Страница 227 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

692. Найти все пары $(x; y)$ натуральных чисел, которые являются решениями уравнения:

1) $15y - 8x = 76;$

2) $9y - 2x = 20;$

3) $5y - 3x = 26;$

4) $4y - 3x = 20.$

Дано уравнение $15y - 8x = 76$. Требуется найти все пары натуральных чисел $(x; y)$, которые ему удовлетворяют. Натуральные числа — это $1, 2, 3, \dots$, поэтому $x \ge 1$ и $y \ge 1$.

Это линейное диофантово уравнение. Выразим одну переменную через другую, например, $y$: $15y = 76 + 8x$ $y = \frac{76 + 8x}{15}$

Поскольку $y$ должен быть целым числом, выражение $76 + 8x$ должно быть кратно 15. Это можно записать в виде сравнения по модулю 15: $76 + 8x \equiv 0 \pmod{15}$ Так как $76 = 5 \cdot 15 + 1$, то $76 \equiv 1 \pmod{15}$. Сравнение принимает вид: $1 + 8x \equiv 0 \pmod{15}$ $8x \equiv -1 \pmod{15}$ $8x \equiv 14 \pmod{15}$ Для нахождения $x$ необходимо найти обратный элемент к 8 по модулю 15. Заметим, что $8 \cdot 2 = 16 \equiv 1 \pmod{15}$. Следовательно, обратный элемент равен 2. Умножим обе части сравнения на 2: $2 \cdot 8x \equiv 2 \cdot 14 \pmod{15}$ $16x \equiv 28 \pmod{15}$ Так как $16 \equiv 1 \pmod{15}$ и $28 \equiv 13 \pmod{15}$, получаем: $x \equiv 13 \pmod{15}$

Это означает, что $x$ можно представить в виде $x = 15n + 13$, где $n$ — целое число. По условию $x$ — натуральное число, поэтому $x \ge 1$: $15n + 13 \ge 1 \implies 15n \ge -12 \implies n \ge -0.8$. Так как $n$ — целое число, то $n \ge 0$. Таким образом, $n$ — любое целое неотрицательное число.

Теперь найдем $y$, подставив полученное выражение для $x$: $y = \frac{76 + 8(15n + 13)}{15} = \frac{76 + 120n + 104}{15} = \frac{180 + 120n}{15} = 12 + 8n$. Условие $y \ge 1$ также выполняется, поскольку при $n \ge 0$, $y = 12 + 8n \ge 12$.

Ответ: $(13 + 15n, 12 + 8n)$, где $n$ — любое целое неотрицательное число ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).

Дано уравнение $9y - 2x = 20$. Ищем решения в натуральных числах $(x \ge 1, y \ge 1)$.

Выразим $2x$: $2x = 9y - 20$. Отсюда видно, что правая часть $9y-20$ должна быть четным числом. Так как 20 — четное, то и $9y$ должно быть четным. Поскольку 9 — нечетное, это возможно только если $y$ — четное число. Представим $y$ в виде $y=2k$, где $k$ — натуральное число ($y \ge 1 \implies 2k \ge 1 \implies k \ge 1/2$, т.е. $k \ge 1$).

Подставим $y = 2k$ в исходное уравнение: $9(2k) - 2x = 20$ $18k - 2x = 20$ Разделим обе части на 2: $9k - x = 10$ $x = 9k - 10$

Так как $x$ — натуральное число, $x \ge 1$: $9k - 10 \ge 1 \implies 9k \ge 11 \implies k \ge \frac{11}{9} \approx 1.22$. Поскольку $k$ — целое число, то $k \ge 2$.

Итак, решения имеют вид $(9k - 10, 2k)$ для любого целого $k \ge 2$. Чтобы привести к более стандартному виду с параметром $n \ge 0$, сделаем замену $k = n + 2$. Тогда $n = k - 2$, и условие $k \ge 2$ превращается в $n \ge 0$. $x = 9(n+2) - 10 = 9n + 18 - 10 = 9n + 8$. $y = 2(n+2) = 2n + 4$.

Ответ: $(8 + 9n, 4 + 2n)$, где $n$ — любое целое неотрицательное число ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).

Дано уравнение $5y - 3x = 26$. Ищем решения в натуральных числах $(x \ge 1, y \ge 1)$.

Выразим $y$ через $x$: $5y = 26 + 3x$ $y = \frac{26 + 3x}{5}$

Числитель $26 + 3x$ должен делиться на 5. Запишем это как сравнение по модулю 5: $26 + 3x \equiv 0 \pmod{5}$ $26 \equiv 1 \pmod{5}$, поэтому: $1 + 3x \equiv 0 \pmod{5}$ $3x \equiv -1 \pmod{5}$ $3x \equiv 4 \pmod{5}$ Обратным элементом к 3 по модулю 5 является 2, так как $3 \cdot 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5}$. Умножим обе части на 2: $2 \cdot 3x \equiv 2 \cdot 4 \pmod{5}$ $6x \equiv 8 \pmod{5}$ $x \equiv 3 \pmod{5}$

Следовательно, $x$ можно представить в виде $x = 5n + 3$ для некоторого целого $n$. Так как $x \ge 1$: $5n + 3 \ge 1 \implies 5n \ge -2 \implies n \ge -0.4$. Поскольку $n$ целое, $n \ge 0$.

Найдем $y$: $y = \frac{26 + 3(5n + 3)}{5} = \frac{26 + 15n + 9}{5} = \frac{35 + 15n}{5} = 7 + 3n$. При $n \ge 0$, $y = 7 + 3n \ge 7$, что удовлетворяет условию $y \ge 1$.

Ответ: $(3 + 5n, 7 + 3n)$, где $n$ — любое целое неотрицательное число ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).

Дано уравнение $4y - 3x = 20$. Ищем решения в натуральных числах $(x \ge 1, y \ge 1)$.

Выразим $4y$: $4y = 20 + 3x$. Правая часть $20 + 3x$ должна быть кратна 4. Запишем сравнение по модулю 4: $20 + 3x \equiv 0 \pmod{4}$ Поскольку $20 \equiv 0 \pmod{4}$, получаем: $3x \equiv 0 \pmod{4}$ Так как НОД(3, 4) = 1, мы можем разделить на 3, получив: $x \equiv 0 \pmod{4}$

Это означает, что $x$ является кратным 4, то есть $x = 4k$ для некоторого целого $k$. По условию $x \ge 1$: $4k \ge 1 \implies k \ge 1/4$. Так как $k$ — целое, $k \ge 1$. То есть $k$ — любое натуральное число.

Подставим $x = 4k$ в исходное уравнение, чтобы найти $y$: $4y = 20 + 3(4k)$ $4y = 20 + 12k$ $y = 5 + 3k$ При $k \ge 1$, $y = 5 + 3k \ge 8$, что удовлетворяет условию $y \ge 1$.

Решения имеют вид $(4k, 5+3k)$ для любого натурального $k \ge 1$. Для единообразия с предыдущими пунктами, сделаем замену $k = n + 1$, где $n \ge 0$: $x = 4(n+1) = 4n + 4$. $y = 5 + 3(n+1) = 5 + 3n + 3 = 3n + 8$.

Ответ: $(4 + 4n, 8 + 3n)$, где $n$ — любое целое неотрицательное число ($n \in \{0, 1, 2, \dots\}$).

693. Дана система уравнений $\begin{cases} x - 3y = c_1 \\ 2x + 4y = c_2 \end{cases}$.

Известно, что пара чисел $x=5, y=2$ является её решением.

Найти $c_1$ и $c_2$.

Поскольку пара чисел $x=5$ и $y=2$ является решением системы уравнений, то при подстановке этих значений в уравнения системы мы получим верные равенства. Это позволяет нам найти значения $c_1$ и $c_2$.

Подставим значения $x=5$ и $y=2$ в первое уравнение системы $x - 3y = c_1$:
$c_1 = 5 - 3 \cdot 2$
$c_1 = 5 - 6$
$c_1 = -1$

Теперь подставим те же значения $x=5$ и $y=2$ во второе уравнение системы $2x + 4y = c_2$:
$c_2 = 2 \cdot 5 + 4 \cdot 2$
$c_2 = 10 + 8$
$c_2 = 18$

Таким образом, мы определили значения констант.
Ответ: $c_1 = -1$, $c_2 = 18$.

694. Дана система уравнений $\begin{cases} ax - 3y = 11, \\ 11x + by = 29. \end{cases}$

Известно, что пара чисел $x=1, y=-2$ является её решением.

Найти $a$ и $b$.

По условию задачи, пара чисел $x=1$ и $y=-2$ является решением системы уравнений. Это означает, что при подстановке данных значений переменных $x$ и $y$ в каждое уравнение системы, мы получим верные числовые равенства. Используем это свойство для нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $b$.

Нахождение a
Подставим значения $x=1$ и $y=-2$ в первое уравнение системы $ax - 3y = 11$:
$a \cdot (1) - 3 \cdot (-2) = 11$
$a + 6 = 11$
Перенесем 6 в правую часть уравнения, изменив знак:
$a = 11 - 6$
$a = 5$

Нахождение b
Аналогично, подставим значения $x=1$ и $y=-2$ во второе уравнение системы $11x + by = 29$:
$11 \cdot (1) + b \cdot (-2) = 29$
$11 - 2b = 29$
Перенесем 11 в правую часть уравнения:
$-2b = 29 - 11$
$-2b = 18$
Разделим обе части уравнения на -2, чтобы найти $b$:
$b = \frac{18}{-2}$
$b = -9$

Таким образом, мы определили, что для выполнения условий задачи коэффициенты должны быть равны $a=5$ и $b=-9$.
Ответ: $a = 5, b = -9$.

695. Можно ли загрузить автомашину контейнерами грузоподъёмностью 0,8 т и 0,9 т так, чтобы полностью использовать грузоподъёмность автомашины, равную 10 т?

Пусть $x$ — это количество контейнеров грузоподъёмностью 0,8 т, а $y$ — количество контейнеров грузоподъёмностью 0,9 т. Задача состоит в том, чтобы выяснить, существуют ли целые неотрицательные числа $x$ и $y$, удовлетворяющие уравнению, которое описывает полную загрузку машины:

$0.8 \cdot x + 0.9 \cdot y = 10$

Чтобы упростить вычисления, умножим обе части уравнения на 10:

$8x + 9y = 100$

Теперь нам нужно найти решение этого линейного диофантова уравнения в целых неотрицательных числах. Выразим одну из переменных, например $x$, через другую:

$8x = 100 - 9y$

$x = \frac{100 - 9y}{8}$

Поскольку $x$ должно быть целым числом, выражение $(100 - 9y)$ должно быть кратно 8. Мы можем решить это методом перебора, учитывая, что $x$ и $y$ должны быть неотрицательными.

Из уравнения $8x = 100 - 9y$ следует, что $100 - 9y \ge 0$, так как $8x \ge 0$.

$9y \le 100$

$y \le \frac{100}{9}$

$y \le 11.11...$

Также из уравнения $9y = 100 - 8x$ видно, что $100 - 8x$ должно быть кратно 9.

$100 - 8x \equiv 0 \pmod{9}$

Так как $100 = 11 \cdot 9 + 1$, то $100 \equiv 1 \pmod{9}$.А $-8 \equiv 1 \pmod{9}$.

Получаем сравнение:$1 + 1 \cdot x \equiv 0 \pmod{9}$

$x \equiv -1 \pmod{9}$ или $x \equiv 8 \pmod{9}$.

Это означает, что $x$ может быть 8, 17, ...Поскольку $8x \le 100$, то $x \le \frac{100}{8} = 12.5$.Единственное подходящее значение из возможных для $x$ - это $x=8$.

Подставим $x=8$ в уравнение $8x + 9y = 100$:

$8 \cdot 8 + 9y = 100$

$64 + 9y = 100$

$9y = 100 - 64$

$9y = 36$

$y = 4$

Мы нашли пару целых неотрицательных чисел $(x=8, y=4)$, которая является решением уравнения. Это означает, что если взять 8 контейнеров по 0,8 т и 4 контейнера по 0,9 т, их общая масса составит:

$8 \cdot 0.8 \text{ т} + 4 \cdot 0.9 \text{ т} = 6.4 \text{ т} + 3.6 \text{ т} = 10 \text{ т}$.

Это в точности равно грузоподъёмности автомашины.

Ответ: Да, можно. Для этого нужно загрузить 8 контейнеров по 0,8 т и 4 контейнера по 0,9 т.

696. Детали упакованы в коробки двух видов: по 5 штук и по 8 штук. Всего упаковано 69 деталей. Сколько понадобилось коробок каждого вида?

Пусть $x$ — количество коробок, в которые упаковано по 5 деталей, а $y$ — количество коробок, в которые упаковано по 8 деталей. Так как всего упаковано 69 деталей, мы можем составить уравнение:

$5x + 8y = 69$

В этом уравнении $x$ и $y$ должны быть целыми неотрицательными числами, так как они обозначают количество коробок. Для решения этого диофантова уравнения выразим одну переменную через другую. Например, выразим $x$:

$5x = 69 - 8y$

$x = \frac{69 - 8y}{5}$

Так как $x$ должен быть целым числом, выражение $(69 - 8y)$ должно делиться на 5 без остатка. Это означает, что последняя цифра этого выражения должна быть 0 или 5. Число 69 оканчивается на 9. Чтобы разность $(69 - 8y)$ оканчивалась на 0 или 5, число $8y$ должно оканчиваться на 4 или 9. Поскольку $8y$ — это произведение четного числа на целое, оно не может оканчиваться на 9. Следовательно, $8y$ должно оканчиваться на 4.

Будем перебирать целые неотрицательные значения $y$, чтобы найти те, при которых $8y$ оканчивается на 4.
- При $y=0$, $8y=0$. $69-0=69$ (не делится на 5).
- При $y=1$, $8y=8$. $69-8=61$ (не делится на 5).
- При $y=2$, $8y=16$. $69-16=53$ (не делится на 5).
- При $y=3$, $8y=24$. $69-24=45$. $45$ делится на 5. Находим $x$: $x = \frac{45}{5} = 9$. Это первое решение: 9 коробок по 5 деталей и 3 коробки по 8 деталей. Проверим: $5 \cdot 9 + 8 \cdot 3 = 45 + 24 = 69$.
- При $y=4$, $8y=32$. $69-32=37$ (не делится на 5).
- При $y=5$, $8y=40$. $69-40=29$ (не делится на 5).
- При $y=6$, $8y=48$. $69-48=21$ (не делится на 5).
- При $y=7$, $8y=56$. $69-56=13$ (не делится на 5).
- При $y=8$, $8y=64$. $69-64=5$. $5$ делится на 5. Находим $x$: $x = \frac{5}{5} = 1$. Это второе решение: 1 коробка по 5 деталей и 8 коробок по 8 деталей. Проверим: $5 \cdot 1 + 8 \cdot 8 = 5 + 64 = 69$.

Если взять $y$ больше 8 (например, $y=9$), то $8y$ будет больше 69 ($8 \cdot 9 = 72$), что приведет к отрицательному значению $x$, а количество коробок не может быть отрицательным. Значит, других решений в целых неотрицательных числах нет.

Ответ: Существует два возможных варианта: 9 коробок по 5 деталей и 3 коробки по 8 деталей, либо 1 коробка по 5 деталей и 8 коробок по 8 деталей.