Номер 4, страница 183 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Решаем устно. Параграф 29. Положительные и отрицательные числа. Глава 4. Рациональные числа и действия над ними - номер 4, страница 183.

Условие.

4. На плоскости отметили пять точек. Сколько можно провести отрезков, концами которых будут эти точки?

Решение.

Решение 2.

Чтобы найти количество отрезков, которые можно провести между пятью точками, нужно определить, сколько уникальных пар точек можно составить из этих пяти. Каждый такой отрезок однозначно определяется двумя точками, которые являются его концами. Порядок выбора точек не важен (отрезок между точкой A и B — это тот же отрезок, что и между B и A). Рассмотрим несколько способов решения этой задачи.

Способ 1: Логический (арифметический)

Возьмем любую из 5 точек. Из неё можно провести отрезки к каждой из оставшихся 4 точек. Если мы повторим это для каждой из 5 точек, мы получим $5 \times 4 = 20$ соединений.

Однако при таком подходе каждый отрезок будет посчитан ровно дважды (например, отрезок из точки 1 в точку 2 и отрезок из точки 2 в точку 1). Чтобы исключить дублирование, полученный результат необходимо разделить на 2.

Количество отрезков = $\frac{5 \times (5-1)}{2} = \frac{5 \times 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Общая формула для $n$ точек: $\frac{n(n-1)}{2}$.

Способ 2: Комбинаторный

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 5 элементов (точек) по 2, так как для построения одного отрезка нам нужно выбрать 2 точки. Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество точек $n=5$, а для построения отрезка мы выбираем $k=2$ точки. Подставим значения в формулу:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{120}{12} = 10$.

Или, сократив факториалы: $C_5^2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.

Способ 3: Последовательный подсчет

Пронумеруем точки числами от 1 до 5 и будем последовательно считать все уникальные отрезки.

Из точки 1 можно провести отрезки к точкам 2, 3, 4, 5 — это 4 отрезка.

Из точки 2 можно провести новые отрезки к точкам 3, 4, 5 — это 3 отрезка (отрезок к точке 1 уже учтен).

Из точки 3 можно провести новые отрезки к точкам 4, 5 — это 2 отрезка (отрезки к точкам 1 и 2 уже учтены).

Из точки 4 можно провести один новый отрезок к точке 5 — это 1 отрезок.

Из точки 5 все возможные отрезки уже посчитаны.

Теперь сложим все посчитанные отрезки: $4 + 3 + 2 + 1 = 10$.

Все три способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 10