Страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

678. Найти координаты точек пересечения графика с осями координат:

1) $y = -1.5x + 3;$

2) $y = -2x + 4;$

3) $y = 1.5x - 6;$

4) $y = 0.8x - 0.6;$

5) $y = -\frac{1}{4}x + 2;$

6) $y = \frac{2}{3}x - 5.$

Построить графики этих функций.

Для нахождения координат точек пересечения графика функции с осями координат, необходимо определить точки, в которых одна из координат равна нулю.

• Пересечение с осью ординат (ось OY): В любой точке на этой оси абсцисса $x=0$. Чтобы найти точку пересечения, нужно подставить $x=0$ в уравнение функции и вычислить соответствующее значение $y$.
• Пересечение с осью абсцисс (ось OX): В любой точке на этой оси ордината $y=0$. Чтобы найти точку пересечения, нужно подставить $y=0$ в уравнение функции и решить его относительно $x$.

Все представленные функции являются линейными, их графики — прямые линии. Для построения графика прямой достаточно знать координаты двух точек. В качестве этих точек удобно использовать найденные точки пересечения с осями координат.

1) $y = -1,5x + 3$

Находим точку пересечения с осью OY (подставляем $x=0$):
$y = -1,5 \cdot 0 + 3 = 3$.
Точка пересечения с OY: $(0; 3)$.

Находим точку пересечения с осью OX (подставляем $y=0$):
$0 = -1,5x + 3$
$1,5x = 3$
$x = \frac{3}{1,5} = 2$.
Точка пересечения с OX: $(2; 0)$.

Для построения графика нужно отметить точки $(0; 3)$ и $(2; 0)$ на координатной плоскости и провести через них прямую.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(2; 0)$ и $(0; 3)$.

2) $y = -2x + 4$

Находим точку пересечения с осью OY (при $x=0$):
$y = -2 \cdot 0 + 4 = 4$.
Точка пересечения с OY: $(0; 4)$.

Находим точку пересечения с осью OX (при $y=0$):
$0 = -2x + 4$
$2x = 4$
$x = 2$.
Точка пересечения с OX: $(2; 0)$.

График функции — прямая, проходящая через точки $(0; 4)$ и $(2; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(2; 0)$ и $(0; 4)$.

3) $y = 1,5x - 6$

Находим точку пересечения с осью OY (при $x=0$):
$y = 1,5 \cdot 0 - 6 = -6$.
Точка пересечения с OY: $(0; -6)$.

Находим точку пересечения с осью OX (при $y=0$):
$0 = 1,5x - 6$
$1,5x = 6$
$x = \frac{6}{1,5} = 4$.
Точка пересечения с OX: $(4; 0)$.

График функции — прямая, проходящая через точки $(0; -6)$ и $(4; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(4; 0)$ и $(0; -6)$.

4) $y = 0,8x - 0,6$

Находим точку пересечения с осью OY (при $x=0$):
$y = 0,8 \cdot 0 - 0,6 = -0,6$.
Точка пересечения с OY: $(0; -0,6)$.

Находим точку пересечения с осью OX (при $y=0$):
$0 = 0,8x - 0,6$
$0,8x = 0,6$
$x = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} = 0,75$.
Точка пересечения с OX: $(0,75; 0)$.

График функции — прямая, проходящая через точки $(0; -0,6)$ и $(0,75; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(0,75; 0)$ и $(0; -0,6)$.

5) $y = -\frac{1}{4}x + 2$

Находим точку пересечения с осью OY (при $x=0$):
$y = -\frac{1}{4} \cdot 0 + 2 = 2$.
Точка пересечения с OY: $(0; 2)$.

Находим точку пересечения с осью OX (при $y=0$):
$0 = -\frac{1}{4}x + 2$
$\frac{1}{4}x = 2$
$x = 2 \cdot 4 = 8$.
Точка пересечения с OX: $(8; 0)$.

График функции — прямая, проходящая через точки $(0; 2)$ и $(8; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(8; 0)$ и $(0; 2)$.

6) $y = \frac{2}{3}x - 5$

Находим точку пересечения с осью OY (при $x=0$):
$y = \frac{2}{3} \cdot 0 - 5 = -5$.
Точка пересечения с OY: $(0; -5)$.

Находим точку пересечения с осью OX (при $y=0$):
$0 = \frac{2}{3}x - 5$
$\frac{2}{3}x = 5$
$x = 5 \cdot \frac{3}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$.
Точка пересечения с OX: $(7,5; 0)$.

График функции — прямая, проходящая через точки $(0; -5)$ и $(7,5; 0)$.

Ответ: точки пересечения с осями координат: $(7,5; 0)$ и $(0; -5)$.

679. Построить график функции $y=kx+1$, если известно, что ему принадлежит точка:

1) M(1; 3);

2) M(2; -7).

1) M(1; 3)

Дана функция $y = kx + 1$. Её график — это прямая линия. По условию, этой прямой принадлежит точка $M$ с координатами $(1; 3)$. Это значит, что если подставить в уравнение функции $x=1$ и $y=3$, то получится верное равенство. Используем это, чтобы найти неизвестный коэффициент $k$.

Подставляем координаты точки $M(1; 3)$ в уравнение функции:

$3 = k \cdot 1 + 1$

Решаем полученное уравнение относительно $k$:

$3 = k + 1$

$k = 3 - 1$

$k = 2$

Теперь, когда коэффициент $k$ известен, мы можем записать полное уравнение функции:

$y = 2x + 1$

Для построения графика прямой достаточно двух точек. Первая точка нам уже дана — это $M(1; 3)$. Вторую точку можно найти, взяв любое удобное значение $x$. Например, найдем точку пересечения с осью ординат ($Oy$), для этого подставим $x = 0$:

$y = 2 \cdot 0 + 1 = 1$

Таким образом, вторая точка имеет координаты $(0; 1)$.

Для построения графика нужно начертить систему координат, отметить на ней точки $(1; 3)$ и $(0; 1)$, а затем провести через них прямую линию.

Ответ: Искомое уравнение функции $y = 2x + 1$. График этой функции — прямая, проходящая через точки $(1; 3)$ и $(0; 1)$.

2) M(2; -7)

Действуем аналогично первому случаю. Нам известно, что график функции $y = kx + 1$ проходит через точку $M(2; -7)$. Подставим координаты этой точки ($x=2$, $y=-7$) в уравнение функции, чтобы найти $k$.

$-7 = k \cdot 2 + 1$

Решаем это уравнение:

$-7 - 1 = 2k$

$-8 = 2k$

$k = \frac{-8}{2}$

$k = -4$

Теперь мы знаем полное уравнение функции:

$y = -4x + 1$

Для построения графика используем данную точку $M(2; -7)$ и найдем еще одну. Возьмем точку пересечения с осью $Oy$, подставив $x = 0$:

$y = -4 \cdot 0 + 1 = 1$

Вторая точка имеет координаты $(0; 1)$.

Чтобы построить график, нужно на координатной плоскости отметить точки $(2; -7)$ и $(0; 1)$ и провести через них прямую.

Ответ: Искомое уравнение функции $y = -4x + 1$. График этой функции — прямая, проходящая через точки $(2; -7)$ и $(0; 1)$.

680. Построить график функции $y = -3x + b$,

если известно, что этот график проходит через точку:

1)

Нам дана функция вида $y = -3x + b$. Известно, что ее график проходит через точку $A(-2; 4)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению функции.

Чтобы найти неизвестный коэффициент $b$, подставим в уравнение функции координаты точки $A$, где $x = -2$ и $y = 4$:

$4 = -3 \cdot (-2) + b$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$:

$4 = 6 + b$

$b = 4 - 6$

$b = -2$

Таким образом, уравнение функции имеет вид $y = -3x - 2$.

Для построения графика этой линейной функции необходимо найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой. Одна точка нам уже известна — это $A(-2; 4)$.

Найдем вторую точку. Удобно взять точку пересечения с осью ординат ($Oy$), для этого примем $x = 0$:

$y = -3 \cdot 0 - 2 = -2$

Мы получили вторую точку с координатами $(0; -2)$.

Для построения графика нужно на координатной плоскости отметить точки $A(-2; 4)$ и $(0; -2)$ и провести через них прямую. Эта прямая и является графиком функции $y = -3x - 2$.

Ответ: Уравнение функции: $y = -3x - 2$. График представляет собой прямую, проходящую через точки с координатами $(-2; 4)$ и $(0; -2)$.

2)

Нам дана функция вида $y = -3x + b$. Известно, что ее график проходит через точку $B(5; 2)$.

Подставим в уравнение функции координаты точки $B$, где $x = 5$ и $y = 2$, чтобы найти коэффициент $b$:

$2 = -3 \cdot 5 + b$

Решим полученное уравнение относительно $b$:

$2 = -15 + b$

$b = 2 + 15$

$b = 17$

Следовательно, уравнение функции имеет вид $y = -3x + 17$.

Для построения графика нам нужны две точки. Одна точка уже есть — это $B(5; 2)$.

Найдем вторую точку, взяв $x = 0$ (точка пересечения с осью $Oy$):

$y = -3 \cdot 0 + 17 = 17$

Мы получили вторую точку с координатами $(0; 17)$.

Для построения графика нужно на координатной плоскости отметить точки $B(5; 2)$ и $(0; 17)$ и провести через них прямую. Эта прямая и является графиком функции $y = -3x + 17$.

Ответ: Уравнение функции: $y = -3x + 17$. График представляет собой прямую, проходящую через точки с координатами $(5; 2)$ и $(0; 17)$.

681. В одной системе координат построить графики функций:

1) $y = \frac{1}{2}x + 1$; $y = \frac{1}{2}x$; $y = -\frac{1}{2}x - 3$;

2) $y = \frac{1}{4}x + 1$; $y = -\frac{1}{4}x + 1$; $y = -\frac{1}{4}x - 1$;

3) $y = 0$; $y = 2$; $y = -1$.

1) Для построения графиков функций $y = \frac{1}{2}x + 1$, $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -\frac{1}{2}x - 3$ в одной системе координат необходимо для каждой функции, являющейся линейной, найти координаты двух точек, через которые проходит её график (прямая).

Для функции $y = \frac{1}{2}x + 1$:
- при $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
- при $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Получаем точку $(2, 2)$.
Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(2, 2)$.

Для функции $y = \frac{1}{2}x$:
- при $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$ (начало координат).
- при $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Получаем точку $(2, 1)$.
Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$. Эта прямая параллельна предыдущей, так как их угловые коэффициенты равны ($k = \frac{1}{2}$).

Для функции $y = -\frac{1}{2}x - 3$:
- при $x = 0$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
- при $x = 2$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 - 3 = -1 - 3 = -4$. Получаем точку $(2, -4)$.
Проводим прямую через точки $(0, -3)$ и $(2, -4)$.

Ответ: На графике будут изображены три прямые. Прямые $y = \frac{1}{2}x + 1$ и $y = \frac{1}{2}x$ параллельны друг другу. Прямая $y = -\frac{1}{2}x - 3$ пересекает обе эти прямые.

2) Построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{1}{4}x + 1$, $y = -\frac{1}{4}x + 1$ и $y = -\frac{1}{4}x - 1$. Для каждой прямой найдем по две точки.

Для функции $y = \frac{1}{4}x + 1$:
- при $x = 0$, $y = \frac{1}{4} \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- при $x = 4$, $y = \frac{1}{4} \cdot 4 + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка $(4, 2)$.
Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(4, 2)$.

Для функции $y = -\frac{1}{4}x + 1$:
- при $x = 0$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- при $x = 4$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $(4, 0)$.
Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(4, 0)$. Заметим, что эта прямая пересекается с предыдущей в точке $(0, 1)$ на оси ординат.

Для функции $y = -\frac{1}{4}x - 1$:
- при $x = 0$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- при $x = 4$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 4 - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(4, -2)$.
Проводим прямую через точки $(0, -1)$ и $(4, -2)$. Эта прямая параллельна графику $y = -\frac{1}{4}x + 1$, так как их угловые коэффициенты равны ($k = -\frac{1}{4}$).

Ответ: Графики $y = \frac{1}{4}x + 1$ и $y = -\frac{1}{4}x + 1$ пересекаются в точке $(0, 1)$. Графики $y = -\frac{1}{4}x + 1$ и $y = -\frac{1}{4}x - 1$ являются параллельными прямыми.

3) Построим графики функций $y=0$, $y=2$ и $y=-1$. Все эти функции имеют вид $y=c$, где $c$ - постоянная. Их графиками являются прямые, параллельные оси абсцисс ($Ox$).

- График функции $y = 0$ — это прямая, которая полностью совпадает с осью абсцисс ($Ox$).
- График функции $y = 2$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 2)$ на оси ординат ($Oy$).
- График функции $y = -1$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -1)$ на оси ординат ($Oy$).

Ответ: Графики представляют собой три параллельные горизонтальные прямые. Прямая $y=0$ совпадает с осью $Ox$, прямая $y=2$ расположена на 2 единицы выше оси $Ox$, а прямая $y=-1$ — на 1 единицу ниже оси $Ox$.

г)

682. Заполнить пропуски в тексте:

1) прямая $y=2x$ проходит через точ- ку (...; 4);

2) прямая $y=3x-4$ отсекает на оси ор- динат от её начала отрезок длиной ...;

3) прямая $y=2x-6$ отсекает на оси аб- сцисс от её начала отрезок длиной ...;

4) среди прямых $y=x-7$, $y=5x+2$, $y=3x-7$, $y=x+4$, $y=-x-7$ параллельными являются ... .

A $(-4; \frac{1}{2})$

Рис. 3

1) Чтобы найти недостающую координату (абсциссу) точки, через которую проходит прямая, нужно подставить известную координату (ординату) $y=4$ в уравнение прямой $y=2x$. Получим уравнение: $4 = 2x$. Решив его относительно $x$, находим: $x = \frac{4}{2} = 2$. Таким образом, прямая проходит через точку с координатами $(2; 4)$. Пропуск нужно заполнить числом 2.
Ответ: 2.

2) Прямая отсекает на оси ординат (оси $y$) отрезок, длина которого равна модулю ординаты точки пересечения прямой с этой осью. Чтобы найти эту точку, нужно в уравнение прямой $y=3x-4$ подставить значение $x=0$: $y = 3 \cdot 0 - 4 = -4$. Точка пересечения с осью ординат — $(0; -4)$. Длина отрезка от начала координат $(0; 0)$ до этой точки равна модулю её ординаты: $|-4| = 4$.
Ответ: 4.

3) Прямая отсекает на оси абсцисс (оси $x$) отрезок, длина которого равна модулю абсциссы точки пересечения прямой с этой осью. Чтобы найти эту точку, нужно в уравнение прямой $y=2x-6$ подставить значение $y=0$: $0 = 2x-6$. Решим полученное уравнение: $2x=6$, откуда $x=3$. Точка пересечения с осью абсцисс — $(3; 0)$. Длина отрезка от начала координат до этой точки равна модулю её абсциссы: $|3| = 3$.
Ответ: 3.

4) Две прямые, заданные уравнениями вида $y=kx+b$, параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты $k$ равны, а свободные члены $b$ (ординаты точек пересечения с осью $y$) различны. Найдем угловые коэффициенты для каждой из предложенных прямых:
• $y=x-7$, угловой коэффициент $k=1$.
• $y=5x+2$, угловой коэффициент $k=5$.
• $y=3x-7$, угловой коэффициент $k=3$.
• $y=x+4$, угловой коэффициент $k=1$.
• $y=-x-7$, угловой коэффициент $k=-1$.
Одинаковый угловой коэффициент ($k=1$) имеют прямые $y=x-7$ и $y=x+4$. Их свободные члены, $-7$ и $4$, различны, следовательно, эти прямые параллельны.
Ответ: $y=x-7$ и $y=x+4$.

683. Используя графики зависимостей массы $m_1$ воды и массы $m_2$ льда от объёма $V$ (рис. 37, а), ответить на вопросы:

1) Является ли функция $m_1(V)$ линейной?

2) Какой объём занимают лёд и вода, если они имеют одинаковую массу, равную $500 \text{ г}$?

a)

$m, \text{ г}$

$V, \text{ см}^3$

$m_1 = V$ (вода)

$m_2 = 0.9V$ (лёд)

1)

Линейной функцией называется функция вида $y = kx + b$, где $k$ и $b$ – некоторые числа. Графиком линейной функции является прямая линия.
Рассмотрим функцию зависимости массы воды $m_1$ от объёма $V$: $m_1(V)$. На графике эта зависимость представлена прямой линией, проходящей через начало координат. Уравнение этой зависимости дано на графике: $m_1 = V$. Это уравнение можно записать в виде $m_1 = 1 \cdot V + 0$, что полностью соответствует общей формуле линейной функции, где коэффициент $k=1$ и $b=0$.
Следовательно, функция $m_1(V)$ является линейной.
Ответ: Да, функция $m_1(V)$ является линейной.

2)

Нам необходимо найти объём $V_1$ (воды) и $V_2$ (льда), если масса каждого из них равна 500 г. То есть, $m_1 = 500$ г и $m_2 = 500$ г. Для этого воспользуемся формулами, указанными на графике.

Для воды:
Зависимость массы от объёма описывается формулой $m_1 = V_1$.
Подставим известное значение массы $m_1 = 500$ г:
$500 = V_1$
Значит, объём воды составляет $500 \text{ см}^3$.

Для льда:
Зависимость массы от объёма описывается формулой $m_2 = 0.9 \cdot V_2$.
Подставим известное значение массы $m_2 = 500$ г:
$500 = 0.9 \cdot V_2$
Выразим из формулы объём $V_2$:
$V_2 = \frac{500}{0.9} = \frac{5000}{9} \approx 555.6 \text{ см}^3$.
Значит, объём льда составляет примерно $555.6 \text{ см}^3$.

Ответ: Если вода и лёд имеют одинаковую массу 500 г, то вода занимает объём $500 \text{ см}^3$, а лёд – примерно $555.6 \text{ см}^3$.