Страница 125, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник часть 1, 2 Виленкин, Жохов

3.370 Выпишите сорок первых натуральных чисел в порядке возрастания и чёрным карандашом подчеркните каждое второе число, красным - каждое пятое, зелёным - каждое десятое.

а) Назовите числа, подчёркнутые чёрным карандашом. На какое число они делятся?

б) Назовите числа, подчёркнутые красным карандашом. На какое число они делятся?

в) Назовите числа, которые подчёркнуты двумя цветами; тремя цветами. На какое число они делятся?

г) Назовите числа, которые не делятся ни на 2, ни на 5, ни на 10.

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; 22; 23; 24; 25; 26; 27; 28; 29; 30; 31; 32; 33; 34; 35; 36; 37; 38; 39; 40.

a) 2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18; 20; 22; 24; 26; 28; 30; 32; 34; 36; 38; 40. Они делятся на 2.

б) 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40. Они делятся на 5.

в)
– двумяцветами: 10; 20; 30; 40.
– тремяцветами: 10; 20; 30; 40.

Они делятся на 10.

г) 1; 3; 7; 9; 11; 13; 17; 19; 21; 23; 27; 29; 31; 33; 37; 39.

а) Числа, подчёркнутые чёрным карандашом (каждое второе число): 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40. Все эти числа являются чётными. Ответ: эти числа делятся на $2$.

б) Числа, подчёркнутые красным карандашом (каждое пятое число): 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40. Все эти числа оканчиваются на $0$ или $5$. Ответ: эти числа делятся на $5$.

в) Числа, подчёркнутые двумя цветами: таких чисел в ряду от 1 до 40 нет. Это связано с тем, что если число подчёркнуто чёрным (делится на $2$) и красным (делится на $5$), то оно обязательно делится и на $10$ (поскольку $10$ — это наименьшее общее кратное чисел $2$ и $5$). Следовательно, такое число будет подчёркнуто и зелёным цветом, то есть тремя цветами.
Числа, подчёркнутые тремя цветами (чёрным, красным и зелёным): 10, 20, 30, 40. Эти числа делятся одновременно на $2$, $5$ и $10$. Ответ: подчёркнутых двумя цветами чисел нет; подчёркнутые тремя цветами числа делятся на $10$.

г) Числа, которые не делятся ни на $2$, ни на $5$, ни на $10$, — это те числа от 1 до 40, которые не были подчёркнуты. Это все нечётные числа, которые не оканчиваются на $5$. Список этих чисел: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39. Ответ: 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 21, 23, 27, 29, 31, 33, 37, 39.

3.371 Назовите два:

а) чётных числа, которые не делятся на 5;

б) нечётных числа, которые не делятся на 5;

в) чётных числа, делящиеся на 5;

г) нечётных числа, делящиеся на 5.

а) 24; 32;

б) 31; 96;

в) 40; 60;

г) 15; 25.

а) чётных числа, которые не делятся на 5
Чётное число — это число, которое делится на 2 без остатка. Признак делимости на 2 — последняя цифра числа является 0, 2, 4, 6 или 8. Число, которое не делится на 5, не может оканчиваться на 0 или 5. Следовательно, нам нужны чётные числа, которые не оканчиваются на 0. То есть, числа, оканчивающиеся на 2, 4, 6 или 8. Примерами таких чисел могут быть 4 и 18. Проверим:

• Число 4: чётное, так как $4 \div 2 = 2$. При делении на 5 даёт остаток 4 ($4 = 5 \cdot 0 + 4$), значит, не делится на 5.
• Число 18: чётное, так как $18 \div 2 = 9$. При делении на 5 даёт остаток 3 ($18 = 5 \cdot 3 + 3$), значит, не делится на 5.

Ответ: 4 и 18.

б) нечётных числа, которые не делятся на 5
Нечётное число — это число, которое при делении на 2 даёт остаток 1. Его последняя цифра — 1, 3, 5, 7 или 9. Число, которое не делится на 5, не может оканчиваться на 0 или 5. Совмещая эти условия, нам нужны числа, оканчивающиеся на 1, 3, 7 или 9. Примерами таких чисел могут быть 7 и 13. Проверим:

• Число 7: нечётное ($7 \div 2 = 3$ с остатком 1). При делении на 5 даёт остаток 2 ($7 = 5 \cdot 1 + 2$), значит, не делится на 5.
• Число 13: нечётное ($13 \div 2 = 6$ с остатком 1). При делении на 5 даёт остаток 3 ($13 = 5 \cdot 2 + 3$), значит, не делится на 5.

Ответ: 7 и 13.

в) чётных числа, делящиеся на 5
Чётное число оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8. Число, делящееся на 5, оканчивается на 0 или 5. Чтобы число удовлетворяло обоим условиям, его последняя цифра должна быть общей для обоих наборов, то есть 0. Таким образом, любое число, оканчивающееся на 0, является чётным и делится на 5. Примерами таких чисел могут быть 10 и 20. Проверим:

• Число 10: чётное ($10 \div 2 = 5$) и делится на 5 ($10 \div 5 = 2$).
• Число 20: чётное ($20 \div 2 = 10$) и делится на 5 ($20 \div 5 = 4$).

Ответ: 10 и 20.

г) нечётных числа, делящиеся на 5
Нечётное число оканчивается на 1, 3, 5, 7 или 9. Число, делящееся на 5, оканчивается на 0 или 5. Чтобы число удовлетворяло обоим условиям, его последняя цифра должна быть общей для обоих наборов, то есть 5. Таким образом, любое число, оканчивающееся на 5, является нечётным и делится на 5. Примерами таких чисел могут быть 5 и 15. Проверим:

• Число 5: нечётное ($5 \div 2 = 2$ с остатком 1) и делится на 5 ($5 \div 5 = 1$).
• Число 15: нечётное ($15 \div 2 = 7$ с остатком 1) и делится на 5 ($15 \div 5 = 3$).

Ответ: 5 и 15.

3.372 а) Запишите в порядке возрастания числа, которые делятся на 5: 146, 655, 20 600, 720, 3018, 12 005.

б) Запишите в порядке возрастания числа, которые делятся на 2: 786, 650, 20 600, 723, 3021, 12 006, 127.

в) Запишите в порядке возрастания числа из пунктов а) и б), которые делятся на 10. Есть ли среди них числа, которые делятся на 100?

а) Если число оканчивается цифрой 0 и 5, то оно делится на 5.

655; 720; 12 005; 20 600.

б) Если число оканчивается чётной цифрой, то оно делится на 2.

650; 786; 12 006; 20 600.

в) Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

$\left.\begin{array}{r}\mathrm{из} \mathrm{п}. \mathrm{а}) 720; 20600;\\ \mathrm{из} \mathrm{п}. \mathrm{б}) 650; 20600;\end{array}\right\}650; 720; 20600.$
Число 20 600 делится на 100.

а) Чтобы число делилось на $5$ без остатка, его последняя цифра должна быть $0$ или $5$. Из предложенного списка чисел (146, 655, 20 600, 720, 3018, 12 005) выберем те, которые удовлетворяют этому правилу:

• 146 – оканчивается на 6, не подходит.
• 655 – оканчивается на 5, подходит.
• 20 600 – оканчивается на 0, подходит.
• 720 – оканчивается на 0, подходит.
• 3018 – оканчивается на 8, не подходит.
• 12 005 – оканчивается на 5, подходит.

Получили числа: 655, 20 600, 720, 12 005. Теперь запишем их в порядке возрастания (от меньшего к большему): 655, 720, 12 005, 20 600.
Ответ: 655, 720, 12 005, 20 600.

б) Чтобы число делилось на $2$ без остатка, оно должно быть четным, то есть его последняя цифра должна быть $0, 2, 4, 6$ или $8$. Из предложенного списка чисел (786, 650, 20 600, 723, 3021, 12 006, 127) выберем те, которые удовлетворяют этому правилу:

• 786 – оканчивается на 6, подходит.
• 650 – оканчивается на 0, подходит.
• 20 600 – оканчивается на 0, подходит.
• 723 – оканчивается на 3, не подходит.
• 3021 – оканчивается на 1, не подходит.
• 12 006 – оканчивается на 6, подходит.
• 127 – оканчивается на 7, не подходит.

Получили числа: 786, 650, 20 600, 12 006. Теперь запишем их в порядке возрастания: 650, 786, 12 006, 20 600.
Ответ: 650, 786, 12 006, 20 600.

в) Чтобы число делилось на $10$ без остатка, его последняя цифра должна быть $0$. Рассмотрим все числа из пунктов а) и б): 146, 655, 20 600, 720, 3018, 12 005, 786, 650, 723, 3021, 12 006, 127. Выберем из них те, что оканчиваются на $0$: 20 600, 720, 650. Запишем их в порядке возрастания: 650, 720, 20 600.
Теперь проверим, есть ли среди этих чисел (650, 720, 20 600) те, что делятся на $100$. Чтобы число делилось на $100$, оно должно оканчиваться на $00$.

• 650 – оканчивается на 50, не подходит.
• 720 – оканчивается на 20, не подходит.
• 20 600 – оканчивается на 00, подходит.

Значит, среди чисел, делящихся на $10$, есть число, которое делится и на $100$ – это 20 600.
Ответ: Числа, которые делятся на 10, в порядке возрастания: 650, 720, 20 600. Да, среди них есть число, которое делится на 100: 20 600.

3.373 а) Какие из чисел 400, 450, 6000, 80 000, 555, 84 690 делятся на 100?

б) Какие из них делятся на 1000?

в) Сформулируйте признаки делимости на 100, на 1000.

a) 400; 6000; 80 000;

б) 6000; 80 000;

в) Признак делимости на 100: число делится на 100, если две его последние цифры - нули.

Признак делимости на 1000: число делится на 1000, если три его последние цифры - нули.

а) Чтобы число делилось на 100 без остатка, его десятичная запись должна оканчиваться двумя нулями. Проверим каждое из предложенных чисел: 400, 450, 6000, 80 000, 555, 84 690.

Число 400 оканчивается на 00, следовательно, оно делится на 100. Проверка: $400 \div 100 = 4$.

Число 450 оканчивается на 50, а не на 00, поэтому оно не делится на 100.

Число 6000 оканчивается на 00 (и даже на 000), следовательно, оно делится на 100. Проверка: $6000 \div 100 = 60$.

Число 80 000 оканчивается на 00 (и даже на 0000), следовательно, оно делится на 100. Проверка: $80000 \div 100 = 800$.

Число 555 оканчивается на 55, а не на 00, поэтому оно не делится на 100.

Число 84 690 оканчивается на 90, а не на 00, поэтому оно не делится на 100.

Ответ: 400, 6000, 80 000.

б) Чтобы число делилось на 1000 без остатка, его десятичная запись должна оканчиваться тремя нулями. Проверим числа из списка.

Число 6000 оканчивается на 000, следовательно, оно делится на 1000. Проверка: $6000 \div 1000 = 6$.

Число 80 000 оканчивается на 000 (и даже на 0000), следовательно, оно делится на 1000. Проверка: $80000 \div 1000 = 80$.

Остальные числа (400, 450, 555, 84 690) не оканчиваются тремя нулями, поэтому они не делятся на 1000.

Ответ: 6000, 80 000.

в) Признаки делимости на 100 и на 1000 основаны на количестве нулей в конце записи числа.

Признак делимости на 100: Натуральное число делится на 100 без остатка, если две его последние цифры — нули. Это следует из того, что $100 = 10^2$.

Признак делимости на 1000: Натуральное число делится на 1000 без остатка, если три его последние цифры — нули. Это следует из того, что $1000 = 10^3$.

Ответ: Число делится на 100, если оно оканчивается на два нуля; число делится на 1000, если оно оканчивается на три нуля.

3.374 Используя лишь цифры 0, 4 и 5, напишите все двузначные числа, которые делятся:

а) на 2;

б) на 5.

а) делится на 2: 40; 44; 50; 54;

б) делится на 5: 40; 45; 50; 55.

Для решения задачи сначала определим все возможные двузначные числа, которые можно составить из цифр 0, 4 и 5.

Двузначное число состоит из двух цифр: цифры десятков и цифры единиц.
1. На месте десятков (первая цифра) может быть любая из заданных цифр, кроме 0. Таким образом, первая цифра может быть 4 или 5.
2. На месте единиц (вторая цифра) может быть любая из заданных цифр: 0, 4 или 5.

Переберем все возможные комбинации:

• Если первая цифра 4, то вторая может быть 0, 4 или 5. Получаем числа: 40, 44, 45.
• Если первая цифра 5, то вторая может быть 0, 4 или 5. Получаем числа: 50, 54, 55.

Итак, мы можем составить следующие двузначные числа: 40, 44, 45, 50, 54, 55.

Теперь выберем из них те, которые удовлетворяют заданным условиям.

а) делятся на 2

Признак делимости на 2: число делится на 2, если его последняя цифра является четной (0, 2, 4, 6, 8).
Из доступных нам цифр (0, 4, 5) четными являются 0 и 4.
Следовательно, нам нужно найти все составленные ранее числа, которые оканчиваются на 0 или 4.
Выбираем из списка {40, 44, 45, 50, 54, 55}:

• 40 - оканчивается на 0, подходит.
• 44 - оканчивается на 4, подходит.
• 45 - оканчивается на 5, не подходит.
• 50 - оканчивается на 0, подходит.
• 54 - оканчивается на 4, подходит.
• 55 - оканчивается на 5, не подходит.

Таким образом, числа, которые делятся на 2: 40, 44, 50, 54.

Ответ: 40, 44, 50, 54.

б) делятся на 5

Признак делимости на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5.
Из доступных нам цифр (0, 4, 5) этому условию удовлетворяют 0 и 5.
Следовательно, нам нужно найти все составленные ранее числа, которые оканчиваются на 0 или 5.
Выбираем из списка {40, 44, 45, 50, 54, 55}:

• 40 - оканчивается на 0, подходит.
• 44 - оканчивается на 4, не подходит.
• 45 - оканчивается на 5, подходит.
• 50 - оканчивается на 0, подходит.
• 54 - оканчивается на 4, не подходит.
• 55 - оканчивается на 5, подходит.

Таким образом, числа, которые делятся на 5: 40, 45, 50, 55.

Ответ: 40, 45, 50, 55.

3.375 Купили несколько наборов машинок, по 5 машинок в каждом. Могло ли оказаться, что купили 35 машинок; 42 машинки; 60 машинок?

Количество машинок должно делиться на 5 без остатка. Это числа 35 и 60, так как $35 : 5 = 7$ и $60 : 5 = 12,$$\mathrm{42 : 5 = 8 (}\mathrm{ост}. 2).$

Ответ: 35 машинок могло быть; 42 машинки не может быть; 60 машинок могло быть.

По условию задачи, машинки покупали наборами по 5 штук в каждом. Это означает, что общее количество купленных машинок должно быть кратно 5, то есть делиться на 5 без остатка. Число делится на 5 нацело, если его последняя цифра — 0 или 5. Проверим каждое из предложенных чисел.

35 машинок

Чтобы выяснить, могли ли купить 35 машинок, проверим, делится ли 35 на 5. Последняя цифра числа 35 — это 5, следовательно, число делится на 5 без остатка.

$35 \div 5 = 7$

Результат деления — целое число 7. Это значит, что могли купить 7 наборов машинок.
Ответ: да, могло.

42 машинки

Проверим, делится ли число 42 на 5. Последняя цифра числа 42 — это 2. Согласно признаку делимости, число 42 не делится на 5 без остатка.

$42 \div 5 = 8 \text{ (остаток 2)}$

Так как количество наборов должно быть целым числом, а при делении 42 на 5 получается остаток, то купить 42 машинки было невозможно.
Ответ: нет, не могло.

60 машинок

Проверим, делится ли число 60 на 5. Последняя цифра числа 60 — это 0, следовательно, число делится на 5 без остатка.

$60 \div 5 = 12$

Результат деления — целое число 12. Это значит, что могли купить 12 наборов машинок.
Ответ: да, могло.

3.376 Вася купил 10 булочек. Мог ли он заплатить за покупку 60 р.? 75 р.? 80 р. 15 к.?

Стоимость покупки должна делит ее на 10 без остатка

$60 : 10 = 6 (\mathrm{р}.)$ - цена 1 булочки.

$75 \mathrm{р}. = 7500 \mathrm{к}.$

$7500 : 10 = 750 (\mathrm{к}.)$

$750 \mathrm{к}. = 7 \mathrm{р}.50 \mathrm{к}.$ - цена 1 булочки

$80 \mathrm{р}.15 \mathrm{к}. = 8015 \mathrm{к}.$

$8015 : 10 = 801 (\mathrm{ост}. 5)$

Ответ: 60р. мог заплатить; 75р. мог заплатить; 80р. 15к. не мог заплатить.

Чтобы ответить на вопрос, необходимо проверить, делится ли указанная сумма на 10 без остатка, который нельзя выразить в копейках. Цена одной булочки должна быть целым числом копеек.

60 р.?

Найдем стоимость одной булочки, если за 10 штук заплатили 60 рублей. Для этого разделим общую стоимость на количество:

$60 \text{ р.} \div 10 = 6 \text{ р.}$

Цена одной булочки равна 6 рублей. Это допустимая цена.

Ответ: да, мог.

75 р.?

Найдем стоимость одной булочки, если за 10 штук заплатили 75 рублей:

$75 \text{ р.} \div 10 = 7.5 \text{ р.}$

7.5 рубля — это 7 рублей и 50 копеек. Это допустимая цена для товара.

Ответ: да, мог.

80 р. 15 к.?

Для удобства расчетов переведем всю сумму в копейки. В одном рубле 100 копеек, значит:

$80 \text{ р. } 15 \text{ к.} = 80 \times 100 \text{ к.} + 15 \text{ к.} = 8015 \text{ к.}$

Теперь найдем стоимость одной булочки в копейках:

$8015 \text{ к.} \div 10 = 801.5 \text{ к.}$

Цена одной булочки составляет 801.5 копейки. Так как копейка является наименьшей денежной единицей, цена не может быть дробной частью копейки. Следовательно, 10 булочек не могут стоить 80 рублей 15 копеек.

Ответ: нет, не мог.

3.377 Не производя вычислений, определите, делится ли:

а) на 5 произведение 265 • 123;

б) на 2 сумма 48 + 34 + 26;

в) на 10 разность 2400 - 670.

а) $265 · 123$

По свойству делимости произведения, если один из множителей делится на 5, то и произведение делится на 5.

265 делится на 5 по признаку делимости на 5.

Значит, и $265 · 123$ делится на 5.

б) $48 + 34 + 26$

По свойству делимости суммы, если каждое слагаемое делится на 2, то и их сумма делится на 2.

По признаку делимости на 2:

• 48 делится на 2;
• 34 делится на 2;
• 26 делится на 2.

Значит, $48 + 34 + 26$ делится на 2.

б) $2400 - 670$

По свойству делимости разности, если уменьшаемое и вычитаемое делится на 10, то и вся разность делится на 10.

По признаку делимости на 10:

• 2400 делится на 10;
• 670 делится на 10.

Значит, $2400 - 670$ делится на 10.

а) на 5 произведение 265 · 123;

Чтобы определить, делится ли произведение на число, не выполняя умножения, нужно воспользоваться свойством делимости произведения: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число.
Применим признак делимости на 5: число делится на 5 без остатка, если его запись оканчивается цифрой 0 или 5.
В выражении $265 \cdot 123$ рассмотрим множитель 265. Он оканчивается на цифру 5, следовательно, число 265 делится на 5.
Поскольку один из множителей (265) делится на 5, то и всё произведение делится на 5.

Ответ: делится.

б) на 2 сумма 48 + 34 + 26;

Чтобы определить, делится ли сумма на число, не выполняя сложения, нужно воспользоваться свойством делимости суммы: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число.
Применим признак делимости на 2: число делится на 2 без остатка, если оно является чётным, то есть его запись оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8.
Рассмотрим слагаемые в выражении $48 + 34 + 26$:
- Число 48 оканчивается на 8, оно чётное и делится на 2.
- Число 34 оканчивается на 4, оно чётное и делится на 2.
- Число 26 оканчивается на 6, оно чётное и делится на 2.
Так как каждое слагаемое делится на 2, то и вся сумма делится на 2.

Ответ: делится.

в) на 10 разность 2400 – 670.

Чтобы определить, делится ли разность на число, не выполняя вычитания, нужно воспользоваться свойством делимости разности: если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то и их разность делится на это число.
Применим признак делимости на 10: число делится на 10 без остатка, если его запись оканчивается цифрой 0.
Рассмотрим числа в выражении $2400 - 670$:
- Уменьшаемое 2400 оканчивается на 0, следовательно, оно делится на 10.
- Вычитаемое 670 оканчивается на 0, следовательно, оно тоже делится на 10.
Поскольку и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на 10, то и их разность также делится на 10.

Ответ: делится.

3.378 Запишите числа, кратные 5, удовлетворяющие двойному неравенству:

а) 78 < x < 87;

б) 305 < x < 350;

в) 114 < y < 155;

г) 1 < y < 25.

a) $78<x<87$

По признаку делимости на 5, числа, кратные 5 оканчиваются цифрой 0 или 5

х = 80; 85.

б) $305<x<350$

x = 310; 315; 320; 325; 330; 335; 340; 345.

в) $114<y<155$

y = 115; 120; 125; 130; 135; 140; 145; 150.

г) $1<y<25$

у = 15; 10; 15; 20.

а) Нам нужно найти все числа $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $78 < x < 87$ и при этом кратны 5. Числа, кратные 5, — это числа, которые делятся на 5 без остатка. Такие числа оканчиваются на цифру 0 или 5. Выпишем целые числа, находящиеся в интервале от 78 до 87: 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86. Среди этих чисел выберем те, которые оканчиваются на 0 или 5. Это числа 80 и 85. Оба они удовлетворяют условию $78 < x < 87$.
Ответ: 80, 85.

б) Рассмотрим двойное неравенство $305 < x < 350$. Искомые числа $x$ должны быть больше 305 и меньше 350, а также делиться на 5. Поскольку неравенство строгое, числа 305 и 350 не входят в искомый диапазон. Первое число, кратное 5, которое больше 305, это 310. Последнее число, кратное 5, которое меньше 350, это 345. Перечислим все числа, кратные 5, от 310 до 345 включительно, с шагом 5: 310, 315, 320, 325, 330, 335, 340, 345.
Ответ: 310, 315, 320, 325, 330, 335, 340, 345.

в) Рассмотрим двойное неравенство $114 < y < 155$. Нам нужно найти все числа $y$, кратные 5, в этом интервале. Первое число, большее 114 и кратное 5, это 115 (так как оно оканчивается на 5). Последнее число, меньшее 155 и кратное 5, это 150 (так как оно оканчивается на 0). Перечислим все числа, кратные 5, от 115 до 150 включительно: 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150.
Ответ: 115, 120, 125, 130, 135, 140, 145, 150.

г) Рассмотрим двойное неравенство $1 < y < 25$. Нам нужно найти все числа $y$, кратные 5, в этом интервале. Первое число, большее 1 и кратное 5, это 5. Последнее число, меньшее 25 и кратное 5, это 20. Перечислим все числа, кратные 5, от 5 до 20 включительно: 5, 10, 15, 20.
Ответ: 5, 10, 15, 20.

3.379 Всегда ли верно:

а) если число делится на 2, то оно чётное;

б) если число делится на 5, то оно оканчивается цифрой 5;

в) если число оканчивается цифрой 0, то оно делится и на 2, и на 5;

г) если число не оканчивается цифрой 0, то оно не делится ни на 2, ни на 5?

а) верно;

б) неверно, число может оканчиваться цифрой 0;

в) верно;

г) неверно, например, число 25 не оканчивается цифрой 0, но делится на 5.

а) Это утверждение верно. По определению, чётным называется целое число, которое делится на $2$ без остатка. Таким образом, если число делится на $2$, оно по определению является чётным.
Ответ: Верно.

б) Это утверждение неверно. Согласно признаку делимости на $5$, число делится на $5$ в том случае, если его последняя цифра — $0$ или $5$. Утверждение не учитывает случай, когда число оканчивается на $0$. Например, число $10$ делится на $5$ ($10 : 5 = 2$), но его последняя цифра — $0$.
Ответ: Неверно.

в) Это утверждение верно. Рассмотрим признаки делимости на $2$ и на $5$:

• Признак делимости на $2$: число делится на $2$, если его последняя цифра — чётная ($0, 2, 4, 6$ или $8$).
• Признак делимости на $5$: число делится на $5$, если его последняя цифра — $0$ или $5$.

Если число оканчивается на $0$, оно удовлетворяет обоим условиям. Следовательно, оно делится и на $2$, и на $5$. Это также следует из того, что любое число, оканчивающееся на $0$, делится на $10$, а $10 = 2 \times 5$.
Ответ: Верно.

г) Это утверждение неверно. Утверждается, что если последняя цифра числа не $0$, то оно не может делиться ни на $2$, ни на $5$. Однако это не так. Приведём контрпримеры:

• Число $14$ не оканчивается на $0$, но оно делится на $2$.
• Число $35$ не оканчивается на $0$, но оно делится на $5$.

Таким образом, существует множество чисел, которые не оканчиваются на $0$, но при этом делятся на $2$ или на $5$.
Ответ: Неверно.

3.380 Какие из чисел 57 243, 3 672 528, 7 105 050 делятся на 3? Какие из них делятся на 9?

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

57 243: $5 + 7 + 2 + 4 + 3 = 21;$ 21 делится на 3, но не делится на 9.

3 672 528: $3 + 6 + 7 + 2 + 5 + 2 + 8 = 33;$ 33 делится на 3, но не делится на 9.

7 105 050: $7 + 1 + 0 + 5 + 0 + 5 + 0 = 18;$ 18 делится и на 3, и на 9.

57 243; 3 672 528; 7 105 050 делится на 3.

7 105 050 делится на 9.

Для определения делимости числа на 3 используется признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Проверим каждое число.

1. Для числа 57 243 найдем сумму его цифр:
$5 + 7 + 2 + 4 + 3 = 21$
Сумма цифр 21 делится на 3, так как $21 : 3 = 7$. Следовательно, число 57 243 делится на 3.

2. Для числа 3 672 528 найдем сумму его цифр:
$3 + 6 + 7 + 2 + 5 + 2 + 8 = 33$
Сумма цифр 33 делится на 3, так как $33 : 3 = 11$. Следовательно, число 3 672 528 делится на 3.

3. Для числа 7 105 050 найдем сумму его цифр:
$7 + 1 + 0 + 5 + 0 + 5 + 0 = 18$
Сумма цифр 18 делится на 3, так как $18 : 3 = 6$. Следовательно, число 7 105 050 делится на 3.

Ответ: на 3 делятся все три числа: 57 243, 3 672 528, 7 105 050.

Для определения делимости числа на 9 используется признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Воспользуемся уже вычисленными суммами цифр.

1. Для числа 57 243 сумма цифр равна 21.
21 не делится на 9 без остатка ($21 = 9 \times 2 + 3$). Следовательно, число 57 243 не делится на 9.

2. Для числа 3 672 528 сумма цифр равна 33.
33 не делится на 9 без остатка ($33 = 9 \times 3 + 6$). Следовательно, число 3 672 528 не делится на 9.

3. Для числа 7 105 050 сумма цифр равна 18.
18 делится на 9 без остатка, так как $18 : 9 = 2$. Следовательно, число 7 105 050 делится на 9.

Ответ: на 9 делится число 7 105 050.

3.381 Назовите какие-нибудь три пятизначных числа, которые делятся на 3.

Пятизначные число, которое делятся на 3: 12543; 30720; 92682, так как $1 + 2 + 5 + 4 + 3 = 15;$$3 + 0 + 7 + 2 + 0 = 12;$ $9 + 2 + 6 + 8 + 2 = 27.$

Для того чтобы найти три пятизначных числа, которые делятся на 3, необходимо воспользоваться признаком делимости на 3. Правило гласит: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Пятизначные числа — это целые числа в диапазоне от 10 000 до 99 999. Ниже приведены три примера таких чисел с подробным объяснением.

Первое число
Возьмем число, близкое к наименьшему пятизначному, например, 10 000. Сумма его цифр равна $1+0+0+0+0=1$. Эта сумма не делится на 3. Чтобы сумма цифр стала кратной 3, можно изменить одну из цифр. Например, увеличим сумму до 3, заменив последний 0 на 2. Получим число 10 002.
Проверим сумму цифр нового числа: $1+0+0+0+2=3$.
Так как сумма цифр (3) делится на 3 ($3 \div 3 = 1$), то и само число 10 002 делится на 3.
Проверка делением: $10002 \div 3 = 3334$.
Ответ: 10 002.

Второе число
Составим произвольное пятизначное число, например, 54 321.
Найдем сумму его цифр: $5+4+3+2+1=15$.
Сумма цифр (15) делится на 3 ($15 \div 3 = 5$). Это означает, что число 54 321 также делится на 3.
Проверка делением: $54321 \div 3 = 18107$.
Ответ: 54 321.

Третье число
Возьмем самое большое пятизначное число — 99 999.
Найдем сумму его цифр: $9+9+9+9+9=45$.
Сумма цифр (45) делится на 3 ($45 \div 3 = 15$). Следовательно, число 99 999 делится на 3.
Проверка делением: $99999 \div 3 = 33333$.
Ответ: 99 999.

3.382 Какие цифры можно записать вместо знака вопроса, чтобы получившееся число делилось па 3:

а) 5?2;

б) 37?;

в) ?32?

а) 522; 552; 582;

б) 372; 375; 378;

в) 432; 732; 132.

Для решения этой задачи используется признак делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.

а) 5?2

Обозначим неизвестную цифру через $x$. Получаем число вида $5x2$. Сумма его цифр равна $5 + x + 2 = 7 + x$. Эта сумма должна делиться на 3. Подбираем возможные значения для $x$ (цифры от 0 до 9):

• Если $x=2$, сумма равна $7+2=9$. $9$ делится на 3. Цифра 2 подходит.
• Если $x=5$, сумма равна $7+5=12$. $12$ делится на 3. Цифра 5 подходит.
• Если $x=8$, сумма равна $7+8=15$. $15$ делится на 3. Цифра 8 подходит.

При подстановке других цифр сумма не будет делиться на 3.

Ответ: 2, 5, 8.

б) 87?

Пусть неизвестная цифра – это $x$. Получаем число $87x$. Сумма его цифр равна $8 + 7 + x = 15 + x$. Эта сумма должна делиться на 3. Так как число 15 уже делится на 3, то и $x$ должен быть цифрой, которая делится на 3.

Возможные значения для $x$:

• $x=0$. Сумма $15+0=15$, делится на 3.
• $x=3$. Сумма $15+3=18$, делится на 3.
• $x=6$. Сумма $15+6=21$, делится на 3.
• $x=9$. Сумма $15+9=24$, делится на 3.

Ответ: 0, 3, 6, 9.

в) ?82?

Предположим, что оба знака вопроса заменяются одной и той же цифрой, которую обозначим $x$. Получаем число $x82x$. Сумма его цифр равна $x + 8 + 2 + x = 2x + 10$. Так как $x$ является первой цифрой числа, $x$ не может быть равен 0.

Найдем такие цифры $x$ (от 1 до 9), для которых выражение $(2x + 10)$ будет делиться на 3:

• Если $x=1$, сумма равна $2 \cdot 1 + 10 = 12$. $12$ делится на 3. Цифра 1 подходит.
• Если $x=4$, сумма равна $2 \cdot 4 + 10 = 18$. $18$ делится на 3. Цифра 4 подходит.
• Если $x=7$, сумма равна $2 \cdot 7 + 10 = 24$. $24$ делится на 3. Цифра 7 подходит.

Другие цифры от 1 до 9 не подходят. Например, при $x=2$ сумма равна 14, что не делится на 3.

Ответ: 1, 4, 7.

6.216 В ёмкости для полива огорода находилось 1,8 т воды. В первый день на полив огорода израсходовали 512 всей воды, находившейся в ёмкости, во второй день — 715 остатка. Найдите, сколько воды осталось в ёмкости после двух дней полива.

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Найдем объем воды, израсходованный в первый день.
В ёмкости было 1,8 т воды. В первый день израсходовали $\frac{5}{12}$ от этого количества. Чтобы найти дробь от числа, нужно умножить число на эту дробь:
$1,8 \cdot \frac{5}{12} = \frac{18}{10} \cdot \frac{5}{12} = \frac{18 \cdot 5}{10 \cdot 12} = \frac{90}{120} = \frac{3}{4} = 0,75$ т.
Таким образом, в первый день было израсходовано 0,75 т воды.

2. Определим остаток воды в ёмкости после первого дня.
Для этого вычтем из начального объема израсходованное в первый день количество:
$1,8 - 0,75 = 1,05$ т.
После первого дня в ёмкости осталось 1,05 т воды.

3. Найдем объем воды, израсходованный во второй день.
Во второй день израсходовали $\frac{7}{15}$ от остатка. Остаток после первого дня составил 1,05 т.
$1,05 \cdot \frac{7}{15} = \frac{105}{100} \cdot \frac{7}{15} = \frac{105 \cdot 7}{100 \cdot 15} = \frac{7 \cdot 7}{100} = \frac{49}{100} = 0,49$ т.
Следовательно, во второй день израсходовали 0,49 т воды.

4. Определим, сколько воды осталось в ёмкости после двух дней полива.
Для этого вычтем из остатка после первого дня (1,05 т) количество воды, израсходованное во второй день (0,49 т):
$1,05 - 0,49 = 0,56$ т.

Ответ: после двух дней полива в ёмкости осталось 0,56 т воды.

6.217 В межшкольной спартакиаде по плаванию пловец, занявший 1-е место, проплыл дистанцию за 1,44 мин, что составило 910 времени, затраченного пловцом, занявшим 2-е место, и 89 времени, затраченного пловцом, занявшим 3-е место. На сколько минут различалось время, затраченное каждым из пловцов на дистанцию?

Для решения задачи необходимо сначала найти время, которое затратили на дистанцию пловцы, занявшие 2-е и 3-е места, а затем вычислить разницу во времени между результатами всех трех пловцов.

1. Найдем время пловца, занявшего 2-е место.

Из условия известно, что время пловца, занявшего 1-е место (1,44 мин), составляет $\frac{9}{10}$ от времени пловца, занявшего 2-е место. Чтобы найти полное время (целое) по его известной части, нужно значение этой части разделить на соответствующую дробь.

$1,44 : \frac{9}{10} = 1,44 \cdot \frac{10}{9} = \frac{14,4}{9} = 1,6$ мин.

Таким образом, время пловца, занявшего 2-е место, составляет 1,6 минуты.

2. Найдем время пловца, занявшего 3-е место.

Аналогично, время пловца, занявшего 1-е место (1,44 мин), составляет $\frac{8}{9}$ от времени пловца, занявшего 3-е место.

$1,44 : \frac{8}{9} = 1,44 \cdot \frac{9}{8} = \frac{12,96}{8} = 1,62$ мин.

Таким образом, время пловца, занявшего 3-е место, составляет 1,62 минуты.

3. Найдем, на сколько минут различалось время, затраченное каждым из пловцов.

Теперь, зная время каждого пловца ($1,44$ мин, $1,6$ мин и $1,62$ мин), вычислим разницу между ними.

• Разница во времени между 1-м и 2-м местом: $1,6 - 1,44 = 0,16$ мин.
• Разница во времени между 2-м и 3-м местом: $1,62 - 1,6 = 0,02$ мин.
• Разница во времени между 1-м и 3-м местом: $1,62 - 1,44 = 0,18$ мин.

Ответ: время между пловцами, занявшими 1-е и 2-е места, различается на 0,16 минуты; между 2-м и 3-м местами — на 0,02 минуты; между 1-м и 3-м местами — на 0,18 минуты.

6.218 Построено 56,1 км газопровода, что составило 1115 протяжённости всего газопровода. Сколько километров газопровода осталось построить?

Протяжённость всего газопровода

Построили – 56,1 км, $\frac{11}{15}$

Осталось – ?

1) $\mathrm{56,1} : \frac{11}{15} = 56\frac{1}{10} : \frac{11}{15} =$

$= \frac{561 · 15}{10 · 11} = \frac{51 · 15}{10} = 76510 = \mathrm{76,5}\left(\text{км}\right)$

- протяженность всего газопровода

x 51

15

----

255

+ 51

----

765

2) $\mathrm{76,5}-\mathrm{56,1} = \mathrm{20,4}\left(\text{км}\right)$

- осталось

Ответ: 20,4 км

Для решения этой задачи можно пойти двумя путями.

Способ 1. Нахождение через общую протяжённость.

Сначала найдём общую протяжённость всего газопровода. По условию, построенные 56,1 км составляют $ \frac{11}{15} $ от всей длины. Чтобы найти целое по его части, нужно значение этой части (56,1 км) разделить на дробь, которую эта часть составляет ($ \frac{11}{15} $).

$ 56,1 : \frac{11}{15} = 56,1 \cdot \frac{15}{11} = \frac{56,1}{11} \cdot 15 = 5,1 \cdot 15 = 76,5 $ км.

Итак, общая протяжённость газопровода составляет 76,5 км.

Теперь, зная общую протяжённость, найдём, сколько километров осталось построить. Для этого вычтем из общей длины уже построенную часть:

$ 76,5 - 56,1 = 20,4 $ км.

Способ 2. Нахождение через оставшуюся долю.

Этот способ позволяет найти ответ, не вычисляя общую длину газопровода.

Сначала определим, какая доля газопровода осталась не построенной. Если всю протяжённость принять за единицу (или $ \frac{15}{15} $), а построенная часть составляет $ \frac{11}{15} $, то оставшаяся часть равна:

$ 1 - \frac{11}{15} = \frac{15}{15} - \frac{11}{15} = \frac{4}{15} $

Итак, осталось построить $ \frac{4}{15} $ от всего газопровода. Теперь найдём длину этой части. Мы знаем, что $ \frac{11}{15} $ — это 56,1 км. Можем найти, сколько километров составляет $ \frac{1}{15} $:

$ 56,1 : 11 = 5,1 $ км.

Поскольку на $ \frac{1}{15} $ приходится 5,1 км, то на оставшиеся $ \frac{4}{15} $ приходится:

$ 5,1 \cdot 4 = 20,4 $ км.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: осталось построить 20,4 км.

6.219 Найдите корень уравнения:

а) 5n - 2n = 8,4;

б) 2m + 6m = 9,6;

в) x + x + 9,246 = 48;

г) 7y - 4y - 58,2 = 72,12.

а) $5n - 2n = \mathrm{8,4}$

$3n = \mathrm{8,4}$

$n = \mathrm{8,4} : 3$

$\begin{array}{rcl}\mathrm{8,4}& |& 3\\ - 6& |& \mathrm{2,8}\\ \text{—}& |& \text{—}\\ 24& & \\ - 24& & \\ \text{—}& & \\ 0& & \end{array}$

$n = \mathrm{2,8}$

Ответ: 2,8

б) $2m + 6m = \mathrm{9,6}$

$8m = \mathrm{9,6}$

$m = \mathrm{9,6} : 8$

$\begin{array}{rcl}\mathrm{9,6}& |& 8\\ - 8& |& \mathrm{1,2}\\ \text{—}& |& \text{—}\\ 16& & \\ - 16& & \\ \text{—}& & \\ 0& & \end{array}$

$m = \mathrm{1,2}$

Ответ: 1,2

в) $x + x + \mathrm{9,246} = 48$

$2x = 48 - \mathrm{9,246}$

$\begin{array}{r}\mathrm{48,000}\\ - \mathrm{9,246}\\ \text{————}\\ \mathrm{38,754}\end{array}$

$2x = \mathrm{38,754}$

$x = \mathrm{38,754} : 2$

$x = \mathrm{19,377}$

Ответ: 19,377

г) $7y - 4y - \mathrm{58,2} = \mathrm{72,12}$

$3y = \mathrm{72,12} + \mathrm{58,2}$

$\begin{array}{r}\mathrm{72,12}\\ + \mathrm{58,20}\\ \text{————}\\ \mathrm{130,32}\end{array}$

$3y = \mathrm{130,32}$

$y = \mathrm{130,32} : 3$

$\begin{array}{rcl}\mathrm{130,32}& |& 3\\ - 12& |& \mathrm{43,44}\\ \text{——}& |& \text{——}\\ 10& & \\ - 9& & \\ \text{—}& & \\ 13& & \\ - 12& & \\ \text{—}& & \\ 12& & \\ - 12& & \\ \text{—}& & \\ 0& & \end{array}$

$y = \mathrm{43,44}$

Ответ: 43,44

а) $5n - 2n = 8,4$

Сначала упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые (выполним вычитание коэффициентов при переменной $n$):

$(5 - 2)n = 8,4$

$3n = 8,4$

Теперь, чтобы найти неизвестный множитель $n$, нужно произведение (8,4) разделить на известный множитель (3):

$n = 8,4 : 3$

$n = 2,8$

Ответ: 2,8

б) $2m + 6m = 9,6$

Упростим левую часть уравнения, сложив подобные слагаемые (выполним сложение коэффициентов при переменной $m$):

$(2 + 6)m = 9,6$

$8m = 9,6$

Чтобы найти неизвестный множитель $m$, разделим произведение (9,6) на известный множитель (8):

$m = 9,6 : 8$

$m = 1,2$

Ответ: 1,2

в) $x + x + x + 9,246 = 48$

Сначала приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$3x + 9,246 = 48$

Теперь у нас уравнение, в котором $3x$ — неизвестное слагаемое. Чтобы его найти, нужно из суммы (48) вычесть известное слагаемое (9,246). Перенесем 9,246 в правую часть с противоположным знаком:

$3x = 48 - 9,246$

$3x = 38,754$

Теперь найдем неизвестный множитель $x$, разделив произведение (38,754) на известный множитель (3):

$x = 38,754 : 3$

$x = 12,918$

Ответ: 12,918

г) $7y - 4y - 58,2 = 72,12$

Упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые с переменной $y$:

$(7 - 4)y - 58,2 = 72,12$

$3y - 58,2 = 72,12$

В этом уравнении $3y$ — неизвестное уменьшаемое. Чтобы его найти, нужно к разности (72,12) прибавить вычитаемое (58,2). Перенесем -58,2 в правую часть с противоположным знаком:

$3y = 72,12 + 58,2$

$3y = 130,32$

Теперь найдем неизвестный множитель $y$, разделив произведение (130,32) на известный множитель (3):

$y = 130,32 : 3$

$y = 43,44$

Ответ: 43,44

6.220 Бассейн объёмом 140 м³ наполняется двумя трубами. Через первую трубу вода вливается со скоростью 19,5 м³/ч, а через вторую — со скоростью 20,5 м³/ч.

а) За какое время наполнят бассейн эти трубы?

б) С какой скоростью должно работать сливное отверстие, чтобы слить воду за 2,8 ч?

а) 1) $19,5 + 20,5 = 40({\text{м}}^3/\text{ч})$ - общая скорость

2) $140 : 40 = \frac{140}{40} = \frac{14}{4} = \frac{7•2}{2•2} = \frac{7}{2}$

$= \frac{7•5}{2•5} = \frac{35}{10} = 3,5\left(\text{ч}\right)$

б) $140 : 2,8 = 140 : 2\frac{8}{10} = 140 : \frac{28}{10}$

$= 140•\frac{10}{28} = \frac{140•10}{28} = \frac{1400}{28}$

$= 1400 : 28 = 50({\text{м}}^3/\text{ч})$

$\begin{array}{cccc}-& 1400& |& 28\\ & 140& |& 50\\ & 0& & \end{array}$

Ответ: а) $3,5$ч; б) $50{\text{м}}^3/\text{ч}$

а) За какое время наполнят бассейн эти трубы?

Для того чтобы найти общее время наполнения бассейна двумя трубами, необходимо сначала определить их суммарную производительность (скорость наполнения).

Скорость наполнения первой трубы $v_1 = 19,5$ м?/ч.
Скорость наполнения второй трубы $v_2 = 20,5$ м?/ч.

Суммарная скорость наполнения $v_{общ}$ равна сумме скоростей двух труб: $v_{общ} = v_1 + v_2 = 19,5 + 20,5 = 40$ м?/ч.

Теперь, зная объём бассейна $V = 140$ м? и общую скорость наполнения, можно найти время $t$, за которое бассейн будет полностью наполнен. Время рассчитывается по формуле: $t = \frac{V}{v_{общ}}$.

$t = \frac{140 \text{ м?}}{40 \text{ м?/ч}} = 3,5$ ч.

Ответ: 3,5 ч.

б) С какой скоростью должно работать сливное отверстие, чтобы слить воду за 2,8 ч?

Чтобы найти требуемую скорость слива воды $v_{слива}$, нужно разделить общий объём воды в бассейне $V$ на заданное время слива $t_{слива}$.

Объём бассейна $V = 140$ м?.
Время слива $t_{слива} = 2,8$ ч.

Скорость слива рассчитывается по формуле: $v_{слива} = \frac{V}{t_{слива}}$.

$v_{слива} = \frac{140 \text{ м?}}{2,8 \text{ ч}} = \frac{1400}{28} = 50$ м?/ч.

Ответ: 50 м?/ч.

6.221 На школьном дворе площадь баскетбольной площадки в 12 раз меньше площади футбольного поля. Какую площадь имеет баскетбольная площадка, если она на 1,21 га меньше, чем футбольное поле? Ответ выразите в квадратных метрах.

Баскетбольная площадка – в 12 р. меньше,

Футбольное поле – на 1,21 га меньше.

Пусть х га – площадь баскетбольной площадки, тогда (12х) га – площадь футбольного поля. Зная, что площадь баскетбольной площадки на 1,21 га меньше футбольного поля, составим и решим уравнение.

$12x - x = 1.21$

$(12 - 1)x = 1.21$

$11x = 1.21$

$x = 1.21 : 11$

$x = 0.11$

$1\text{\hspace{0.17em}га} = \mathrm{10\hspace{0.17em}000}{\text{м}}^2$

$0.11\text{\hspace{0.17em}га} = (0.11 · \mathrm{10\hspace{0.17em}000}){\text{м}}^2 = 1100{\text{м}}^2$

Ответ: 1100 м²

Для решения задачи введем переменные. Пусть $S_б$ — площадь баскетбольной площадки, а $S_ф$ — площадь футбольного поля.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Площадь баскетбольной площадки в 12 раз меньше площади футбольного поля. Это можно записать в виде уравнения:
$S_ф = 12 \cdot S_б$

2. Площадь баскетбольной площадки на 1,21 га меньше площади футбольного поля. Это означает, что разница между их площадями равна 1,21 га:
$S_ф - S_б = 1,21 \text{ га}$

Поскольку ответ требуется выразить в квадратных метрах, необходимо перевести гектары (га) в квадратные метры (м?). Известно, что $1 \text{ га} = 10000 \text{ м}^2$.

$1,21 \text{ га} = 1,21 \cdot 10000 \text{ м}^2 = 12100 \text{ м}^2$

Теперь наша система уравнений, где все площади выражены в м?, выглядит так:
1) $S_ф = 12 \cdot S_б$
2) $S_ф - S_б = 12100$

Для решения системы уравнений используем метод подстановки. Подставим выражение для $S_ф$ из первого уравнения во второе:

$(12 \cdot S_б) - S_б = 12100$

Упростим полученное уравнение:

$11 \cdot S_б = 12100$

Теперь найдем искомую площадь баскетбольной площадки $S_б$, разделив обе части уравнения на 11:

$S_б = \frac{12100}{11}$

$S_б = 1100$

Таким образом, площадь баскетбольной площадки равна 1100 м?.

Ответ: 1100 м?.

6.222 Смесь начинки для куличей состоит из 4 частей изюма, 4 частей миндаля, 3 частей сушёной клюквы и 1 части цедры лимона. Сколько килограммов каждой составляющей начинки понадобится для приготовления 1,08 кг такой смеси?

N. 6.222

Изюм $—$ 4 части

Миндаль $—$ 4 части

Клюква $—$ 3 части

Цедра лимона $—$ 1 часть

$1,08$ кг

1) $4 + 4 + 3 + 1 = 12$ (частей) - всего

2) $1,08 : 12 = 0,09$ (кг) - 1 часть

$\begin{array}{cc}1,08& 12\\ - 0& 0,09\\ 10& \\ - 0& \\ 108& \\ - 108& \\ 0& \end{array}$

3) $0,09·4 = 0,36$ (кг) - масса изюма

и столько же масса миндаля

4) $0,09·3 = 0,27$ (кг) - масса сушеной клюквы

5) $0,09·1 = 0,09$ (кг) - масса цедры лимона

Ответ: $0,36$ кг, $0,36$ кг, $0,27$ кг,

$0,09$ кг.

Для решения задачи сначала определим общее количество частей в смеси начинки. Согласно условию, смесь состоит из 4 частей изюма, 4 частей миндаля, 3 частей сушёной клюквы и 1 части цедры лимона.

1. Найдём общее количество частей в смеси:

$4 + 4 + 3 + 1 = 12 \text{ (частей)}$

Таким образом, вся смесь состоит из 12 равных по массе частей.

2. Найдём массу одной части:

Общая масса смеси составляет 1,08 кг. Чтобы найти массу одной части, разделим общую массу на количество частей.

$1,08 \text{ кг} \div 12 \text{ частей} = 0,09 \text{ кг}$

Следовательно, масса одной части составляет 0,09 кг.

3. Рассчитаем массу каждого компонента:

Теперь, зная массу одной части, мы можем найти массу каждого ингредиента, умножив количество его частей на массу одной части.

Изюм:
Количество частей изюма равно 4.
$4 \times 0,09 \text{ кг} = 0,36 \text{ кг}$
Ответ: понадобится 0,36 кг изюма.

Миндаль:
Количество частей миндаля равно 4.
$4 \times 0,09 \text{ кг} = 0,36 \text{ кг}$
Ответ: понадобится 0,36 кг миндаля.

Сушёная клюква:
Количество частей сушёной клюквы равно 3.
$3 \times 0,09 \text{ кг} = 0,27 \text{ кг}$
Ответ: понадобится 0,27 кг сушёной клюквы.

Цедра лимона:
Количество частей цедры лимона равно 1.
$1 \times 0,09 \text{ кг} = 0,09 \text{ кг}$
Ответ: понадобится 0,09 кг цедры лимона.

6.223 Щит и меч русского ратника имели массу 5,4 кг. При этом щит был тяжелее, чем меч, на 3,2 кг. Чему равна масса меча и щита по отдельности?

Для решения этой задачи составим и решим уравнение. Обозначим массу одного из предметов через переменную.

1. Пусть масса меча равна $x$ кг.

2. По условию задачи, щит тяжелее меча на 3,2 кг. Значит, массу щита можно выразить как $(x + 3,2)$ кг.

3. Общая масса щита и меча составляет 5,4 кг. Мы можем составить уравнение, сложив массу меча и массу щита:

$x + (x + 3,2) = 5,4$

4. Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:

Сначала раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x + 3,2 = 5,4$

Затем перенесем 3,2 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2x = 5,4 - 3,2$

$2x = 2,2$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{2,2}{2}$

$x = 1,1$

Таким образом, масса меча составляет 1,1 кг.

5. Теперь, зная массу меча, можем найти массу щита:

$1,1 + 3,2 = 4,3$ кг

Проверим полученные результаты: общая масса $1,1 \text{ кг} + 4,3 \text{ кг} = 5,4 \text{ кг}$, а разница в массе $4,3 \text{ кг} - 1,1 \text{ кг} = 3,2 \text{ кг}$. Все условия задачи выполнены.

Ответ: масса меча — 1,1 кг, масса щита — 4,3 кг.

6.224 Общая масса кабачка и тыквы 8,4 кг. При этом тыква на 4,8 кг тяжелее, чем кабачок. Найдите, сколько килограммов весят тыква и кабачок по отдельности.

Тыква - на 4,8кг больше } 8,4 кг

Кабачок - ? ←

Пусть х кг - масса кабачка, тогда

(х+4,8) кг - масса тыквы. Зная, что

общая масса кабачка и тыквы 8,4кг,

составим и решим уравнение

1) $x + x + 4,8 = 8,4$

$(1 + 1)x + 4,8 = 8,4$

$2x = 8,4 - 4,8$ 8,4 - 4,8 = 3,6

$2x = 3,6$

$x = 3,6 : 2$ 3,6 : 2 = 1,8

$x = 1,8$

1,8 кг - масса кабачка

2) $1,8 + 4,8 = 6,6\text{(кг)}$ - масса тыквы

Ответ: 6,6 кг, 1,8 кг

Для решения этой задачи можно составить систему уравнений или решить ее арифметически. Рассмотрим решение с помощью уравнения.

Пусть масса кабачка равна $x$ кг.

Из условия задачи известно, что тыква на 4,8 кг тяжелее, чем кабачок. Следовательно, массу тыквы можно выразить как $(x + 4,8)$ кг.

Общая масса кабачка и тыквы составляет 8,4 кг. Составим уравнение, сложив массу кабачка и массу тыквы:

$x + (x + 4,8) = 8,4$

Теперь решим это уравнение:

1. Раскроем скобки:

$x + x + 4,8 = 8,4$

2. Приведем подобные слагаемые:

$2x + 4,8 = 8,4$

3. Перенесем 4,8 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$2x = 8,4 - 4,8$

$2x = 3,6$

4. Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = 3,6 / 2$

$x = 1,8$

Таким образом, масса кабачка составляет 1,8 кг.

Теперь, зная массу кабачка, найдем массу тыквы:

$1,8 + 4,8 = 6,6$ кг.

Проверка: $1,8 \text{ кг} + 6,6 \text{ кг} = 8,4 \text{ кг}$. Общая масса верна. Разница в массе: $6,6 \text{ кг} - 1,8 \text{ кг} = 4,8 \text{ кг}$. Разница верна.

Ответ: масса тыквы составляет 6,6 кг, а масса кабачка – 1,8 кг.

6.225 Представьте в виде десятичной дроби:

а) $\frac{1}{4} = 0,25$

- 1,00|4 0 |0,25 --- 10- 8 --- 20- 20 --- 0

б) $\frac{7}{8} = 0,875$

- 7,000|8 0 |0,875 ---- 70- 64 ---- 60- 56 ---- 40- 40 ---- 0

в) $\frac{9}{4} = 2,25$

- 9,00|4 8 |2,25 --- 10- 8 --- 20- 20 --- 0

г) $\frac{93}{15} = 6,2$

- 93,0|15 90 |6,2 --- 30- 30 --- 0

д) $2\frac{3}{5} = 2,6$

- 3,0|5 0 |0,6 -- 30- 30 -- 0

е) $80\frac{6}{75} = 80,08$

- 6,00|75 0 |0,08 --- 60 0 --- 600- 600 --- 0

ж) $7\frac{13}{52} = 7,25$

- 13,00|52 0 |0,25 ---- 130- 104 ---- 260- 260 ---- 0

а) Чтобы представить обыкновенную дробь в виде десятичной, можно привести её к знаменателю 10, 100, 1000 и т.д., либо разделить числитель на знаменатель. Для дроби $ \frac{1}{4} $ умножим числитель и знаменатель на 25.

$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} = 0,25 $

Ответ: 0,25

б) Для дроби $ \frac{7}{8} $ приведем знаменатель к 1000, умножив числитель и знаменатель на 125, так как $ 8 \cdot 125 = 1000 $.

$ \frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{875}{1000} = 0,875 $

Ответ: 0,875

в) Дробь $ \frac{9}{4} $ является неправильной. Можно разделить 9 на 4 или привести дробь к знаменателю 100.

$ \frac{9}{4} = \frac{9 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{225}{100} = 2,25 $

Также можно выделить целую часть: $ \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4} = 2 + 0,25 = 2,25 $.

Ответ: 2,25

г) Сначала сократим дробь $ \frac{93}{15} $. Числитель и знаменатель делятся на 3.

$ \frac{93}{15} = \frac{93 \div 3}{15 \div 3} = \frac{31}{5} $

Теперь приведем полученную дробь к знаменателю 10, умножив числитель и знаменатель на 2.

$ \frac{31}{5} = \frac{31 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{62}{10} = 6,2 $

Ответ: 6,2

д) В смешанном числе $ 2 \frac{3}{5} $ нужно представить дробную часть в виде десятичной дроби и прибавить к целой части. Приведем $ \frac{3}{5} $ к знаменателю 10.

$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} = 0,6 $

Следовательно, $ 2 \frac{3}{5} = 2 + 0,6 = 2,6 $.

Ответ: 2,6

е) В смешанном числе $ 80 \frac{6}{75} $ сначала сократим дробную часть. Числитель и знаменатель делятся на 3.

$ \frac{6}{75} = \frac{6 \div 3}{75 \div 3} = \frac{2}{25} $

Теперь приведем дробь $ \frac{2}{25} $ к знаменателю 100.

$ \frac{2}{25} = \frac{2 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{8}{100} = 0,08 $

Следовательно, $ 80 \frac{6}{75} = 80 + 0,08 = 80,08 $.

Ответ: 80,08

ж) В смешанном числе $ 7 \frac{13}{52} $ сначала сократим дробную часть. Числитель и знаменатель делятся на 13.

$ \frac{13}{52} = \frac{13 \div 13}{52 \div 13} = \frac{1}{4} $

Как мы знаем из пункта а), $ \frac{1}{4} = 0,25 $.

Следовательно, $ 7 \frac{13}{52} = 7 + \frac{1}{4} = 7 + 0,25 = 7,25 $.

Ответ: 7,25

6.226 В бобине 720 м шёлковой нити. На вышивку 75 платьев уходит одна бобина. Сколько метров нити уйдёт на вышивку одного платья?

Для того чтобы найти, сколько метров нити уйдёт на вышивку одного платья, необходимо общее количество метров нити в бобине разделить на количество платьев, которые можно вышить с помощью этой бобины.

По условию задачи, в одной бобине 720 метров шёлковой нити, и этого количества хватает на вышивку 75 платьев.

Выполним деление общего количества метров нити на количество платьев:
$720 \div 75$

Для удобства расчёта можно выполнить деление столбиком или сократить дробь:
$\frac{720}{75} = \frac{144 \times 5}{15 \times 5} = \frac{144}{15} = \frac{48 \times 3}{5 \times 3} = \frac{48}{5} = 9,6$

Следовательно, на вышивку одного платья уйдёт 9,6 метра шёлковой нити.

Ответ: 9,6 метров.

6.227 Каждая таблетка содержит 4 мг лекарства. Сколько таблеток нужно принять ребёнку в сутки, если суточная доза 14 мг?

Для того чтобы рассчитать необходимое количество таблеток, нужно разделить суточную дозу лекарства на количество лекарства в одной таблетке.

Дано:

• Суточная доза: 14 мг
• Содержание лекарства в одной таблетке: 4 мг

Производим вычисление: $14 \div 4 = 3.5$

Это означает, что ребёнку нужно принять 3 целые таблетки и ещё половину таблетки, чтобы получить необходимую суточную дозу в 14 мг.

Ответ: 3,5 таблетки.