Страница 216 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

684. На рисунке 37, б изображён график движения пешехода на прямолинейном участке пути из пункта B в пункт E.

Используя этот график, ответить на вопросы:

1) На каком расстоянии от пункта E находится пункт B?

2) С какой средней скоростью двигался пешеход?

3) На каком расстоянии от пункта B он сделал привал?

4) Сколько времени длился привал?

5) Через какое время после привала пешеход прибыл в пункт E?

Записать формулой функцию $s(t)$ на участках графика BC, DE, CD.

б)

S, км

t, ч

1) На каком расстоянии от пункта Е находится пункт В?
На графике ось S показывает расстояние до пункта E. В начальный момент времени $t = 0$ ч, который соответствует пункту B, расстояние $s$ равно 40 км.
Ответ: 40 км.

2) С какой средней скоростью двигался пешеход?
Средняя скорость вычисляется по формуле $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — весь пройденный путь, а $t_{общ}$ — всё время движения. Пешеход прошел от отметки 40 км до отметки 0 км, то есть весь путь $S_{общ} = 40$ км. Общее время в пути, включая привал, составило 10 часов. Таким образом, средняя скорость: $v_{ср} = \frac{40 \text{ км}}{10 \text{ ч}} = 4 \text{ км/ч}$.
Ответ: 4 км/ч.

3) На каком расстоянии от пункта В он сделал привал?
Привал — это участок графика, где расстояние не меняется со временем, то есть горизонтальный отрезок CD. Привал начался в точке C. Пункт B находится на отметке 40 км от E, а пункт C — на отметке 20 км от E. Расстояние, которое пешеход прошел от пункта B до начала привала, составляет разность этих расстояний: $40 \text{ км} - 20 \text{ км} = 20 \text{ км}$.
Ответ: 20 км.

4) Сколько времени длился привал?
Привал соответствует участку CD. По оси времени (ось t) он начинается в точке C при $t = 4$ ч и заканчивается в точке D при $t = 6$ ч. Длительность привала равна разности конечного и начального времени: $6 \text{ ч} - 4 \text{ ч} = 2 \text{ ч}$.
Ответ: 2 ч.

5) Через какое время после привала пешеход прибыл в пункт Е?
Привал закончился в момент времени $t = 6$ ч (точка D). Пешеход прибыл в пункт E в момент времени $t = 10$ ч. Время, которое он провел в пути после привала, равно: $10 \text{ ч} - 6 \text{ ч} = 4 \text{ ч}$.
Ответ: 4 ч.

Записать формулой функцию s(t) на участках графика BC, DE, CD.
На каждом из этих участков график является отрезком прямой, поэтому функция имеет вид $s(t) = kt + b$, где $k$ — угловой коэффициент (скорость), а $b$ — смещение по оси s.

Участок BC:
Отрезок проходит через точки B(0; 40) и C(4; 20).
Находим угловой коэффициент: $k = \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1} = \frac{20 - 40}{4 - 0} = \frac{-20}{4} = -5$.
Так как график проходит через точку (0; 40), то $b = 40$.
Формула для участка BC: $s(t) = -5t + 40$ (для $0 \le t \le 4$).

Участок CD:
Это горизонтальный отрезок, проходящий через точки C(4; 20) и D(6; 20). Расстояние постоянно.
Формула для участка CD: $s(t) = 20$ (для $4 \le t \le 6$).

Участок DE:
Отрезок проходит через точки D(6; 20) и E(10; 0).
Находим угловой коэффициент: $k = \frac{s_2 - s_1}{t_2 - t_1} = \frac{0 - 20}{10 - 6} = \frac{-20}{4} = -5$.
Для нахождения $b$ подставим координаты точки D(6; 20) в уравнение $s(t) = -5t + b$:
$20 = -5 \cdot 6 + b$
$20 = -30 + b$
$b = 50$
Формула для участка DE: $s(t) = -5t + 50$ (для $6 \le t \le 10$).

Ответ: BC: $s(t) = -5t + 40$; CD: $s(t) = 20$; DE: $s(t) = -5t + 50$.

685. Автомобили $A_1$ и $A_2$ выезжают одновременно навстречу друг другу. По заданным графикам движения автомобилей (рис. 38) найти:

1) время от начала движения автомобилей до их встречи;

2) путь, пройденный каждым из автомобилей до их встречи;

3) скорость движения каждого автомобиля.

$s, \text{ км}$

$t, \text{ ч}$

Рис. 38

1) время от начала движения автомобилей до их встречи;

На графике зависимости расстояния от времени $s(t)$ точка пересечения графиков движения двух тел соответствует моменту и месту их встречи. Найдем на представленном графике (рис. 38) точку пересечения линий, соответствующих автомобилям $A_1$ и $A_2$.

Чтобы определить время встречи, необходимо из точки пересечения опустить перпендикуляр на ось времени $t$. Из графика видно, что линии пересекаются в точке, абсцисса (координата по оси времени) которой равна 4.

Ответ: 4 ч.

2) путь, пройденный каждым из автомобилей до их встречи;

Путь, пройденный каждым автомобилем, — это изменение его координаты за время до встречи, то есть за $t = 4$ ч.

Для автомобиля $A_1$: В начальный момент времени ($t = 0$) его координата была $s_1(0) = 0$ км. В момент встречи ($t = 4$ ч) его координата стала равна ординате точки пересечения, то есть $s_1(4) = 300$ км. Следовательно, путь, пройденный автомобилем $A_1$, равен: $L_1 = s_1(4) - s_1(0) = 300 \text{ км} - 0 \text{ км} = 300 \text{ км}$.

Для автомобиля $A_2$: В начальный момент времени ($t = 0$) его координата была $s_2(0) = 500$ км. В момент встречи ($t = 4$ ч) его координата стала $s_2(4) = 300$ км. Так как автомобиль двигался навстречу, его координата уменьшалась. Путь, пройденный автомобилем $A_2$, равен модулю разности координат: $L_2 = |s_2(4) - s_2(0)| = |300 \text{ км} - 500 \text{ км}| = |-200 \text{ км}| = 200 \text{ км}$.

Ответ: автомобиль $A_1$ проехал 300 км, автомобиль $A_2$ проехал 200 км.

3) скорость движения каждого автомобиля.

Поскольку графики движения представляют собой прямые линии, движение автомобилей было равномерным (с постоянной скоростью). Скорость при равномерном движении можно рассчитать по формуле $v = \frac{L}{t}$, где $L$ — пройденный путь, а $t$ — время движения.

Скорость автомобиля $A_1$: $v_1 = \frac{L_1}{t} = \frac{300 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 75 \text{ км/ч}$.

Скорость автомобиля $A_2$: $v_2 = \frac{L_2}{t} = \frac{200 \text{ км}}{4 \text{ ч}} = 50 \text{ км/ч}$.

Ответ: скорость автомобиля $A_1$ равна 75 км/ч, скорость автомобиля $A_2$ равна 50 км/ч.