Страница 232 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

703. 1) $\begin{cases} 2x + y - 8 = 0, \\ 3x + 4y - 7 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 3x - 4y - 2 = 0, \\ 5y - x - 6 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} \frac{7y - x}{3} = -2, \\ \frac{x + 14y}{3} = 4,5; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{7x - y}{2} = -3, \\ \frac{-8x + 5y}{2} = 3,5; \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{y - 3x}{2} = 1 - \frac{7x + 3y}{5}, \\ \frac{x + 5y}{3} = 1 + \frac{x + 3y}{4}; \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{2x - 5y}{7} - 1 = \frac{2x + 2y}{3}, \\ \frac{x - 3y}{4} + 2 = \frac{7x - 8y}{5}. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + y - 8 = 0 \\ 3x + 4y - 7 = 0 \end{cases} $$

Для решения используем метод подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $y$:

$y = 8 - 2x$

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$3x + 4(8 - 2x) - 7 = 0$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $x$:

$3x + 32 - 8x - 7 = 0$

$-5x + 25 = 0$

$5x = 25$

$x = 5$

Теперь найдем значение $y$, подставив найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 8 - 2(5) = 8 - 10 = -2$

Решением системы является пара чисел (5, -2).

Ответ: $(5, -2)$

2)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x - 4y - 2 = 0 \\ 5y - x - 6 = 0 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим переменную $x$:

$x = 5y - 6$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$3(5y - 6) - 4y - 2 = 0$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$15y - 18 - 4y - 2 = 0$

$11y - 20 = 0$

$11y = 20$

$y = \frac{20}{11}$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 5\left(\frac{20}{11}\right) - 6 = \frac{100}{11} - \frac{66}{11} = \frac{34}{11}$

Решением системы является пара чисел $(\frac{34}{11}, \frac{20}{11})$.

Ответ: $(\frac{34}{11}, \frac{20}{11})$

3)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{7y - x}{3} = -2 \\ \frac{x + 14y}{3} = 4,5 \end{cases} $$

Сначала упростим систему, умножив каждое уравнение на 3:

$7y - x = -6$

$x + 14y = 13,5$

Получим систему:

$$ \begin{cases} -x + 7y = -6 \\ x + 14y = 13,5 \end{cases} $$

Используем метод сложения. Сложим два уравнения:

$(-x + 7y) + (x + 14y) = -6 + 13,5$

$21y = 7,5$

$y = \frac{7,5}{21} = \frac{15/2}{21} = \frac{15}{42} = \frac{5}{14}$

Подставим значение $y$ в уравнение $x + 14y = 13,5$:

$x + 14\left(\frac{5}{14}\right) = 13,5$

$x + 5 = 13,5$

$x = 8,5$

Решением системы является пара чисел $(8,5; \frac{5}{14})$.

Ответ: $(8,5; \frac{5}{14})$

4)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{7x - y}{2} = -3 \\ \frac{-8x + 5y}{2} = 3,5 \end{cases} $$

Упростим систему, умножив каждое уравнение на 2:

$$ \begin{cases} 7x - y = -6 \\ -8x + 5y = 7 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$:

$y = 7x + 6$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$-8x + 5(7x + 6) = 7$

$-8x + 35x + 30 = 7$

$27x = -23$

$x = -\frac{23}{27}$

Теперь найдем $y$:

$y = 7\left(-\frac{23}{27}\right) + 6 = -\frac{161}{27} + \frac{162}{27} = \frac{1}{27}$

Решением системы является пара чисел $(-\frac{23}{27}, \frac{1}{27})$.

Ответ: $(-\frac{23}{27}, \frac{1}{27})$

5)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{y - 3x}{2} = 1 - \frac{7x + 3y}{5} \\ \frac{x + 5y}{3} = 1 + \frac{x + 3y}{4} \end{cases} $$

Упростим первое уравнение, умножив его на 10 (наименьшее общее кратное для 2 и 5):

$5(y - 3x) = 10 - 2(7x + 3y)$

$5y - 15x = 10 - 14x - 6y$

$-x + 11y = 10$

Упростим второе уравнение, умножив его на 12 (наименьшее общее кратное для 3 и 4):

$4(x + 5y) = 12 + 3(x + 3y)$

$4x + 20y = 12 + 3x + 9y$

$x + 11y = 12$

Теперь имеем упрощенную систему:

$$ \begin{cases} -x + 11y = 10 \\ x + 11y = 12 \end{cases} $$

Сложим два уравнения:

$(-x + 11y) + (x + 11y) = 10 + 12$

$22y = 22$

$y = 1$

Подставим $y=1$ во второе упрощенное уравнение:

$x + 11(1) = 12$

$x = 1$

Решением системы является пара чисел (1, 1).

Ответ: $(1, 1)$

6)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{2x - 5y}{7} - 1 = \frac{2x + 2y}{3} \\ \frac{x - 3y}{4} + 2 = \frac{7x - 8y}{5} \end{cases} $$

Упростим первое уравнение, умножив его на 21:

$3(2x - 5y) - 21 = 7(2x + 2y)$

$6x - 15y - 21 = 14x + 14y$

$-8x - 29y = 21$, или $8x + 29y = -21$

Упростим второе уравнение, умножив его на 20:

$5(x - 3y) + 40 = 4(7x - 8y)$

$5x - 15y + 40 = 28x - 32y$

$40 = 23x - 17y$, или $23x - 17y = 40$

Получили систему:

$$ \begin{cases} 8x + 29y = -21 \\ 23x - 17y = 40 \end{cases} $$

Решим методом сложения. Умножим первое уравнение на 17, а второе на 29:

$$ \begin{cases} 17(8x + 29y) = 17(-21) \\ 29(23x - 17y) = 29(40) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 136x + 493y = -357 \\ 667x - 493y = 1160 \end{cases} $$

Сложим полученные уравнения:

$136x + 667x = -357 + 1160$

$803x = 803$

$x = 1$

Подставим $x=1$ в уравнение $8x + 29y = -21$:

$8(1) + 29y = -21$

$8 + 29y = -21$

$29y = -29$

$y = -1$

Решением системы является пара чисел (1, -1).

Ответ: $(1, -1)$