Страница 212 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

666. Найти значение $k$, если известно, что график функции $y=kx+2$ проходит через точку:

1) P(-7; -12);

2) C(3; -7).

Чтобы найти значение коэффициента $k$ для функции $y = kx + 2$, мы должны использовать тот факт, что график этой функции проходит через заданную точку. Если точка с координатами $(x_0; y_0)$ принадлежит графику функции, то при подстановке этих координат в уравнение функции мы получим верное равенство.

1) График функции проходит через точку $P(-7; -12)$.

Это означает, что когда $x = -7$, значение $y$ равно $-12$. Подставим эти значения в уравнение $y = kx + 2$:
$-12 = k \cdot (-7) + 2$

Теперь решим это линейное уравнение относительно $k$. Сначала перенесем 2 в левую часть уравнения:
$-12 - 2 = -7k$
$-14 = -7k$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на $-7$:
$k = \frac{-14}{-7}$
$k = 2$

Ответ: $k=2$.

2) График функции проходит через точку $C(3; -7)$.

Это означает, что когда $x = 3$, значение $y$ равно $-7$. Подставим эти значения в уравнение $y = kx + 2$:
$-7 = k \cdot 3 + 2$

Теперь решим это уравнение относительно $k$. Перенесем 2 в левую часть:
$-7 - 2 = 3k$
$-9 = 3k$

Чтобы найти $k$, разделим обе части уравнения на 3:
$k = \frac{-9}{3}$
$k = -3$

Ответ: $k=-3$.

667. Определить координаты точек пересечения с осями координат графика функции $y = 13 - x$ и вычислить площадь прямоугольного треугольника, ограниченного прямой и координатными осями.

Определить координаты точек пересечения с осями координат

Дана функция $y = 13 - x$.

1. Чтобы найти точку пересечения графика с осью ординат (осью Oy), необходимо подставить $x=0$ в уравнение функции:

$y = 13 - 0 = 13$

Следовательно, точка пересечения с осью Oy имеет координаты $(0, 13)$.

2. Чтобы найти точку пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox), необходимо подставить $y=0$ в уравнение функции:

$0 = 13 - x$

Отсюда следует, что $x = 13$.

Следовательно, точка пересечения с осью Ox имеет координаты $(13, 0)$.

Ответ: Координаты точек пересечения с осями координат: $(13, 0)$ и $(0, 13)$.

Вычислить площадь прямоугольного треугольника

Прямая $y = 13 - x$ и оси координат (Ox и Oy) образуют прямоугольный треугольник. Вершинами этого треугольника являются начало координат $(0, 0)$ и точки пересечения прямой с осями, которые мы нашли ранее: $(13, 0)$ и $(0, 13)$.

Катеты этого прямоугольного треугольника лежат на осях координат. Их длины равны расстоянию от начала координат до точек пересечения. Таким образом, длины катетов равны $13$ и $13$.

Площадь прямоугольного треугольника ($S$) вычисляется по формуле половины произведения его катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$

Подставляем значения длин катетов $a=13$ и $b=13$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 13 = \frac{169}{2} = 84.5$

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 84.5 квадратных единиц.

668. Найти координаты точки пересечения графиков функций:

1) $y=-2x+7$ и $y=0,5x-5,5$;

2) $y=1-2x$ и $y=x-5$.

Чтобы найти координаты точки пересечения графиков двух функций, необходимо решить систему уравнений, состоящую из этих функций. В точке пересечения значения $x$ и $y$ для обеих функций одинаковы, поэтому можно приравнять правые части уравнений и найти сначала абсциссу ($x$), а затем, подставив ее в любое из уравнений, найти ординату ($y$).

1) $y = -2x + 7$ и $y = 0,5x - 5,5$

Приравниваем правые части уравнений:

$-2x + 7 = 0,5x - 5,5$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую:

$-2x - 0,5x = -5,5 - 7$

$-2,5x = -12,5$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на $-2,5$:

$x = \frac{-12,5}{-2,5} = 5$

Мы нашли абсциссу точки пересечения. Теперь найдем ординату, подставив значение $x=5$ в любое из исходных уравнений. Подставим в первое:

$y = -2x + 7 = -2 \cdot 5 + 7 = -10 + 7 = -3$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков — $(5; -3)$.

Ответ: $(5; -3)$.

2) $y = 1 - 2x$ и $y = x - 5$

Приравниваем правые части уравнений:

$1 - 2x = x - 5$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые значения — в правую:

$-2x - x = -5 - 1$

$-3x = -6$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на $-3$:

$x = \frac{-6}{-3} = 2$

Теперь найдем ординату, подставив значение $x=2$ в любое из исходных уравнений. Подставим во второе, так как оно проще:

$y = x - 5 = 2 - 5 = -3$

Таким образом, координаты точки пересечения графиков — $(2; -3)$.

Ответ: $(2; -3)$.

669. Найти значения $k$ и $b$, если известно, что график функции $y=kx+b$ проходит через точки $(2; 10)$ и $(-7; -10)$.

Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$. Так как по условию задачи график этой функции проходит через точки с координатами (2; 10) и (-7; -10), то координаты каждой из этих точек должны удовлетворять уравнению прямой.

Подставим координаты каждой точки в уравнение $y = kx + b$. Это позволит нам составить систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $k$ и $b$.

Для точки (2; 10) подставляем $x=2$ и $y=10$:
$10 = k \cdot 2 + b$
$2k + b = 10$

Для точки (-7; -10) подставляем $x=-7$ и $y=-10$:
$-10 = k \cdot (-7) + b$
$-7k + b = -10$

В результате мы получили систему уравнений: $$ \begin{cases} 2k + b = 10 \\ -7k + b = -10 \end{cases} $$

Наиболее удобный способ решения этой системы — метод алгебраического сложения (в данном случае — вычитания). Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $b$:

$(2k + b) - (-7k + b) = 10 - (-10)$
$2k + b + 7k - b = 10 + 10$
$9k = 20$
$k = \frac{20}{9}$

Теперь, зная значение коэффициента $k$, мы можем найти $b$, подставив $k = \frac{20}{9}$ в любое из уравнений системы. Возьмем первое уравнение $2k + b = 10$:

$2 \cdot \left(\frac{20}{9}\right) + b = 10$
$\frac{40}{9} + b = 10$
$b = 10 - \frac{40}{9}$
Приведем 10 к знаменателю 9: $10 = \frac{90}{9}$
$b = \frac{90}{9} - \frac{40}{9}$
$b = \frac{50}{9}$

Итак, мы нашли искомые значения $k$ и $b$.

Ответ: $k = \frac{20}{9}$, $b = \frac{50}{9}$.

670. Прямые $y=0$, $y=3$, $x=0$, $x=2$ образуют прямоугольник. Принадлежит ли точка $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ диагонали этого прямоугольника?

Заданные прямые $y=0$, $y=3$, $x=0$, $x=2$ являются сторонами прямоугольника. Прямые $x=0$ (ось Oy) и $x=2$ — это вертикальные стороны, а прямые $y=0$ (ось Ox) и $y=3$ — горизонтальные стороны.

Найдем вершины этого прямоугольника как точки пересечения данных прямых:

• Пересечение $x=0$ и $y=0$ дает вершину A с координатами $(0; 0)$.
• Пересечение $x=2$ и $y=0$ дает вершину B с координатами $(2; 0)$.
• Пересечение $x=2$ и $y=3$ дает вершину C с координатами $(2; 3)$.
• Пересечение $x=0$ и $y=3$ дает вершину D с координатами $(0; 3)$.

У прямоугольника ABCD есть две диагонали: AC и BD. Найдем уравнения прямых, содержащих эти диагонали.

1. Диагональ AC

Эта диагональ проходит через точки A(0; 0) и C(2; 3). Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$, имеет вид $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$.

Подставим координаты точек A и C:

$\frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - 0}{2 - 0}$

$\frac{y}{3} = \frac{x}{2}$

Отсюда уравнение первой диагонали: $y = \frac{3}{2}x$.

2. Диагональ BD

Эта диагональ проходит через точки B(2; 0) и D(0; 3). Подставим их координаты в ту же формулу:

$\frac{y - 0}{3 - 0} = \frac{x - 2}{0 - 2}$

$\frac{y}{3} = \frac{x - 2}{-2}$

$-2y = 3(x - 2)$

$-2y = 3x - 6$

Отсюда уравнение второй диагонали: $y = -\frac{3}{2}x + 3$.

Теперь проверим, принадлежит ли точка с координатами $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ какой-либо из этих диагоналей. Для этого подставим координаты точки в уравнения диагоналей.

Проверка для диагонали AC ($y = \frac{3}{2}x$):

Подставляем $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{2}{3} = \frac{3}{4}$

Чтобы сравнить дроби, приведем их к общему знаменателю 12: $\frac{8}{12} = \frac{9}{12}$. Равенство неверно. Значит, точка не лежит на диагонали AC.

Проверка для диагонали BD ($y = -\frac{3}{2}x + 3$):

Подставляем $x = \frac{1}{2}$ и $y = \frac{2}{3}$:

$\frac{2}{3} = -\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} + 3$

$\frac{2}{3} = -\frac{3}{4} + 3$

$\frac{2}{3} = -\frac{3}{4} + \frac{12}{4}$

$\frac{2}{3} = \frac{9}{4}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12: $\frac{8}{12} = \frac{27}{12}$. Равенство неверно. Значит, точка не лежит и на диагонали BD.

Поскольку точка $(\frac{1}{2}; \frac{2}{3})$ не удовлетворяет ни одному из уравнений диагоналей, она не принадлежит диагонали этого прямоугольника.

Ответ: нет, не принадлежит.