Номер 3.389, страница 126, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

19. Свойства и признаки делимости. § 3. Умножение и деление натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 3.389, страница 126.

3.389 Выпишите все натуральные числа, меньшие 100, которые делятся на 6. Проверьте, делятся ли эти числа на 2; на 3. Сформулируйте признак делимости на 6.

Делится на 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96.

Все эти числа делятся на 2, так как оканчиваются чётной цифрой.

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Проверим сумму цифр каждого из них.

6 делится на 3

12: $1 + 2 = 3$ делится на 3

18: $1 + 8 = 9$ делится на 3

24: $2 + 4 = 6$ делится на 3

30: $3 + 0 = 3$ делится на 3

36: $3 + 6 = 9$ делится на 3

42: $4 + 2 = 6$ делится на 3

48: $4 + 8 = 12$ делится на 3

54: $5 + 4 = 9$ делится на 3

60: $6 + 0 = 6$ делится на 3

66: $6 + 6 = 12$ делится на 3

72: $7 + 2 = 9$ делится на 3

78: $7 + 8 = 15$ делится на 3

84: $8 + 4 = 12$ делится на 3

90: $9 + 0 = 9$ делится на 3

96: $9 + 6 = 15$ делится на 3

Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3 одновременно.

Выпишите все натуральные числа, меньшие 100, которые делятся на 6.

Чтобы найти все натуральные числа, меньшие 100, которые делятся на 6, необходимо найти все произведения числа 6 на натуральные числа $k = 1, 2, 3, \dots$, при условии, что результат будет меньше 100.

Это означает, что мы ищем числа вида $6 \cdot k$, где $k$ — натуральное число и выполняется неравенство $6 \cdot k < 100$.

Для нахождения максимального значения $k$ решим неравенство: $k < 100/6$, что составляет примерно $16.67$. Следовательно, $k$ может принимать целые значения от 1 до 16.

Перечислим все такие числа:

• $6 \cdot 1 = 6$
• $6 \cdot 2 = 12$
• $6 \cdot 3 = 18$
• $6 \cdot 4 = 24$
• $6 \cdot 5 = 30$
• $6 \cdot 6 = 36$
• $6 \cdot 7 = 42$
• $6 \cdot 8 = 48$
• $6 \cdot 9 = 54$
• $6 \cdot 10 = 60$
• $6 \cdot 11 = 66$
• $6 \cdot 12 = 72$
• $6 \cdot 13 = 78$
• $6 \cdot 14 = 84$
• $6 \cdot 15 = 90$
• $6 \cdot 16 = 96$

Ответ: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96.

Проверьте, делятся ли эти числа на 2; на 3.

Проверка делимости на 2:
Согласно признаку делимости на 2, число делится на 2, если оно является четным, то есть его последняя цифра — 0, 2, 4, 6 или 8. Все числа в списке (6, 12, 18, ..., 96) являются четными, так как их последняя цифра соответствует этому правилу. Следовательно, все эти числа делятся на 2. Это также следует из того, что $6 = 2 \cdot 3$, поэтому любое число, кратное 6, также кратно 2.

Проверка делимости на 3:
Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Проверим все числа из списка:

• 6: сумма цифр 6 (делится на 3).
• 12: $1+2=3$ (делится на 3).
• 18: $1+8=9$ (делится на 3).
• 24: $2+4=6$ (делится на 3).
• 30: $3+0=3$ (делится на 3).
• 36: $3+6=9$ (делится на 3).
• 42: $4+2=6$ (делится на 3).
• 48: $4+8=12$ (делится на 3).
• 54: $5+4=9$ (делится на 3).
• 60: $6+0=6$ (делится на 3).
• 66: $6+6=12$ (делится на 3).
• 72: $7+2=9$ (делится на 3).
• 78: $7+8=15$ (делится на 3).
• 84: $8+4=12$ (делится на 3).
• 90: $9+0=9$ (делится на 3).
• 96: $9+6=15$ (делится на 3).

Сумма цифр каждого числа в списке делится на 3, значит, все эти числа делятся на 3. Это также следует из того, что $6 = 3 \cdot 2$, поэтому любое число, кратное 6, также кратно 3.

Ответ: Да, все эти числа делятся и на 2, и на 3.

Сформулируйте признак делимости на 6.

На основе предыдущей проверки можно сделать вывод. Мы установили, что любое число, делящееся на 6, также делится и на 2, и на 3. Это связано с тем, что число 6 можно разложить на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$. Числа 2 и 3 являются взаимно простыми (их единственный общий положительный делитель — это 1).

Общее правило гласит: если число делится на два взаимно простых числа, то оно делится и на их произведение. Следовательно, для того чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться на 2 и на 3.

Объединив признаки делимости на 2 (число должно быть четным) и на 3 (сумма цифр числа должна делиться на 3), мы можем сформулировать признак делимости на 6.

Ответ: Число делится на 6 тогда и только тогда, когда оно одновременно делится на 2 и на 3. Другими словами, число должно быть четным, а сумма его цифр должна быть кратна 3.