номер 1357, страница 174, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1357. Найдите значение суммы всех целых чисел, при которых верна система неравенств:

1)

$\begin{cases} 9 + x < 2x + 4, \\ 17 + 8x < x + 59; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 103 - 14x \ge 40 - 23x, \\ 509 - 51x \ge 259 - x. \end{cases}$

1)

Для нахождения суммы всех целых чисел, при которых верна система, сначала решим каждое неравенство по отдельности.

Решим первое неравенство:

$9 + x < 2x + 4$

Перенесем слагаемые с x в правую часть, а числа в левую:

$9 - 4 < 2x - x$

$5 < x$

Решим второе неравенство:

$17 + 8x < x + 59$

Перенесем слагаемые с x в левую часть, а числа в правую:

$8x - x < 59 - 17$

$7x < 42$

Разделим обе части на 7:

$x < 6$

Решением системы является пересечение полученных решений: $5 < x < 6$.

В интервале $(5; 6)$ нет целых чисел. Следовательно, множество целых решений пусто.

Сумма чисел в пустом множестве равна 0.

Ответ: 0.

2)

Решим вторую систему неравенств. Сначала решим первое неравенство:

$103 - 14x \ge 40 - 23x$

Перенесем слагаемые с x в левую часть, а числа в правую:

$23x - 14x \ge 40 - 103$

$9x \ge -63$

Разделим обе части на 9:

$x \ge -7$

Теперь решим второе неравенство:

$509 - 51x \ge 259 - x$

Перенесем слагаемые с x в правую часть, а числа в левую:

$509 - 259 \ge 51x - x$

$250 \ge 50x$

Разделим обе части на 50:

$5 \ge x$, что эквивалентно $x \le 5$.

Решением системы является пересечение полученных решений: $-7 \le x \le 5$.

Нам нужно найти сумму всех целых чисел в этом отрезке. Перечислим эти числа: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Сумму можно вычислить, заметив, что суммы пар противоположных чисел равны нулю:

$S = (-7) + (-6) + (-5) + (-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5$

$S = (-7) + (-6) + (-5+5) + (-4+4) + (-3+3) + (-2+2) + (-1+1) + 0$

$S = -7 - 6 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = -13$

Альтернативно, можно найти сумму как сумму членов арифметической прогрессии, где первый член $a_1 = -7$, последний член $a_n = 5$ и количество членов $n = 5 - (-7) + 1 = 13$.

Сумма вычисляется по формуле: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

$S_{13} = \frac{-7 + 5}{2} \cdot 13 = \frac{-2}{2} \cdot 13 = -1 \cdot 13 = -13$.

Ответ: -13.