Страница 115, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.303 Представьте в виде произведения степень:

а) (3 + c)⁴;

б) (b - 4)²;

в) (x + y)²;

г) (a - b)³.

а) ${\left(3 + c\right)}^4 = \left(3 + c\right) · \left(3 + c\right) · \left(3 + c\right) · \left(3 + c\right)$

б) ${\left(b - 4\right)}^2 = \left(b - 4\right) · \left(b - 4\right)$

в) ${\left(x + y\right)}^2 = \left(x + y\right) · \left(x + y\right)$

г) ${\left(a - b\right)}^3 = \left(a - b\right) · \left(a - b\right) · \left(a - b\right)$

3.304 Вычислите:

а) 35²;

б) 100²;

в) 10³;

г) 11³;

д) 15³;

е) 103².

a) ${35}^2 = 35 · 35 = 1225$

б) ${100}^2 = 100 · 100 = 10000$

в) ${10}^3 = 10 · 10 · 10 = 1000$
 

г) ${11}^3 = 11 · 11 · 11 = 1331$

д) ${15}^3 = 15 · 15 · 15 = 3375$

е) ${103}^2 = 103 · 103 = 10609$

3.305 Найдите значение степени:

а) 2⁶;

б) 10⁵;

в) 1²¹;

г) 3⁴;

д) 53¹;

е) 3⁵.

a) $$\begin{gathered} 2^6 = \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} = \\ = 4 · 4 · 4 = 16 · 4 = 64 \end{gathered}$$

б) ${10}^5 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = \mathrm{100 000}$

в) $1^{21} = \underset{21 раз}{\underbrace{1 · 1 · 1 · ... · 1}} = 1$

г) $3^4 = \underset{9}{3 · 3} · \underset{9}{3 · 3} = 9 · 9 = 81$

д) ${53}^1 = 53$

e) $$\begin{gathered} 3^5 = \underset{9}{3 · 3} · \underset{9}{3 · 3} · 3 = 9 · 9 · 3 = \\ = 81 · 3 = 243 \end{gathered}$$

3.306 Найдите значение выражения:

а) 4² + 5;

б) 4 + 5²;

в) (4 + 5)²;

г) 4² + 5².

а) $$\begin{gathered} 4^2 + 5 = 4 · 4 + 5 = \\ = 16 + 5 = 21 \end{gathered}$$

б) $$\begin{gathered} 4 + 5^2 = 4 + 5 · 5 = \\ = 4 + 25 = 29 \end{gathered}$$

в) ${(4 + 5)}^2 = 9^2 = 9 · 9 = 81$

г) $$\begin{gathered} 4^2 + 5^2 = 4 · 4 + 5 · 5 = \\ = 16 + 25 = 41 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $4^2 + 5$, необходимо сначала выполнить возведение в степень, а затем сложение, согласно порядку выполнения арифметических операций.

1. Вычисляем степень: $4^2 = 4 \times 4 = 16$.

2. Выполняем сложение: $16 + 5 = 21$.

Полное решение: $4^2 + 5 = 16 + 5 = 21$.

Ответ: 21

б) Чтобы найти значение выражения $4 + 5^2$, необходимо сначала выполнить возведение в степень, а затем сложение.

1. Вычисляем степень: $5^2 = 5 \times 5 = 25$.

2. Выполняем сложение: $4 + 25 = 29$.

Полное решение: $4 + 5^2 = 4 + 25 = 29$.

Ответ: 29

в) Чтобы найти значение выражения $(4 + 5)^2$, сначала нужно выполнить действие в скобках, а затем возвести результат в степень.

1. Выполняем сложение в скобках: $4 + 5 = 9$.

2. Возводим полученную сумму в квадрат: $9^2 = 9 \times 9 = 81$.

Полное решение: $(4 + 5)^2 = 9^2 = 81$.

Ответ: 81

г) Чтобы найти значение выражения $4^2 + 5^2$, необходимо сначала выполнить возведение в степень для каждого слагаемого, а затем сложить полученные результаты.

1. Вычисляем первую степень: $4^2 = 4 \times 4 = 16$.

2. Вычисляем вторую степень: $5^2 = 5 \times 5 = 25$.

3. Выполняем сложение: $16 + 25 = 41$.

Полное решение: $4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.

Ответ: 41

3.307 Вычислите:

а) 4³ + 6;

б) 6³ + 4;

в) (6 + 4)³;

г) (6³ - 4³) : (6 - 4).

а)
$$\begin{gathered} 4^3 + 6 = 4 · 4 · 4 + 6 = \\ = 64 + 6 = 70 \end{gathered}$$

б)
 $$\begin{gathered} 6^3 + 4 = 6 · 6 · 6 + 4 = \\ = 216 + 4 = 220 \end{gathered}$$

в)
${(6 + 4)}^3 = {10}^3 = 10 · 10 · 10 = 1000$

г)
 $$\begin{gathered} (6^3 - 4^3) : (6 - 4) = \\ = (6 · 6 · 6 - 4 · 4 · 4) : 2 = \\ = (216 - 64) : 2 = 152 : 2 = 76 \end{gathered}$$

а) $4^3 + 6$. Согласно порядку выполнения математических операций, сначала необходимо выполнить возведение в степень, а затем сложение.
1. Вычислим значение степени: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
2. К полученному результату прибавим 6: $64 + 6 = 70$.
Ответ: 70

б) $6^3 + 4$. Так же, как и в предыдущем примере, сначала вычисляем степень.
1. Вычислим значение степени: $6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$.
2. Выполним сложение: $216 + 4 = 220$.
Ответ: 220

в) $(6 + 4)^3$. В этом выражении в первую очередь выполняется действие в скобках.
1. Вычислим сумму в скобках: $6 + 4 = 10$.
2. Возведем полученную сумму в куб: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
Ответ: 1000

г) $(6^3 - 4^3) : (6 - 4)$. Данное выражение можно вычислить двумя способами.
Способ 1: По действиям.
1. Вычисляем степени: $6^3 = 216$ и $4^3 = 64$.
2. Выполняем действия в скобках: $216 - 64 = 152$ и $6 - 4 = 2$.
3. Выполняем деление: $152 : 2 = 76$.
Способ 2: С использованием формулы разности кубов.
Формула разности кубов имеет вид: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.
Из этой формулы следует, что частное от деления разности кубов на разность оснований равно неполному квадрату суммы: $(a^3 - b^3) : (a - b) = a^2 + ab + b^2$.
Подставим в правую часть формулы значения $a=6$ и $b=4$:
$6^2 + 6 \cdot 4 + 4^2 = 36 + 24 + 16 = 60 + 16 = 76$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 76

3.308 Чему равно значение выражения:

а) 2³ + 3²;

б) 10³ : 5²;

в) 7² • 2⁴;

г) 7³ - 3⁵?

a)
$$\begin{gathered} 2^3 + 3^2 = 2 · 2 · 2 + 3 · 3 = \\ = 8 + 9 = 17 \end{gathered}$$

б)
$$\begin{gathered} {10}^3 : 5^2 = (10 · 10 · 10) : (5 · 5) = \\ = 1000 : 25 = 40 \end{gathered}$$

в)
$$\begin{gathered} 7^2 · 2^4 = (7 · 7) · (2 · 2 · 2 · 2) = \\ = 49 · 16 = 784 \end{gathered}$$

г)
$$\begin{gathered} 7^3 - 3^5 = 7 · \stackrel{49}{7 · 7} - \stackrel{9}{3 · 3} · \stackrel{9}{3 · 3} · 3 = \\ = 343 - 81 · 3 = 343 - 243 = 100 \end{gathered}$$

а) Чтобы найти значение выражения $2^3 + 3^2$, необходимо сначала вычислить значение каждого слагаемого, то есть возвести числа в степень, а затем сложить полученные результаты.
1. Вычислим $2^3$: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.
2. Вычислим $3^2$: $3^2 = 3 \cdot 3 = 9$.
3. Сложим полученные значения: $8 + 9 = 17$.
Таким образом, $2^3 + 3^2 = 8 + 9 = 17$.
Ответ: 17.

б) Чтобы найти значение выражения $10^3 : 5^2$, сначала вычислим значение делимого и делителя, а затем выполним деление.
1. Вычислим $10^3$: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$.
2. Вычислим $5^2$: $5^2 = 5 \cdot 5 = 25$.
3. Разделим полученные значения: $1000 : 25 = 40$.
Таким образом, $10^3 : 5^2 = 1000 : 25 = 40$.
Ответ: 40.

в) Чтобы найти значение выражения $7^2 \cdot 2^4$, сначала вычислим значение каждого множителя, а затем перемножим их.
1. Вычислим $7^2$: $7^2 = 7 \cdot 7 = 49$.
2. Вычислим $2^4$: $2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
3. Перемножим полученные значения: $49 \cdot 16 = 784$.
Таким образом, $7^2 \cdot 2^4 = 49 \cdot 16 = 784$.
Ответ: 784.

г) Чтобы найти значение выражения $7^3 - 3^5$, необходимо сначала вычислить значение уменьшаемого и вычитаемого, а затем найти их разность.
1. Вычислим $7^3$: $7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
2. Вычислим $3^5$: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.
3. Вычтем из первого значения второе: $343 - 243 = 100$.
Таким образом, $7^3 - 3^5 = 343 - 243 = 100$.
Ответ: 100.

3.309 Найдите значение выражения:

а) 10² : (6² + 2⁶);

б) (10² - 4³) • 3³;

в) 2 • 6³ - 7³;

г) 4 • 3⁴ + 2⁸.

a) ${10}^2 : (6^2 + 2^6) = 1$
1) $6^2 = 6 · 6 = 36$
2) $$\begin{gathered} 2^6 = \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} \\ = \underset{16}{4 ·4} · 4 = 16 · 4 = 64 \end{gathered}$$
3)

4) ${10}^2 = 10 · 10 = 100$
5) $100 : 100 = 1$

б) $({10}^2 - 4^3) · 3^3 = 972$
1) ${10}^2 = 10 · 10 = 100$
2) $4^3 = 4 · 4 · 4 = 64$
3) $100 - 64 = 36$
4) $3^3 = 3 · 3 · 3 = 27$
5) $36 · 27 = 972$

в) $2 · 6^3 - 7^3 = 89$
1) $6^3 = 6 · 6 · 6 = 216$
2) $2 · 216 = 432$

3) $7^3 = 7 · 7 · 7 = 49 · 7 = 343$

4)

г) $4 · 3^4 + 2^8 = 580$
1) $3^4 = \underset{9}{3 · 3} · \underset{9}{3 · 3} = 9 · 9 = 81$
2) $4 · 81 = 324$
3) $$\begin{gathered} 2^8 = \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} = \\ = \underset{16}{4 · 4} · \underset{16}{4 · 4} = 16 · 16 = 256 \end{gathered}$$

4)

3.310 Установите, верно ли равенство:

а) 12² + 9² = (12 + 9)²;

б) 13² - 5² = (13 - 5)²;

в) 12² + 9² = 15²;

г) 13² - 5² = 12².

a)
${12}^2 + 9^2 = {(12 + 9)}^2$

$$\begin{gathered} {12}^2 + 9^2 = 12 · 12 + 9 · 9 = \\ = 144 + 81 = 225 \end{gathered}$$

${(12 + 9)}^2 = {21}^2 = 21 · 21 = 441$

$225 = 441$ - неверно
 

б)
${13}^2 - 5^2 = {(13 - 5)}^2$

$$\begin{gathered} {13}^2 - 5^2 = 13 · 13 - 5 · 5 = \\ = 169 - 25 = 144 \end{gathered}$$

${(13 - 5)}^2 = 8^2 = 8 · 8 = 64$

$144 = 64$ - неверно
 

в)
${12}^2 + 9^2 = {15}^2$

$$\begin{gathered} {12}^2 + 9^2 = 12 · 12 + 9 · 9 = \\ = 144 + 81 = 225 \end{gathered}$$

${15}^2 = 15 · 15 = 225$

$225 = 225$ - верно

г) 
${13}^2 - 5^2 = {12}^2$

$$\begin{gathered} {13}^2 - 5^2 = 13 · 13 - 5 · 5 = \\ = 169 - 25 = 144 \end{gathered}$$

${12}^2 = 12 · 12 = 144$

$144 = 144$ - верно

а) $12^2 + 9^2 = (12 + 9)^2$

Чтобы установить, верно ли равенство, необходимо вычислить значения его левой и правой частей и сравнить их.
Вычисляем левую часть: $12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.
Вычисляем правую часть: $(12 + 9)^2 = 21^2 = 441$.
Сравниваем полученные значения: $225 \neq 441$.
Равенство неверно. Стоит отметить, что формула квадрата суммы выглядит как $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, а не $a^2+b^2$.
Ответ: неверно.

б) $13^2 - 5^2 = (13 - 5)^2$

Аналогично предыдущему пункту, вычислим обе части равенства.
Левая часть: $13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
Правая часть: $(13 - 5)^2 = 8^2 = 64$.
Сравниваем полученные значения: $144 \neq 64$.
Равенство неверно. Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Ответ: неверно.

в) $12^2 + 9^2 = 15^2$

Вычислим значения левой и правой частей равенства.
Левая часть: $12^2 + 9^2 = 144 + 81 = 225$.
Правая часть: $15^2 = 225$.
Сравниваем полученные значения: $225 = 225$.
Равенство верно. Это является числовым примером теоремы Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) для прямоугольного треугольника с катетами 9, 12 и гипотенузой 15.
Ответ: верно.

г) $13^2 - 5^2 = 12^2$

Вычислим значения левой и правой частей равенства.
Левая часть: $13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.
Для вычисления левой части также можно было применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$: $13^2 - 5^2 = (13-5)(13+5) = 8 \cdot 18 = 144$.
Правая часть: $12^2 = 144$.
Сравниваем полученные значения: $144 = 144$.
Равенство верно. Его можно записать в виде $13^2 = 12^2 + 5^2$, что также является примером теоремы Пифагора для египетского треугольника с катетами 5, 12 и гипотенузой 13.
Ответ: верно.

3.311 Установите, верно ли равенство:

а) 5³ • 2³ = 10³;

б) 3³ • 3² = 3⁶;

в) 5² • 2² = (5 • 2)⁴;

г) 3³ • 3² = 3⁵.

а)
$5^3 · 2^3 = {10}^3$

$$\begin{gathered} 5^3 · 2^3 = (5 · 5 · 5) · (2 · 2 · 2) = \\ = 125 · 8 = 1000 \end{gathered}$$

${10}^3 = 10 · 10 · 10 = 1000$

$1000 = 1000$ - верно

б) 
$3^5 · 3^2 = 3^6$

$$\begin{gathered} 3^5 · 3^2 = (3 · 3 · 3) · (3 · 3) = \\ = 27 · 9 = 243 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 3^6 = \underset{9}{3 · 3} · \underset{9}{3 · 3} · \underset{9}{3 · 3} = \\ = 81 · 9 = 729 \end{gathered}$$

$243 = 729$ - неверно

в) 
$5^2 · 2^2 = (5 · 2{)}^4$

$$\begin{gathered} 5^2 · 2^2 = (5 · 5) · (2 · 2) = \\ = 25 · 4 = 100 \end{gathered}$$

$(5 · 2{)}^4 = {10}^4 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000$

$100 = 10000$ - неверно

г)
$3^3 · 3^2 = 3^5$

$$\begin{gathered} 3^3 · 3^2 = (3 · 3 · 3) · (3 · 3) = \\ = 27 · 9 = 243 \end{gathered}$$

$3^5 = \underset{9}{3 · 3} · \underset{9}{3 · 3} · 3 = 81 · 3 = 243$

$243 = 243$ - верно

3.312 Сравните значения выражений:

а) 3 • 2³ и (3 • 2)³;

б) 2⁴ • 2 и 2⁴;

в) (4 • 3)² и 4² • 3²;

г) 2³ • 2⁵ и 2⁸.

a)
$3 · 2^3<{\left(3 · 2\right)}^3$

$3 · 2^3 = 3 · \left(2 · 2 · 2\right) = 3 · 8 = 24$

${\left(3 · 2\right)}^3 = 6 · 6 · 6 = 36 · 6 = 216$

$24<216$

б)
$2^4 · 2>2^4$

$2^4 · 2 = (\underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2}) · 2 = 16 · 2 = 32$

$2^4 = \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} = 4 · 4 = 16$

$32>16$

в)
${\left(4 · 3\right)}^2 = 4^2 · 3^2$

${\left(4 · 3\right)}^2 = {12}^2 = 12 · 12 = 144$

$4^2 · 3^2 = \left(4 · 4\right) · \left(3 · 3\right) = 16 · 9 = 144$

$144 = 144$

г)
$2^3 · 2^5 = 2^8$

$$\begin{gathered} 2^3 · 2^5 = \left(2 · 2 · 2\right) · \left(\underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · 2\right) = \\ = 8 · \left(16 · 2\right) = 8 · 32 = 256 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} 2^8 = \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} · \underset{4}{2 · 2} = \\ = \underset{16}{4 · 4} · \underset{16}{4 · 4} = 16 · 16 = 256 \end{gathered}$$

3.313 Пользуясь таблицами квадратов и кубов чисел, найдите значение а, если:

а) 144 = a²;

б) a² = 169;

в) a² = 1 000 000;

г) 216 = a³;

д) a³ = 729.

а)
$144 = a^2$
$a^2 = {12}^2$
$a = 12$
Ответ: 12.

б)
$a^2 = 169$
$a^2 = {13}^2$
$a = 13$
Ответ: 13.

в)
$a^2 = 1000000$
$a^2 = {1000}^2$
$a = 1000$
Ответ: 1000.

г)
$216 = a^3$
$6^3 = a^3$
$a = 6$
Ответ: 6.

д)
$a^3 = 729$
$a^3 = 9^3$
$a = 9$
Ответ: 9.

3.314 Вычислите:

а) 4 • 10²;

б) 16 • 10⁴;

в) 9 • 10⁶;

г) 108 • 10⁷.

a)
$$\begin{gathered} 4 · {10}^2 = 4 · (10 · 10) = \\ = 4 · 100 = 400 \end{gathered}$$

б)
$$\begin{gathered} 16 · {10}^4 = 16 · (10 · 10 · 10 · 10) = \\ = 16 · 10000 = 160000 \end{gathered}$$

в)
$$\begin{gathered} 9 · {10}^6 = 9 · (10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10) = \\ = 9 · 1000000 = 9000000 \end{gathered}$$

г)
$$\begin{gathered} 108 · {10}^7 = 108 · (10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10) = \\ = 108 · 10000000 = 1080000000 \end{gathered}$$

а) Чтобы вычислить выражение $4 \cdot 10^2$, сначала найдем значение $10^2$. Возведение числа 10 во вторую степень означает умножение его само на себя: $10^2 = 10 \cdot 10 = 100$.
Далее умножим 4 на полученный результат: $4 \cdot 100 = 400$.
Ответ: 400

б) Для вычисления выражения $16 \cdot 10^4$ необходимо найти значение $10^4$. Степень 4 означает, что число 10 умножается на себя четыре раза: $10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$. Другими словами, $10^4$ - это единица с четырьмя нулями.
Теперь умножим 16 на 10000, что эквивалентно приписыванию четырех нулей к числу 16: $16 \cdot 10000 = 160000$.
Ответ: 160000

в) Вычислим выражение $9 \cdot 10^6$. Сначала найдем значение $10^6$. Это число, состоящее из единицы и шести нулей, то есть 1 000 000.
Теперь выполним умножение: $9 \cdot 10^6 = 9 \cdot 1000000 = 9000000$.
Ответ: 9000000

г) Для вычисления выражения $108 \cdot 10^7$ найдем значение $10^7$. Это число, состоящее из единицы и семи нулей, то есть 10 000 000.
Умножение на $10^7$ эквивалентно приписыванию семи нулей к числу 108. Таким образом: $108 \cdot 10^7 = 108 \cdot 10000000 = 1080000000$.
Ответ: 1080000000

3.315 Представьте в виде суммы разрядных слагаемых числа:

а) 1 236 078;

б) 33 033 330;

в) 11 101 110 100;

г) 246 135 789 000.

a)
$$\begin{gathered} 1236078 = 1 · 1000000 + 2 · 100000 + 3 · 10000 + \\ + 6 · 1000 + 0 · 100 + 7 · 10 + 8 · 1 = \\ = 1 · {10}^6 + 2 · {10}^5 + 3 · {10}^4 + 6 · {10}^3 + 7 · 10 + 8 \end{gathered}$$

б)
$$\begin{gathered} 33033330 = 3 · 10000000 + 3 · 1000000 + \\ 0 · 100000 + 3 · 10000 + 3 · 1000 + \\ + 3 · 100 + 3 · 10 + 0 · 1 = \\ = 3 · {10}^7 + 3 · {10}^6 + 3 · {10}^4 + \\ + 3 · {10}^3 + 3 · {10}^2 + 3 · 10 \end{gathered}$$

в)
$$\begin{gathered} 11101110100 = 1 · 10000000000 + 1 · 1000000000 + \\ + 1 · 100000000 + 0 · 10000000 + 1 · 1000000 + \\ 1 · 100000 + 1 · 10000 + 0 · 1000 + 1 · 100 = \\ = 1 · {10}^{10} + 1 · {10}^9 + 1 · {10}^8 + 1 · {10}^6 \\ + 1 · {10}^5 + 1 · {10}^4 + 1 · {10}^2 \end{gathered}$$

г)
$$\begin{gathered} 246135789000 = 2 · 100000000000 + 4 · 10000000000 + \\ + 6 · 1000000000 + 1 · 100000000 + 3 · 10000000 + \\ + 5 · 1000000 + 7 · 100000 + 8 · 10000 + 9 · 1000 = \\ = 2 · {10}^{11} + 4 · {10}^{10} + 6 · {10}^9 + 1 · {10}^8 + 3 · {10}^7 + \\ + 5 · {10}^6 + 7 · {10}^5 + 8 · {10}^4 + 9 · {10}^3 \end{gathered}$$

а) Чтобы представить число в виде суммы разрядных слагаемых, необходимо определить значение каждой его цифры в зависимости от ее позиции (разряда). Для числа 1 236 078 разложение будет следующим:
- Цифра 1 находится в разряде миллионов, ее значение — $1 \cdot 1~000~000 = 1~000~000$.
- Цифра 2 находится в разряде сотен тысяч, ее значение — $2 \cdot 100~000 = 200~000$.
- Цифра 3 находится в разряде десятков тысяч, ее значение — $3 \cdot 10~000 = 30~000$.
- Цифра 6 находится в разряде тысяч, ее значение — $6 \cdot 1~000 = 6~000$.
- Цифра 0 находится в разряде сотен, ее значение — $0$. Это слагаемое можно опустить.
- Цифра 7 находится в разряде десятков, ее значение — $7 \cdot 10 = 70$.
- Цифра 8 находится в разряде единиц, ее значение — $8 \cdot 1 = 8$.
Теперь сложим все ненулевые разрядные слагаемые:
$1~236~078 = 1~000~000 + 200~000 + 30~000 + 6~000 + 70 + 8$.
Ответ: $1~236~078 = 1~000~000 + 200~000 + 30~000 + 6~000 + 70 + 8$.

б) Разложим число 33 033 330 на разрядные слагаемые:
- 3 в разряде десятков миллионов: $30~000~000$.
- 3 в разряде миллионов: $3~000~000$.
- 0 в разряде сотен тысяч: $0$.
- 3 в разряде десятков тысяч: $30~000$.
- 3 в разряде тысяч: $3~000$.
- 3 в разряде сотен: $300$.
- 3 в разряде десятков: $30$.
- 0 в разряде единиц: $0$.
Суммируем все ненулевые слагаемые:
$33~033~330 = 30~000~000 + 3~000~000 + 30~000 + 3~000 + 300 + 30$.
Ответ: $33~033~330 = 30~000~000 + 3~000~000 + 30~000 + 3~000 + 300 + 30$.

в) Представим число 11 101 110 100 в виде суммы разрядных слагаемых. Это многозначное число, разряды которого включают миллиарды.
- 1 в разряде десятков миллиардов: $10~000~000~000$.
- 1 в разряде миллиардов: $1~000~000~000$.
- 1 в разряде сотен миллионов: $100~000~000$.
- 0 в разряде десятков миллионов: $0$.
- 1 в разряде миллионов: $1~000~000$.
- 1 в разряде сотен тысяч: $100~000$.
- 1 в разряде десятков тысяч: $10~000$.
- 0 в разряде тысяч: $0$.
- 1 в разряде сотен: $100$.
- 0 в разряде десятков: $0$.
- 0 в разряде единиц: $0$.
Итоговая сумма:
$11~101~110~100 = 10~000~000~000 + 1~000~000~000 + 100~000~000 + 1~000~000 + 100~000 + 10~000 + 100$.
Ответ: $11~101~110~100 = 10~000~000~000 + 1~000~000~000 + 100~000~000 + 1~000~000 + 100~000 + 10~000 + 100$.

г) Разложим число 246 135 789 000 на разрядные слагаемые:
- 2 в разряде сотен миллиардов: $200~000~000~000$.
- 4 в разряде десятков миллиардов: $40~000~000~000$.
- 6 в разряде миллиардов: $6~000~000~000$.
- 1 в разряде сотен миллионов: $100~000~000$.
- 3 в разряде десятков миллионов: $30~000~000$.
- 5 в разряде миллионов: $5~000~000$.
- 7 в разряде сотен тысяч: $700~000$.
- 8 в разряде десятков тысяч: $80~000$.
- 9 в разряде тысяч: $9~000$.
Разряды сотен, десятков и единиц равны нулю.
Сумма разрядных слагаемых:
$246~135~789~000 = 200~000~000~000 + 40~000~000~000 + 6~000~000~000 + 100~000~000 + 30~000~000 + 5~000~000 + 700~000 + 80~000 + 9~000$.
Ответ: $246~135~789~000 = 200~000~000~000 + 40~000~000~000 + 6~000~000~000 + 100~000~000 + 30~000~000 + 5~000~000 + 700~000 + 80~000 + 9~000$.

3.316 Напишите число, представленное суммой разрядных слагаемых:

а) 10⁷ + 9 • 10⁶ + 5 • 10⁴ + 10²;

б) 6 • 10⁹ + 2 • 10⁸ + 3 • 10⁵ + 10³ + 4;

в) 9 • 10⁵ + 7 • 10⁴ + 8 • 10³ + 5 • 10;

г) 10¹⁰ + 10⁷ + 10⁴ + 10 + 1.

а)
$$\begin{gathered} {10}^7 + 9 · {10}^6 + 5 · {10}^4 + {10}^2 = \\ =10000000 + 9 · 1000000 + 5 · 10000 + 100 = \\ = 10000000 + 9000000 + 50000 + 100 = 19050100 \end{gathered}$$

б)
$$\begin{gathered} 6 · {10}^9 + 2 · {10}^8 + 3 · {10}^5 + {10}^3 + 4 = \\ = 6 · 1000000000 + 2 · 100000000 + \\ +3 · 100000 + 1000 + 4 = \\ =6000000000 + 200000000 + \\ + 300000 + 1000 + 4 =6200301004 \end{gathered}$$

в)
$$\begin{gathered} 9 · {10}^5 + 7 · {10}^4 + 8 · {10}^3 + 5 · 10 = \\ = 9 · 100000 + 7 · 10000 + 8 · 1000 + 5 · 10 = \\ =900000 + 70000 + 8000 + 50 = 978050 \end{gathered}$$

г)
$$\begin{gathered} {10}^{10} + {10}^7 + {10}^4 + 10 + 1 = \\ =10000000000 + 10000000 + \\ +10000 + 10 + 1 = 10010010011 \end{gathered}$$

а) Чтобы записать число, представленное суммой разрядных слагаемых $10^7 + 9 \cdot 10^6 + 5 \cdot 10^4 + 10^2$, нужно определить цифру для каждого разряда. Степень числа 10 указывает на разряд (место) цифры. Представим выражение в полной форме, где коэффициент при степени 10 является цифрой в соответствующем разряде. Для отсутствующих степеней 10 коэффициент равен нулю. Выражение можно переписать так: $1 \cdot 10^7 + 9 \cdot 10^6 + 0 \cdot 10^5 + 5 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + 1 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0$. Коэффициенты при степенях 10, записанные по порядку от старшего разряда к младшему (1, 9, 0, 5, 0, 1, 0, 0), и образуют искомое число.
Ответ: 19 050 100.

б) Рассмотрим сумму $6 \cdot 10^9 + 2 \cdot 10^8 + 3 \cdot 10^5 + 10^3 + 4$. Старший разряд определяется слагаемым $6 \cdot 10^9$. Запишем сумму, заполнив пропущенные разряды нулями, помня, что $10^3 = 1 \cdot 10^3$ и $4 = 4 \cdot 10^0$: $6 \cdot 10^9 + 2 \cdot 10^8 + 0 \cdot 10^7 + 0 \cdot 10^6 + 3 \cdot 10^5 + 0 \cdot 10^4 + 1 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 4 \cdot 10^0$. Цифры числа, начиная со старшего разряда: 6, 2, 0, 0, 3, 0, 1, 0, 0, 4.
Ответ: 6 200 301 004.

в) Дана сумма $9 \cdot 10^5 + 7 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 + 5 \cdot 10$. Старший разряд — пятый ($10^5$). Запишем полную сумму разрядных слагаемых: $9 \cdot 10^5 + 7 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0$. Коэффициенты при степенях 10 по порядку: 9, 7, 8, 0, 5, 0.
Ответ: 978 050.

г) Дана сумма $10^{10} + 10^7 + 10^4 + 10 + 1$. Старший разряд — десятый ($10^{10}$). Перепишем сумму с явными коэффициентами 1 и добавим нули для пропущенных разрядов: $1 \cdot 10^{10} + 0 \cdot 10^9 + 0 \cdot 10^8 + 1 \cdot 10^7 + 0 \cdot 10^6 + 0 \cdot 10^5 + 1 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 1 \cdot 10^0$. Составляем число из коэффициентов, записанных по порядку: 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1.
Ответ: 10 010 010 011.

3.317 Запишите числа, выражающие примерные массы планет, в виде а • 10ⁿ.

Чтобы записать число в виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, нужно представить его как произведение числа от 1 до 10 и степени десяти. Показатель степени $n$ равен количеству разрядов, на которые нужно сдвинуть запятую в исходном числе, чтобы получить число $a$. Если запятая сдвигается влево, показатель $n$ положительный.

Меркурий

Масса Меркурия: 330 000 000 000 000 000 тт. Чтобы получить коэффициент $a$ в диапазоне $1 \le a < 10$, сдвинем запятую так, чтобы она оказалась после первой значащей цифры '3'. Получим $a = 3.3$. Запятая была сдвинута на 17 позиций влево, поэтому показатель степени $n=17$.

Ответ: $3.3 \cdot 10^{17}$ тт.

Венера

Масса Венеры: 4 900 000 000 000 000 000 тт. Сдвигаем запятую после первой цифры '4', чтобы получить $a = 4.9$. Запятая была сдвинута на 18 позиций влево, значит, $n=18$.

Ответ: $4.9 \cdot 10^{18}$ тт.

Земля

Масса Земли: 6 000 000 000 000 000 000 тт. Здесь коэффициент $a = 6$. Число имеет 18 нулей после шестерки. Чтобы получить $a=6$, нужно сдвинуть запятую на 18 позиций влево. Таким образом, $n=18$.

Ответ: $6 \cdot 10^{18}$ тт.

Марс

Масса Марса: 640 000 000 000 000 000 тт. Сдвигаем запятую после первой цифры '6', чтобы получить $a = 6.4$. Запятая была сдвинута на 17 позиций влево, следовательно, $n=17$.

Ответ: $6.4 \cdot 10^{17}$ тт.

Сатурн

Масса Сатурна: 568 000 000 000 000 000 000 тт. Сдвигаем запятую после первой цифры '5', чтобы получить $a = 5.68$. Запятая была сдвинута на 20 позиций влево, поэтому $n=20$.

Ответ: $5.68 \cdot 10^{20}$ тт.

Юпитер

Масса Юпитера: 1 876 600 000 000 000 000 000 тт. Сдвигаем запятую после первой цифры '1', чтобы получить $a = 1.8766$. Запятая была сдвинута на 21 позицию влево, значит, $n=21$.

Ответ: $1.8766 \cdot 10^{21}$ тт.

Нептун

Масса Нептуна: 101 600 000 000 000 000 000 тт. Сдвигаем запятую после первой цифры '1', чтобы получить $a = 1.016$. Запятая была сдвинута на 20 позиций влево, следовательно, $n=20$.

Ответ: $1.016 \cdot 10^{20}$ тт.

Уран

Масса Урана: 87 000 000 000 000 000 000 тт. Сдвигаем запятую после первой цифры '8', чтобы получить $a = 8.7$. Запятая была сдвинута на 19 позиций влево, поэтому $n=19$.

Ответ: $8.7 \cdot 10^{19}$ тт.

6.151 Какое число:

а) на 2413 меньше 4913;

б) на 919 больше 1;

в) в 2 раза больше 37;

г) в 4 раза меньше 811?

а) Чтобы найти число, которое на $2 \frac{4}{13}$ меньше, чем $4 \frac{9}{13}$, необходимо выполнить вычитание. Вычитаем целые и дробные части по отдельности:
$4 \frac{9}{13} - 2 \frac{4}{13} = (4 - 2) + (\frac{9}{13} - \frac{4}{13}) = 2 + \frac{9 - 4}{13} = 2 + \frac{5}{13} = 2 \frac{5}{13}$.
Ответ: $2 \frac{5}{13}$.

б) Чтобы найти число, которое на $\frac{9}{19}$ больше 1, необходимо выполнить сложение:
$1 + \frac{9}{19} = 1 \frac{9}{19}$.
Ответ: $1 \frac{9}{19}$.

в) Чтобы найти число, которое в 2 раза больше $\frac{3}{7}$, необходимо выполнить умножение дроби на число:
$\frac{3}{7} \times 2 = \frac{3 \times 2}{7} = \frac{6}{7}$.
Ответ: $\frac{6}{7}$.

г) Чтобы найти число, которое в 4 раза меньше $\frac{8}{11}$, необходимо выполнить деление дроби на число. Деление на число равносильно умножению на обратное ему число:
$\frac{8}{11} \div 4 = \frac{8}{11} \times \frac{1}{4} = \frac{8 \times 1}{11 \times 4} = \frac{8}{44}$.
Сократим полученную дробь на 4:
$\frac{8 \div 4}{44 \div 4} = \frac{2}{11}$.
Ответ: $\frac{2}{11}$.

6.152 Найдите число m (рис. 6.19).

а

На данном рисунке показана числовая прямая. Розовые дуги обозначают одинаковые шаги или отрезки. Первый шаг от 0 заканчивается на отметке 0,2. Это означает, что длина одного шага (цена одного деления) равна 0,2.

Чтобы найти число $m$, нужно посчитать, сколько всего шагов сделано от начальной точки 0 до точки $m$. На рисунке видно, что сделано 4 шага.

Теперь умножим количество шагов на длину одного шага, чтобы найти значение $m$:

$m = 4 \times 0,2$

$m = 0,8$

Ответ: $m = 0,8$.

б

На этой числовой прямой два шага от 0 приводят к отметке 0,06. Чтобы найти длину одного шага, нужно разделить 0,06 на количество шагов, то есть на 2:

Длина одного шага $= 0,06 \div 2 = 0,03$.

Теперь посчитаем общее количество шагов от 0 до точки $m$. На рисунке показано 6 шагов.

Чтобы найти число $m$, умножим общее количество шагов на найденную длину одного шага:

$m = 6 \times 0,03$

$m = 0,18$

Ответ: $m = 0,18$.

6.153 Верно ли утверждение: «Площади любых двух участков, заборы у которых одинаковой длины, равны»? Проиллюстрируйте свой ответ примером.

Нет, утверждение «Площади любых двух участков, заборы у которых одинаковой длины, равны» является неверным.

Длина забора, ограждающего участок, соответствует его периметру. Чтобы опровергнуть данное утверждение, достаточно привести пример двух участков, которые имеют одинаковый периметр, но разную площадь.

Рассмотрим два участка, длина забора (периметр) каждого из которых составляет 20 метров.

Участок 1: Квадрат
Пусть первый участок имеет форму квадрата. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ — длина стороны.Найдем сторону нашего квадрата: $a = P / 4 = 20 / 4 = 5$ метров.Площадь этого участка будет равна: $S_1 = a^2 = 5^2 = 25$ $м^2$.

Участок 2: Прямоугольник
Пусть второй участок имеет форму прямоугольника со сторонами $l = 8$ метров и $w = 2$ метра.Проверим его периметр: $P_2 = 2(l+w) = 2(8+2) = 2 \cdot 10 = 20$ метров. Периметр совпадает с периметром первого участка.Теперь найдем площадь этого участка: $S_2 = l \cdot w = 8 \cdot 2 = 16$ $м^2$.

Вывод
Мы видим, что оба участка имеют одинаковую длину забора — 20 метров. Однако их площади различны: $25$ $м^2 \neq 16$ $м^2$. Это наглядно доказывает, что исходное утверждение ложно.

Ответ: Нет, утверждение неверно. Например, квадратный участок со стороной 5 м и прямоугольный участок со сторонами 8 м и 2 м имеют одинаковую длину забора (периметр) — 20 м, но их площади не равны (25 $м^2$ и 16 $м^2$ соответственно).

6.154 Миша плывёт по реке. Продвигается ли он в каком-то направлении и если да, то с какой скоростью, если скорость течения реки 50 м/мин, а собственная скорость Миши равна:

а) 80 м/мин и он плывёт по течению;

б) 80 м/мин и он плывёт против течения;

в) 50 м/мин и он плывёт по течению;

г) 50 м/мин и он плывёт против течения?

Для решения задачи необходимо найти результирующую скорость Миши относительно берега. Эта скорость ($V$) зависит от собственной скорости Миши ($V_{соб}$) и скорости течения реки ($V_{теч}$). По условию, скорость течения реки $V_{теч} = 50$ м/мин.

• Когда Миша плывёт по течению, его скорость относительно берега равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $V = V_{соб} + V_{теч}$.
• Когда Миша плывёт против течения, его скорость относительно берега равна разности его собственной скорости и скорости течения: $V = V_{соб} - V_{теч}$.

Если результирующая скорость $V$ больше нуля, значит, Миша продвигается в каком-то направлении. Если $V = 0$, он остается на месте относительно берега.

а) Собственная скорость Миши $V_{соб} = 80$ м/мин, и он плывёт по течению.
Его результирующая скорость относительно берега составляет:
$V = V_{соб} + V_{теч} = 80 \text{ м/мин} + 50 \text{ м/мин} = 130 \text{ м/мин}$.
Так как скорость больше нуля, Миша продвигается по течению.
Ответ: Да, продвигается по течению со скоростью 130 м/мин.

б) Собственная скорость Миши $V_{соб} = 80$ м/мин, и он плывёт против течения.
Его результирующая скорость относительно берега составляет:
$V = V_{соб} - V_{теч} = 80 \text{ м/мин} - 50 \text{ м/мин} = 30 \text{ м/мин}$.
Так как скорость больше нуля, Миша продвигается против течения.
Ответ: Да, продвигается против течения со скоростью 30 м/мин.

в) Собственная скорость Миши $V_{соб} = 50$ м/мин, и он плывёт по течению.
Его результирующая скорость относительно берега составляет:
$V = V_{соб} + V_{теч} = 50 \text{ м/мин} + 50 \text{ м/мин} = 100 \text{ м/мин}$.
Так как скорость больше нуля, Миша продвигается по течению.
Ответ: Да, продвигается по течению со скоростью 100 м/мин.

г) Собственная скорость Миши $V_{соб} = 50$ м/мин, и он плывёт против течения.
Его результирующая скорость относительно берега составляет:
$V = V_{соб} - V_{теч} = 50 \text{ м/мин} - 50 \text{ м/мин} = 0 \text{ м/мин}$.
Так как результирующая скорость равна нулю, Миша не продвигается относительно берега, а остается на одном месте.
Ответ: Нет, не продвигается, его скорость относительно берега равна 0 м/мин.

6.155 Собственная скорость катера 13,5 км/ч. Катер шёл 4 ч по течению реки, а затем вернулся обратно. Сколько времени затратил катер на обратный путь, если скорость течения реки равна 1,5 км/ч?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдём скорость катера по течению реки.

Скорость по течению равна сумме собственной скорости катера и скорости течения реки.

$13,5 \text{ км/ч} + 1,5 \text{ км/ч} = 15 \text{ км/ч}$

2. Найдём расстояние, которое проплыл катер по течению.

Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время.

$15 \text{ км/ч} \times 4 \text{ ч} = 60 \text{ км}$

3. Найдём скорость катера против течения реки.

На обратном пути катер двигался против течения. Его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения.

$13,5 \text{ км/ч} - 1,5 \text{ км/ч} = 12 \text{ км/ч}$

4. Найдём время, затраченное на обратный путь.

Расстояние на обратном пути то же самое. Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость против течения.

$t = \frac{S}{V} = \frac{60 \text{ км}}{12 \text{ км/ч}} = 5 \text{ ч}$

Ответ: 5 часов.

6.156 1) На ферме надоили 240 л молока. Из них 58 отправили на молокозавод, а остальное переработали на творог. Сколько литров молока переработали на творог?

2) С огорода собрали 270 кг картофеля. Из них 59 оставили на зиму, а остальное реализовали на рынке. Сколько килограммов картофеля реализовали на рынке?

1)

Для решения задачи сначала определим, какая часть молока осталась после отправки на молокозавод. Если все молоко принять за $1$ (целое), а на молокозавод отправили $\frac{5}{8}$, то оставшаяся часть равна:

$1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$

Теперь, зная, что всего было 240 литров молока, найдем, сколько литров составляет $\frac{3}{8}$ от этого количества. Для этого умножим общее количество молока на эту дробь:

$240 \cdot \frac{3}{8} = \frac{240 \cdot 3}{8} = 30 \cdot 3 = 90$ (л)

Ответ: на творог переработали 90 литров молока.

2)

Сначала определим, какая часть картофеля была реализована на рынке. Если весь собранный картофель принять за $1$ (целое), а на зиму оставили $\frac{5}{9}$, то часть, реализованная на рынке, составляет:

$1 - \frac{5}{9} = \frac{9}{9} - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$

Теперь, зная, что всего собрали 270 кг картофеля, найдем, сколько килограммов составляет $\frac{4}{9}$ от этого количества. Для этого умножим общее количество картофеля на эту дробь:

$270 \cdot \frac{4}{9} = \frac{270 \cdot 4}{9} = 30 \cdot 4 = 120$ (кг)

Ответ: на рынке реализовали 120 килограммов картофеля.

6.157 Сравните значения выражений 42 - m или m + 7,35, если m равно 41,3; 2,649; 34,899; 17,325.

Для сравнения значений выражений $42 - m$ и $m + 7,35$ можно применить два подхода: решить неравенство в общем виде или подставить каждое конкретное значение $m$. Для полноты решения рассмотрим оба.

1. Общее решение

Сначала найдем значение $m$, при котором выражения равны:

$42 - m = m + 7,35$

Перенесем слагаемые с $m$ в одну сторону, а числа в другую:

$42 - 7,35 = m + m$

$34,65 = 2m$

$m = 34,65 : 2$

$m = 17,325$

Таким образом, при $m = 17,325$ значения выражений равны.

Теперь рассмотрим, как ведут себя выражения при изменении $m$:

• Выражение $42 - m$ является убывающей функцией (чем больше $m$, тем меньше значение).
• Выражение $m + 7,35$ является возрастающей функцией (чем больше $m$, тем больше значение).

Из этого следует:

• Если $m > 17,325$, то $42 - m < m + 7,35$.
• Если $m < 17,325$, то $42 - m > m + 7,35$.

2. Сравнение для каждого конкретного значения m

Если m равно 41,3:

Так как $41,3 > 17,325$, то ожидаем, что $42 - m < m + 7,35$.

Проверим вычислением:

Первое выражение: $42 - 41,3 = 0,7$.

Второе выражение: $41,3 + 7,35 = 48,65$.

Сравниваем: $0,7 < 48,65$.

Ответ: $42 - m < m + 7,35$.

Если m равно 2,649:

Так как $2,649 < 17,325$, то ожидаем, что $42 - m > m + 7,35$.

Проверим вычислением:

Первое выражение: $42 - 2,649 = 39,351$.

Второе выражение: $2,649 + 7,35 = 9,999$.

Сравниваем: $39,351 > 9,999$.

Ответ: $42 - m > m + 7,35$.

Если m равно 34,899:

Так как $34,899 > 17,325$, то ожидаем, что $42 - m < m + 7,35$.

Проверим вычислением:

Первое выражение: $42 - 34,899 = 7,101$.

Второе выражение: $34,899 + 7,35 = 42,249$.

Сравниваем: $7,101 < 42,249$.

Ответ: $42 - m < m + 7,35$.

Если m равно 17,325:

Это значение $m$, при котором выражения должны быть равны.

Проверим вычислением:

Первое выражение: $42 - 17,325 = 24,675$.

Второе выражение: $17,325 + 7,35 = 24,675$.

Сравниваем: $24,675 = 24,675$.

Ответ: $42 - m = m + 7,35$.

6.158 Представьте в виде суммы произведение 8,35 • 4 и найдите его значение.

По определению, умножение числа на натуральное число $n$ — это взятие этого числа в качестве слагаемого $n$ раз. В нашем случае нужно умножить десятичную дробь $8,35$ на $4$.

Чтобы представить произведение $8,35 \cdot 4$ в виде суммы, мы должны сложить число $8,35$ само с собой 4 раза:

$8,35 \cdot 4 = 8,35 + 8,35 + 8,35 + 8,35$

Теперь найдем значение этого выражения. Это можно сделать двумя способами: непосредственно вычислить сумму или выполнить умножение.

1. Вычисление суммы:

$8,35 + 8,35 = 16,70$

$16,70 + 8,35 = 25,05$

$25,05 + 8,35 = 33,40$

2. Вычисление произведения:

$8,35 \cdot 4 = 33,40$

Оба способа дают один и тот же результат. Отбрасывая незначимый ноль в конце дробной части, получаем $33,4$.

Ответ: $8,35 \cdot 4 = 8,35 + 8,35 + 8,35 + 8,35 = 33,4$.

6.159 Выполните действия сложения и вычитания:

a) 93,4 - (27 + 0,285);

б) 70,3 + 41,3 - 70,6;

в) 721 - 34,8 + (68 - 47,5);

г) 23,436 - (44 - 31,8) + 0,564.

а) $93,4 - (27 + 0,285)$

Согласно порядку выполнения действий, сначала вычисляем выражение в скобках:

$1) \ 27 + 0,285 = 27,285$

Теперь выполняем вычитание, подставив полученное значение в исходное выражение:

$2) \ 93,4 - 27,285 = 66,115$

Ответ: $66,115$.

б) $70,3 + 41,3 - 70,6$

В этом выражении нет скобок. Действия сложения и вычитания имеют одинаковый приоритет, поэтому выполняем их по порядку, слева направо:

$1) \ 70,3 + 41,3 = 111,6$

$2) \ 111,6 - 70,6 = 41$

Ответ: $41$.

в) $721 - 34,8 + (68 - 47,5)$

Первым действием выполняем вычитание в скобках:

$1) \ 68 - 47,5 = 20,5$

Теперь выражение принимает вид $721 - 34,8 + 20,5$. Выполняем оставшиеся действия слева направо:

$2) \ 721 - 34,8 = 686,2$

$3) \ 686,2 + 20,5 = 706,7$

Ответ: $706,7$.

г) $23,436 - (44 - 31,8) + 0,564$

Сначала выполняем действие в скобках:

$1) \ 44 - 31,8 = 12,2$

Получаем выражение: $23,436 - 12,2 + 0,564$. Для удобства вычислений можно сначала сложить первое и третье число, а затем вычесть второе:

$2) \ 23,436 + 0,564 = 24$

Теперь выполняем вычитание:

$3) \ 24 - 12,2 = 11,8$

Ответ: $11,8$.

6.160 Сравните числа:

а) 0,732 и 0,728;

б) 5,832 и 5,84;

в) 38,90 и 3,8900;

г) 0,078 и 0,0078.

а) Для сравнения десятичных дробей 0,732 и 0,728 необходимо сравнивать их разряды последовательно слева направо. Целые части обоих чисел равны 0. Цифры в разряде десятых также равны (7). Переходим к разряду сотых. У числа 0,732 в разряде сотых стоит цифра 3, а у числа 0,728 — цифра 2. Так как $3 > 2$, то и число 0,732 больше, чем 0,728.
Ответ: $0,732 > 0,728$.

б) Сравним числа 5,832 и 5,84. Начнем с целых частей: они одинаковы и равны 5. Далее сравним разряды десятых: они также одинаковы и равны 8. Теперь сравним разряды сотых: у числа 5,832 это 3, а у числа 5,84 это 4. Поскольку $3 < 4$, то число 5,832 меньше, чем 5,84. Для наглядности можно уравнять количество знаков после запятой, дописав ноль к числу 5,84, получив 5,840. Теперь очевидно, что $5,832 < 5,840$.
Ответ: $5,832 < 5,84$.

в) Сравним числа 38,90 и 3,8900. При сравнении десятичных дробей в первую очередь сравниваются их целые части (числа до запятой). У числа 38,90 целая часть равна 38. У числа 3,8900 целая часть равна 3. Так как $38 > 3$, то первое число больше второго. Незначащие нули в конце дробной части не влияют на величину числа, поэтому мы по сути сравнивали 38,9 и 3,89.
Ответ: $38,90 > 3,8900$.

г) Сравним числа 0,078 и 0,0078. Сравниваем поразрядно слева направо. Целые части равны 0. Цифры в разряде десятых также равны 0. Переходим к разряду сотых. У числа 0,078 в этом разряде стоит цифра 7, а у числа 0,0078 — цифра 0. Так как $7 > 0$, то первое число больше второго.
Ответ: $0,078 > 0,0078$.

6.161 Развивай внимание и память. Подсчитайте по таблице, сколько раз встречается:

а) цифра 8;

б) цифры 5 и 6 (не считая их по отдельности);

в) цифры 4, 5 и 7 (не считая их по отдельности);

г) пара чисел 5 и 7, стоящих в соседних клетках.

а) Чтобы подсчитать, сколько раз встречается цифра 8, просуммируем количество ее вхождений в каждой строке таблицы:
В 1-й строке – 1 раз.
Во 2-й строке – 2 раза.
В 3-й строке – 1 раз.
В 4-й строке – 2 раза.
В 5-й строке – 1 раз.
В 6-й строке – 1 раз.
В 7-й строке – 2 раза.
В 8-й строке – 1 раз.
В 9-й строке – 2 раза.
В 10-й строке – 1 раз.
Итоговое количество: $1 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 2 + 1 = 14$.
Ответ: 14

б) Для подсчета общего количества цифр 5 и 6, сначала найдем, сколько раз встречается каждая из них, а затем сложим эти значения.
Количество цифр 5 в таблице: $12$.
Количество цифр 6 в таблице: $16$.
Суммарное количество: $12 + 16 = 28$.
Ответ: 28

в) Чтобы найти общее количество цифр 4, 5 и 7, подсчитаем их по отдельности и сложим результаты.
Количество цифр 4: $11$.
Количество цифр 5: $12$.
Количество цифр 7: $11$.
Общее количество: $11 + 12 + 11 = 34$.
Ответ: 34

г) Найдем все пары чисел 5 и 7, которые находятся в соседних клетках по горизонтали или по вертикали.
Таких пар всего четыре:
1. Горизонтальная пара `5 7` в 9-й строке (1-й и 2-й столбцы).
2. Горизонтальная пара `7 5` в 9-й строке (2-й и 3-й столбцы).
3. Вертикальная пара: цифра 5 в 4-й строке и цифра 7 в 5-й строке (обе в 3-м столбце).
4. Вертикальная пара: цифра 7 в 8-й строке и цифра 5 в 9-й строке (обе в 1-м столбце).
Итого $2$ горизонтальные и $2$ вертикальные пары, что в сумме составляет $4$ пары.
Ответ: 4