номер 1353, страница 173, часть 2 - гдз по математике 6 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите системы неравенств (1353—1354):

1353.

1) $\begin{cases} 3x - 8 > x - 1, \\ x + 9 \le 2x; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 78x + 3 > 79x + 9,5, \\ 3,1x - 0,2 \le 2,5x - 0,8; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{1}{3}x - 7 \le \frac{1}{2}x + 5, \\ \frac{4}{9}x + 1 \ge \frac{1}{9}x - 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{5}{6} + x > \frac{1}{6} - 2x, \\ \frac{3}{7} + 3x < -\frac{3}{7} - x. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} 3x - 8 > x - 1, \\ x + 9 \le 2x; \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$3x - 8 > x - 1$

Перенесем слагаемые с $\text{x}$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$3x - x > 8 - 1$

$2x > 7$

Разделим обе части на 2:

$x > 3,5$

Теперь решим второе неравенство:

$x + 9 \le 2x$

Перенесем $\text{x}$ в правую часть:

$9 \le 2x - x$

$9 \le x$, что эквивалентно $x \ge 9$.

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств: $x > 3,5$ и $x \ge 9$. Изобразив эти промежутки на числовой оси, видим, что их пересечением является промежуток $x \ge 9$.

Ответ: $x \in [9; +\infty)$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} 78x + 3 > 79x + 9,5, \\ 3,1x - 0,2 \le 2,5x - 0,8; \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$78x + 3 > 79x + 9,5$

Перенесем слагаемые с $\text{x}$ в правую часть, а числовые слагаемые в левую:

$3 - 9,5 > 79x - 78x$

$-6,5 > x$, что эквивалентно $x < -6,5$.

Теперь решим второе неравенство:

$3,1x - 0,2 \le 2,5x - 0,8$

Перенесем слагаемые с $\text{x}$ в левую часть, а числовые слагаемые в правую:

$3,1x - 2,5x \le -0,8 + 0,2$

$0,6x \le -0,6$

Разделим обе части на 0,6:

$x \le -1$

Решением системы является пересечение множеств $x < -6,5$ и $x \le -1$. Пересечением этих промежутков является $x < -6,5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6,5)$.

3)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{1}{3}x - 7 \le \frac{1}{2}x + 5, \\ \frac{4}{9}x + 1 \ge \frac{1}{9}x - 3; \end{cases}$

Решим первое неравенство. Для избавления от дробей умножим обе части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6:

$6 \cdot (\frac{1}{3}x - 7) \le 6 \cdot (\frac{1}{2}x + 5)$

$2x - 42 \le 3x + 30$

$-42 - 30 \le 3x - 2x$

$-72 \le x$

Теперь решим второе неравенство. Умножим обе части на 9:

$9 \cdot (\frac{4}{9}x + 1) \ge 9 \cdot (\frac{1}{9}x - 3)$

$4x + 9 \ge x - 27$

$4x - x \ge -27 - 9$

$3x \ge -36$

$x \ge -12$

Найдем пересечение решений: $x \ge -72$ и $x \ge -12$. Общим решением для этих двух условий является $x \ge -12$.

Ответ: $x \in [-12; +\infty)$.

4)

Рассмотрим систему неравенств:

$\begin{cases} \frac{5}{6} + x > \frac{1}{6} - 2x, \\ \frac{3}{7} + 3x < -\frac{3}{7} - x; \end{cases}$

Решим первое неравенство. Умножим обе части на 6:

$6 \cdot (\frac{5}{6} + x) > 6 \cdot (\frac{1}{6} - 2x)$

$5 + 6x > 1 - 12x$

$6x + 12x > 1 - 5$

$18x > -4$

$x > -\frac{4}{18}$, сократив дробь, получаем $x > -\frac{2}{9}$.

Решим второе неравенство. Умножим обе части на 7:

$7 \cdot (\frac{3}{7} + 3x) < 7 \cdot (-\frac{3}{7} - x)$

$3 + 21x < -3 - 7x$

$21x + 7x < -3 - 3$

$28x < -6$

$x < -\frac{6}{28}$, сократив дробь, получаем $x < -\frac{3}{14}$.

Нам нужно найти пересечение множеств $x > -\frac{2}{9}$ и $x < -\frac{3}{14}$. Для этого сравним числа $-\frac{2}{9}$ и $-\frac{3}{14}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $9 \cdot 14 = 126$:

$-\frac{2}{9} = -\frac{2 \cdot 14}{126} = -\frac{28}{126}$

$-\frac{3}{14} = -\frac{3 \cdot 9}{126} = -\frac{27}{126}$

Так как $-28 < -27$, то $-\frac{28}{126} < -\frac{27}{126}$, и следовательно, $-\frac{2}{9} < -\frac{3}{14}$.

Решением системы является двойное неравенство $-\frac{2}{9} < x < -\frac{3}{14}$.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{9}; -\frac{3}{14})$.