Страница 220 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

3. График функции $y = kx - 3$ проходит через точку $A(16; 3)$. Проходит ли график этой функции через точку $B(8; 1)$; $C(4; -1,5)$?

Для того чтобы определить, проходит ли график функции через указанные точки, сначала необходимо найти значение коэффициента $k$. Нам известно, что график функции $y = kx - 3$ проходит через точку A(16; 3). Это значит, что при подстановке координат точки A в уравнение функции мы получим верное равенство.

Подставим $x = 16$ и $y = 3$ в уравнение $y = kx - 3$:

$3 = k \cdot 16 - 3$

Перенесем -3 в левую часть уравнения:

$3 + 3 = 16k$

$6 = 16k$

Теперь найдем $k$:

$k = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$

Таким образом, полное уравнение функции имеет вид: $y = \frac{3}{8}x - 3$.

Теперь проверим, принадлежат ли точки B и C графику этой функции.

Точка B(8; 1)

Подставим координаты точки B ($x = 8$, $y = 1$) в уравнение функции $y = \frac{3}{8}x - 3$ и проверим, получится ли верное равенство.

$1 = \frac{3}{8} \cdot 8 - 3$

$1 = 3 - 3$

$1 = 0$

Равенство неверное, так как $1 \neq 0$. Это означает, что точка B(8; 1) не лежит на графике данной функции.

Ответ: не проходит.

Точка C(4; -1,5)

Подставим координаты точки C ($x = 4$, $y = -1,5$) в уравнение функции $y = \frac{3}{8}x - 3$ и проверим, получится ли верное равенство.

$-1,5 = \frac{3}{8} \cdot 4 - 3$

$-1,5 = \frac{12}{8} - 3$

$-1,5 = \frac{3}{2} - 3$

$-1,5 = 1,5 - 3$

$-1,5 = -1,5$

Равенство верное. Это означает, что точка C(4; -1,5) лежит на графике данной функции.

Ответ: проходит.

4. Функция $y=-\frac{1}{3}x+2$ пересекает оси координат в точках A и B. Найти площадь прямоугольного треугольника AOB, где O — начало координат.

Для того чтобы найти площадь треугольника AOB, необходимо сначала определить координаты точек A и B, которые являются точками пересечения графика функции $y = -\frac{1}{3}x + 2$ с осями координат.

1. Нахождение координат точек пересечения

Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Oy). Для любой точки, лежащей на этой оси, координата $x$ равна 0. Подставим $x=0$ в уравнение функции, чтобы найти ординату точки (пусть это будет точка A):
$y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 2$
$y = 2$
Следовательно, координаты точки A: $(0; 2)$.

Найдем точку пересечения с осью абсцисс (осью Ox). Для любой точки, лежащей на этой оси, координата $y$ равна 0. Подставим $y=0$ в уравнение функции и решим его относительно $x$, чтобы найти абсциссу точки (пусть это будет точка B):
$0 = -\frac{1}{3}x + 2$
Перенесем слагаемое с $x$ в левую часть:
$\frac{1}{3}x = 2$
Умножим обе части уравнения на 3:
$x = 6$
Следовательно, координаты точки B: $(6; 0)$.

2. Вычисление площади треугольника AOB

Треугольник AOB имеет вершины в точках A(0; 2), B(6; 0) и в начале координат O(0; 0). Поскольку оси координат взаимно перпендикулярны, то треугольник AOB является прямоугольным, и его прямой угол находится при вершине O.

Катетами этого треугольника являются отрезки OA и OB, лежащие на осях координат. Их длины равны модулям соответствующих ненулевых координат точек A и B:
Длина катета OA (на оси Oy) равна $|OA| = 2$.
Длина катета OB (на оси Ox) равна $|OB| = 6$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot |OA| \cdot |OB|$
Подставляем найденные длины катетов:
$S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6$
$S_{AOB} = 6$

Ответ: 6

5. Оператор, работающий с постоянной производительностью, может набрать за 8 ч 160 страниц текста. За какое время этот оператор набирает 50 страниц текста?

Для решения задачи сначала необходимо определить производительность оператора, то есть количество страниц, которое он может набрать за один час. Поскольку производительность постоянна, мы можем разделить общее количество набранных страниц на время, затраченное на эту работу.
Производительность $P$ рассчитывается по формуле:
$P = \frac{\text{Объем работы}}{\text{Время}} = \frac{160 \text{ страниц}}{8 \text{ часов}} = 20 \text{ страниц/час}$.

Итак, производительность оператора составляет 20 страниц в час. Теперь мы можем найти время, которое потребуется для набора 50 страниц. Для этого необходимо разделить требуемый объем работы на производительность оператора.
Время $t$ рассчитывается по формуле:
$t = \frac{\text{Объем работы}}{\text{Производительность}} = \frac{50 \text{ страниц}}{20 \text{ страниц/час}} = 2.5 \text{ часа}$.

Полученное время $2.5$ часа необходимо выразить в часах и минутах. $2.5$ часа — это 2 целых часа и $0.5$ часа. Чтобы перевести $0.5$ часа в минуты, нужно умножить это значение на 60.
$0.5 \text{ часа} \times 60 \frac{\text{минут}}{\text{час}} = 30 \text{ минут}$.
Таким образом, оператору потребуется 2 часа и 30 минут, чтобы набрать 50 страниц текста.
Ответ: 2 часа 30 минут.

6. График функции $y=kx+b$ проходит через точки $(2; 7)$ и $(0; -3)$. Найти $k$ и $b$.

Уравнение линейной функции имеет вид $y = kx + b$. По условию, график этой функции проходит через две точки, $(2; 7)$ и $(0; -3)$. Это означает, что координаты каждой из этих точек удовлетворяют уравнению функции. Мы можем подставить координаты $x$ и $y$ каждой точки в уравнение, чтобы составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $k$ и $b$.

1. Подставим координаты точки $(2; 7)$ в уравнение $y = kx + b$:
$7 = k \cdot 2 + b$
Это дает нам первое уравнение: $2k + b = 7$.

2. Подставим координаты точки $(0; -3)$ в уравнение $y = kx + b$:
$-3 = k \cdot 0 + b$
$-3 = 0 + b$
Это дает нам второе уравнение: $b = -3$.

Из второго уравнения мы сразу находим значение коэффициента $b$. Коэффициент $b$ в уравнении прямой — это ордината точки пересечения графика с осью $y$, что соответствует точке с абсциссой $x=0$.

Теперь, зная, что $b = -3$, подставим это значение в первое уравнение, чтобы найти коэффициент $k$:
$2k + b = 7$
$2k + (-3) = 7$
$2k - 3 = 7$
Перенесем $-3$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$2k = 7 + 3$
$2k = 10$
Разделим обе части на 2:
$k = \frac{10}{2}$
$k = 5$

Таким образом, мы нашли искомые значения коэффициентов.

Ответ: $k = 5, b = -3$.

7. График функции $y = kx - 5$ проходит через точку $B(3; 1)$. Записать формулой линейную функцию, график которой проходит через точку $C(-2; -1)$ и параллелен графику данной функции.

Решение задачи можно разделить на два основных этапа: сначала мы найдем угловой коэффициент k для данной функции, а затем, используя полученные данные, составим уравнение для искомой функции.

1. Нахождение углового коэффициента k для функции $y = kx - 5$

По условию, график функции $y = kx - 5$ проходит через точку $B(3; 1)$. Это значит, что при подстановке координат этой точки в уравнение функции мы получим верное равенство. Подставим $x = 3$ и $y = 1$:

$1 = k \cdot 3 - 5$

Теперь решим это линейное уравнение относительно k:

$3k = 1 + 5$

$3k = 6$

$k = \frac{6}{3}$

$k = 2$

Следовательно, данная функция имеет вид $y = 2x - 5$.

2. Составление формулы искомой линейной функции

Общий вид искомой линейной функции: $y = k_1x + b$.

В условии сказано, что график искомой функции параллелен графику функции $y = 2x - 5$. Графики двух линейных функций параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной функции $k = 2$, значит, угловой коэффициент искомой функции $k_1$ также равен 2.

$k_1 = 2$

Таким образом, формула искомой функции принимает вид $y = 2x + b$.

Чтобы найти свободный член b, воспользуемся тем, что график искомой функции проходит через точку $C(-2; -1)$. Подставим координаты этой точки в полученное уравнение:

$-1 = 2 \cdot (-2) + b$

$-1 = -4 + b$

$b = -1 + 4$

$b = 3$

Теперь, зная оба коэффициента ($k_1 = 2$ и $b = 3$), мы можем записать окончательную формулу искомой функции.

Ответ: $y = 2x + 3$

8. Построить график движения пешехода из пункта A в пункт B, если первые 2 ч он шёл со скоростью 3 км/ч, затем 2 ч отдыхал, после чего ещё 2 ч до пункта B шёл со скоростью 4 км/ч. На каком расстоянии от пункта A был пешеход через 5 ч после начала движения?

Построить график движения пешехода из пункта А в пункт В

Для построения графика движения необходимо проанализировать каждый этап пути пешехода и определить соответствующие точки на координатной плоскости, где по оси абсцисс (горизонтальной) откладывается время $t$ в часах, а по оси ординат (вертикальной) — расстояние $S$ от пункта А в километрах.

1. Первый этап (первые 2 часа): Пешеход идёт со скоростью $v_1 = 3$ км/ч. За время $t_1 = 2$ ч он пройдёт расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 3 \cdot 2 = 6$ км. Таким образом, через 2 часа пешеход будет в точке с координатами $(2, 6)$. Начальная точка движения — $(0, 0)$. Первый участок графика — это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 0)$ и $(2, 6)$.

2. Второй этап (следующие 2 часа): Пешеход отдыхает в течение $t_2 = 2$ ч. Это означает, что его скорость равна нулю, и он не перемещается. Этот этап длится с 2-го по 4-й час ($t$ от 2 до 4). Его расстояние от пункта А не меняется и остается равным 6 км. Второй участок графика — это горизонтальный отрезок прямой, соединяющий точки $(2, 6)$ и $(4, 6)$.

3. Третий этап (последние 2 часа): Пешеход продолжает путь до пункта В со скоростью $v_3 = 4$ км/ч в течение $t_3 = 2$ ч. Этот этап длится с 4-го по 6-й час движения. За это время он пройдёт дополнительное расстояние $S_3 = v_3 \cdot t_3 = 4 \cdot 2 = 8$ км. Общее расстояние от пункта А в конце пути составит $S_{общ} = 6 + 8 = 14$ км. Третий участок графика — это отрезок прямой, соединяющий точку $(4, 6)$ с конечной точкой $(4+2, 6+8)$, то есть $(6, 14)$.

График движения пешехода представляет собой ломаную линию, проходящую через точки с координатами $(0, 0)$, $(2, 6)$, $(4, 6)$ и $(6, 14)$.

Ответ: График движения пешехода — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки $(0, 0)$, $(2, 6)$, $(4, 6)$ и $(6, 14)$ в системе координат, где ось абсцисс — время в часах ($t$), а ось ординат — расстояние от пункта А в километрах ($S$).

На каком расстоянии от пункта А был пешеход через 5 ч после начала движения?

Чтобы определить расстояние от пункта А через 5 часов, проанализируем, на каком этапе движения находился пешеход в этот момент времени.

- С 0 до 2 часов пешеход двигался. В момент времени $t=2$ ч он был на расстоянии 6 км от пункта А.

- С 2 до 4 часов пешеход отдыхал. В момент времени $t=4$ ч он все еще был на расстоянии 6 км от пункта А.

- Момент времени $t=5$ ч попадает в третий этап движения (с 4-го по 6-й час), на котором пешеход двигался со скоростью $v_3 = 4$ км/ч.

С начала третьего этапа (с момента времени $t=4$ ч) до момента времени $t=5$ ч прошел 1 час ($5 - 4 = 1$ ч). За этот час пешеход преодолел дополнительное расстояние, которое можно рассчитать по формуле $S = v \cdot t$: $S_{доп} = 4 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 4 \text{ км}$.

Чтобы найти общее расстояние от пункта А через 5 часов, нужно к расстоянию, пройденному к началу третьего этапа (6 км), прибавить расстояние, которое пешеход прошел за первый час этого этапа (4 км): $S(5) = S(4) + S_{доп} = 6 \text{ км} + 4 \text{ км} = 10 \text{ км}$.

Ответ: Через 5 ч после начала движения пешеход был на расстоянии 10 км от пункта А.

9. Построить график функции $y=|x-4|+2$.

Для построения графика функции $y = |x - 4| + 2$ можно использовать метод последовательных геометрических преобразований, взяв за основу график функции $y = |x|$.

1. Сначала рассмотрим базовый график $y = |x|$. Этот график имеет форму "галочки" или латинской буквы V, вершина которой находится в начале координат $(0, 0)$, а ветви направлены вверх и являются биссектрисами первого и второго координатных углов.

2. Следующим шагом является построение графика функции $y_1 = |x - 4|$. Согласно правилу преобразования графиков $f(x) \to f(x-c)$, это преобразование соответствует сдвигу графика $y = |x|$ на 4 единицы вправо вдоль оси абсцисс (Ox). Вершина "галочки" смещается в точку $(4, 0)$.

3. Наконец, построим искомый график $y = |x - 4| + 2$. Согласно правилу преобразования $f(x) \to f(x)+d$, это соответствует сдвигу графика $y_1 = |x - 4|$ на 2 единицы вверх вдоль оси ординат (Oy). Таким образом, вершина графика смещается из точки $(4, 0)$ в точку $(4, 2)$.

Итоговый график функции $y = |x - 4| + 2$ представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(4, 2)$, ветви которой направлены вверх. График симметричен относительно вертикальной прямой $x=4$.

Для более точного построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих ему. Составим таблицу значений:

Соединив точку-вершину $(4, 2)$ с точками $(2, 4)$ и $(0, 6)$, получим левую ветвь графика. Соединив вершину $(4, 2)$ с точками $(6, 4)$ и $(8, 6)$, получим правую ветвь.

Также можно построить график, раскрыв модуль. Функция $y = |x - 4| + 2$ эквивалентна системе:

$y = \begin{cases} (x - 4) + 2, & \text{если } x - 4 \ge 0 \\ -(x - 4) + 2, & \text{если } x - 4 < 0 \end{cases}$

Упростив, получаем:

$y = \begin{cases} x - 2, & \text{при } x \ge 4 \\ -x + 6, & \text{при } x < 4 \end{cases}$

Это означает, что график состоит из двух лучей, исходящих из общей точки при $x=4$. Координаты этой точки (вершины): $x=4$, $y = 4-2=2$, то есть $(4, 2)$. Первый луч — это часть прямой $y=x-2$ при $x \ge 4$, второй — часть прямой $y=-x+6$ при $x < 4$. Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: График функции $y = |x - 4| + 2$ — это график функции $y=|x|$, смещенный на 4 единицы вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy. Он представляет собой два луча, выходящих из общей точки (вершины), которая имеет координаты $(4, 2)$. Ветви графика направлены вверх. Ось симметрии графика — прямая $x=4$. График проходит через точки $(2, 4)$ и $(6, 4)$, а также пересекает ось Oy в точке $(0, 6)$.