Страница 119, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.338 Верны ли утверждения:

а) число 9 является делителем 135;

б) делителем числа 135 является частное 135 : 9?

а) $135 : 9 = 15$

Значит, 9 - делитель 135.

Ответ: верно.

б) $135 : 9 = 15$

$135 : 15 = 9$

Значит, частное $135 : 9$ - делитель 135.

Ответ: верно.

а) Чтобы проверить, верно ли утверждение, что число 9 является делителем числа 135, необходимо выяснить, делится ли 135 на 9 без остатка. Для этого можно использовать признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

Найдем сумму цифр числа 135:
$1 + 3 + 5 = 9$.

Так как сумма цифр (9) делится на 9, то и само число 135 делится на 9.Проверим это делением:

$135 \div 9 = 15$.

Деление выполнено без остатка, следовательно, число 9 является делителем числа 135. Утверждение верно.
Ответ: да, утверждение верно.

б) Чтобы проверить, верно ли утверждение, что делителем числа 135 является частное $135 : 9$, нужно сначала найти это частное, а затем проверить, является ли полученный результат делителем числа 135.

1. Найдем частное:
$135 \div 9 = 15$.

2. Теперь проверим, является ли число 15 делителем числа 135. Для этого разделим 135 на 15:
$135 \div 15 = 9$.

Поскольку деление выполняется без остатка, число 15 (которое является частным от деления $135 : 9$) является делителем числа 135. Утверждение верно.
Ответ: да, утверждение верно.

3.339 Выпишите из чисел 2, 3, 7, 8, 10, 12, 15, 16, 24, 25 те, которые являются:

а) кратными 6;

б) делителями 24;

в) кратными 5 и делителями 20;

г) делителями 12 и кратными 4;

д) простыми.

a) кратные 6: 12; 24.
б) делители 24: 2; 3; 8; 12; 24.
в) кратные 5 и делители 20: 10, т.к.
кратные 5: 10; 15; 25;
делители 20: 2; 10.
г) делители 12 и кратные 4: 12, т.к.
делители 12: 2; 3; 12;
кратные 4: 8; 12; 16; 24.
д) простые числа имеют два делителя: единицу и само это число: 2; 3; 7.

а) кратными 6;
Кратное число — это число, которое делится на данное число без остатка. В данном задании необходимо найти среди чисел 2, 3, 7, 8, 10, 12, 15, 16, 24, 25 те, которые делятся на 6.
Проверим каждое число из списка на делимость на 6:
$12 \div 6 = 2$ (число 12 кратно 6)
$24 \div 6 = 4$ (число 24 кратно 6)
Остальные числа из набора (2, 3, 7, 8, 10, 15, 16, 25) не делятся на 6 без остатка.
Ответ: 12, 24.

б) делителями 24;
Делитель числа — это число, на которое данное число делится без остатка. Требуется найти среди указанных чисел те, которые являются делителями числа 24.
Проверим, на какие из предложенных чисел делится 24:
$24 \div 2 = 12$ (2 — делитель 24)
$24 \div 3 = 8$ (3 — делитель 24)
$24 \div 8 = 3$ (8 — делитель 24)
$24 \div 12 = 2$ (12 — делитель 24)
$24 \div 24 = 1$ (24 — делитель 24)
Числа 7, 10, 15, 16, 25 не являются делителями числа 24, так как деление на них дает остаток.
Ответ: 2, 3, 8, 12, 24.

в) кратными 5 и делителями 20;
Здесь нужно найти числа, которые удовлетворяют двум условиям одновременно: они должны делиться на 5 (быть кратными 5) и на них должно делиться число 20 (быть делителями 20).
1. Выпишем из набора числа, кратные 5: 10, 15, 25.
2. Проверим, какие из этих чисел (10, 15, 25) являются делителями 20:
$20 \div 10 = 2$ (10 является делителем 20)
$20 \div 15$ — деление с остатком (15 не является делителем 20)
$20 \div 25$ — деление с остатком (25 не является делителем 20)
Обоим условиям удовлетворяет только число 10.
Ответ: 10.

г) делителями 12 и кратными 4;
Нужно найти числа, которые одновременно являются делителями 12 и кратны 4.
1. Выпишем из набора числа, которые являются делителями 12: 2, 3, 12.
2. Проверим, какие из этих чисел (2, 3, 12) кратны 4 (делятся на 4):
$2 \div 4$ — не делится нацело
$3 \div 4$ — не делится нацело
$12 \div 4 = 3$ (12 кратно 4)
Только число 12 удовлетворяет обоим условиям.
Ответ: 12.

д) простыми.
Простое число — это натуральное число больше единицы, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Проанализируем числа из набора:
- 2 — простое (делители 1 и 2).
- 3 — простое (делители 1 и 3).
- 7 — простое (делители 1 и 7).
- 8 = $2 \cdot 4$ — составное.
- 10 = $2 \cdot 5$ — составное.
- 12 = $3 \cdot 4$ — составное.
- 15 = $3 \cdot 5$ — составное.
- 16 = $4 \cdot 4$ — составное.
- 24 = $4 \cdot 6$ — составное.
- 25 = $5 \cdot 5$ — составное.
Ответ: 2, 3, 7.

3.340 Напишите все делители чисел 8, 15, 26, 23. Какое из них простое? Разложите эти числа на множители.

Делители 8: 1; 2; 4; 8.
2 – простое число
$8 = 1 · 8 = 2 · 4 = 2 · 2 · 2$

Делители 15: 1; 3; 5; 15.
3 и 5 – простые числа
$15 = 1 · 15 = 3 · 5$

Делители 26: 1; 2; 13; 26.
2 и 13 – простые числа
$26 = 1 · 26 = 2 · 13$

Делители 23: 1; 23.
23 – простое число
$23 = 1 · 23$

Из данных чисел 8; 15; 26 и 23 простое является число 23.

Напишите все делители чисел 8, 15, 26, 23.

Делитель – это число, на которое данное число делится без остатка. Найдем все делители для каждого из заданных чисел:

• Делители числа 8: 1, 2, 4, 8.
• Делители числа 15: 1, 3, 5, 15.
• Делители числа 26: 1, 2, 13, 26.
• Делители числа 23: 1, 23.

Ответ: для числа 8 делители — 1, 2, 4, 8; для числа 15 — 1, 3, 5, 15; для числа 26 — 1, 2, 13, 26; для числа 23 — 1, 23.

Какое из них простое?

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и само себя. Проанализируем наши числа на основе их делителей:

• Число 8 имеет четыре делителя (1, 2, 4, 8), следовательно, оно является составным.
• Число 15 имеет четыре делителя (1, 3, 5, 15), следовательно, оно является составным.
• Число 26 имеет четыре делителя (1, 2, 13, 26), следовательно, оно является составным.
• Число 23 имеет ровно два делителя (1 и 23), следовательно, оно является простым.

Ответ: 23.

Разложите эти числа на множители.

Разложить число на простые множители — значит представить его в виде произведения простых чисел.

• $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$
• $15 = 3 \cdot 5$
• $26 = 2 \cdot 13$
• 23 — это простое число, поэтому его разложение на простые множители состоит из самого этого числа.

Ответ: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$; $15 = 3 \cdot 5$; $26 = 2 \cdot 13$; 23.

3.341 Назовите два числа, делитель которых равен:

а) 5;

б) 7;

в) 11;

г) 15.

а) Число 5 - делитель 10 и 25.

б) Число 7 - делитель 14 и 28;

в) Число 11 - делитель 11 и 33.

г) Число 15 - делитель 30 и 90.

а) 5;

Чтобы найти два числа, для которых число 5 является делителем, необходимо найти два числа, которые делятся на 5 без остатка. Такие числа называются кратными числу 5. Для их нахождения достаточно умножить 5 на любые два целых числа. Возьмем, к примеру, множители 2 и 3.

$5 \times 2 = 10$

$5 \times 3 = 15$

Числа 10 и 15 делятся на 5, следовательно, 5 является их делителем.

Ответ: 10 и 15.

б) 7;

Аналогично предыдущему пункту, найдём два числа, кратные 7. Для этого умножим 7 на два произвольных целых числа, например, на 4 и 10.

$7 \times 4 = 28$

$7 \times 10 = 70$

Числа 28 и 70 делятся на 7 без остатка, значит, 7 является их делителем.

Ответ: 28 и 70.

в) 11;

Найдём два числа, которые делятся на 11. Умножим 11 на любые два целых числа, например, на 2 и 5.

$11 \times 2 = 22$

$11 \times 5 = 55$

Числа 22 и 55 являются кратными числу 11, поэтому 11 является их делителем.

Ответ: 22 и 55.

г) 15.

Найдём два числа, для которых 15 является делителем. Для этого умножим 15 на два любых целых числа, например, на 2 и 3.

$15 \times 2 = 30$

$15 \times 3 = 45$

Таким образом, для чисел 30 и 45 число 15 является делителем.

Ответ: 30 и 45.

3.342 Найдите все одинаковые (общие) делители пары чисел:

а) 16 и 24;

б) 12 и 18;

в) 30 и 45;

г) 28 и 42.

Укажите наибольший из них.

а) Делители 16: $\underline{1}; \underline{2}; \underline{4}; \underline{8}; 16.$

Делители 24: $\underline{1}; \underline{2}; 3; \underline{4}; 6; \underline{8}; 12; 24.$

Общие делители 16 и 24: $1; 2; 4; \overline{)8.}$

б) Делители 12: $\underline{1}; \underline{2}; \underline{3}; 4; \underline{6}; 12.$

Делители 18: $1; 2; 3; 6; 9; 18.$

Общие делители 12 и 18: $1; 2; 3; \overline{)6.}$

в) Делители 30: $\underline{1}; 2; \underline{3}; \underline{5}; 6; 10; \underline{15}; 30.$

Делители 45: $\underline{1}; \underline{3}; \underline{5}; 9; \underline{15}; 45.$

Общие делители 30 и 45: $1; 3; 5; \overline{)15.}$

г) Делители 28: $\underline{1}; \underline{2}; 4; \underline{7}; \underline{14}; 28.$

Делители 42: $\underline{1}; \underline{2}; 3; 6; \underline{7}; \underline{14}; 21; 42.$

Общие делители 28 и 42: $1; 2; 7; \overline{)14.}$

В кружочках обведены наибольшие общие делители.

а) 16 и 24

Сначала найдем все делители для каждого числа. Делитель — это число, на которое исходное число делится без остатка.
Делители числа 16: $1, 2, 4, 8, 16$.
Делители числа 24: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$.

Общие делители для чисел 16 и 24 — это числа, которые есть в обоих списках: $1, 2, 4, 8$.

Наибольший из общих делителей (НОД) — это самое большое число в списке общих делителей, то есть 8.

Ответ: общие делители: 1, 2, 4, 8; наибольший из них: 8.

б) 12 и 18

Сначала найдем все делители для каждого числа.
Делители числа 12: $1, 2, 3, 4, 6, 12$.
Делители числа 18: $1, 2, 3, 6, 9, 18$.

Общие делители для чисел 12 и 18 — это числа, которые есть в обоих списках: $1, 2, 3, 6$.

Наибольший из общих делителей (НОД) равен 6.

Ответ: общие делители: 1, 2, 3, 6; наибольший из них: 6.

в) 30 и 45

Сначала найдем все делители для каждого числа.
Делители числа 30: $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$.
Делители числа 45: $1, 3, 5, 9, 15, 45$.

Общие делители для чисел 30 и 45 — это числа, которые есть в обоих списках: $1, 3, 5, 15$.

Наибольший из общих делителей (НОД) равен 15.

Ответ: общие делители: 1, 3, 5, 15; наибольший из них: 15.

г) 28 и 42

Сначала найдем все делители для каждого числа.
Делители числа 28: $1, 2, 4, 7, 14, 28$.
Делители числа 42: $1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$.

Общие делители для чисел 28 и 42 — это числа, которые есть в обоих списках: $1, 2, 7, 14$.

Наибольший из общих делителей (НОД) равен 14.

Ответ: общие делители: 1, 2, 7, 14; наибольший из них: 14.

3.343 Напишите все числа первой сотни, кратные числа:

а) 9;

б) 13;

в) 45;

г) 87.

а) Кратные числа 9: 9; 18; 27; 36; 45; 54; 63; 72; 81; 90; 99.

б) Кратные числа 13: 13; 26; 39; 52; 65; 78; 91.

в) Кратные числа 45: 45; 90.

г) Кратные числа 87: 87.

Для решения этой задачи нам нужно найти все числа от 1 до 100, которые делятся на заданное число без остатка. Такие числа называются кратными. Первая сотня включает в себя натуральные числа от 1 до 100 включительно.

а) 9;

Чтобы найти все числа первой сотни, кратные 9, необходимо найти все произведения числа 9 на натуральные числа ($k=1, 2, 3, \dots$), результат которых не превышает 100. Математически это можно записать так: найти все числа $N$ вида $N = 9 \cdot k$, удовлетворяющие условию $1 \le N \le 100$.

Определим максимальное значение $k$:
$9 \cdot k \le 100$
$k \le \frac{100}{9}$
$k \le 11,11...$

Так как $k$ должно быть целым числом, его максимальное значение — 11. Теперь перечислим все кратные, умножая 9 на числа от 1 до 11:

$9 \cdot 1 = 9$
$9 \cdot 2 = 18$
$9 \cdot 3 = 27$
$9 \cdot 4 = 36$
$9 \cdot 5 = 45$
$9 \cdot 6 = 54$
$9 \cdot 7 = 63$
$9 \cdot 8 = 72$
$9 \cdot 9 = 81$
$9 \cdot 10 = 90$
$9 \cdot 11 = 99$

Ответ: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99.

б) 13;

Аналогично, ищем числа вида $N = 13 \cdot k$ в диапазоне от 1 до 100. Найдем максимальное значение для $k$:
$13 \cdot k \le 100$
$k \le \frac{100}{13}$
$k \le 7,69...$

Максимальное целое значение для $k$ равно 7. Перечислим все кратные для $k$ от 1 до 7:

$13 \cdot 1 = 13$
$13 \cdot 2 = 26$
$13 \cdot 3 = 39$
$13 \cdot 4 = 52$
$13 \cdot 5 = 65$
$13 \cdot 6 = 78$
$13 \cdot 7 = 91$

Ответ: 13, 26, 39, 52, 65, 78, 91.

в) 45;

Ищем числа вида $N = 45 \cdot k$ в диапазоне от 1 до 100. Найдем максимальное значение для $k$:
$45 \cdot k \le 100$
$k \le \frac{100}{45}$
$k \le 2,22...$

Максимальное целое значение для $k$ равно 2. Перечислим кратные для $k=1$ и $k=2$:

$45 \cdot 1 = 45$
$45 \cdot 2 = 90$

Ответ: 45, 90.

г) 87;

Ищем числа вида $N = 87 \cdot k$ в диапазоне от 1 до 100. Найдем максимальное значение для $k$:
$87 \cdot k \le 100$
$k \le \frac{100}{87}$
$k \le 1,14...$

Максимальное целое значение для $k$ равно 1. Существует только одно такое число:

$87 \cdot 1 = 87$

Ответ: 87.

3.344 Назовите три числа, которые делятся на каждое из чисел:

а) 6 и 8;

б) 9 и 12;

в) 6 и 4;

г) 6 и 9.

а) Делятся на 6 и 8: 24; 48; 72.

б) Делятся на 9 и 12: 36; 72; 108.

в) Делятся на 6 и 4: 12; 24; 36.

г) Делятся на 6 и 9: 18; 36; 54.

а) Чтобы найти числа, которые делятся на каждое из чисел 6 и 8, нужно найти их наименьшее общее кратное (НОК). Любое число, кратное НОК, будет делиться на оба исходных числа.

Найдём НОК(6, 8). Разложим числа на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2^3$

НОК(6, 8) является произведением всех простых множителей в их наибольшей степени: $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Теперь найдём три числа, которые кратны 24. Это могут быть первые три кратных: $24 \cdot 1 = 24$, $24 \cdot 2 = 48$ и $24 \cdot 3 = 72$.

Ответ: 24, 48, 72.

б) Для чисел 9 и 12 найдём их наименьшее общее кратное (НОК).

Разложим на простые множители:
$9 = 3^2$
$12 = 2^2 \cdot 3$

НОК(9, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Три числа, кратные 36, это, например: $36 \cdot 1 = 36$, $36 \cdot 2 = 72$ и $36 \cdot 3 = 108$.

Ответ: 36, 72, 108.

в) Для чисел 6 и 4 найдём их наименьшее общее кратное (НОК).

Разложим на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$4 = 2^2$

НОК(6, 4) = $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$.

Три числа, кратные 12, это, например: $12 \cdot 1 = 12$, $12 \cdot 2 = 24$ и $12 \cdot 3 = 36$.

Ответ: 12, 24, 36.

г) Для чисел 6 и 9 найдём их наименьшее общее кратное (НОК).

Разложим на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$9 = 3^2$

НОК(6, 9) = $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Три числа, кратные 18, это, например: $18 \cdot 1 = 18$, $18 \cdot 2 = 36$ и $18 \cdot 3 = 54$.

Ответ: 18, 36, 54.

3.345 Назовите наименьшее число, которое кратно каждому из пары чисел:

а) 4 и 5;

б) 5 и 15;

в) 8 и 12;

г) 6 и 7;

д) 3 и 12;

е) 15 и 10.

a) Кратко 4 и 5: 20;
б) Кратко 5 и 15: 15;
в) Кратко 8 и 12: 24;
г) Кратко 6 и 7 : 42;
д) Кратко 3 и 12: 12;
е) Кратко 15 и 10: 30.

Все числа, кратные каждой паре, являются наименьшими.

а) Наименьшее число, кратное каждому из чисел 4 и 5, — это их наименьшее общее кратное (НОК). Поскольку числа 4 и 5 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), их НОК равно их произведению. $НОК(4, 5) = 4 \cdot 5 = 20$. Ответ: 20

б) Нужно найти НОК для чисел 5 и 15. В данном случае число 15 делится на 5 без остатка ($15 : 5 = 3$). Если одно число из пары кратно другому, то их наименьшее общее кратное равно большему из этих чисел. $НОК(5, 15) = 15$. Ответ: 15

в) Чтобы найти НОК для чисел 8 и 12, разложим их на простые множители. Разложение числа 8 на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. Разложение числа 12 на простые множители: $12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^1$. Для нахождения НОК, необходимо взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их. Наибольшая степень для множителя 2 — это $2^3$, а для множителя 3 — это $3^1$. $НОК(8, 12) = 2^3 \cdot 3^1 = 8 \cdot 3 = 24$. Ответ: 24

г) Находим НОК для чисел 6 и 7. Эти числа являются взаимно простыми, так как у них нет общих делителей кроме 1. Их НОК равно их произведению. $НОК(6, 7) = 6 \cdot 7 = 42$. Ответ: 42

д) Находим НОК для чисел 3 и 12. Так как число 12 кратно числу 3 ($12 : 3 = 4$), то наименьшее общее кратное этих чисел равно большему из них. $НОК(3, 12) = 12$. Ответ: 12

е) Для нахождения НОК чисел 15 и 10, разложим их на простые множители. Разложение числа 15: $15 = 3 \cdot 5$. Разложение числа 10: $10 = 2 \cdot 5$. Для нахождения НОК, берем все простые множители из обоих разложений (это 2, 3, и 5) в их наибольших степенях ($2^1, 3^1, 5^1$) и перемножаем их. $НОК(15, 10) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$. Ответ: 30

3.346 Парковка рассчитана на 80 машиномест. Можно ли их расположить в два одинаковых ряда? в пять одинаковых рядов? Можно ли машины расположить по 6 в ряд?

2 - делитель числа 80; $(80 : 2 = 40)$;

5 - делитель числа 80; $(80 : 5 = 16)$;

6 - не является делителем числа 80.

Ответ: в 2 ряда можно; в 5 рядов можно; но в 6 ряд нельзя.

Можно ли их расположить в два одинаковых ряда?
Чтобы определить, можно ли расположить 80 машиномест в два одинаковых ряда, необходимо проверить, делится ли число 80 на 2 без остатка. Если делится, то такое расположение возможно.
Выполним деление: $80 \div 2 = 40$.
Поскольку 80 делится на 2 без остатка, можно сделать два одинаковых ряда. В каждом ряду будет по 40 машиномест.
Ответ: да, можно.

в пять одинаковых рядов?
Аналогично предыдущему пункту, проверим, делится ли число 80 на 5 без остатка.
Выполним деление: $80 \div 5 = 16$.
Число 80 делится на 5 без остатка, следовательно, можно расположить машиноместа в пять одинаковых рядов. В каждом ряду будет по 16 машиномест.
Ответ: да, можно.

Можно ли машины расположить по 6 в ряд?
Чтобы расположить машины по 6 в каждом ряду, необходимо, чтобы общее количество мест (80) делилось на 6 без остатка. Это позволит создать несколько полностью заполненных рядов по 6 машин в каждом.
Выполним деление: $80 \div 6$.
$80 = 6 \times 13 + 2$.
При делении 80 на 6 получается 13 и остаток 2. Это означает, что можно сделать 13 полных рядов по 6 машин, но 2 машиноместа останутся незаполненными, или для них не хватит целого ряда. Таким образом, расположить ровно по 6 машин во всех рядах так, чтобы занять все 80 мест, невозможно.
Ответ: нет, нельзя.

?

Что называют произведением десятичной дроби и натурального числа?

Произведением десятичной дроби $a$ на натуральное число $n$ (где $n > 1$) называют сумму $n$ слагаемых, каждое из которых равно этой десятичной дроби. По сути, это многократное сложение дроби с самой собой.

Например, произведение $4.5$ на $3$ можно представить как сумму: $4.5 \cdot 3 = 4.5 + 4.5 + 4.5 = 13.5$.

Ответ: Произведением десятичной дроби на натуральное число $n$ называют сумму $n$ слагаемых, каждое из которых равно этой десятичной дроби.

Расскажите алгоритм умножения десятичной дроби на натуральное число.

Алгоритм умножения десятичной дроби на натуральное число следующий:

1. Сначала нужно перемножить числа так, как будто они натуральные, полностью игнорируя запятую в десятичной дроби.

2. Затем в полученном произведении следует отделить запятой столько цифр справа, сколько десятичных знаков (цифр после запятой) было в исходной десятичной дроби.

Рассмотрим пример: умножим $6.34$ на $5$.

Сначала умножаем $634$ на $5$, получаем $3170$. В исходной дроби $6.34$ есть две цифры после запятой. Следовательно, в результате $3170$ нужно отделить две цифры справа. Получаем $31.70$, что равно $31.7$.

Если в результате умножения получилось меньше цифр, чем нужно отделить запятой, то впереди дописывают необходимое количество нулей. Например, умножим $0.07$ на $2$. Умножаем $7$ на $2$, получаем $14$. В дроби $0.07$ два знака после запятой. В числе $14$ всего две цифры, поэтому, чтобы отделить два знака, ставим запятую и ноль впереди: $0.14$.

Ответ: Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, нужно: 1) умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятую; 2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби.

Чему равно произведение дроби и числа 1?

Произведение любой дроби (как обыкновенной, так и десятичной) на число 1 равно самой этой дроби. Это является одним из основных свойств умножения (умножение на единицу).

Если $a$ — любая дробь, то справедливо равенство: $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$.

Например: $27.5 \cdot 1 = 27.5$.

Ответ: Произведение дроби и числа 1 равно самой этой дроби.

Как умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д.?

Чтобы умножить десятичную дробь на разрядную единицу ($10, 100, 1000$ и так далее), нужно в этой дроби перенести запятую вправо на столько знаков, сколько нулей содержится в множителе (в разрядной единице).

Например:

$2.935 \cdot 10 = 29.35$ (в числе $10$ один ноль, переносим запятую на 1 знак вправо).

$2.935 \cdot 100 = 293.5$ (в числе $100$ два нуля, переносим запятую на 2 знака вправо).

Если для переноса запятой не хватает цифр в дробной части, то в конец числа дописывают нули. Например, для умножения $4.8$ на $1000$ нужно перенести запятую на 3 знака вправо. В числе $4.8$ только одна цифра после запятой, поэтому дописываем два нуля: $4.800$. Тогда $4.8 \cdot 1000 = 4800$.

Ответ: Чтобы умножить десятичную дробь на $10, 100, 1000$ и т.д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы.

6.171 Представьте произведение в виде суммы и вычислите его значение:

а) 9,35 • 8;

б) 3,7 • 5.

а) Чтобы представить произведение $9,35 \cdot 8$ в виде суммы, нужно по определению умножения сложить число $9,35$ само с собой $8$ раз.
Представление в виде суммы:
$9,35 \cdot 8 = 9,35 + 9,35 + 9,35 + 9,35 + 9,35 + 9,35 + 9,35 + 9,35$
Теперь вычислим значение, выполнив умножение:
$9,35 \cdot 8 = 74,8$
Ответ: $9,35 + 9,35 + 9,35 + 9,35 + 9,35 + 9,35 + 9,35 + 9,35 = 74,8$.

б) Аналогично, чтобы представить произведение $3,7 \cdot 5$ в виде суммы, нужно сложить число $3,7$ само с собой $5$ раз.
Представление в виде суммы:
$3,7 \cdot 5 = 3,7 + 3,7 + 3,7 + 3,7 + 3,7$
Теперь вычислим значение этого выражения:
$3,7 \cdot 5 = 18,5$
Ответ: $3,7 + 3,7 + 3,7 + 3,7 + 3,7 = 18,5$.

6.172 Найдите произведение:

a) 7,6 • 8;

б) 4,25 • 16;

в) 0,085 • 26;

г) 20,55 • 46;

д) 123,44 • 25;

е) 14,75 • 96.

а) Чтобы найти произведение десятичной дроби на натуральное число, нужно умножить их как натуральные числа, не обращая внимания на запятую, а затем в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в десятичной дроби.

Для примера $7,6 \cdot 8$ умножим $76$ на $8$:
$76 \cdot 8 = 608$.

В множителе $7,6$ одна цифра после запятой. Следовательно, в результате $608$ нужно отделить запятой одну цифру справа. Получаем $60,8$.

Ответ: $60,8$

б) Найдем произведение $4,25 \cdot 16$.

Умножим $425$ на $16$, не обращая внимания на запятую:
$425 \cdot 16 = 425 \cdot (10 + 6) = 425 \cdot 10 + 425 \cdot 6 = 4250 + 2550 = 6800$.

В множителе $4,25$ две цифры после запятой. В результате $6800$ отделяем две цифры справа, получаем $68,00$, что равно $68$.

Ответ: $68$

в) Найдем произведение $0,085 \cdot 26$.

Умножим $85$ на $26$:
$85 \cdot 26 = 85 \cdot (20 + 6) = 85 \cdot 20 + 85 \cdot 6 = 1700 + 510 = 2210$.

В множителе $0,085$ три цифры после запятой. В результате $2210$ отделяем три цифры справа, получаем $2,210$, что равно $2,21$.

Ответ: $2,21$

г) Найдем произведение $20,55 \cdot 46$.

Умножим $2055$ на $46$:
$2055 \cdot 46 = 2055 \cdot (40 + 6) = 2055 \cdot 40 + 2055 \cdot 6 = 82200 + 12330 = 94530$.

В множителе $20,55$ две цифры после запятой. В результате $94530$ отделяем две цифры справа, получаем $945,30$, что равно $945,3$.

Ответ: $945,3$

д) Найдем произведение $123,44 \cdot 25$.

Умножим $12344$ на $25$:
$12344 \cdot 25 = 12344 \cdot (20 + 5) = 12344 \cdot 20 + 12344 \cdot 5 = 246880 + 61720 = 308600$.

В множителе $123,44$ две цифры после запятой. В результате $308600$ отделяем две цифры справа, получаем $3086,00$, что равно $3086$.

Альтернативный способ: умножение на $25$ можно заменить умножением на $100$ и делением на $4$.
$123,44 \cdot 25 = (123,44 \cdot 100) \div 4 = 12344 \div 4 = 3086$.

Ответ: $3086$

е) Найдем произведение $14,75 \cdot 96$.

Умножим $1475$ на $96$:
$1475 \cdot 96 = 1475 \cdot (90 + 6) = 1475 \cdot 90 + 1475 \cdot 6 = 132750 + 8850 = 141600$.

В множителе $14,75$ две цифры после запятой. В результате $141600$ отделяем две цифры справа, получаем $1416,00$, что равно $1416$.

Альтернативный способ: можно представить $14,75$ в виде обыкновенной дроби: $14,75 = 14\frac{75}{100} = 14\frac{3}{4} = \frac{59}{4}$.
Тогда: $\frac{59}{4} \cdot 96 = 59 \cdot \frac{96}{4} = 59 \cdot 24 = 1416$.

Ответ: $1416$

6.173 Выполните умножение:

а) 3,35 • 6 • 8;

б) 21,188 • 14 • 15;

в) 0,04 • 5 • 6;

г) 8 • 1,25 • 4,14.

Чтобы найти произведение $3,35 \cdot 6 \cdot 8$, воспользуемся сочетательным свойством умножения $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$ и сгруппируем множители для удобства вычислений. Сначала перемножим целые числа.

1) Выполним умножение $6$ на $8$:

$6 \cdot 8 = 48$

2) Теперь умножим $3,35$ на полученный результат $48$:

$3,35 \cdot 48 = 160,8$

Ответ: 160,8

Чтобы найти произведение $21,188 \cdot 14 \cdot 15$, применим сочетательное свойство умножения и выберем наиболее удобный порядок действий. Умножим сначала $14$ на $15$.

1) Выполним умножение $14$ на $15$:

$14 \cdot 15 = 210$

2) Теперь умножим $21,188$ на полученный результат $210$. Для удобства можно умножить $21,188$ на $21$, а затем результат умножить на $10$.

$21,188 \cdot 21 = 444,948$

$444,948 \cdot 10 = 4449,48$

Ответ: 4449,48

Для вычисления произведения $0,04 \cdot 5 \cdot 6$ сгруппируем множители так, чтобы вычисления были проще. Удобно сначала умножить $0,04$ на $5$.

1) Выполним умножение $0,04$ на $5$:

$0,04 \cdot 5 = 0,2$

2) Затем полученный результат $0,2$ умножим на $6$:

$0,2 \cdot 6 = 1,2$

Ответ: 1,2

В примере $8 \cdot 1,25 \cdot 4,14$ наиболее удобно сначала перемножить $8$ и $1,25$, так как их произведение является круглым числом.

1) Выполним умножение $8$ на $1,25$:

$8 \cdot 1,25 = 10$

2) Теперь умножим полученное число $10$ на $4,14$. Умножение на $10$ сводится к переносу запятой в десятичной дроби на один знак вправо.

$10 \cdot 4,14 = 41,4$

Ответ: 41,4

6.174 Вычислите:

а) (1,9 + 4,2) • 14;

б) (9,9 - 5,5) • 25;

в) (5,21 + 3,69) • 25;

г) (8,438 - 3,068) • 12.

а) Для вычисления выражения $(1,9 + 4,2) \cdot 14$ сначала выполним действие в скобках.
1. Сложение: $1,9 + 4,2 = 6,1$.
2. Теперь умножим результат на $14$: $6,1 \cdot 14$.
$6,1 \cdot 10 = 61$
$6,1 \cdot 4 = 24,4$
$61 + 24,4 = 85,4$
Таким образом, $(1,9 + 4,2) \cdot 14 = 6,1 \cdot 14 = 85,4$.
Ответ: $85,4$

б) Для вычисления выражения $(9,9 - 5,5) \cdot 25$ сначала выполним действие в скобках.
1. Вычитание: $9,9 - 5,5 = 4,4$.
2. Теперь умножим результат на $25$. Удобно представить $25$ как $100 / 4$:
$4,4 \cdot 25 = 4,4 \cdot \frac{100}{4} = \frac{440}{4} = 110$.
Таким образом, $(9,9 - 5,5) \cdot 25 = 4,4 \cdot 25 = 110$.
Ответ: $110$

в) Для вычисления выражения $(5,21 + 3,69) \cdot 25$ сначала выполним действие в скобках.
1. Сложение: $5,21 + 3,69 = 8,90 = 8,9$.
2. Теперь умножим результат на $25$:
$8,9 \cdot 25 = 8,9 \cdot \frac{100}{4} = \frac{890}{4} = 222,5$.
Таким образом, $(5,21 + 3,69) \cdot 25 = 8,9 \cdot 25 = 222,5$.
Ответ: $222,5$

г) Для вычисления выражения $(8,438 - 3,068) \cdot 12$ сначала выполним действие в скобках.
1. Вычитание: $8,438 - 3,068 = 5,370 = 5,37$.
2. Теперь умножим результат на $12$:
$5,37 \cdot 12 = 5,37 \cdot (10 + 2) = 5,37 \cdot 10 + 5,37 \cdot 2 = 53,7 + 10,74 = 64,44$.
Таким образом, $(8,438 - 3,068) \cdot 12 = 5,37 \cdot 12 = 64,44$.
Ответ: $64,44$

6.175 Представьте сумму в виде произведения и найдите его значение:

а) $4,28 + 4,28 + 4,28 + 4,28 + 4,28 =$

$= 4,28·5 = 21,4$

$\begin{array}{c}\times 4,28\\ 5\\ \text{—————}\\ 21,40 = 21,4\end{array}$

б) $19,06 + 19,06 + 19,06 + 19,06 + 19,06 + 19,06 = 19,06·6 = 114,36$

$\begin{array}{c}\times 19,06\\ 6\\ \text{——————}\\ 114,36\end{array}$

а) Чтобы представить сумму в виде произведения, необходимо посчитать количество одинаковых слагаемых и умножить слагаемое на это количество. В выражении $4,28 + 4,28 + 4,28 + 4,28 + 4,28$ число $4,28$ складывается 5 раз. Поэтому сумму можно записать в виде произведения:
$4,28 \cdot 5$
Найдем значение этого произведения:
$4,28 \cdot 5 = 21,4$

Ответ: $4,28 \cdot 5 = 21,4$.

б) В выражении $19,06 + 19,06 + 19,06 + 19,06 + 19,06 + 19,06$ число $19,06$ складывается 6 раз. Заменим сложение умножением:
$19,06 \cdot 6$
Найдем значение этого произведения:
$19,06 \cdot 6 = 114,36$

Ответ: $19,06 \cdot 6 = 114,36$.

6.176 Найдите периметр восьмиугольника, все стороны которого имеют одинаковую длину, если длина одной стороны равна 12,5 см.

$\mathrm{12,5}·8 = 100\left(\text{см}\right)$

$\begin{array}{cc}\times \hfill & \hfill \mathrm{12,5}\\ & \hfill 8\\ \text{————}\\ & \hfill \mathrm{100,0}\end{array}$

Ответ: $100\text{ см} = 1\text{ м}$

6.176 Периметр многоугольника – это сумма длин всех его сторон. В условии задачи дан восьмиугольник, то есть многоугольник, у которого 8 сторон.
Известно, что все стороны восьмиугольника имеют одинаковую длину. Длина одной стороны $a$ составляет 12,5 см.
Чтобы найти периметр $P$ такого многоугольника, нужно количество сторон $n$ умножить на длину одной стороны $a$.
Формула для расчета периметра:
$P = n \cdot a$
Подставим в формулу известные значения:
$n = 8$
$a = 12,5$ см
$P = 8 \cdot 12,5 = 100$ см.
Ответ: 100 см.

6.177 Один перегон электропоезд прошёл за 0,75 ч со скоростью 62 км/ч, а другой — за 2 ч со скоростью 54,2 км/ч. Какое расстояние прошёл электропоезд за всё это время?

1) $62·\mathrm{0,75} = \mathrm{46,5}$ (км) - длина I перегона

2) $\mathrm{54,2}·2 = \mathrm{108,4}$ (км) - длина II перегона

3) $\mathrm{46,5} + \mathrm{108,4} = \mathrm{154,9}$ (км) - все расстояние

Ответ: 154,9 км

Для решения задачи необходимо найти расстояние, пройденное на каждом из двух участков пути, а затем сложить их. Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$, где $S$ – это расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

1. Вычислим расстояние, пройденное на первом перегоне.
Скорость электропоезда на первом перегоне была $v_1 = 62$ км/ч, а время в пути составило $t_1 = 0,75$ ч.
Расстояние первого перегона: $S_1 = 62 \text{ км/ч} \cdot 0,75 \text{ ч} = 46,5$ км.

2. Вычислим расстояние, пройденное на втором перегоне.
Скорость электропоезда на втором перегоне была $v_2 = 54,2$ км/ч, а время в пути составило $t_2 = 2$ ч.
Расстояние второго перегона: $S_2 = 54,2 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 108,4$ км.

3. Чтобы найти общее расстояние, сложим расстояния, пройденные на первом и втором перегонах.
Общее расстояние: $S_{общ} = S_1 + S_2 = 46,5 \text{ км} + 108,4 \text{ км} = 154,9$ км.

Ответ: 154,9 км.

6.178 Найдите значения выражений:

Для того чтобы умножить десятичную дробь на разрядную единицу (10, 100, 1000 и т.д.), необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на столько знаков, сколько нулей содержится в разрядной единице. Если количество цифр после запятой меньше, чем количество нулей, то недостающие знаки заменяются нулями, которые дописываются в конце числа.

а)

При умножении на 10 (один ноль) запятая переносится на один знак вправо.

$5,31 \cdot 10 = 53,1$

$0,23 \cdot 10 = 2,3$

$4,3 \cdot 10 = 43$

$0,1 \cdot 10 = 1$

$0,02 \cdot 10 = 0,2$

Ответ: 53,1; 2,3; 43; 1; 0,2.

б)

При умножении на 100 (два нуля) запятая переносится на два знака вправо.

$5,431 \cdot 100 = 543,1$

$30,45 \cdot 100 = 3045$

$0,009 \cdot 100 = 0,9$

$0,24 \cdot 100 = 24$

$0,1 \cdot 100 = 10$ (переносим запятую на два знака: $0,1 = 0,10$, получаем 10)

$0,02 \cdot 100 = 2$

Ответ: 543,1; 3045; 0,9; 24; 10; 2.

в)

При умножении на 1000 (три нуля) запятая переносится на три знака вправо. При умножении на 10000 (четыре нуля) запятая переносится на четыре знака вправо.

$78,71 \cdot 1000 = 78710$ (переносим запятую на три знака: $78,71 = 78,710$, получаем 78710)

$5,4 \cdot 1000 = 5400$ (переносим запятую на три знака: $5,4 = 5,400$, получаем 5400)

$0,00039 \cdot 1000 = 0,39$ (переносим запятую на три знака вправо)

$0,009 \cdot 10000 = 90$ (переносим запятую на четыре знака: $0,009 = 0,0090$, получаем 90)

$0,203 \cdot 10000 = 2030$ (переносим запятую на четыре знака: $0,203 = 0,2030$, получаем 2030)

Ответ: 78710; 5400; 0,39; 90; 2030.

6.179 Представьте в десятичной записи число:

а) 5,6 тыс.;

б) 69,4 тыс.;

в) 532,7 тыс.;

г) 7,3 млн;

д) 98,31 млн;

е) 0,819 млн;

ж) 2,2 млрд;

з) 0,43 млрд.

а) Чтобы представить число 5,6 тыс. в десятичной записи, необходимо умножить 5,6 на 1000, так как «тыс.» — это сокращение от «тысяча». При умножении на 1000 запятая в десятичной дроби переносится на три знака вправо.
$5,6 \cdot 1000 = 5600$
Ответ: 5600.

б) Для перевода 69,4 тыс. в десятичную запись, умножаем 69,4 на 1000.
$69,4 \cdot 1000 = 69400$
Ответ: 69400.

в) Для перевода 532,7 тыс. в десятичную запись, умножаем 532,7 на 1000.
$532,7 \cdot 1000 = 532700$
Ответ: 532700.

г) Чтобы представить число 7,3 млн в десятичной записи, необходимо умножить 7,3 на 1 000 000, так как «млн» — это сокращение от «миллион». При умножении на 1 000 000 запятая переносится на шесть знаков вправо.
$7,3 \cdot 1000000 = 7300000$
Ответ: 7300000.

д) Для перевода 98,31 млн в десятичную запись, умножаем 98,31 на 1 000 000.
$98,31 \cdot 1000000 = 98310000$
Ответ: 98310000.

е) Для перевода 0,819 млн в десятичную запись, умножаем 0,819 на 1 000 000.
$0,819 \cdot 1000000 = 819000$
Ответ: 819000.

ж) Чтобы представить число 2,2 млрд в десятичной записи, необходимо умножить 2,2 на 1 000 000 000, так как «млрд» — это сокращение от «миллиард». При умножении на 1 000 000 000 запятая переносится на девять знаков вправо.
$2,2 \cdot 1000000000 = 2200000000$
Ответ: 2200000000.

з) Для перевода 0,43 млрд в десятичную запись, умножаем 0,43 на 1 000 000 000.
$0,43 \cdot 1000000000 = 430000000$
Ответ: 430000000.

6.180 Зная интервал времени между вспышкой молнии и раскатом грома, можно приблизительно определить расстояние, на котором гроза находится от наблюдателя. Найдите расстояние до грозы, если от момента вспышки молнии до раската грома прошло 18 с, а скорость звука равна 0,33 км/с.

Для решения этой задачи воспользуемся основной физической формулой, связывающей расстояние, скорость и время: $S = v \cdot t$, где $S$ – это расстояние, $v$ – скорость, а $t$ – время.

Вспышка молнии и раскат грома происходят одновременно в одном и том же месте. Свет от вспышки распространяется с огромной скоростью (около 300 000 км/с), поэтому наблюдатель видит молнию практически мгновенно. Звук грома распространяется значительно медленнее. Таким образом, временной интервал, указанный в задаче, — это время, которое потребовалось звуку, чтобы преодолеть расстояние от места удара молнии до наблюдателя.

В условии задачи нам даны:

• Интервал времени между вспышкой и громом, $t = 18$ с.
• Скорость звука, $v = 0,33$ км/с.

Теперь мы можем рассчитать расстояние $S$ до грозы, подставив известные значения в формулу:

$S = v \cdot t = 0,33 \text{ км/с} \cdot 18 \text{ с}$

Выполним вычисление:

$S = 5,94 \text{ км}$

Ответ: расстояние до грозы составляет 5,94 км.

6.181 В течение двух недель Миша съел 4 порции мороженого массой 0,18 кг каждая, а Петя — 9 порций мороженого массой 0,25 кг каждая.

а) Сколько мороженого они съели?

б) На сколько больше мороженого съел Петя, чем Миша?

а) 1) $4·0.18 = 0.72\text{(кг)}\text{- съел Миша}$

2) $9·0.25 = 2.25\text{(кг)}\text{- съел Петя}$

3) $0.72 + 2.25 = 2.97\text{(кг)}\text{всего мороженого съели мальчики}$

б) $2.25 - 0.72 = 1.53\text{(кг)}$

Ответ: а) 2,97 кг; б) на 1,53 кг

а) Сколько мороженого они съели?

Для того чтобы узнать, сколько всего мороженого съели Миша и Петя, необходимо сначала вычислить массу мороженого, съеденного каждым из них, а затем сложить эти значения.

1. Вычислим, сколько килограммов мороженого съел Миша. Он съел 4 порции по 0,18 кг каждая:
$4 \times 0,18 = 0,72$ кг

2. Вычислим, сколько килограммов мороженого съел Петя. Он съел 9 порций по 0,25 кг каждая:
$9 \times 0,25 = 2,25$ кг

3. Теперь найдем общую массу съеденного мороженого, сложив массу, которую съел Миша, и массу, которую съел Петя:
$0,72 + 2,25 = 2,97$ кг

Ответ: всего они съели 2,97 кг мороженого.

б) На сколько больше мороженого съел Петя, чем Миша?

Чтобы определить, на сколько больше мороженого съел Петя по сравнению с Мишей, нужно из массы мороженого, съеденного Петей, вычесть массу мороженого, съеденного Мишей. Эти значения мы уже рассчитали в предыдущем пункте.

Масса мороженого, съеденного Петей: $2,25$ кг.
Масса мороженого, съеденного Мишей: $0,72$ кг.

Найдем разницу:
$2,25 - 0,72 = 1,53$ кг

Ответ: Петя съел на 1,53 кг мороженого больше, чем Миша.