Номер 3.390, страница 126, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

19. Свойства и признаки делимости. § 3. Умножение и деление натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 3.390, страница 126.

3.390 а) Какое наименьшее натуральное число, записанное только с помощью цифры 2, делится на 6?

б) Существует ли натуральное число, записанное только с помощью цифры 3, которое делится на 6? Ответ обоснуйте.

а) 222 - наименьшее натуральное число, записанное только с помощью цифры 2, делится на 6, так как оно делится на 2 (оканчивается цифрой 2) и на 3 (сумма цифр $2 + 2 + 2 = 6$ делится на 3).

б) Число, которое делится на 6, делится на 2 и на 3, то есть является чётным (признак делимости на 2). Натуральное число, записанное только с помощью цифры 3, нечётное, так как оканчивается цифрой 3. Значит, натурального числа, записанного только с помощью цифры 3, которое делится на 6, не существует.

а) Чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3. Это следует из разложения $6 = 2 \times 3$.

1. Признак делимости на 2: число должно быть четным, то есть оканчиваться на четную цифру. Все числа, записанные только с помощью цифры 2 (например, 2, 22, 222 и т.д.), оканчиваются на 2, поэтому они все четные и делятся на 2.

2. Признак делимости на 3: сумма цифр числа должна делиться на 3. Будем перебирать числа, состоящие из двоек, в порядке возрастания и проверять сумму их цифр:

• Число 2: сумма цифр равна 2. 2 не делится на 3.
• Число 22: сумма цифр равна $2+2=4$. 4 не делится на 3.
• Число 222: сумма цифр равна $2+2+2=6$. 6 делится на 3.

Таким образом, число 222 является наименьшим числом, записанным только с помощью цифр 2, которое делится и на 2, и на 3. Следовательно, оно делится на 6. Проверим: $222 \div 6 = 37$.

Ответ: 222

б) Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и на 3.

Рассмотрим натуральное число, записанное только с помощью цифры 3 (например, 3, 33, 333 и т.д.).

Проверим делимость на 2. Число делится на 2, если оно четное. Любое число, состоящее только из цифр 3, будет оканчиваться на 3. Так как 3 — нечетная цифра, то и само число будет нечетным.

Поскольку ни одно из таких чисел не является четным, ни одно из них не может делиться на 2. А если число не делится на 2, оно не может делиться и на 6.

Ответ: Нет, не существует. Обоснование: любое натуральное число, записанное только с помощью цифры 3, является нечетным, а чтобы число делилось на 6, оно должно быть четным.