Номер 3, страница 6, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Понятие отрицания. Параграф 1. Отрицание высказываний. Глава 1. Язык и логика. Часть 1 - номер 3, страница 6.

Условие 2023.

3 Запиши отрицание высказываний на математическом языке. Убедись в выполнении для них закона исключённого третьего.

а) $87\,504 < 87\,504;$

б) $9036 > 12\,035;$

в) $\frac{5}{16} \le \frac{7}{16};$

г) $\frac{3}{11} \ge \frac{3}{5};$

д) $2,5 + 0,25 = 2,75;$

е) $0,4 : 0,01 \ne 40;$

ж) $2 - \frac{1}{6} < 1\frac{5}{6};$

з) $5\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} \le 1,5.$

Решение 2 (2023).

Закон исключённого третьего гласит, что из двух высказываний — «А» и «не А» — одно обязательно является истинным. Для каждого пункта запишем отрицание и проверим истинность исходного высказывания и его отрицания.

а) Исходное высказывание: $87504 < 87504$.
Отрицанием для знака «меньше» ($<$) является знак «больше или равно» ($\geq$).
Отрицание: $87504 \geq 87504$.
Проверка: Исходное высказывание ложно, так как число не может быть меньше самого себя. Отрицание истинно, так как $87504 = 87504$. Поскольку одно из высказываний истинно, а другое ложно, закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $87504 \geq 87504$.

б) Исходное высказывание: $9036 > 12035$.
Отрицанием для знака «больше» ($>$) является знак «меньше или равно» ($\leq$).
Отрицание: $9036 \leq 12035$.
Проверка: Исходное высказывание ложно. Отрицание истинно, так как 9036 действительно меньше 12035. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $9036 \leq 12035$.

в) Исходное высказывание: $\frac{5}{16} \leq \frac{7}{16}$.
Отрицанием для знака «меньше или равно» ($\leq$) является знак «больше» ($>$).
Отрицание: $\frac{5}{16} > \frac{7}{16}$.
Проверка: Исходное высказывание истинно, так как при одинаковых знаменателях дробь с меньшим числителем меньше. Отрицание ложно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $\frac{5}{16} > \frac{7}{16}$.

г) Исходное высказывание: $\frac{3}{11} \geq \frac{3}{5}$.
Отрицанием для знака «больше или равно» ($\geq$) является знак «меньше» ($<$).
Отрицание: $\frac{3}{11} < \frac{3}{5}$.
Проверка: Приведём дроби к общему знаменателю 55: $\frac{3}{11} = \frac{15}{55}$ и $\frac{3}{5} = \frac{33}{55}$. Исходное высказывание $\frac{15}{55} \geq \frac{33}{55}$ ложно. Отрицание $\frac{15}{55} < \frac{33}{55}$ истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $\frac{3}{11} < \frac{3}{5}$.

д) Исходное высказывание: $2,5 + 0,25 = 2,75$.
Отрицанием для знака «равно» ($=$) является знак «не равно» ($\neq$).
Отрицание: $2,5 + 0,25 \neq 2,75$.
Проверка: Вычислим сумму: $2,5 + 0,25 = 2,75$. Исходное высказывание истинно. Отрицание ложно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $2,5 + 0,25 \neq 2,75$.

е) Исходное высказывание: $0,4 : 0,01 \neq 40$.
Отрицанием для знака «не равно» ($\neq$) является знак «равно» ($=$).
Отрицание: $0,4 : 0,01 = 40$.
Проверка: Вычислим частное: $0,4 : 0,01 = 40$. Исходное высказывание ложно. Отрицание истинно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $0,4 : 0,01 = 40$.

ж) Исходное высказывание: $2 - \frac{1}{6} < 1\frac{5}{6}$.
Отрицанием для знака «меньше» ($<$) является знак «больше или равно» ($\geq$).
Отрицание: $2 - \frac{1}{6} \geq 1\frac{5}{6}$.
Проверка: Вычислим разность: $2 - \frac{1}{6} = 1\frac{6}{6} - \frac{1}{6} = 1\frac{5}{6}$. Исходное высказывание $1\frac{5}{6} < 1\frac{5}{6}$ ложно. Отрицание $1\frac{5}{6} \geq 1\frac{5}{6}$ истинно, так как они равны. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $2 - \frac{1}{6} \geq 1\frac{5}{6}$.

з) Исходное высказывание: $5\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} \leq 1,5$.
Отрицанием для знака «меньше или равно» ($\leq$) является знак «больше» ($>$).
Отрицание: $5\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} > 1,5$.
Проверка: Вычислим произведение: $5\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{21}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{21 \cdot 2}{4 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1,5$. Исходное высказывание $1,5 \leq 1,5$ истинно, так как они равны. Отрицание $1,5 > 1,5$ ложно. Закон исключённого третьего выполняется.
Ответ: $5\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} > 1,5$.

Условие 2010-2022.

3 Запиши отрицание высказываний на математическом языке. Убедись в выполнении для них закона исключенного третьего.

а) $87 504 < 87 504;$

б) $9036 > 12 035;$

в) $\frac{5}{16} \le \frac{7}{16};$

г) $\frac{3}{11} \gg \frac{3}{5};$

д) $2,5 + 0,25 = 2,75;$

е) $0,4 : 0,01 \ne 40;$

ж) $2 - \frac{1}{6} < 1\frac{5}{6};$

з) $5\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} \le 1,5.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).