Страница 210 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

1. Построить график функции:

1) $y = 5x;$

2) $y = \frac{2}{3}x;$

3) $y = -\frac{3}{4}x;$

4) $y = -2,5x.$

Все представленные функции являются линейными функциями вида $y = kx$, которые называются прямой пропорциональностью. Графиком каждой такой функции является прямая линия, проходящая через начало координат — точку (0; 0). Для построения прямой достаточно найти координаты еще одной точки.

1) $y = 5x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=5$. Так как $k > 0$, график будет расположен в I и III координатных четвертях.

Одна точка — это начало координат (0; 0).

Найдем вторую точку. Возьмем произвольное значение $x$, например, $x = 1$.

Подставим это значение в уравнение функции, чтобы найти соответствующее значение $y$:

$y = 5 \cdot 1 = 5$

Таким образом, вторая точка имеет координаты (1; 5).

Для построения графика нужно провести прямую линию через точки (0; 0) и (1; 5).

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки (0; 0) и (1; 5).

2) $y = \frac{2}{3}x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=\frac{2}{3}$. Так как $k > 0$, график будет расположен в I и III координатных четвертях.

Одна точка — (0; 0).

Для нахождения второй точки удобно выбрать значение $x$, кратное знаменателю дроби, чтобы получить целое значение $y$. Возьмем $x = 3$.

Найдем соответствующий $y$:

$y = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$

Вторая точка — (3; 2).

Для построения графика нужно провести прямую линию через точки (0; 0) и (3; 2).

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки (0; 0) и (3; 2).

3) $y = -\frac{3}{4}x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=-\frac{3}{4}$. Так как $k < 0$, график будет расположен во II и IV координатных четвертях.

Одна точка — (0; 0).

Для нахождения второй точки выберем значение $x$, кратное знаменателю 4, например, $x = 4$.

Найдем соответствующий $y$:

$y = -\frac{3}{4} \cdot 4 = -3$

Вторая точка — (4; -3).

Для построения графика нужно провести прямую линию через точки (0; 0) и (4; -3).

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки (0; 0) и (4; -3).

4) $y = -2,5x$

Это прямая пропорциональность с коэффициентом $k=-2,5$. Так как $k < 0$, график будет расположен во II и IV координатных четвертях.

Одна точка — (0; 0).

Для удобства вычислений можно представить коэффициент в виде обыкновенной дроби: $-2,5 = -\frac{5}{2}$.

Найдем вторую точку. Возьмем $x = 2$.

Найдем соответствующий $y$:

$y = -2,5 \cdot 2 = -5$

Вторая точка — (2; -5).

Для построения графика нужно провести прямую линию через точки (0; 0) и (2; -5).

Ответ: Графиком функции является прямая, проходящая через точки (0; 0) и (2; -5).

2. Как расположены по отношению друг к другу прямые $a$ и $b$, $a$ и $c$, изображённые на рисунке 33?

Рис. 33

a и b

Две прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. На рисунке 33 прямые a и b изображены так, что они не имеют общих точек. Если их мысленно продолжить в обе стороны до бесконечности, они никогда не пересекутся, сохраняя одинаковое расстояние между собой. Следовательно, прямые a и b являются параллельными. В геометрии параллельность обозначается специальным знаком $ \parallel $. Таким образом, можно записать: $a \parallel b$.

Ответ: прямые a и b параллельны.

a и c

Две прямые на плоскости, которые имеют одну общую точку, называются пересекающимися. На рисунке 33 мы видим, что прямая c пересекает прямую a. У них есть одна общая точка, которая является точкой их пересечения. Прямая c также пересекает и прямую b, поэтому она называется секущей по отношению к параллельным прямым a и b.

Ответ: прямые a и c пересекаются.

3. Задана функция $y=-3x+1$. Найти:

1) $y(-2)$; $y(\frac{2}{3})$; $y(0)$; $y(-0,1)$;

2) значение $x$, при котором функция принимает значение, равное $0$; $-2$; $\frac{1}{2}$; $-1,1$.

Дана функция $y = -3x + 1$.

1) $y(-2)$; $y(\frac{2}{3})$; $y(0)$; $y(-0,1)$;

Чтобы найти значение функции $y$ при заданном значении аргумента $x$, необходимо подставить это значение $x$ в уравнение функции и выполнить вычисления.

При $x = -2$ имеем:
$y(-2) = -3 \cdot (-2) + 1 = 6 + 1 = 7$.

При $x = \frac{2}{3}$ имеем:
$y(\frac{2}{3}) = -3 \cdot \frac{2}{3} + 1 = -2 + 1 = -1$.

При $x = 0$ имеем:
$y(0) = -3 \cdot 0 + 1 = 0 + 1 = 1$.

При $x = -0,1$ имеем:
$y(-0,1) = -3 \cdot (-0,1) + 1 = 0,3 + 1 = 1,3$.

Ответ: $y(-2) = 7$; $y(\frac{2}{3}) = -1$; $y(0) = 1$; $y(-0,1) = 1,3$.

2) значение $x$, при котором функция принимает значение, равное $0; -2; \frac{1}{2}; -1,1$.

Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция принимает заданное значение $y$, необходимо подставить это значение $y$ в уравнение функции и решить полученное линейное уравнение относительно $x$.

Найдем $x$ при $y = 0$:
$-3x + 1 = 0$
$-3x = -1$
$x = \frac{-1}{-3} = \frac{1}{3}$.

Найдем $x$ при $y = -2$:
$-3x + 1 = -2$
$-3x = -2 - 1$
$-3x = -3$
$x = \frac{-3}{-3} = 1$.

Найдем $x$ при $y = \frac{1}{2}$:
$-3x + 1 = \frac{1}{2}$
$-3x = \frac{1}{2} - 1$
$-3x = -\frac{1}{2}$
$x = \frac{-\frac{1}{2}}{-3} = \frac{1}{6}$.

Найдем $x$ при $y = -1,1$:
$-3x + 1 = -1,1$
$-3x = -1,1 - 1$
$-3x = -2,1$
$x = \frac{-2,1}{-3} = 0,7$.

Ответ: при $y=0$, $x=\frac{1}{3}$; при $y=-2$, $x=1$; при $y=\frac{1}{2}$, $x=\frac{1}{6}$; при $y=-1,1$, $x=0,7$.

650. (Устно.) Является ли линейной функция, заданная формулой:

1) $y=-x-2$;

2) $y=2x^2+3$;

3) $y=\frac{x}{3}$;

4) $y=250$;

5) $y=\frac{3}{x}+8$;

6) $y=-\frac{x}{5}+1?$

Для того чтобы определить, является ли функция линейной, необходимо проверить, можно ли ее представить в виде $y = kx + b$, где $k$ и $b$ — некоторые числа. В этой формуле переменная $x$ должна быть в первой степени и не может находиться в знаменателе.

1) Функция $y = -x - 2$ уже представлена в виде $y = kx + b$. Здесь коэффициент $k = -1$ и свободный член $b = -2$. Следовательно, эта функция является линейной.

Ответ: да.

2) В функции $y = 2x^2 + 3$ переменная $x$ возведена во вторую степень ($x^2$). Это определение квадратичной функции, а не линейной. Для линейной функции переменная $x$ должна быть в первой степени.

Ответ: нет.

3) Функцию $y = \frac{x}{3}$ можно переписать в виде $y = \frac{1}{3}x$. Это соответствует форме $y = kx + b$, где $k = \frac{1}{3}$ и $b = 0$. Следовательно, эта функция является линейной.

Ответ: да.

4) Функция $y = 250$ является частным случаем линейной функции. Ее можно представить в виде $y = 0 \cdot x + 250$. Здесь $k = 0$ и $b = 250$. Графиком такой функции является прямая, параллельная оси $x$.

Ответ: да.

5) В функции $y = \frac{3}{x} + 8$ переменная $x$ находится в знаменателе дроби. Это является определением функции обратной пропорциональности (гиперболы), а не линейной функции.

Ответ: нет.

6) Функцию $y = -\frac{x}{5} + 1$ можно переписать в виде $y = -\frac{1}{5}x + 1$. Эта запись соответствует стандартной форме линейной функции $y = kx + b$, где $k = -\frac{1}{5}$ и $b = 1$.

Ответ: да.

651. Дана линейная функция $y(x)=3x-1$.

1) Найти $y(0); y(1); y(2)$.

2) Найти значение $x$, если $y(x)=-4; y(x)=8; y(x)=0$.

Дана линейная функция $y(x) = 3x - 1$.

1) Найти $y(0)$; $y(1)$; $y(2)$.

Для нахождения значения функции при заданном значении аргумента ($x$), необходимо подставить это значение в формулу функции.

При $x=0$:

$y(0) = 3 \cdot 0 - 1 = 0 - 1 = -1$

При $x=1$:

$y(1) = 3 \cdot 1 - 1 = 3 - 1 = 2$

При $x=2$:

$y(2) = 3 \cdot 2 - 1 = 6 - 1 = 5$

Ответ: $y(0) = -1$; $y(1) = 2$; $y(2) = 5$.

2) Найти значение $x$, если $y(x)=-4$; $y(x)=8$; $y(x)=0$.

Для нахождения значения аргумента ($x$) при заданном значении функции ($y(x)$), необходимо подставить известное значение $y(x)$ в формулу и решить полученное уравнение относительно $x$.

Если $y(x) = -4$, то получаем уравнение:

$-4 = 3x - 1$

$3x = -4 + 1$

$3x = -3$

$x = \frac{-3}{3}$

$x = -1$

Если $y(x) = 8$, то получаем уравнение:

$8 = 3x - 1$

$3x = 8 + 1$

$3x = 9$

$x = \frac{9}{3}$

$x = 3$

Если $y(x) = 0$, то получаем уравнение:

$0 = 3x - 1$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Ответ: при $y(x)=-4$ значение $x=-1$; при $y(x)=8$ значение $x=3$; при $y(x)=0$ значение $x=\frac{1}{3}$.

652. Построить график функции:

1) $y = 2x + 1$;

2) $y = -2x + 1$;

3) $y = 3x - 4$;

4) $y = 0.5x - 1$;

5) $y = \frac{1}{4}x - 2$;

6) $y = \frac{1}{2}x + 2$.

1) Заданная функция $y = 2x + 1$ является линейной, ее график — прямая линия. Для построения графика достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.
Найдем две точки, выбрав произвольные значения для $x$ и вычислив соответствующие значения $y$:
1. Пусть $x = 0$. Тогда $y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку с координатами $(0, 1)$.
2. Пусть $x = 1$. Тогда $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$. Получаем точку с координатами $(1, 3)$.
Теперь можно построить график, проведя прямую через точки $(0, 1)$ и $(1, 3)$.
Ответ: График функции $y = 2x + 1$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0, 1) и (1, 3).

2) Заданная функция $y = -2x + 1$ является линейной, ее график — прямая линия.
Найдем координаты двух точек для построения графика:
1. При $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
2. При $x = 1$, $y = -2 \cdot 1 + 1 = -1$. Получаем точку $(1, -1)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, 1)$ и $(1, -1)$.
Ответ: График функции $y = -2x + 1$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0, 1) и (1, -1).

3) Заданная функция $y = 3x - 4$ является линейной, ее график — прямая линия.
Найдем координаты двух точек:
1. При $x = 0$, $y = 3 \cdot 0 - 4 = -4$. Получаем точку $(0, -4)$.
2. При $x = 2$, $y = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$. Получаем точку $(2, 2)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, -4)$ и $(2, 2)$.
Ответ: График функции $y = 3x - 4$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0, -4) и (2, 2).

4) Заданная функция $y = 0,5x - 1$ является линейной, ее график — прямая линия.
Найдем координаты двух точек. Для удобства вычислений будем выбирать значения $x$, кратные 2.
1. При $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
2. При $x = 2$, $y = 0,5 \cdot 2 - 1 = 1 - 1 = 0$. Получаем точку $(2, 0)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, -1)$ и $(2, 0)$.
Ответ: График функции $y = 0,5x - 1$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0, -1) и (2, 0).

5) Заданная функция $y = \frac{1}{4}x - 2$ является линейной, ее график — прямая линия.
Найдем координаты двух точек. Для удобства вычислений будем выбирать значения $x$, кратные 4.
1. При $x = 0$, $y = \frac{1}{4} \cdot 0 - 2 = -2$. Получаем точку $(0, -2)$.
2. При $x = 4$, $y = \frac{1}{4} \cdot 4 - 2 = 1 - 2 = -1$. Получаем точку $(4, -1)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, -2)$ и $(4, -1)$.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{4}x - 2$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0, -2) и (4, -1).

6) Заданная функция $y = \frac{1}{2}x + 2$ является линейной, ее график — прямая линия.
Найдем координаты двух точек. Для удобства вычислений будем выбирать значения $x$, кратные 2.
1. При $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку $(0, 2)$.
2. При $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 2 = 1 + 2 = 3$. Получаем точку $(2, 3)$.
График функции — это прямая, проходящая через точки $(0, 2)$ и $(2, 3)$.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{2}x + 2$ — это прямая, проходящая через точки с координатами (0, 2) и (2, 3).

653. Построить график функции, заданной формулой $y=2x+3$. Найти по графику:

1) значение $y$, соответствующее значению $x$, равному -1; 2; 3; 5;

2) при каком значении $x$ значение $y$ равно 1; 4; 0; -1.

Для построения графика функции $y = 2x + 3$ необходимо найти координаты как минимум двух точек, принадлежащих этому графику. Данная функция является линейной, поэтому ее график — это прямая линия.

Составим таблицу значений, выбрав произвольные значения $x$ и вычислив для них соответствующие значения $y$:

1. Пусть $x = 0$, тогда $y = 2 \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем первую точку с координатами $(0; 3)$. Эта точка является точкой пересечения графика с осью ординат (осью Oy).
2. Пусть $x = -2$, тогда $y = 2 \cdot (-2) + 3 = -4 + 3 = -1$. Получаем вторую точку с координатами $(-2; -1)$.

Построив на координатной плоскости точки $(0; 3)$ и $(-2; -1)$ и проведя через них прямую, мы получим график функции $y = 2x + 3$.

Используя полученный график, найдем требуемые значения.

1) значение y, соответствующее значению x, равному -1; 2; 3; 5;

Чтобы найти значение $y$ по графику для заданного $x$, необходимо найти это значение на оси абсцисс (оси $x$), провести от него вертикальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести горизонтальную линию до оси ординат (оси $y$). Полученное значение на оси $y$ и будет искомым.

- При $x = -1$: находим на оси $x$ значение -1, двигаемся вертикально вверх до пересечения с прямой. Точка пересечения имеет координаты $(-1; 1)$. Двигаясь от этой точки горизонтально к оси $y$, получаем $y = 1$.
- При $x = 2$: находим на оси $x$ значение 2, двигаемся вертикально вверх до пересечения с прямой. Точка пересечения имеет координаты $(2; 7)$. Двигаясь от этой точки горизонтально к оси $y$, получаем $y = 7$.
- При $x = 3$: находим на оси $x$ значение 3, двигаемся вертикально вверх до пересечения с прямой. Точка пересечения имеет координаты $(3; 9)$. Двигаясь от этой точки горизонтально к оси $y$, получаем $y = 9$.
- При $x = 5$: находим на оси $x$ значение 5, двигаемся вертикально вверх до пересечения с прямой. Точка пересечения имеет координаты $(5; 13)$. Двигаясь от этой точки горизонтально к оси $y$, получаем $y = 13$.

Ответ: при $x=-1$, $y=1$; при $x=2$, $y=7$; при $x=3$, $y=9$; при $x=5$, $y=13$.

2) при каком значении x значение y равно 1; 4; 0; -1.

Чтобы найти значение $x$ по графику для заданного $y$, необходимо найти это значение на оси ординат (оси $y$), провести от него горизонтальную линию до пересечения с графиком, а затем из точки пересечения провести вертикальную линию до оси абсцисс (оси $x$). Полученное значение на оси $x$ и будет искомым.

- При $y = 1$: находим на оси $y$ значение 1, двигаемся горизонтально до пересечения с прямой. Точка пересечения имеет координаты $(-1; 1)$. Двигаясь от этой точки вертикально к оси $x$, получаем $x = -1$.
- При $y = 4$: находим на оси $y$ значение 4, двигаемся горизонтально до пересечения с прямой. Точка пересечения имеет координаты $(0.5; 4)$. Двигаясь от этой точки вертикально к оси $x$, получаем $x = 0.5$.
- При $y = 0$: это точка пересечения графика с осью $x$. Точка пересечения имеет координаты $(-1.5; 0)$. Следовательно, $x = -1.5$.
- При $y = -1$: находим на оси $y$ значение -1, двигаемся горизонтально до пересечения с прямой. Точка пересечения имеет координаты $(-2; -1)$. Двигаясь от этой точки вертикально к оси $x$, получаем $x = -2$.

Ответ: $y=1$ при $x=-1$; $y=4$ при $x=0.5$; $y=0$ при $x=-1.5$; $y=-1$ при $x=-2$.

654. Построить график функции, заданной формулой $y = -2x - 1$.

Найти по графику:

1) значение $y$, если значение $x$ равно 2; -2; -1,5;

2) при каком значении $x$ значение $y$ равно -5; 2; 6.

Для построения графика функции $y = -2x - 1$ необходимо понимать, что это линейная функция, и её график — это прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

Составим таблицу значений для двух точек:

1. Возьмем $x = 0$. Подставим это значение в формулу: $y = -2 \cdot 0 - 1 = -1$. Получаем точку с координатами $(0; -1)$.
2. Возьмем $x = -2$. Подставим это значение в формулу: $y = -2 \cdot (-2) - 1 = 4 - 1 = 3$. Получаем точку с координатами $(-2; 3)$.

Теперь нужно начертить систему координат, отметить на ней точки $(0; -1)$ и $(-2; 3)$ и провести через них прямую линию. Эта прямая и будет являться графиком функции $y = -2x - 1$.

Теперь, используя построенный график (или выполняя вычисления, которые он иллюстрирует), найдем требуемые значения.

1) значение y, если значение x равно 2; -2; -1,5;

• Если $x = 2$: Находим на оси абсцисс (оси $x$) значение 2. Двигаемся вертикально вниз до пересечения с графиком. От точки пересечения двигаемся горизонтально до оси ординат (оси $y$). Значение на оси $y$ будет равно $-5$.
  Проверка расчетом: $y = -2(2) - 1 = -4 - 1 = -5$.

• Если $x = -2$: Находим на оси $x$ значение -2. Двигаемся вертикально вверх до пересечения с графиком. От точки пересечения двигаемся горизонтально до оси $y$. Значение на оси $y$ будет равно $3$.
  Проверка расчетом: $y = -2(-2) - 1 = 4 - 1 = 3$.

• Если $x = -1,5$: Находим на оси $x$ значение -1,5. Двигаемся вертикально вверх до пересечения с графиком. От точки пересечения двигаемся горизонтально до оси $y$. Значение на оси $y$ будет равно $2$.
  Проверка расчетом: $y = -2(-1,5) - 1 = 3 - 1 = 2$.

Ответ: при $x=2$, $y=-5$; при $x=-2$, $y=3$; при $x=-1,5$, $y=2$.

2) при каком значении x значение y равно -5; 2; 6.

• Если $y = -5$: Находим на оси ординат (оси $y$) значение -5. Двигаемся горизонтально вправо до пересечения с графиком. От точки пересечения двигаемся вертикально вверх до оси абсцисс (оси $x$). Значение на оси $x$ будет равно $2$.
  Проверка расчетом: $-5 = -2x - 1 \Rightarrow -2x = -4 \Rightarrow x = 2$.

• Если $y = 2$: Находим на оси $y$ значение 2. Двигаемся горизонтально влево до пересечения с графиком. От точки пересечения двигаемся вертикально вниз до оси $x$. Значение на оси $x$ будет равно $-1,5$.
  Проверка расчетом: $2 = -2x - 1 \Rightarrow -2x = 3 \Rightarrow x = -1,5$.

• Если $y = 6$: Находим на оси $y$ значение 6. Двигаемся горизонтально влево до пересечения с графиком. От точки пересечения двигаемся вертикально вниз до оси $x$. Значение на оси $x$ будет равно $-3,5$.
  Проверка расчетом: $6 = -2x - 1 \Rightarrow -2x = 7 \Rightarrow x = -3,5$.

Ответ: $y=-5$ при $x=2$; $y=2$ при $x=-1,5$; $y=6$ при $x=-3,5$.

655. Линейная функция задана формулой $y = x + 2$. Принадлежат ли точки $M(0; 2)$, $N(1; 3)$, $A(-1; 1)$, $B(-4.7; -2.7)$, $C\left(-2\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right)$ графику этой функции?

Чтобы проверить, принадлежит ли точка с координатами $(x; y)$ графику функции $y = x + 2$, необходимо подставить эти координаты в уравнение. Если получается верное числовое равенство, точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

M(0; 2)
Подставляем координаты $x = 0$ и $y = 2$ в формулу функции:
$2 = 0 + 2$
$2 = 2$
Равенство верное, значит, точка принадлежит графику.
Ответ: да, принадлежит.

N(1; 3)
Подставляем координаты $x = 1$ и $y = 3$ в формулу функции:
$3 = 1 + 2$
$3 = 3$
Равенство верное, значит, точка принадлежит графику.
Ответ: да, принадлежит.

A(-1; 1)
Подставляем координаты $x = -1$ и $y = 1$ в формулу функции:
$1 = -1 + 2$
$1 = 1$
Равенство верное, значит, точка принадлежит графику.
Ответ: да, принадлежит.

B(-4,7; -2,7)
Подставляем координаты $x = -4,7$ и $y = -2,7$ в формулу функции:
$-2,7 = -4,7 + 2$
$-2,7 = -2,7$
Равенство верное, значит, точка принадлежит графику.
Ответ: да, принадлежит.

C($-2\frac{1}{2}$; $\frac{1}{2}$)
Представим координаты в виде десятичных дробей: $x = -2,5$ и $y = 0,5$. Подставляем их в формулу функции:
$0,5 = -2,5 + 2$
$0,5 = -0,5$
Равенство неверное, значит, точка не принадлежит графику.
Ответ: нет, не принадлежит.