Страница 213 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

671. 1) Построить треугольник $ABC$ по координатам его вершин $A(-3; 0)$, $B(4; 5)$, $C(0; -4)$. Найти координаты точки пересечения стороны $AB$ с осью $O_y$.

2) Построить треугольник $DCE$ по координатам его вершин $D(-4; 0)$, $C(0; -2)$, $E(5; 3)$. Найти координаты точки пересечения стороны $CE$ с осью $O_x$.

1) Для нахождения координат точки пересечения стороны AB с осью Oy, необходимо сначала составить уравнение прямой, проходящей через точки A и B. Уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид: $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$.
Подставим координаты точек A(–3; 0) и B(4; 5) в эту формулу:
$x_1 = -3, y_1 = 0$
$x_2 = 4, y_2 = 5$
$\frac{x - (-3)}{4 - (-3)} = \frac{y - 0}{5 - 0}$
$\frac{x + 3}{7} = \frac{y}{5}$
Точка пересечения с осью Oy имеет координату $x = 0$. Подставим это значение в уравнение прямой:
$\frac{0 + 3}{7} = \frac{y}{5}$
$\frac{3}{7} = \frac{y}{5}$
Отсюда находим y:
$y = \frac{3 \cdot 5}{7} = \frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}$
Таким образом, координаты точки пересечения стороны AB с осью Oy равны $(0; \frac{15}{7})$.
Ответ: $(0; \frac{15}{7})$

2) Для нахождения координат точки пересечения стороны CE с осью Ox, составим уравнение прямой, проходящей через точки C и E. Используем ту же формулу уравнения прямой.
Подставим координаты точек C(0; –2) и E(5; 3):
$x_1 = 0, y_1 = -2$
$x_2 = 5, y_2 = 3$
$\frac{x - 0}{5 - 0} = \frac{y - (-2)}{3 - (-2)}$
$\frac{x}{5} = \frac{y + 2}{5}$
Можно умножить обе части уравнения на 5, чтобы упростить его:
$x = y + 2$
Точка пересечения с осью Ox имеет координату $y = 0$. Подставим это значение в уравнение прямой:
$x = 0 + 2$
$x = 2$
Таким образом, координаты точки пересечения стороны CE с осью Ox равны (2; 0).
Ответ: (2; 0)

672. Функция $y=kx$ задана таблицей. Найти коэффициент $k$ и заполнить таблицу:

1) x: -5, $-\frac{1}{2}$, 0, 3, 16, $\frac{1}{4}$

y: , , , -12, ,

2) x: -8, -4, 2, 1, $\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{4}$

y: , , , $\frac{1}{2}$, , 0

1)

Задана функция вида $y = kx$. Для нахождения коэффициента $k$ используем известную пару значений из таблицы, где даны и $x$, и $y$: $x = 3$ и $y = -12$.
Подставляем эти значения в уравнение функции:
$-12 = k \cdot 3$
Отсюда выражаем и вычисляем $k$:
$k = \frac{-12}{3} = -4$
Таким образом, наша функция имеет вид $y = -4x$. Теперь, используя эту формулу, мы можем найти все недостающие значения в таблице.

Вычисление пропущенных значений:
- При $x = -5$, $y = -4 \cdot (-5) = 20$.
- При $x = -\frac{1}{2}$, $y = -4 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2$.
- При $x = 0$, $y = -4 \cdot 0 = 0$.
- При $y = 16$, имеем $16 = -4x$. Отсюда $x = \frac{16}{-4} = -4$.
- При $y = \frac{1}{4}$, имеем $\frac{1}{4} = -4x$. Отсюда $x = \frac{1/4}{-4} = -\frac{1}{16}$.

Ответ: $k = -4$. Пропущенные значения для y: 20, 2, 0. Пропущенные значения для x: -4, $-\frac{1}{16}$.

2)

Аналогично первому пункту, для функции $y = kx$ найдем коэффициент $k$, используя известную пару значений из второй таблицы: $x = 1$ и $y = \frac{1}{2}$.
Подставляем значения в уравнение:
$\frac{1}{2} = k \cdot 1$
Отсюда сразу получаем $k = \frac{1}{2}$.
Таким образом, функция имеет вид $y = \frac{1}{2}x$. Теперь найдем недостающие значения в таблице.

Вычисление пропущенных значений:
- При $x = -8$, $y = \frac{1}{2} \cdot (-8) = -4$.
- При $x = -4$, $y = \frac{1}{2} \cdot (-4) = -2$.
- При $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.
- При $y = \frac{1}{3}$, имеем $\frac{1}{3} = \frac{1}{2}x$. Отсюда $x = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$.
- При $y = -\frac{1}{4}$, имеем $-\frac{1}{4} = \frac{1}{2}x$. Отсюда $x = \frac{-1/4}{1/2} = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.
- При $y = 0$, имеем $0 = \frac{1}{2}x$. Отсюда $x = 0$.

Ответ: $k = \frac{1}{2}$. Пропущенные значения для y: -4, -2, 1. Пропущенные значения для x: $\frac{2}{3}$, $-\frac{1}{2}$, 0.