Вопросы в параграфе, страница 124, часть 1 - гдз по математике 5 класс учебник Виленкин, Жохов

19. Свойства и признаки делимости. § 3. Умножение и деление натуральных чисел. Глава 1. Натуральные числа. ч. 1 - страница 124.

?

Сформулируйте свойства делимости. Приведите примеры.

По какой цифре числа устанавливается делимость на 10, 2 и 5?

Какие числа называют чётными? нечётными?

Сформулируйте признаки делимости на 3 и на 9. Приведите примеры.

Почему число 2454 делится на 3 и не делится на 9?

Сформулируйте свойства делимости. Приведите примеры.

Свойство делимости произведения: если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Пример: проверим, делится ли числа 2775 на 25, не выполняя деления. Запишем число 2775 в виде произведения:

2775 = 5 · 555 = 5 · 5 · 111 = 25 · 111.

Один из множителей равен 25. Значит, число 2775 делится на 25.

Свойство делимости суммы и разности: если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то и их сумма и разность делятся на это число.

Пример: проверим, делится ли сумма 44 + 88 на 11, не выполняя деления:

44 + 88 = 4 · 11 + 8 · 11 = (4 + 8) · 11 = 12 · 11.

Значит, сумма делится на 11. Аналогично можно проверить, делится ли разность 88 – 44 на 11:

88 - 44 = 8 · 11 - 4 · 11 = (8 - 4) · 11 = 4 · 11.

По какой цифре числа устанавливается делимость на 10, 2 и 5?

Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

Если число оканчивается чётной цифрой, то оно делится на 2.

Если число оканчивается цифрой 0 или 5, то оно делится на 5.

Какие числа называют чётными? нечётными?

Числа, которое делятся на 2, называют чётными.

Числа, которое не делятся на 2, называют нечётными.

Сформулируйте признаки делимости на 3 и на 9. Приведите примеры.

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3.

Пример: число 4 962 462 делится на 3, так как сумма его цифр:

4 + 9 + 6 + 2 + 4 + 6 + 2 = 33 – делится на 3.

Число делится на 9, если сумма цифр этого числа делится на 9.

Пример: число 762 462 делится на 9, так как сумма его цифр:

7 + 6 + 2 + 4 + 6 + 2 = 27 – делится на 9.

Почему число 2 454 делится на 3 и не делится на 9?

Число 2 454 делится на 3 и не делится на 9, так как сумма его цифр: 2 + 4 + 5 + 4 = 15 – делится на 3 и не делится на 9.

Сформулируйте свойства делимости. Приведите примеры.

Свойства делимости — это правила, которые связывают отношение делимости с арифметическими операциями. Основные свойства:

• Рефлексивность: Любое натуральное число $a$ делится само на себя.
  Пример: Число $7$ делится на $7$.
• Транзитивность: Если число $a$ делится на число $b$, а число $b$ в свою очередь делится на число $c$, то число $a$ делится на число $c$.
  Пример: $48$ делится на $24$, а $24$ делится на $6$. Следовательно, $48$ делится на $6$.
• Свойство суммы и разности: Если каждое из двух чисел $a$ и $b$ делится на число $c$, то их сумма $a+b$ и разность $a-b$ также делятся на число $c$.
  Пример: Числа $27$ и $18$ делятся на $9$. Их сумма $27 + 18 = 45$ тоже делится на $9$. Их разность $27 - 18 = 9$ также делится на $9$.
• Свойство произведения: Если число $a$ делится на число $b$, то произведение числа $a$ на любое натуральное число $c$ также делится на $b$.
  Пример: Число $20$ делится на $5$. Если умножить $20$ на любое число, например на $3$, то результат $20 \times 3 = 60$ также будет делиться на $5$.
• Свойство делимости суммы (частный случай): Если в сумме одно слагаемое делится на некоторое число $c$, а другое не делится, то и вся сумма не делится на это число $c$.
  Пример: В сумме $25 + 7 = 32$ слагаемое $25$ делится на $5$, а $7$ не делится на $5$. Значит, и сумма $32$ не делится на $5$.

Ответ: Основные свойства делимости включают рефлексивность ($a$ делится на $a$), транзитивность (если $a$ делится на $b$ и $b$ делится на $c$, то $a$ делится на $c$), делимость суммы/разности (если $a$ и $b$ делятся на $c$, то $a \pm b$ делятся на $c$) и делимость произведения (если $a$ делится на $b$, то $a \times c$ делится на $b$).

По какой цифре числа устанавливается делимость на 10, 2 и 5?

Делимость на $10$, $2$ и $5$ устанавливается по последней цифре в записи числа.

• Число делится на $10$, если его последняя цифра — $0$. Например, $130$, $2500$.
• Число делится на $2$, если его последняя цифра — чётная ($0$, $2$, $4$, $6$ или $8$). Например, $32$, $194$, $588$.
• Число делится на $5$, если его последняя цифра — $0$ или $5$. Например, $75$, $190$, $3455$.

Ответ: Делимость на $10$, $2$ и $5$ устанавливается по последней цифре числа: на $10$ — если последняя цифра $0$; на $2$ — если последняя цифра $0, 2, 4, 6, 8$; на $5$ — если последняя цифра $0$ или $5$.

Какие числа называют чётными? нечётными?

Чётными называют натуральные числа, которые делятся на $2$ без остатка. Запись таких чисел оканчивается на одну из цифр: $0, 2, 4, 6, 8$. Например, $16$, $98$, $254$.

Нечётными называют натуральные числа, которые не делятся на $2$ без остатка (при делении на $2$ дают остаток $1$). Запись таких чисел оканчивается на одну из цифр: $1, 3, 5, 7, 9$. Например, $3$, $21$, $477$.

Ответ: Чётные числа делятся на $2$ без остатка (оканчиваются на $0, 2, 4, 6, 8$), а нечётные числа при делении на $2$ дают остаток $1$ (оканчиваются на $1, 3, 5, 7, 9$).

Сформулируйте признаки делимости на 3 и на 9. Приведите примеры.

Признаки делимости на $3$ и на $9$ связаны с суммой цифр числа.

• Признак делимости на 3: Число делится на $3$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $3$.
  Пример 1: Число $486$. Сумма его цифр: $4 + 8 + 6 = 18$. Так как $18$ делится на $3$ ($18:3=6$), то и число $486$ делится на $3$ ($486:3=162$).
  Пример 2: Число $521$. Сумма его цифр: $5 + 2 + 1 = 8$. Так как $8$ не делится на $3$, то и число $521$ не делится на $3$.
• Признак делимости на 9: Число делится на $9$ тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на $9$.
  Пример 1: Число $648$. Сумма его цифр: $6 + 4 + 8 = 18$. Так как $18$ делится на $9$ ($18:9=2$), то и число $648$ делится на $9$ ($648:9=72$).
  Пример 2: Число $913$. Сумма его цифр: $9 + 1 + 3 = 13$. Так как $13$ не делится на $9$, то и число $913$ не делится на $9$.

Ответ: Число делится на $3$, если сумма его цифр делится на $3$. Число делится на $9$, если сумма его цифр делится на $9$.

Почему число 2454 делится на 3 и не делится на 9?

Чтобы проверить делимость числа $2454$ на $3$ и на $9$, нужно найти сумму его цифр.

Сумма цифр числа $2454$ равна: $2 + 4 + 5 + 4 = 15$.

Далее применяем признаки делимости:

• Проверяем делимость на $3$: Сумма цифр ($15$) делится на $3$, так как $15 : 3 = 5$. Следовательно, и само число $2454$ делится на $3$ ($2454 : 3 = 818$).
• Проверяем делимость на $9$: Сумма цифр ($15$) не делится на $9$, так как $15 : 9 = 1$ (остаток $6$). Следовательно, и само число $2454$ не делится на $9$.

Таким образом, число $2454$ делится на $3$, но не делится на $9$, потому что сумма его цифр ($15$) является кратной трём, но не является кратной девяти.

Ответ: Число $2454$ делится на $3$ и не делится на $9$, потому что сумма его цифр, равная $15$, делится на $3$, но не делится на $9$.