Номер 681, страница 215 - гдз по алгебре 7 класс учебник Колягин, Ткачева

Упражнения к главе VI. Глава 6. Линейная функция и её график - номер 681, страница 215.

Условие.

681. В одной системе координат построить графики функций:

1) $y = \frac{1}{2}x + 1$; $y = \frac{1}{2}x$; $y = -\frac{1}{2}x - 3$;

2) $y = \frac{1}{4}x + 1$; $y = -\frac{1}{4}x + 1$; $y = -\frac{1}{4}x - 1$;

3) $y = 0$; $y = 2$; $y = -1$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1) Для построения графиков функций $y = \frac{1}{2}x + 1$, $y = \frac{1}{2}x$ и $y = -\frac{1}{2}x - 3$ в одной системе координат необходимо для каждой функции, являющейся линейной, найти координаты двух точек, через которые проходит её график (прямая).

Для функции $y = \frac{1}{2}x + 1$:
- при $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0, 1)$.
- при $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Получаем точку $(2, 2)$.
Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(2, 2)$.

Для функции $y = \frac{1}{2}x$:
- при $x = 0$, $y = \frac{1}{2} \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$ (начало координат).
- при $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Получаем точку $(2, 1)$.
Проводим прямую через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$. Эта прямая параллельна предыдущей, так как их угловые коэффициенты равны ($k = \frac{1}{2}$).

Для функции $y = -\frac{1}{2}x - 3$:
- при $x = 0$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
- при $x = 2$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 - 3 = -1 - 3 = -4$. Получаем точку $(2, -4)$.
Проводим прямую через точки $(0, -3)$ и $(2, -4)$.

Ответ: На графике будут изображены три прямые. Прямые $y = \frac{1}{2}x + 1$ и $y = \frac{1}{2}x$ параллельны друг другу. Прямая $y = -\frac{1}{2}x - 3$ пересекает обе эти прямые.

2) Построим в одной системе координат графики функций $y = \frac{1}{4}x + 1$, $y = -\frac{1}{4}x + 1$ и $y = -\frac{1}{4}x - 1$. Для каждой прямой найдем по две точки.

Для функции $y = \frac{1}{4}x + 1$:
- при $x = 0$, $y = \frac{1}{4} \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- при $x = 4$, $y = \frac{1}{4} \cdot 4 + 1 = 1 + 1 = 2$. Точка $(4, 2)$.
Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(4, 2)$.

Для функции $y = -\frac{1}{4}x + 1$:
- при $x = 0$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 0 + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
- при $x = 4$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 4 + 1 = -1 + 1 = 0$. Точка $(4, 0)$.
Проводим прямую через точки $(0, 1)$ и $(4, 0)$. Заметим, что эта прямая пересекается с предыдущей в точке $(0, 1)$ на оси ординат.

Для функции $y = -\frac{1}{4}x - 1$:
- при $x = 0$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 0 - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$.
- при $x = 4$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 4 - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(4, -2)$.
Проводим прямую через точки $(0, -1)$ и $(4, -2)$. Эта прямая параллельна графику $y = -\frac{1}{4}x + 1$, так как их угловые коэффициенты равны ($k = -\frac{1}{4}$).

Ответ: Графики $y = \frac{1}{4}x + 1$ и $y = -\frac{1}{4}x + 1$ пересекаются в точке $(0, 1)$. Графики $y = -\frac{1}{4}x + 1$ и $y = -\frac{1}{4}x - 1$ являются параллельными прямыми.

3) Построим графики функций $y=0$, $y=2$ и $y=-1$. Все эти функции имеют вид $y=c$, где $c$ - постоянная. Их графиками являются прямые, параллельные оси абсцисс ($Ox$).

- График функции $y = 0$ — это прямая, которая полностью совпадает с осью абсцисс ($Ox$).
- График функции $y = 2$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, 2)$ на оси ординат ($Oy$).
- График функции $y = -1$ — это прямая, параллельная оси $Ox$ и проходящая через точку $(0, -1)$ на оси ординат ($Oy$).

Ответ: Графики представляют собой три параллельные горизонтальные прямые. Прямая $y=0$ совпадает с осью $Ox$, прямая $y=2$ расположена на 2 единицы выше оси $Ox$, а прямая $y=-1$ — на 1 единицу ниже оси $Ox$.