3

73264871; 73671 делится на 3

73264871; 73248 делится на 3

73264871; 73641 делится на 3

73264871; 32871 делится на 3

73264871; 26481 делится на 3

73264871; 32471 делится на 3

Ответ:

a) 7, 3 и 1; 6, 4 и 1; 2, 8 и 1; 3, 2 и 6.

б) 3, 7 и 1; 6, 7 и 1.

в) 3, 4 и 1; 7, 3 и 1; 6, 4 и 1; 2, 8 и 1; 3, 2 и 6; 7, 3 и 4; 2,4 и 8; 6, 7 и 1; 2, 8 и 7; 7, 6 и 4; 7, 3 и 7; 7, 6 и 8 и т.д.

Исходное число: 73 264 871. Сумма его цифр равна $7 + 3 + 2 + 6 + 4 + 8 + 7 + 1 = 38$. После вычеркивания трех цифр должно получиться число из 5 цифр.

а)

Чтобы число было кратно 9, сумма его цифр должна быть кратна 9. Исходная сумма цифр равна 38. Ближайшие к 38 суммы, кратные 9, которые можно получить, вычитая сумму трех цифр, — это 27, 18 и 9. Чтобы получить сумму цифр, равную 27, нужно вычеркнуть три цифры, сумма которых составляет $38 - 27 = 11$.

В числе 73 264 871 можно найти несколько комбинаций трех цифр, дающих в сумме 11. Например, вычеркнем цифры 3, 2 и 6. Их сумма равна $3 + 2 + 6 = 11$.

Вычеркиваем из числа 73 264 871 цифры 3, 2 и 6. Получаем число 74 871.

Проверим: сумма цифр числа 74 871 равна $7 + 4 + 8 + 7 + 1 = 27$. Так как 27 делится на 9, то и число 74 871 кратно 9.

Ответ: 74 871.

б)

Чтобы число было кратно 6, оно должно одновременно быть кратно 2 (то есть быть четным) и кратно 3 (сумма его цифр должна делиться на 3).

1. Условие четности: число должно оканчиваться на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8). В исходном числе 73 264 871 последние цифры 7 и 1 — нечетные. Чтобы получить четное число, нужно вычеркнуть как минимум последнюю цифру 1. Чтобы последней цифрой стала 8, нужно вычеркнуть цифры 7 и 1, стоящие в конце числа. Это две из трех цифр, которые нам нужно вычеркнуть.

2. Условие кратности 3: сумма цифр нового числа должна быть кратна 3. Исходная сумма — 38. При делении на 3 число 38 дает остаток 2 ($38 = 3 \cdot 12 + 2$). Чтобы новая сумма делилась на 3, сумма вычеркнутых цифр также должна давать остаток 2 при делении на 3.

Мы уже решили вычеркнуть 7 и 1. Их сумма $7 + 1 = 8$. При делении на 3 число 8 дает остаток 2. Значит, третья вычеркнутая цифра должна иметь сумму, кратную 3. Из оставшихся для вычеркивания цифр {7, 3, 2, 6, 4} этому условию удовлетворяют 3 и 6.

Выберем для вычеркивания цифру 3. Итак, вычеркиваем цифры 3, 7 и 1 из числа 73 264 871. Получаем число 72 648.

Проверим: число 72 648 оканчивается на 8 (четное), а сумма его цифр $7 + 2 + 6 + 4 + 8 = 27$ кратна 3. Следовательно, число 72 648 кратно 6.

Ответ: 72 648.

в)

Чтобы число было кратно 3, сумма его цифр должна быть кратна 3. Как и в пункте б), исходная сумма цифр равна 38, и она дает остаток 2 при делении на 3. Значит, сумма трех вычеркнутых цифр также должна давать остаток 2 при делении на 3.

Нам нужно найти три цифры, сумма которых при делении на 3 дает остаток 2. Возможные суммы: 2, 5, 8, 11, 14, и т.д.

Возьмем сумму, равную 8. В исходном числе можно найти цифры 1, 3 и 4. Их сумма $1 + 3 + 4 = 8$.

Вычеркнем из числа 73 264 871 цифры 3, 4 и 1. Получаем число 72 687.

Проверим: сумма цифр числа 72 687 равна $7 + 2 + 6 + 8 + 7 = 30$. Так как 30 делится на 3, то и число 72 687 кратно 3.

Ответ: 72 687.

3.393 Вычислите.

а)
$17 + 30 = 47$

$5 + 25 = 30$

$37 + 203 = 240$

$384 + 20 = 404$

$127 + 23 = 150$

б)
$728 - 7 = 721$
$80 - 25 = 55$
$100 - 6 = 94$

$$\begin{gathered} 70 - 17 = 70 - (10 + 7) = \\ = (70 - 10) - 7 = \\ = 60 - 7 = 53 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 300 - 85 = 300 - (80 + 5) = \\ = (300 - 80) - 5 = \\ = 220 - 5 = 215 \end{gathered}$$

в)
$20 · 5 = 100$

$4 · 25 = 100$

$50 · 20 = 1000$

$24 · 1000 = 24000$

$270 · 100 = 27000$

г) 
$26 : 2 = 13$

$144 : 9 = 16$

$370 : 10 = 37$

$600 : 30 = 20$

$303 : 3 = 101$

а)
Для вычисления суммы $17 + 30$, сложим десятки с десятками, а единицы с единицами: $(10+30) + 7 = 40 + 7 = 47$.
$17 + 30 = 47$

$5 + 25 = 30$

Для вычисления суммы $37 + 203$, представим $37$ как $30+7$ и $203$ как $200+3$. Сложим сотни, десятки и единицы: $200 + 30 + (7+3) = 230 + 10 = 240$.
$37 + 203 = 240$

$384 + 20 = 404$

Для вычисления суммы $127 + 23$, сложим единицы $7+3=10$, затем десятки $20+20=40$ и сотни $100$. Итого $100+40+10 = 150$.
$127 + 23 = 150$
Ответ: 47; 30; 240; 404; 150.

б)
$728 - 7 = 721$

$80 - 25 = 55$

$100 - 6 = 94$

$70 - 17 = 53$

Для вычисления разности $300 - 85$, можно представить $300$ как $299+1$, тогда $299 - 85 + 1 = 214+1 = 215$. Или отнять от $300$ сначала $80$, получив $220$, а затем отнять $5$, получив $215$.
$300 - 85 = 215$
Ответ: 721; 55; 94; 53; 215.

в)
$20 \cdot 5 = 100$

$4 \cdot 25 = 100$

$50 \cdot 20 = 1000$

При умножении числа на $1000$ к нему дописываются три нуля: $24 \cdot 1000 = 24000$.

При умножении числа на $100$ к нему дописываются два нуля: $270 \cdot 100 = 27000$.
Ответ: 100; 100; 1000; 24000; 27000.

г)
$26 : 2 = 13$

Для вычисления $144 : 9$, можно разложить $144$ на $90 + 54$. Тогда $(90:9) + (54:9) = 10 + 6 = 16$.
$144 : 9 = 16$

При делении числа, оканчивающегося на ноль, на $10$, последний ноль убирается: $370 : 10 = 37$.

При делении $600 : 30$, можно убрать по одному нулю у делимого и делителя: $60 : 3 = 20$.

Для вычисления $303 : 3$, можно разложить $303$ на $300 + 3$. Тогда $(300:3) + (3:3) = 100 + 1 = 101$.
$303 : 3 = 101$
Ответ: 13; 16; 37; 20; 101.

3.394 Произведение каждых двух чисел, помещённых в квадраты, соединённые отрезком, равно 30 (рис. 3.24). Запишите эти числа. Как можно назвать набор этих чисел?

Числа в квадратах - это делители число 30.

Запишите эти числа.

Обозначим число в центральном квадрате через $x$, а число в любом из восьми внешних квадратов — через $y$.

По условию задачи, произведение чисел в квадратах, соединённых отрезком, равно 30. Так как центральный квадрат соединён с каждым из восьми внешних квадратов, для всех них должно выполняться равенство:$x \cdot y = 30$

Это означает, что во всех внешних квадратах должно быть записано одно и то же число $y$, которое зависит от выбора числа $x$ в центре ($y = 30/x$). Таким образом, для заполнения всех девяти квадратов нужно выбрать пару чисел, произведение которых равно 30.

В задаче не указано, должны ли числа быть целыми. Если предположить, что числа целые, то $x$ и $y$ должны быть парой целочисленных делителей числа 30.

Примеры возможных вариантов (пара чисел для центрального и внешних квадратов):
- $5$ и $6$, так как $5 \cdot 6 = 30$.
- $2$ и $15$, так как $2 \cdot 15 = 30$.
- $-10$ и $-3$, так как $(-10) \cdot (-3) = 30$.

Полный список целых чисел, которые могут быть использованы, — это все делители числа 30.

Ответ: В квадратах должны быть записаны два числа, $x$ и $y$, произведение которых равно 30. Одно число ($x$) находится в центре, другое ($y$) — во всех восьми внешних квадратах. Если числа целые, то это могут быть, например, 5 в центре и 6 во внешних квадратах. Множество всех возможных целых чисел для этой задачи: $\pm1, \pm2, \pm3, \pm5, \pm6, \pm10, \pm15, \pm30$.

Как можно назвать набор этих чисел?

Если рассматривать все возможные целые числа, которые могут быть записаны в квадраты, то этот набор представляет собой множество всех целочисленных делителей числа 30.

Ответ: Набор этих чисел можно назвать "делители числа 30".

3.395 Запишите выражение для решения задачи.

а) Сколько стоят a порций мороженого по цене 50 р.?

б) Чему равна масса n пачек печенья, если масса одной пачки 200 г?

в) Сколько километров пройдёт турист за x ч, если его скорость равна 4 км/ч?

Сравните полученные выражения и сделайте вывод.

a) 50a (р.)

б) 200n (г)

в) 4x (км)

Данные выражения являются буквенными выражениями. Подставляя вместо буквы числа можно получить новые задачи. Все выражения представляют собой произведение числового и буквенного множителей.

а) Чтобы найти общую стоимость, нужно цену одной порции мороженого умножить на количество порций. Цена одной порции — 50 рублей, а количество порций — $a$. Таким образом, выражение для общей стоимости будет:

$50 \cdot a$

Ответ: $50a$ р.

б) Чтобы найти общую массу, нужно массу одной пачки печенья умножить на количество пачек. Масса одной пачки — 200 граммов, а количество пачек — $n$. Выражение для общей массы будет:

$200 \cdot n$

Ответ: $200n$ г.

в) Чтобы найти пройденное расстояние, нужно скорость туриста умножить на время в пути. Скорость туриста — 4 км/ч, а время в пути — $x$ часов. Выражение для пройденного расстояния будет:

$4 \cdot x$

Ответ: $4x$ км.

Сравните полученные выражения и сделайте вывод.

Полученные выражения: $50a$, $200n$ и $4x$. Все три выражения имеют одинаковую математическую структуру: это произведение постоянного числа (коэффициента) на переменную. В каждом случае мы находим итоговую величину (стоимость, массу, расстояние), умножая значение для одной единицы (цена за порцию, масса одной пачки, скорость) на количество этих единиц (количество порций, пачек, часов).

Вывод: Несмотря на то, что задачи описывают разные жизненные ситуации (покупка, взвешивание, движение), они решаются с помощью одной и той же математической модели — умножения постоянной величины на переменную. Эта модель, которую можно записать в общем виде как $y = kx$, описывает прямую пропорциональную зависимость. В ней итоговая величина ($y$) прямо пропорциональна количеству единиц ($x$), а коэффициент пропорциональности ($k$) — это значение для одной единицы.

3.396 а) Запишите наименьший и наибольший делители числа 34.

б) Запишите наименьшее кратное числа 34. Есть ли у этого числа наибольшее кратное?

в) Запишите какое-нибудь число, кратное и 3, и 14.

а) 1 – наименьший делитель числа 34; 34- наибольший делитель числа 34.

б) 34 – наименьшее кратное числа 34, наибольшего кратного нет.

в) 42 кратно и 3, и 14.

а) Делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое a делится без остатка. У любого натурального числа, большего единицы, наименьшим натуральным делителем всегда является 1, а наибольшим — само это число. Чтобы найти все делители числа 34, можно разложить его на простые множители: $34 = 2 \times 17$. Делителями будут 1, 2, 17 и 34. Из них наименьший — это 1, а наибольший — 34.

Ответ: наименьший делитель — 1, наибольший делитель — 34.

б) Кратным натурального числа a называют натуральное число, которое делится на a без остатка. Чтобы найти кратные числа 34, нужно умножить 34 на натуральные числа ($1, 2, 3, \ldots$). Наименьшее натуральное кратное числа 34 получается при умножении на 1: $34 \times 1 = 34$. Таким образом, наименьшее кратное числа 34 — это само число 34. Ряд кратных для числа 34: $34, 68, 102, 136, \ldots$ можно продолжать бесконечно, умножая 34 на все большие и большие натуральные числа. Поэтому наибольшего кратного для числа 34 не существует.

Ответ: наименьшее кратное — 34; наибольшего кратного не существует.

в) Чтобы найти число, которое кратно и 3, и 14, нужно найти их общее кратное. Самый простой способ найти такое число — вычислить их наименьшее общее кратное (НОК). Для этого можно разложить числа на простые множители: $3$ — простое число, $14 = 2 \times 7$. Поскольку у чисел 3 и 14 нет общих простых множителей, они являются взаимно простыми. Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению. Вычислим произведение: $НОК(3, 14) = 3 \times 14 = 42$. Таким образом, 42 — это наименьшее число, кратное и 3, и 14. Любое другое число, кратное 42 (например, 84, 126), также будет являться верным ответом.

Ответ: 42.

3.397 Найдите все двузначные числа, которые являются:

а) делителями 200;

б) кратными 20;

в) делителями 200 и кратными 20;

г) простыми.

а) 10; 20; 25; 40; 50;

б) 20; 40; 60; 80;

в) 20; 40;

г) 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43; 47; 53; 59; 61; 67; 71; 73; 79; 83; 89; 97.

а) делителями 200;

Двузначные числа — это целые числа в диапазоне от 10 до 99. Чтобы найти все двузначные числа, которые являются делителями 200, сначала найдем все делители числа 200. Для этого можно разложить число 200 на простые множители: $200 = 2 \cdot 100 = 2 \cdot 10^2 = 2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^3 \cdot 5^2$.
Все делители числа 200 получаются из комбинаций этих множителей. Перечислим все делители: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200.
Из этого списка выберем те, которые являются двузначными (от 10 до 99): 10, 20, 25, 40, 50.
Ответ: 10, 20, 25, 40, 50.

б) кратными 20;

Кратными 20 называются числа, которые делятся на 20 без остатка. Нам нужно найти все двузначные числа, кратные 20. Это числа вида $20 \cdot k$, где $k$ — натуральное число, и результат находится в диапазоне от 10 до 99.
При $k=1: 20 \cdot 1 = 20$
При $k=2: 20 \cdot 2 = 40$
При $k=3: 20 \cdot 3 = 60$
При $k=4: 20 \cdot 4 = 80$
При $k=5: 20 \cdot 5 = 100$, это число уже трехзначное, поэтому не подходит.
Таким образом, искомые числа: 20, 40, 60, 80.
Ответ: 20, 40, 60, 80.

в) делителями 200 и кратными 20;

Нам нужно найти двузначные числа, которые удовлетворяют обоим условиям: являются делителями 200 и одновременно кратны 20. Для этого найдем пересечение множеств чисел, полученных в пунктах а) и б).
Двузначные делители 200: {10, 20, 25, 40, 50}.
Двузначные кратные 20: {20, 40, 60, 80}.
Общими для этих двух множеств являются числа 20 и 40.
Ответ: 20, 40.

г) простыми.

Простые числа — это натуральные числа больше 1, которые имеют ровно два делителя: 1 и самих себя. Нам нужно перечислить все двузначные простые числа (от 10 до 99).
Список двузначных простых чисел:
11, 13, 17, 19,
23, 29,
31, 37,
41, 43, 47,
53, 59,
61, 67,
71, 73, 79,
83, 89,
97.
Ответ: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

6.228 Обратите обыкновенную дробь в десятичную и найдите значение выражения:

a) $\frac{3}{5} + \mathrm{0,4} = \mathrm{0,6} + \mathrm{0,4} = \mathrm{1,0} = 1$

$\begin{array}{l}\underset{\phantom{-}0}{-\mathrm{3,0}}|\frac{5}{\mathrm{0,6}}\\ \phantom{-\mathrm{3,0}}30\\ \underset{\phantom{-}}{\phantom{-\mathrm{3,0}}-30}\\ \phantom{-\mathrm{3,0}}0\end{array}$

б) $\mathrm{2,51}-\frac{7}{25} = \mathrm{2,51}-\mathrm{0,28} = \mathrm{2,23}$

$\begin{array}{l}\underset{\phantom{-}0}{-\mathrm{7,00}}|\frac{25}{\mathrm{0,28}}\\ \phantom{-\mathrm{7,00}}70\\ \underset{\phantom{-}}{\phantom{-\mathrm{7,00}}-50}\\ \phantom{-\mathrm{7,00}}200\\ \underset{\phantom{-}}{\phantom{-\mathrm{7,00}}-200}\\ \phantom{-\mathrm{7,00}}0\end{array}$$\begin{array}{l}\phantom{0}\mathrm{2,51}\\ \underset{\phantom{-}}{-\mathrm{0,28}}\\ \phantom{0}\mathrm{2,23}\end{array}$

в) $\frac{1}{20} : 25 = \mathrm{0,05} : 25 = \mathrm{0,002}$

$\begin{array}{l}\underset{\phantom{-}0}{-\mathrm{1,00}}|\frac{20}{\mathrm{0,05}}\\ \phantom{-\mathrm{1,00}}100\\ \underset{\phantom{-}}{\phantom{-\mathrm{1,00}}-100}\\ \phantom{-\mathrm{1,00}}0\end{array}$$\begin{array}{l}\underset{\phantom{-}0}{-\mathrm{0,050}}|\frac{25}{\mathrm{0,002}}\\ \phantom{-\mathrm{0,050}}050\\ \underset{\phantom{-}}{\phantom{-\mathrm{0,050}}-50}\\ \phantom{-\mathrm{0,050}}0\end{array}$

г)

$\begin{array}{l}\underset{\phantom{-}0}{-\mathrm{12,00}}|\frac{80}{\mathrm{0,15}}\\ \phantom{-\mathrm{12,00}}120\\ \underset{\phantom{-}}{\phantom{-\mathrm{12,00}}-80}\\ \phantom{-\mathrm{12,00}}400\\ \underset{\phantom{-}}{\phantom{-\mathrm{12,00}}-400}\\ \phantom{-\mathrm{12,00}}0\end{array}$$\begin{array}{l}\phantom{00}\mathrm{0,15}\\ \underset{\phantom{-}}{\times \phantom{\mathrm{0,}}4}\\ \phantom{00}\mathrm{0,60} = \mathrm{0,6}\end{array}$

д)