Номер 2, страница 6, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 1. Глава 1. Язык и логика. Параграф 1. Отрицание высказываний. 1. Понятие отрицания - номер 2, страница 6.

Условие 2023.

2 Докажи, что высказывание является ложным, и построй его отрицание.

1) Число 0 является натуральным.

2) Число 1 – простое.

3) Между числами 2 и 3 нет других чисел.

4) Сумма $18 \cdot 947 + 456$ кратна 9.

5) Число 53 535 353 делится на 3 или на 5.

6) Корнями уравнения $x^2 + 2 = 18$ являются числа 0 и 4.

7) Дробь 8,9 больше или равна 9.

8) Неправильная дробь меньше единицы.

Решение 2 (2023).

1) Число 0 является натуральным.

Доказательство ложности: По определению, натуральные числа — это числа, используемые при счете предметов (1, 2, 3, ...). Множество натуральных чисел $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$. Число 0 не входит в это множество (оно относится к множеству целых чисел $\mathbb{Z}$). Следовательно, высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием данного высказывания является утверждение о том, что число 0 не относится к натуральным числам.

Ответ: Число 0 не является натуральным.

2) Число 1 – простое.

Доказательство ложности: Простым называется натуральное число, которое больше 1 и имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и само себя. Число 1 имеет только один натуральный делитель — это само число 1. Так как количество делителей не равно двум, число 1 не является простым. Следовательно, высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием будет утверждение, что число 1 не является простым.

Ответ: Число 1 не является простым (или: число 1 – не простое).

3) Между числами 2 и 3 нет других чисел.

Доказательство ложности: Это утверждение было бы верным, если бы рассматривались только целые числа. Однако в множестве рациональных или действительных чисел между любыми двумя различными числами существует бесконечно много других чисел. Например, число 2,5 находится между 2 и 3, так как $2 < 2,5 < 3$. Следовательно, высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием утверждения "нет чего-либо" является утверждение "существует что-либо".

Ответ: Между числами 2 и 3 есть другие числа.

4) Сумма 18 · 947 + 456 кратна 9.

Доказательство ложности: Для того чтобы сумма была кратна 9, каждое слагаемое должно быть кратно 9, или их сумма остатков от деления на 9 должна быть кратна 9. Рассмотрим каждое слагаемое: 1. Произведение $18 \cdot 947$ кратно 9, так как один из множителей (18) делится на 9 ($18 : 9 = 2$). 2. Число 456 не кратно 9, так как сумма его цифр $4+5+6=15$, а 15 не делится на 9. Сумма числа, кратного 9, и числа, не кратного 9, не может быть кратной 9. Таким образом, высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием будет утверждение, что данная сумма не кратна 9.

Ответ: Сумма $18 \cdot 947 + 456$ не кратна 9.

5) Число 53 535 353 делится на 3 или на 5.

Доказательство ложности: Логическое высказывание "A или B" является ложным тогда и только тогда, когда оба высказывания A и B ложны. 1. Проверим делимость на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 53 535 353 равна $5+3+5+3+5+3+5+3 = 32$. Число 32 не делится на 3. 2. Проверим делимость на 5: число делится на 5, если его последняя цифра 0 или 5. Последняя цифра числа 53 535 353 – это 3. Поскольку число не делится ни на 3, ни на 5, исходное высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием для "A или B" является "не A и не B".

Ответ: Число 53 535 353 не делится на 3 и не делится на 5.

6) Корнями уравнения $x^2 + 2 = 18$ являются числа 0 и 4.

Доказательство ложности: Решим данное уравнение: $x^2 + 2 = 18$ $x^2 = 18 - 2$ $x^2 = 16$ $x_1 = 4, x_2 = -4$ Корни уравнения — это 4 и -4. Утверждение, что корнями являются 0 и 4, неверно, так как 0 не является корнем ($0^2 + 2 = 2 \neq 18$) и упущен корень -4. Следовательно, высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием будет утверждение, что набор чисел {0, 4} не является набором корней данного уравнения.

Ответ: Неверно, что корнями уравнения $x^2 + 2 = 18$ являются числа 0 и 4.

7) Дробь 8,9 больше или равна 9.

Доказательство ложности: Высказывание "$8,9 \geq 9$" означает, что выполняется хотя бы одно из двух условий: $8,9 > 9$ или $8,9 = 9$. Сравнивая числа, видим, что $8,9 < 9$. Таким образом, оба условия не выполняются, и высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием для неравенства "больше или равно" ($\geq$) является неравенство "строго меньше" ($<$).

Ответ: Дробь 8,9 меньше 9.

8) Неправильная дробь меньше единицы.

Доказательство ложности: Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, $\frac{a}{b}$ где $a \geq b > 0$). Если числитель равен знаменателю, дробь равна 1 (например, $\frac{5}{5}=1$). Если числитель больше знаменателя, дробь больше 1 (например, $\frac{7}{5}=1,4 > 1$). В любом случае неправильная дробь не может быть меньше единицы. Следовательно, высказывание ложно.

Построение отрицания: Отрицанием для "меньше" ($<$) является "больше или равно" ($\geq$).

Ответ: Неправильная дробь больше или равна единице.

Условие 2010-2022.

2 Докажи, что высказывание является ложным, и построй его отрицание:

1) Число 0 является натуральным.

2) Число 1 – простое.

3) Между числами 2 и 3 нет других чисел.

4) Сумма $18 \cdot 947 + 456$ кратна 9.

5) Число 53 535 353 делится на 3 или на 5.

6) Корнями уравнения $x^2 + 2 = 18$ являются числа 0 и 4.

7) Дробь 8,9 больше или равна 9.

8) Неправильная дробь меньше единицы.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).