Номер 3.369, страница 122, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

18. Делители и кратные. § 3. Умножение и деление натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - номер 3.369, страница 122.

3.369 Попробуйте сформулировать, какое свойство открыл шестилетний А. Н. Колмогоров. Проверьте, выполняется ли оно для квадратов нескольких следующих чисел.

Квадрат любого натурального числа равен сумме первых нечётных чисел, количество слагаемых которой равно данному натуральному числу

$1^2 = 1$ так как $1 = 1$

$2^2 = 1 + 3$ так как $4 = 4$

$3^2 = 1 + 3 + 5$ так как $9 = 9$

$4^2 = 1 + 3 + 5 + 7$ так как $16 = 16$

$5^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9$ так как $25 = 25$

$6^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11$ так как $36 = 36$

$7^2 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13$ так как $49 = 49$...

Попробуйте сформулировать, какое свойство открыл шестилетний А. Н. Колмогоров.

Согласно известной истории, шестилетний Андрей Николаевич Колмогоров обнаружил следующую закономерность: квадрат любого натурального числа $n$ равен сумме первых $n$ нечётных натуральных чисел.

Математически это свойство можно записать в виде формулы:
$n^2 = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n - 1)$

Или, используя знак суммы:
$n^2 = \sum_{k=1}^{n} (2k - 1)$

Ответ: Квадрат натурального числа $n$ равен сумме первых $n$ нечётных натуральных чисел.

Проверьте, выполняется ли оно для квадратов нескольких следующих чисел.

Проверим справедливость этого свойства для нескольких первых натуральных чисел.

Для $n=1$:
Квадрат числа: $1^2 = 1$.
Сумма первого нечётного числа: $1$.
Равенство $1=1$ выполняется.

Для $n=2$:
Квадрат числа: $2^2 = 4$.
Сумма первых двух нечётных чисел: $1 + 3 = 4$.
Равенство $4=4$ выполняется.

Для $n=3$:
Квадрат числа: $3^2 = 9$.
Сумма первых трех нечётных чисел: $1 + 3 + 5 = 9$.
Равенство $9=9$ выполняется.

Для $n=4$:
Квадрат числа: $4^2 = 16$.
Сумма первых четырёх нечётных чисел: $1 + 3 + 5 + 7 = 16$.
Равенство $16=16$ выполняется.

Для $n=5$:
Квадрат числа: $5^2 = 25$.
Сумма первых пяти нечётных чисел: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25$.
Равенство $25=25$ выполняется.

Свойство верно для любого натурального числа. Это можно доказать, рассмотрев сумму первых $n$ нечётных чисел как сумму членов арифметической прогрессии. Первый член этой прогрессии $a_1=1$, а разность $d=2$. $n$-й член прогрессии равен $a_n = a_1 + d(n-1) = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$. Сумма первых $n$ членов вычисляется по формуле $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$. Подставив значения, получим:
$S_n = \frac{1 + (2n - 1)}{2} \cdot n = \frac{2n}{2} \cdot n = n^2$.
Таким образом, сумма первых $n$ нечётных чисел всегда равна $n^2$.

Ответ: Свойство выполняется. Проверка для $n=1, 2, 3, 4, 5$ и последующих чисел подтверждает это. Например, для $n=5$: $5^2 = 25 = 1+3+5+7+9$.