Страница 114, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

?

Что называют квадратом числа; кубом числа?

Квадратом числа a называют вторую степень этого числа, то есть произведение двух множителей, каждый из которых равен a. Это записывается как $a^2$ и вычисляется по формуле $a^2 = a \cdot a$. Например, квадрат числа 5 это $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.

Кубом числа a называют третью степень этого числа, то есть произведение трех множителей, каждый из которых равен a. Это записывается как $a^3$ и вычисляется по формуле $a^3 = a \cdot a \cdot a$. Например, куб числа 2 это $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Ответ: Квадратом числа называют его вторую степень. Кубом числа называют его третью степень.

Чему равна первая степень числа?

Первая степень любого числа равна самому этому числу. Это одно из основных свойств степеней. Для любого числа a справедливо равенство: $a^1 = a$. Например, $17^1 = 17$, а $100^1 = 100$.

Ответ: Первая степень числа равна самому этому числу.

Назовите основание и показатель степени: 7?; 14?; 5??; 111?; 19?.

В выражении вида $a^n$ число a, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число n, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени.

• Для степени $7^6$: основание равно 7, а показатель степени равен 6.
• Для степени $14^3$: основание равно 14, а показатель степени равен 3.
• Для степени $5^{12}$: основание равно 5, а показатель степени равен 12.
• Для степени $111^2$: основание равно 111, а показатель степени равен 2.
• Для степени $19^1$: основание равно 19, а показатель степени равен 1.

Ответ: В $7^6$ основание 7, показатель 6; в $14^3$ основание 14, показатель 3; в $5^{12}$ основание 5, показатель 12; в $111^2$ основание 111, показатель 2; в $19^1$ основание 19, показатель 1.

Укажите порядок действий для выражений: 10 · 4?; (10 · 4)?; 10? + 4.

Порядок выполнения арифметических действий следующий: сначала выполняются действия в скобках, затем возведение в степень, после этого умножение и деление (в порядке их следования слева направо), и в последнюю очередь — сложение и вычитание (также слева направо).

• Для выражения $10 \cdot 4^2$:
  1. Первым действием выполняется возведение в степень: $4^2 = 16$.
  2. Вторым действием выполняется умножение: $10 \cdot 16 = 160$.
• Для выражения $(10 \cdot 4)^2$:
  1. Первым действием выполняется операция в скобках (умножение): $10 \cdot 4 = 40$.
  2. Вторым действием выполняется возведение в степень: $40^2 = 1600$.
• Для выражения $10^2 + 4$:
  1. Первым действием выполняется возведение в степень: $10^2 = 100$.
  2. Вторым действием выполняется сложение: $100 + 4 = 104$.

Ответ: В выражении $10 \cdot 4^2$ порядок действий: возведение в степень, затем умножение. В выражении $(10 \cdot 4)^2$ порядок действий: умножение в скобках, затем возведение в степень. В выражении $10^2 + 4$ порядок действий: возведение в степень, затем сложение.

3.297 а) Составьте таблицу степеней числа 10 для показателей от 1 до 9.

б) Составьте таблицу квадратов чисел от 11 до 20.

а)

б)

а) Чтобы составить таблицу степеней числа 10 для показателей от 1 до 9, необходимо последовательно вычислить результат возведения числа 10 в степень от 1 до 9. Степень $10^n$ представляет собой число, состоящее из единицы и $n$ нулей. Выполним вычисления:

$10^1 = 10$

$10^2 = 100$

$10^3 = 1000$

$10^4 = 10000$

$10^5 = 100000$

$10^6 = 1000000$

$10^7 = 10000000$

$10^8 = 100000000$

$10^9 = 1000000000$

Ответ: Таблица степеней числа 10 для показателей от 1 до 9:
$10^1 = 10$
$10^2 = 100$
$10^3 = 1000$
$10^4 = 10000$
$10^5 = 100000$
$10^6 = 1000000$
$10^7 = 10000000$
$10^8 = 100000000$
$10^9 = 1000000000$.

б) Чтобы составить таблицу квадратов чисел от 11 до 20, необходимо для каждого числа из этого диапазона найти его квадрат. Квадрат числа $n$ – это результат умножения этого числа на само себя, что записывается как $n^2$. Выполним вычисления:

$11^2 = 11 \cdot 11 = 121$

$12^2 = 12 \cdot 12 = 144$

$13^2 = 13 \cdot 13 = 169$

$14^2 = 14 \cdot 14 = 196$

$15^2 = 15 \cdot 15 = 225$

$16^2 = 16 \cdot 16 = 256$

$17^2 = 17 \cdot 17 = 289$

$18^2 = 18 \cdot 18 = 324$

$19^2 = 19 \cdot 19 = 361$

$20^2 = 20 \cdot 20 = 400$

Ответ: Таблица квадратов чисел от 11 до 20:
$11^2 = 121$
$12^2 = 144$
$13^2 = 169$
$14^2 = 196$
$15^2 = 225$
$16^2 = 256$
$17^2 = 289$
$18^2 = 324$
$19^2 = 361$
$20^2 = 400$.

3.298 Запишите в виде степени произведение:

а) 5 • 5 • 5 • 5 • 5 • 5;

б) 21 • 21 • 21 • 21 • 21;

в) 203 • 203 • 203;

г) 99 • 99 • 99 • 99;

д) 2018 • 2018 • 2018;

е) $\underset{100 множителей}{\underbrace{10·10·...·10.}}$

a) $5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 5^6$

б) $21 · 21 · 21 · 21 · 21 = {21}^5$

в) $203 · 203 · 203 = {203}^3$

г) $99 · 99 · 99 · 99 = {99}^4$

д) $2018 · 2018 · 2018 = {2018}^3$

е) $\underset{100 \mathrm{множителей}}{\underbrace{10 · 10 · \dots · 10}} = {10}^{100}$

а) Чтобы записать произведение $5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$ в виде степени, нужно определить основание и показатель степени. Основание – это повторяющийся множитель, в данном случае это число 5. Показатель степени – это количество раз, которое множитель повторяется, в данном случае 5 раз. Таким образом, произведение записывается как $5^5$.
Ответ: $5^5$.

б) В произведении $21 \cdot 21 \cdot 21 \cdot 21$ число 21 является основанием, так как это повторяющийся множитель. Оно умножается само на себя 4 раза, следовательно, показатель степени равен 4. Таким образом, произведение в виде степени будет $21^4$.
Ответ: $21^4$.

в) В произведении $203 \cdot 203 \cdot 203$ основанием степени является число 203. Оно повторяется 3 раза, поэтому показатель степени равен 3. В виде степени это произведение записывается как $203^3$.
Ответ: $203^3$.

г) Для произведения $99 \cdot 99 \cdot 99 \cdot 99 \cdot 99$ основанием является число 99. Количество множителей равно 5, что и будет показателем степени. Таким образом, получаем степень $99^5$.
Ответ: $99^5$.

д) В произведении $2018 \cdot 2018 \cdot 2018$ основанием степени является число 2018. Оно умножается само на себя 3 раза, значит, показатель степени равен 3. Запись в виде степени будет $2018^3$.
Ответ: $2018^3$.

е) В произведении $10 \cdot 10 \cdot \dots \cdot 10$ основанием степени является число 10. Указано, что в произведении 100 множителей, следовательно, показатель степени равен 100. Таким образом, произведение записывается в виде степени как $10^{100}$.
Ответ: $10^{100}$.

3.299 Пользуясь интернет-ресурсами, узнайте историю возникновения этого названия, а также найдите названия других чисел-великанов.

№ 3.299 (в эксптр. вар-те)

Поскольку в вопросе не указано конкретное название, будем исходить из того, что речь идет о самом известном «числе-великане» — гуголе, так как история его названия наиболее примечательна.

История возникновения названия «гугол»

Название «гугол» (англ. googol) для обозначения очень большого числа было придумано в 1920 году. Американский математик Эдвард Казнер (Edward Kasner) гулял в парке со своими двумя племянниками и обсуждал с ними большие числа. Он попросил своего девятилетнего племянника Милтона Сиротту (Milton Sirotta) придумать название для числа, которое записывается как единица со ста нулями, то есть $10^{100}$. Мальчик предложил слово «гугол».

Казнеру понравилась эта идея. Позже он также ввел понятие «гуголплекс» (googolplex), которое, по предложению того же Милтона, обозначало еще большее число — $10$ в степени гугол, то есть $10^{(10^{100})}$. Эти термины стали широко известны после выхода книги Казнера и Джеймса Ньюмана «Математика и воображение» в 1940 году.

Интересный факт: название всемирно известной поисковой системы «Google» является намеренно измененным написанием слова «googol». Основатели компании хотели таким образом подчеркнуть свою миссию по организации огромного, практически бесконечного объема информации в интернете.

Ответ: Название «гугол» для числа $10^{100}$ было предложено в 1920 году девятилетним Милтоном Сироттой, племянником американского математика Эдварда Казнера.

Названия других чисел-великанов

Кроме гугола и гуголплекса, существует множество других названий для очень больших чисел. Некоторые из них являются частью системы наименования, а другие были введены для решения специфических математических задач.

Систематические названия чисел. Существует так называемая «короткая шкала», используемая в России, США и некоторых других странах. В ней названия больших чисел образуются с помощью латинских числительных-приставок (би-, три-, квадри- и т.д.) и суффикса «-иллион». Каждое последующее число в 1000 раз больше предыдущего.
Примеры:
• Миллион = $10^6$
• Миллиард (или биллион) = $10^9$
• Триллион = $10^{12}$
• Квадриллион = $10^{15}$
• Квинтиллион = $10^{18}$
• Секстиллион = $10^{21}$
• Септиллион = $10^{24}$
• Октиллион = $10^{27}$
• Нониллион = $10^{30}$
• Дециллион = $10^{33}$

Гуголплекс (Googolplex). Как упоминалось выше, это число, равное $10$ в степени гугол: $10^{\text{гугол}} = 10^{(10^{100})}$. Оно настолько велико, что если бы мы захотели его записать, нам бы не хватило места во всей наблюдаемой Вселенной, так как количество атомов в ней оценивается «всего лишь» в $10^{80}$.

Число Грэма (Graham's Number, $G$). Одно из самых больших чисел, когда-либо использовавшихся в математическом доказательстве. Оно было получено как верхняя граница при решении одной из проблем в теории Рамсея. Число Грэма настолько огромно, что его невозможно записать с помощью степеней (как $10^{10^{\dots}}$). Для его записи применяют специальную стрелочную нотацию Кнута.

Число Скьюза (Skewes's number). Большое число, которое использовалось в теории чисел как верхняя оценка для решения проблемы, связанной с распределением простых чисел. Первая оценка числа Скьюза была примерно равна $10^{(10^{(10^{34})})}$.

Ответ: Среди других чисел-великанов можно назвать гуголплекс, триллион, квадриллион, квинтиллион, дециллион, число Грэма и число Скьюза.

3.300 Запишите в виде степени произведение:

а) t • t • t • t • t • t • t;

б) r • r • r • r;

в) a • a • a • a • a • a • a • a;

г) h • h;

д) c • c • c • c • c;

е) $\underset{p множителей}{\underbrace{a·a·...·a.}}$

a) $t · t · t · t · t · t · t = t^7$;

б) $r · r · r · r = r^4$;

в) $a · a · a · a · a · a · a · a = a^8$;

г) $h · h = h^2$;

д) $c · c · c · c · c = c^5$;

е) $\underset{p множителей}{\underbrace{a · a · \dots · a} }= a^p$

а) Степенью числа называется произведение нескольких одинаковых множителей. В выражении $t \cdot t \cdot t \cdot t \cdot t \cdot t$ множитель $t$ повторяется 6 раз. Число, которое повторяется (в данном случае $t$), называется основанием степени. Количество повторений (в данном случае 6) называется показателем степени. Таким образом, произведение можно записать в виде степени $t^6$.
Ответ: $t^6$

б) В произведении $r \cdot r \cdot r \cdot r$ множитель $r$ используется 4 раза. Следовательно, основанием степени является $r$, а показателем — 4. Запись в виде степени будет $r^4$.
Ответ: $r^4$

в) В данном произведении $a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a$ множитель $a$ повторяется 7 раз. Значит, основание степени равно $a$, а показатель степени равен 7. В виде степени это записывается как $a^7$.
Ответ: $a^7$

г) В произведении $h \cdot h$ множитель $h$ повторяется 2 раза. Такая степень называется квадратом числа. Основание степени — $h$, показатель — 2. Запись в виде степени: $h^2$.
Ответ: $h^2$

д) В выражении $c \cdot c \cdot c \cdot c \cdot c$ множитель $c$ повторяется 5 раз. Основанием степени будет $c$, а показателем — 5. Произведение можно записать как $c^5$.
Ответ: $c^5$

е) В выражении $\underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{p \text{ множителей}}$ указано, что множитель $a$ повторяется $p$ раз. По определению степени, такое произведение записывается с основанием $a$ и показателем $p$. Таким образом, выражение равно $a^p$.
Ответ: $a^p$

3.301 Представьте в виде степени:

а) (y + 2)(y + 2)(y + 2);

б) (6 - n)(6 - n);

в) x • x • x + 7 • 7 • 7;

г) p • p - q • q.

a) $\left(y + 2\right)\left(y + 2\right)\left(y + 2\right) = {\left(y + 2\right)}^3$
б) $\left(6 - n\right)\left(6 - n\right) = {\left(6 - n\right)}^2$
в) $x - x - x + 7 - 7 - 7 = x^3 + 7^3$
г) $p - p - q - q = p^2 - q^2$

а)

Заданное выражение $(y + 2)(y + 2)(y + 2)$ является произведением трех одинаковых множителей. По определению степени, произведение нескольких одинаковых сомножителей можно записать в виде степени, где основанием является повторяющийся множитель, а показателем — количество его повторений.

В данном случае основание степени — это выражение $(y + 2)$, а показатель степени равен 3, так как множитель повторяется три раза.

Таким образом, $(y + 2)(y + 2)(y + 2) = (y + 2)^3$.

Ответ: $(y + 2)^3$

б)

Выражение $(6 - n)(6 - n)$ представляет собой произведение двух одинаковых множителей $(6 - n)$.

Основанием степени является $(6 - n)$, а показателем степени — число 2, так как множитель повторяется дважды.

Следовательно, $(6 - n)(6 - n) = (6 - n)^2$.

Ответ: $(6 - n)^2$

в)

Выражение $x \cdot x \cdot x + 7 \cdot 7 \cdot 7$ является суммой двух произведений. Чтобы представить его в виде степени, нужно упростить каждое слагаемое отдельно.

Первое слагаемое $x \cdot x \cdot x$ — это произведение трех множителей $x$, что равно $x^3$.

Второе слагаемое $7 \cdot 7 \cdot 7$ — это произведение трех множителей 7, что равно $7^3$.

Сложив полученные результаты, получаем выражение $x^3 + 7^3$. Это сумма кубов, и она не может быть представлена в виде одной степени с простым основанием.

Ответ: $x^3 + 7^3$

г)

Выражение $p \cdot p - q \cdot q$ представляет собой разность двух произведений. Упростим каждое из них.

Уменьшаемое $p \cdot p$ — это произведение двух множителей $p$, что равно $p^2$.

Вычитаемое $q \cdot q$ — это произведение двух множителей $q$, что равно $q^2$.

Таким образом, итоговое выражение представляет собой разность квадратов: $p^2 - q^2$.

Ответ: $p^2 - q^2$

3.302 Запишите в виде произведения степень:

а) 8⁶;

б) 13³;

в) 1000²;

г) 50⁵;

д) x³;

е) a⁴;

ж) b⁷;

з) n⁹

а) $8^6 = 8 · 8 · 8 · 8 · 8 · 8$
б) ${13}^3 = 13 · 13 · 13$
в) ${1000}^2 = 1000 · 1000$
г) ${50}^5 = 50 · 50 · 50 · 50 · 50$
д) $x^3 = x · x · x$
е) $a^4 = a · a · a · a$
ж) $b^7 = b · b · b · b · b · b · b$
з) $n^9 = n · n · n · n · n · n · n · n · n$

Чтобы записать степень в виде произведения, нужно основание степени умножить само на себя столько раз, сколько показывает показатель степени. Общая формула: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$.

а) Степень $8^6$ означает, что число 8 нужно умножить само на себя 6 раз.
$8^6 = 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$.
Ответ: $8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 8$.

б) Степень $13^3$ означает, что число 13 нужно умножить само на себя 3 раза.
$13^3 = 13 \cdot 13 \cdot 13$.
Ответ: $13 \cdot 13 \cdot 13$.

в) Степень $1000^2$ означает, что число 1000 нужно умножить само на себя 2 раза.
$1000^2 = 1000 \cdot 1000$.
Ответ: $1000 \cdot 1000$.

г) Степень $50^5$ означает, что число 50 нужно умножить само на себя 5 раз.
$50^5 = 50 \cdot 50 \cdot 50 \cdot 50 \cdot 50$.
Ответ: $50 \cdot 50 \cdot 50 \cdot 50 \cdot 50$.

д) Степень $x^8$ означает, что переменную $x$ нужно умножить саму на себя 8 раз.
$x^8 = x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$.
Ответ: $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$.

е) Степень $a^4$ означает, что переменную $a$ нужно умножить саму на себя 4 раза.
$a^4 = a \cdot a \cdot a \cdot a$.
Ответ: $a \cdot a \cdot a \cdot a$.

ж) Степень $b^7$ означает, что переменную $b$ нужно умножить саму на себя 7 раз.
$b^7 = b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b$.
Ответ: $b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b \cdot b$.

з) Степень $n^9$ означает, что переменную $n$ нужно умножить саму на себя 9 раз.
$n^9 = n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n$.
Ответ: $n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n \cdot n$.

6.140 В первый день было отремонтировано 2,45 км дороги, во второй — 6,65 км, а в третий — 5,85 км. Найдите длину отремонтированной за 3 дня дороги и округлите ответ до десятых; до целых.

Для того чтобы найти общую длину отремонтированной за 3 дня дороги, нужно сложить расстояния, которые были отремонтированы в каждый из этих дней.

1. Найдём общую длину отремонтированной дороги:
$2,45 \text{ км} + 6,65 \text{ км} + 5,85 \text{ км} = 14,95 \text{ км}$.

2. Теперь, согласно условию, округлим полученный результат.

округлите ответ до десятых
Чтобы округлить число $14,95$ до десятых, смотрим на цифру в разряде сотых. Это цифра $5$. По правилам округления, если следующая за округляемым разрядом цифра равна $5, 6, 7, 8$ или $9$, то цифру в округляемом разряде увеличивают на единицу.
В нашем случае цифра в разряде десятых — это $9$. Увеличиваем ее на $1$, получаем $10$. $0$ записываем в разряд десятых, а $1$ переносим в разряд единиц. $14 + 1 = 15$.
$14,95 \approx 15,0$.
Ответ: $15,0$ км.

до целых
Чтобы округлить число $14,95$ до целых, смотрим на цифру в разряде десятых. Это цифра $9$. Так как она больше или равна $5$, то цифру в разряде целых (единиц) увеличиваем на единицу.
$14 + 1 = 15$.
$14,95 \approx 15$.
Ответ: $15$ км.

6.141 В пятиугольнике MNKPD стороны MN и MD равны по 5,3 дм; КР больше MN на 2,53 дм, но меньше NK на 1,73 дм; MD больше PD на 1,9 дм. Найдите периметр пятиугольника. Значение периметра округлите:

а) до десятых долей дециметра;

б) до целых дециметров;

в) до целых сантиметров;

г) до десятых долей метра.

MN = MD = $5,3\text{дм}$

KP - на $2,53\text{дм}$ больше , на $1,73\text{дм}$ меньше

NK - ?

MD - на $1,9\text{дм}$ больше

PD - ?

$P_{\text{MNKPD}}$ - ?

1) $5,3 + 2,53 = 7,83\text{(дм)}$ - KP

2) $7,83 + 1,73 = 9,56\text{(дм)}$ - NK

+ 7,83
1,73
-----
9,56

3) $5,3 - 1,9 = 3,4\text{(дм)}$ - PD

- 5,3
1,9
-----
3,4

4) $5,3 + 5,3 + 7,83 + 9,56 + 3,4 = 10,6 + 17,39 + 3,4 = 14 + 17,39 = 31,39\text{(дм)}$

(1)
+ 7,83
9,56
-----
17,39

а) $31,39\text{дм}\approx 31,4\text{дм}$

б) $31,39\text{дм}\approx 31\text{дм}$

в) $31,39\text{дм} = 31\frac{39}{100}\text{дм} = \frac{3139}{10}\text{см} = 313,9\text{см}$

$313,9\text{см}\approx 314\text{см}$

г) $1\text{дм} = 10\text{см};1\text{дм} = \frac{1}{10}\text{м}$

$31,39\text{дм} = 31\frac{39}{100}\text{дм} = \frac{3139}{1000}\text{м} = 3,139\text{м}$

$3,139\text{м}\approx 3,1\text{м}$

Для решения задачи сначала найдем длины всех сторон пятиугольника MNKPD, используя данные из условия.

Нам известны длины двух сторон:

$MN = 5,3$ дм

$MD = 5,3$ дм

Вычислим длины остальных сторон:

Сторона KP больше MN на 2,53 дм:

$KP = MN + 2,53 = 5,3 + 2,53 = 7,83$ дм

Сторона KP меньше NK на 1,73 дм, значит, NK больше KP на 1,73 дм:

$NK = KP + 1,73 = 7,83 + 1,73 = 9,56$ дм

Сторона MD больше PD на 1,9 дм, значит, PD меньше MD на 1,9 дм:

$PD = MD - 1,9 = 5,3 - 1,9 = 3,4$ дм

Теперь найдем периметр $P$ пятиугольника, который равен сумме длин всех его сторон:

$P = MN + NK + KP + PD + MD$

$P = 5,3 + 9,56 + 7,83 + 3,4 + 5,3 = 31,39$ дм

Далее округлим полученное значение периметра в соответствии с каждым подпунктом.

а) до десятых долей дециметра;
Периметр равен $31,39$ дм. Цифра в разряде сотых (9) больше или равна 5, поэтому округляем разряд десятых в большую сторону: $31,39 \approx 31,4$ дм.
Ответ: $31,4$ дм.

б) до целых дециметров;
Периметр равен $31,39$ дм. Цифра в разряде десятых (3) меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону (отбрасываем дробную часть): $31,39 \approx 31$ дм.
Ответ: $31$ дм.

в) до целых сантиметров;
Сначала переведем периметр из дециметров в сантиметры, зная, что $1$ дм $= 10$ см: $P = 31,39 \text{ дм} \times 10 = 313,9$ см. Теперь округлим до целых сантиметров. Цифра в разряде десятых (9) больше или равна 5, поэтому округляем целую часть в большую сторону: $313,9 \approx 314$ см.
Ответ: $314$ см.

г) до десятых долей метра.
Сначала переведем периметр из дециметров в метры, зная, что $1$ м $= 10$ дм: $P = 31,39 \text{ дм} \div 10 = 3,139$ м. Теперь округлим до десятых долей метра. Цифра в разряде сотых (3) меньше 5, поэтому округляем в меньшую сторону: $3,139 \approx 3,1$ м.
Ответ: $3,1$ м.

6.142 Вычислите.

а) $12·8 = (10 + 2)·8 = 10·8 + 2·8 = 80 + 16 =$

$= 96$

$96 + 14 = 90 + 6 + 10 + 4 = 100 + 10 = 110$

$110 : 11 = 10$

$10·15 = 150$

$150 : 25 = (100 + 50) : 25 = 100 : 25 + 50 : 25 = 4 + 2 = 6$

б) $16·3 = (10 + 6)·3 = 10·3 + 6·3 = 30 + 18 = 48$

$48 : 12 = 4$

$4·13 = 4·(10 + 3) = 4·10 + 4·3 = 40 + 12 = 52$

$52 + 38 = 50 + 2 + 30 + 8 = 80 + 10 = 90$

$90 : 18 = 5$

в) $204 : 2 = 102$

$102·6 = (100 + 2)·6 = 100·6 + 2·6 =$

$= 600 + 12 = 612$

$612 + 8 = 620$

$620 : 20 = (600 + 20) : 20 = 600 : 20 + 20 : 20 = 30 + 1 = 31$

$31 - 19 = 20 + 11 - 10 - 9 = (20 - 10) + (11 - 9) = 10 + 2 = 12$

г) $320 - 12 = (300 + 20) - 12 = 300 + 20 - 12 = 300 + 8 = 308$

$308 : 4 = (280 + 28) : 4 = 280 : 4 + 28 : 4 = 70 + 7 = 77$

$77 + 123 = 70 + 7 + 120 + 3 = 70 + 120 + 7 + 3 = 190 + 10 = 200$

$200·8 = 1600$

g) $350 + 250 = 600$

$600 : 20 = 30$

$30 + 273 = 303$

$303 : 3 = 101$

а) Для решения данного примера необходимо выполнить действия по порядку:

1. Умножение: $12 \cdot 8 = 96$

2. Сложение: $96 + 14 = 110$

3. Деление: $110 : 11 = 10$

4. Умножение: $10 \cdot 15 = 150$

5. Деление: $150 : 25 = 6$

Ответ: 6

б) Выполним вычисления по шагам:

1. Умножение: $16 \cdot 3 = 48$

2. Деление: $48 : 12 = 4$

3. Умножение: $4 \cdot 13 = 52$

4. Сложение: $52 + 38 = 90$

5. Деление: $90 : 18 = 5$

Ответ: 5

в) Выполним вычисления по шагам:

1. Деление: $204 : 2 = 102$

2. Умножение: $102 \cdot 6 = 612$

3. Сложение: $612 + 8 = 620$

4. Деление: $620 : 20 = 31$

5. Вычитание: $31 - 19 = 12$

Ответ: 12

г) Выполним вычисления по шагам:

1. Вычитание: $320 - 12 = 308$

2. Деление: $308 : 4 = 77$

3. Сложение: $77 + 123 = 200$

4. Умножение: $200 \cdot 8 = 1600$

Ответ: 1600

д) Выполним вычисления по шагам:

1. Сложение: $350 + 250 = 600$

2. Деление: $600 : 20 = 30$

3. Сложение: $30 + 273 = 303$

4. Деление: $303 : 3 = 101$

Ответ: 101

6.143 Найдите число в пустом квадрате цепочки.

а) Чтобы найти число в пустом квадрате, нужно последовательно выполнить все указанные операции, начиная с числа 3. Запишем все действия в виде одного выражения и решим его по шагам:

$3 + 0,9 - 0,4 + 2 + 0,9 - 1,4$

1) $3 + 0,9 = 3,9$

2) $3,9 - 0,4 = 3,5$

3) $3,5 + 2 = 5,5$

4) $5,5 + 0,9 = 6,4$

5) $6,4 - 1,4 = 5$

Таким образом, число в пустом квадрате равно 5.

Ответ: 5

б) Аналогично предыдущему пункту, выполним последовательно все действия с дробями, начиная с числа 3. Составим общее выражение:

$3 + \frac{1}{3} - \frac{2}{9} + \frac{4}{9} - \frac{1}{5} - 2$

Для удобства сгруппируем целые числа и дроби:

$(3 - 2) + (\frac{1}{3} - \frac{2}{9} + \frac{4}{9} - \frac{1}{5})$

Вычислим значение в первой скобке:

$3 - 2 = 1$

Теперь вычислим значение во второй скобке. Сначала выполним действия с дробями с одинаковыми знаменателями:

$\frac{1}{3} + (\frac{4}{9} - \frac{2}{9}) - \frac{1}{5} = \frac{1}{3} + \frac{2}{9} - \frac{1}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю 45:

$\frac{1 \cdot 15}{3 \cdot 15} + \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5} - \frac{1 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{15}{45} + \frac{10}{45} - \frac{9}{45}$

Выполним сложение и вычитание числителей:

$\frac{15 + 10 - 9}{45} = \frac{25 - 9}{45} = \frac{16}{45}$

Теперь сложим результат вычисления целых чисел и дробей:

$1 + \frac{16}{45} = 1\frac{16}{45}$

Это смешанное число можно также представить в виде неправильной дроби: $1\frac{16}{45} = \frac{1 \cdot 45 + 16}{45} = \frac{61}{45}$.

Ответ: $1\frac{16}{45}$

6.144 Число а расположено на координатной прямой между числами m и n. К какому из чисел ближе а, если:

а) a = 4,6, m = 4,3, n = 4,8;

б) a = 2,572, m = 2,57, n = 2,58;

в) a = 2,35, m = 2,3, n = 2,4;

г) a = 4,85, m = 4,8, n = 4,9?

Чтобы определить, к какому из чисел, m или n, ближе расположено число a, нужно найти расстояние от a до m и от a до n, а затем сравнить эти расстояния. Расстояние между двумя точками на числовой прямой вычисляется как модуль их разности.

а) Дано: $a = 4,6$, $m = 4,3$, $n = 4,8$.
1. Находим расстояние между a и m: $|a - m| = |4,6 - 4,3| = |0,3| = 0,3$.
2. Находим расстояние между a и n: $|a - n| = |4,6 - 4,8| = |-0,2| = 0,2$.
3. Сравниваем полученные расстояния: $0,2 < 0,3$.
Так как расстояние от a до n меньше, чем до m, число a ближе к числу n.
Ответ: к числу n.

б) Дано: $a = 2,572$, $m = 2,57$, $n = 2,58$.
1. Находим расстояние между a и m: $|a - m| = |2,572 - 2,57| = |0,002| = 0,002$.
2. Находим расстояние между a и n: $|a - n| = |2,572 - 2,58| = |-0,008| = 0,008$.
3. Сравниваем полученные расстояния: $0,002 < 0,008$.
Так как расстояние от a до m меньше, чем до n, число a ближе к числу m.
Ответ: к числу m.

в) Дано: $a = 2,35$, $m = 2,3$, $n = 2,4$.
1. Находим расстояние между a и m: $|a - m| = |2,35 - 2,3| = |0,05| = 0,05$.
2. Находим расстояние между a и n: $|a - n| = |2,35 - 2,4| = |-0,05| = 0,05$.
3. Сравниваем полученные расстояния: $0,05 = 0,05$.
Так как расстояния равны, число a находится на одинаковом расстоянии от чисел m и n. Число a является серединой отрезка [m; n].
Ответ: число a равноудалено от чисел m и n.

г) Дано: $a = 4,85$, $m = 4,8$, $n = 4,9$.
1. Находим расстояние между a и m: $|a - m| = |4,85 - 4,8| = |0,05| = 0,05$.
2. Находим расстояние между a и n: $|a - n| = |4,85 - 4,9| = |-0,05| = 0,05$.
3. Сравниваем полученные расстояния: $0,05 = 0,05$.
Так как расстояния равны, число a находится на одинаковом расстоянии от чисел m и n. Число a является серединой отрезка [m; n].
Ответ: число a равноудалено от чисел m и n.

6.145 Дано число 2 345 000. Уменьшится или увеличится это число и во сколько раз, если:

а) приписать справа три нуля;

б) зачеркнуть три нуля?

а) Если к числу 2345000 приписать справа три нуля, то получим число 2345000000

$2345000000 : 2345000 = 1000\text{р}.$

Ответ: число увеличится в 1000 раз.

б) Если у числа 2345000 зачеркнуть три нуля, то получим число 2345

$2345000 : 2345 = 1000\text{р}.$

Ответ: число уменьшится в 1000 раз.

а) приписать справа три нуля;

Исходное число: $2\,345\,000$. Когда мы приписываем справа три нуля, мы получаем новое число: $2\,345\,000\,000$. Новое число $2\,345\,000\,000$ больше исходного $2\,345\,000$, следовательно, число увеличится.

Чтобы найти, во сколько раз оно увеличилось, нужно разделить новое число на исходное. Приписывание трех нулей справа равносильно умножению числа на $1000$ (или $10^3$). $$ \frac{2\,345\,000\,000}{2\,345\,000} = 1000 $$

Ответ: число увеличится в 1000 раз.

б) зачеркнуть три нуля?

Исходное число: $2\,345\,000$. Когда мы зачеркиваем (убираем) три нуля справа, мы получаем новое число: $2\,345$. Новое число $2\,345$ меньше исходного $2\,345\,000$, следовательно, число уменьшится.

Чтобы найти, во сколько раз оно уменьшилось, нужно разделить исходное число на новое. Зачеркивание трех нулей справа равносильно делению числа на $1000$ (или $10^3$). $$ \frac{2\,345\,000}{2\,345} = 1000 $$

Ответ: число уменьшится в 1000 раз.

6.146 С первого поля собрали 12,8 т моркови, со второго — на 3,4 т больше. После того как с каждого поля увезли часть моркови, на первом поле осталось 5,6 т, а на втором — 8,3 т. С какого поля увезли моркови больше и на сколько?

I- 12,8T осталось 5,6T

II- на 3,4T больше осталось 8,3T

1) $12,8 + 3,4 = 16,2\text{Т}$ - собрали со II поля

2) $12,8 - 5,6 = 7,2\text{Т}$ - увезли с I поля

3) $16,2 - 8,3 = 7,9\text{Т}$ - увезли со II поля

4) $7,9 - 7,2 = 0,7\text{Т}$

Ответ: на 0,7Т моркови больше увезли со второго поля.

Для того чтобы ответить на вопрос задачи, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Узнаем, сколько моркови собрали со второго поля.

По условию, с первого поля собрали 12,8 т моркови, а со второго — на 3,4 т больше. Следовательно, количество моркови, собранной со второго поля, составляет:

$12,8 + 3,4 = 16,2$ (т).

2. Вычислим, сколько моркови увезли с первого поля.

Изначально на первом поле было 12,8 т, а после того, как часть увезли, осталось 5,6 т. Количество увезенной моркови равно разнице между начальным и конечным количеством:

$12,8 - 5,6 = 7,2$ (т).

3. Вычислим, сколько моркови увезли со второго поля.

Изначально на втором поле было 16,2 т, а осталось 8,3 т. Количество увезенной моркови со второго поля равно:

$16,2 - 8,3 = 7,9$ (т).

4. Сравним количество увезенной моркови с обоих полей.

С первого поля увезли 7,2 т моркови, а со второго — 7,9 т. Сравнивая эти значения, получаем:

$7,9 > 7,2$

Это означает, что со второго поля увезли больше моркови. Теперь найдем, на сколько именно больше, для этого вычтем из большего значения меньшее:

$7,9 - 7,2 = 0,7$ (т).

Ответ: со второго поля увезли на 0,7 т моркови больше, чем с первого.

6.147 Укажите два числа, которые на координатной прямой расположены между числами:

а) 5,6 и 5,7;

б) 0,2 и 0,3;

в) 0 и 0,002;

г) 5,2 и 5,21.

а) $5,6 = 5,60$ и $5,7 = 5,70$

$5,65$ и $5,67$

б) $0,2 = 0,20$ и $0,3 = 0,30$

$0,23$ и $0,27$

в) $0,001 = 0,0020$

$0,001$ и $0,0015$

г) $5,2 = 5,200$ и $5,21 = 5,210$

$5,205$ и $5,209$

Чтобы найти числа, расположенные на координатной прямой между двумя данными числами, можно увеличить количество знаков после запятой у данных чисел. Между любыми двумя различными десятичными дробями всегда можно найти бесконечное множество других десятичных дробей.

а) 5,6 и 5,7

Представим числа 5,6 и 5,7 в виде десятичных дробей с сотыми долями: $5,6 = 5,60$ и $5,7 = 5,70$. Теперь нам нужно найти два числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству: $5,60 < x < 5,70$. Мы можем выбрать любое число из этого интервала. Например, 5,61, 5,62, 5,63, и так далее до 5,69. Возьмем, к примеру, числа 5,61 и 5,65. Они оба удовлетворяют условию: $5,6 < 5,61 < 5,7$ и $5,6 < 5,65 < 5,7$.

Ответ: 5,61 и 5,65.

б) 0,2 и 0,3

Аналогично предыдущему пункту, представим числа 0,2 и 0,3 с сотыми долями: $0,2 = 0,20$ и $0,3 = 0,30$. Искомые числа $x$ должны удовлетворять неравенству $0,20 < x < 0,30$. В качестве примера можно взять числа 0,22 и 0,27. Проверим: $0,2 < 0,22 < 0,3$ и $0,2 < 0,27 < 0,3$. Условия выполняются.

Ответ: 0,22 и 0,27.

в) 0 и 0,002

Нам нужно найти два числа $x$, которые находятся между 0 и 0,002. Это можно записать в виде неравенства $0 < x < 0,002$. Мы можем выбрать числа с большим количеством знаков после запятой, чем у 0,002. Например, число 0,001 очевидно больше 0 и меньше 0,002. Чтобы найти второе число, можно взять, например, 0,0005 или 0,0015. Возьмем 0,001 и 0,0015. Оба числа удовлетворяют неравенству: $0 < 0,001 < 0,002$ и $0 < 0,0015 < 0,002$.

Ответ: 0,001 и 0,0015.

г) 5,2 и 5,21

Чтобы найти числа между 5,2 и 5,21, представим число 5,2 с таким же количеством знаков после запятой, как у 5,21, то есть $5,2 = 5,20$. Теперь ищем числа $x$ в интервале $5,20 < x < 5,21$. Чтобы их увидеть, добавим еще один десятичный разряд (тысячные): $5,20 = 5,200$ и $5,21 = 5,210$. Теперь легко выбрать числа, удовлетворяющие неравенству $5,200 < x < 5,210$. Например, 5,203 и 5,208. Проверяем: $5,2 < 5,203 < 5,21$ и $5,2 < 5,208 < 5,21$.

Ответ: 5,203 и 5,208.

6.148 Какую часть шахматной доски (рис. 6.18) составляют:

а) три клетки;

б) белые клетки;

в) 2 ряда клеток;

г) 4 ряда клеток?

Для решения задачи сначала определим общее количество клеток на шахматной доске. Стандартная шахматная доска имеет 8 рядов и 8 столбцов.

Общее количество клеток равно: $8 \times 8 = 64$ клетки. Это число будет знаменателем во всех наших дробях.

Нам нужно найти, какую часть от 64 клеток составляют 3 клетки. Для этого составим дробь, где 3 — это числитель, а 64 — знаменатель.

Получается дробь $\frac{3}{64}$. Эта дробь несократимая.

Ответ: $\frac{3}{64}$

На шахматной доске половина клеток белые, а половина — черные. Найдем количество белых клеток.

Количество белых клеток: $64 \div 2 = 32$ клетки.

Теперь составим дробь, показывающую, какую часть от всех клеток составляют белые клетки: $\frac{32}{64}$.

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 32:

$\frac{32}{64} = \frac{32 \div 32}{64 \div 32} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

В одном ряду шахматной доски 8 клеток. Найдем, сколько всего клеток в двух рядах.

Количество клеток в 2 рядах: $2 \times 8 = 16$ клеток.

Составим дробь, показывающую, какую часть от всей доски составляют 2 ряда: $\frac{16}{64}$.

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 16:

$\frac{16}{64} = \frac{16 \div 16}{64 \div 16} = \frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

Найдем, сколько всего клеток в четырех рядах. В каждом ряду 8 клеток.

Количество клеток в 4 рядах: $4 \times 8 = 32$ клетки.

Составим дробь, показывающую, какую часть от всей доски составляют 4 ряда: $\frac{32}{64}$.

Эта дробь такая же, как в пункте б). После сокращения на 32 получаем:

$\frac{32}{64} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

6.149 На шахматной доске конь может двигаться, как показано на рисунке 6.18. Может ли конь переместиться из клетки a1 в клетку h8?

a b c d e f g h

8 7 6 5 4 3 2 1

$a1\to c2\to e3\to c4\to a5\to c6\to e5\to g6\to h8$

Ответ: может.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством хода коня на шахматной доске. При каждом своем ходе конь всегда меняет цвет клетки, на которой он стоит. Например, с белой клетки он может попрыгнуть только на черную, а с черной – только на белую.

Определим цвет начальной и конечной клеток. Начальная клетка a1 является черной. Конечная клетка h8 также является черной.

Рассмотрим последовательность смены цветов. Если конь начинает с черной клетки:

• После 1-го хода он окажется на белой клетке.
• После 2-го хода он вернется на черную клетку.
• После 3-го хода он снова будет на белой клетке.

Таким образом, чтобы попасть с клетки определенного цвета на клетку того же цвета, коню необходимо совершить четное количество ходов.

Поскольку и начальная клетка a1, и конечная h8 имеют одинаковый цвет (черный), перемещение между ними возможно, и оно должно состоять из четного числа ходов. Это не создает противоречия, следовательно, такое перемещение возможно. Например, один из возможных маршрутов состоит из 6 ходов: a1 > b3 > d2 > f3 > h4 > g6 > h8.

Ответ: Да, может.

6.150 Каким числом нужно заменить х, чтобы получилось верное равенство:

а) 1 л = x м³;

б) 10 см³ = x дм³;

в) 1000 л = x м³;

г) 100 см³ = x м³?

а) Для того чтобы найти значение $x$ в равенстве $1 \text{ л} = x \text{ м}^3$, необходимо перевести литры в кубические метры. Мы знаем, что $1$ кубический метр содержит $1000$ литров: $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}$. Чтобы найти, скольким кубическим метрам равен $1$ литр, нужно выразить его из этого соотношения:$1 \text{ л} = \frac{1}{1000} \text{ м}^3 = 0,001 \text{ м}^3$.Таким образом, $x$ нужно заменить на число 0,001.
Ответ: 0,001.

б) В равенстве $10 \text{ см}^3 = x \text{ дм}^3$ нужно перевести кубические сантиметры в кубические дециметры. Вспомним, что в одном дециметре $10$ сантиметров: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$. Для объемных единиц это соотношение возводится в третью степень:$1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.Отсюда следует, что $1 \text{ см}^3 = \frac{1}{1000} \text{ дм}^3$. Теперь найдем, чему равны $10 \text{ см}^3$:$10 \text{ см}^3 = 10 \times \frac{1}{1000} \text{ дм}^3 = \frac{10}{1000} \text{ дм}^3 = 0,01 \text{ дм}^3$.Следовательно, $x$ нужно заменить на 0,01.
Ответ: 0,01.

в) Равенство $1000 \text{ л} = x \text{ м}^3$ представляет собой основное соотношение между литрами и кубическими метрами. По определению, $1000$ литров — это объем, равный одному кубическому метру.$1000 \text{ л} = 1 \text{ м}^3$.Поэтому $x$ нужно заменить на 1.
Ответ: 1.

г) Чтобы найти $x$ в равенстве $100 \text{ см}^3 = x \text{ м}^3$, нужно перевести кубические сантиметры в кубические метры. Мы знаем, что в одном метре $100$ сантиметров: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Для объемов это соотношение возводится в куб:$1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1 \ 000 \ 000 \text{ см}^3$.Отсюда $1 \text{ см}^3 = \frac{1}{1 \ 000 \ 000} \text{ м}^3$. Теперь вычислим значение для $100 \text{ см}^3$:$100 \text{ см}^3 = 100 \times \frac{1}{1 \ 000 \ 000} \text{ м}^3 = \frac{100}{1 \ 000 \ 000} \text{ м}^3 = \frac{1}{10 \ 000} \text{ м}^3 = 0,0001 \text{ м}^3$.Значит, $x$ нужно заменить на 0,0001.
Ответ: 0,0001.