Номер 829, страница 179 - гдз по математике 6 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 28. Случайные события. Вероятность случайного события. Глава 3. Отношения и пропорции - номер 829, страница 179.

Условие.

829. Футбольный мяч плотно обтянут сеткой. Из каждого узла сетки выходит три верёвки. Может ли в этой сетке быть 999 узлов?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся методами теории графов. Представим сетку как граф, где узлы — это вершины, а верёвки — рёбра.

Пусть $V$ — количество вершин (узлов), а $E$ — количество рёбер (верёвок). По условию, количество узлов $V = 999$. Также из каждого узла выходит три верёвки. В терминах теории графов это означает, что степень каждой вершины равна 3.

Существует фундаментальная теорема в теории графов, известная как лемма о рукопожатиях. Она гласит, что сумма степеней всех вершин графа равна удвоенному числу его рёбер. Математически это записывается так:

$ \sum_{v \in V} \deg(v) = 2E $

В нашем случае у нас есть 999 вершин, и степень каждой из них равна 3. Поэтому сумма степеней всех вершин будет:

$ \sum \deg(v) = 999 \times 3 = 2997 $

Согласно лемме о рукопожатиях, эта сумма должна быть равна удвоенному числу рёбер:

$ 2E = 2997 $

Отсюда мы можем найти предполагаемое число верёвок (рёбер) $E$:

$ E = \frac{2997}{2} = 1498.5 $

Число верёвок в сетке должно быть целым числом, так как не может быть "половины верёвки". Полученное нами значение 1498.5 не является целым. Это означает, что наше первоначальное предположение о существовании такой сетки неверно.

Другими словами, сумма степеней всех вершин ($999 \times 3 = 2997$) является нечётным числом. Однако, по лемме о рукопожатиях, эта сумма всегда должна быть чётным числом (поскольку она равна $2E$). Это противоречие доказывает, что сетка с 999 узлами, из каждого из которых выходит по три верёвки, существовать не может.

Ответ: нет, в такой сетке не может быть 999 узлов.