Номер 4, страница 6, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Понятие отрицания. Параграф 1. Отрицание высказываний. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 4, страница 6.

Условие 2023.

4 Придумай высказывание, выражающее свойство прямоугольника, и построй его отрицание. Убедись на этом примере в выполнении закона исключённого третьего.

Решение 2 (2023).

Высказывание, выражающее свойство прямоугольника

Сформулируем высказывание, которое описывает одно из ключевых свойств прямоугольника. Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые. Из этого определения и свойств параллелограмма следует, что его диагонали равны. Обозначим это высказывание буквой $A$.

Высказывание $A$: «Диагонали любого прямоугольника равны между собой».

Это высказывание является истинным, так как это доказанная теорема в евклидовой геометрии.

Ответ: Высказывание $A$: «Диагонали любого прямоугольника равны между собой».

Построение отрицания

Отрицанием высказывания $A$ является высказывание $\neg A$ (читается «не А»), которое истинно, когда $A$ ложно, и ложно, когда $A$ истинно.

Отрицание для нашего высказывания $A$ будет звучать так:

Высказывание $\neg A$: «Неверно, что диагонали любого прямоугольника равны между собой».

Эту фразу можно переформулировать более конструктивно. Если неверно, что у любого прямоугольника диагонали равны, значит, существует хотя бы один прямоугольник, у которого они не равны.

Высказывание $\neg A$: «Существует прямоугольник, диагонали которого не равны между собой».

Поскольку исходное высказывание $A$ истинно, его отрицание $\neg A$ является ложным.

Ответ: Отрицание $\neg A$: «Существует прямоугольник, диагонали которого не равны между собой».

Проверка выполнения закона исключённого третьего

Закон исключённого третьего — это один из основных законов логики, который утверждает, что любое высказывание либо истинно, либо ложно, и третьего не дано. Формально это записывается как $A \lor \neg A$ (читается «А или не А»). Это означает, что из двух высказываний — утверждения и его отрицания — одно обязательно является истинным.

Применим этот закон к нашему примеру. Составим сложное высказывание, объединив $A$ и $\neg A$ с помощью логического союза «ИЛИ»:

«Диагонали любого прямоугольника равны между собой, ИЛИ существует прямоугольник, диагонали которого не равны между собой».

Проанализируем истинность этого составного высказывания:

• Первая часть («Диагонали любого прямоугольника равны между собой») — это наше высказывание $A$, и оно истинно.
• Вторая часть («существует прямоугольник, диагонали которого не равны») — это высказывание $\neg A$, и оно ложно.

Логическая операция «ИЛИ» (дизъюнкция, $ \lor $) даёт истинный результат, если хотя бы один из её операндов истинен. В нашем случае мы имеем выражение $ИСТИНА \lor ЛОЖЬ$, результат которого — ИСТИНА.

Таким образом, составное высказывание $A \lor \neg A$ является истинным. Это подтверждает, что для любого прямоугольника не может быть третьей возможности: его диагонали либо равны, либо не равны. Закон исключённого третьего выполняется.

Ответ: Составное высказывание «$A \lor \neg A$» истинно, так как истинна одна из его частей (высказывание $A$), что демонстрирует выполнение закона исключённого третьего на данном примере.

Условие 2010-2022.

4 Придумай высказывание, выражающее свойство прямоугольника, и построй его отрицание. Убедись на этом примере в выполнении закона исключенного третьего.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).